tóm tắt luận án phân lớp đối đồng điều các ann hàm tử và các ann phạm trù bện

Từ các kết quả phân lớp của các Ann-phạm trù chính quy, Trần Phương Dung đã giải bài toán về sự tồn tại và phân lớp cácAnn-hàm tử giữa cácAnn-phạm trù chínhquy [Ann-phạm trù chính quy và

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

KHOA TOÁN - TIN, TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS Nguyễn Tiến Quang

Phản biện 1: GS TS Nguyễn Quốc Thắng

Viện Toán học

Phản biện 2: GS TS Lê Văn Thuyết

Trường Đại học Huế

Phản biện 3: PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn

Trường ĐH Khoa học - Đại học Thái Nguyên

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp tạiTrường Đại học Sư phạm Hà Nội

Vào hồi giờ ngày tháng năm

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- THƯ VIỆN QUỐC GIA

- THƯ VIỆN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Khái niệm phạm trù monoidal hay tensor phạm trù được đề xuất bởi S Mac Lane[Rice.Univ.Studies 49(4)(1963), 28-46], J Bénabou [C R Acad Sci 253(1963) 1887-1890] vào năm 1963 Mỗi phạm trù monoidal là một tựa vị nhóm, trong đó tập nền Cđược thay thế bởi một phạm trù và phép toán nhânm : C × C → C được thay thế bởi mộthàm tử Trong [Rice Univ Studies 49(4)(1963), 28-46], S Mac Lane đã đưa ra điều kiện

đủ cho tính khớp của các ràng buộc tự nhiên của một phạm trù monoidal; và điều kiện

đủ cho tính khớp của lớp phạm trù monoidal đối xứng, tức là một phạm trù monoidal cóthêm ràng buộc giao hoán Bài toán khớp cho lớp phạm trù monoidal thường được suy

ra từ một kết quả mạnh hơn: mỗi phạm trù monoidal đều tương đương với một phạmtrù monoidal chặt chẽ, tức là một phạm trù monoidal có các ràng buộc đều là nhữngphép đồng nhất Kết quả này đã được chứng minh bởi một vài tác giả như N D Thuận[Acta.Math.Vietnam 5(1980) 182-194], C Kassel [Quantum groups, Graduate texts inmathematics (155)(1995)], P Schauenburg [NewYork J Math 7(2001) 257-265]

Việc xem xét các mối liên hệ phụ thuộc của một số tiên đề trong hệ tiên đề của mộtphạm trù monoidal đối xứng đã được G M Kelly trình bày trong [J of Algebra 1(1964)397-402] Sau này, S Kasangian và F Rossi đã xem xét thêm một số mối liên hệ về tínhđối xứng trong một phạm trù monoidal [Bull Austral.Math 23(1981) 209-214]

Phạm trù monoidal được "mịn hóa" để trở thành phạm trù với cấu trúc nhóm, khi bổsung thêm khái niệm vật khả nghịch (Xem M L Laplaza [J of Algebra 84(1983) 305-323], N Saavedra Rivano [Catégories Tannakiennes, Lecture Notes in Math 265(1972)]).Bây giờ, nếu phạm trù nền là một groupoid (nghĩa là mọi mũi tên đều đẳng cấu) thì

ta được khái niệm monoidal category group-like (xem A Fr¨ohlich và C T C Wall[Compositio Mathematica 28(3)(1974) 229-285]), hay Gr-category (xem H X Sính [Gr-catégories, Thèse de Doctorat (1975)]), hay nhóm phạm trù [Communications in Algebra

28 (2000) 2585-2613], hoặc 2-nhóm [Theor and Appl Cat 12(2004) 423-491] theo cáchgọi gần đây CácGr-phạm trù đã được phân lớp bởi nhóm đối đồng điều nhómH3(G, A)[H X Sinh, Gr-catégories, Thèse de Doctorat (1975)] Trong trường hợp nhóm phạm trù

có thêm ràng buộc giao hoán, chúng ta thu được khái niệm phạm trù Picard (Pic-phạmtrù ) [Gr-catégories, Thèse de Doctorat (1975)], hay nhóm phạm trù đối xứng [Math.Proc Camb Phil Soc 114(1993) 163-189] hoặc 2-nhóm đối xứng [M Dupont, Abeliancategories in dimension 2, PhD thesis (2008)]

Tâm của phạm trù monoidal được giới thiệu bởi A Joyal và R Street [J of Pureand Applied Algebra 71(1991) 43-51], như là sự khái quát hóa của khái niệm tâm củamột vị nhóm Tâm của một phạm trù monoidal cung cấp một cấu trúc bện tự nhiên vàtầm thường, đó là một tensor phạm trù bện hay một phạm trù monoidal bện và khôngđối xứng Sau đó, tâm của phạm trù xuất hiện như một công cụ để nghiên cứu nhóm

[Applied Categorical Structures 13(2005) 131-140] Trong [Advances in Mathematics225(1)(2010) 319-348], A Davydov đã nghiên cứu về tâm đầy của một đại số trongphạm trù tâm của một phạm trù monoidal và đã thiết lập bất biến Morita của xâydựng này bằng cách mở rộng nó đến các phạm trù môđun Tâm của phạm trù monoidalcũng xuất hiện trong bài toán đối ngẫu của các phạm trù monoidal được đưa ra bởi S.Majid [Suppl Rend Circ Math Palermo 26(1991) 197-206].

Trong [Advances in Mathematics 102(1993) 20-78], A Joyal và R Street đã phân lớpcác nhóm phạm trù bện bởi phạm trù các hàm quadratic (dựa trên một kết quả của S.Eilenberg và S Mac Lane về sự biểu diễn hàm quadratic bởi nhóm đối đồng điều aben

Hab3 (G, A)[Annals of Mathematics 60(1)1954 49-139] Trước đó, trường hợp nhóm phạmtrù đối xứng (hay phạm trù Picard) đã được phân lớp bởi H X Sính [Gr-catégories,Thèse de Doctorat (1975)]

Tình huống tổng quát hơn đối với các nhóm phạm trù Picard được đưa ra bởi A.Fr¨ohlich và C T C Wall với tên gọi nhóm phạm trù phân bậc [Compositio Mathematica28(3)(1974) 229-285] (sau này, A Cegarra và E Khmaladze gọi là phạm trù Picard phânbậc [Advances in Mathematics 213(2) (2007) 644-686]) Các định lý phân lớp đồng luâncho các nhóm phạm trù phân bậc, các nhóm phạm trù bện phân bậc, và trường hợp riêngcủa nó, các phạm trù Picard phân bậc đã được trình bày theo thứ tự trong [Appliedcategorical Structures 13(2005) 131-140], [J of Pure and Applied Algebra 209(2007) 411-437], [Advances in Mathematics 213(2)(2007) 644-686] Từ mỗi phạm trù như vậy xuấthiện một 3-đối chu trình theo một nghĩa nào đó mà mỗi lớp tương đẳng của các phạmtrù cùng loại là tương ứng với một lớp đối đồng điều chiều 3

Các lớp phạm trù có hai cấu trúc monoidal đã thu hút được sự quan tâm của nhiều tácgiả Năm 1972, M L Laplaza đã nghiên cứu về lớp phạm trù có tính phân phối [LectureNotes math 281(1972) 29-65] Kết quả chính của [Lecture Notes math 281(1972) 29-65] làchứng minh định lý khớp cho lớp phạm trù này Sau đó, trong [Compositio Mathematica28(3)(1974) 229-285], A Fr¨ohlich và C T C Wall đã đưa ra khái niệm phạm trù tựavành với chủ ý là đưa ra một hệ tiên đề mới gọn hơn của M L Laplaza Hai khái niệmnày là những hình thức hóa của phạm trù các môđun trên một vành giao hoán

Năm 1994, M Kapranov và V Voevodsky [Proc of Symposia in Pure Mathematics56(1994) 177-259] đã bỏ đi những đòi hỏi trong hệ tiên đề của M L Laplaza có liênquan đến ràng buộc giao hoán của phép nhân và đưa ra tên gọi phạm trù vành cho lớpphạm trù này Họ đã sử dụng phạm trù của các không gian vectơ trên một trường K,cùng với tích tenxơ và tổng trực tiếp để định nghĩa các 2-không gian vectơ trên K

Để có được những mô tả về cấu trúc, cũng như để có thể phân lớp đối đồng điều, N

T Quang đã đưa ra khái niệm Ann-phạm trù [J Math Hanoi 15(4)(1987) 14-24], nhưmột phạm trù hóa khái niệm vành, với những đòi hỏi về tính khả nghịch của các vật

và của các mũi tên của phạm trù nền, tương tự như trường hợp của nhóm phạm trù(xem [Catégories Tannakiennes, Lecture Notes in Math 265(1972); Gr-catégories, Thèse

de Doctorat (1975)]) Những đòi hỏi bổ sung này cũng không phải quá đặc biệt, bởi

vì nếu P là một phạm trù Picard thì phạm trù End(P) các Pic-hàm tử trên P là mộtAnn-phạm trù (xem N T Quang [J Math Hanoi 16(1988) 17-26]), điều này đã đượcnhắc lại trong [arXiv:1005.2831v1[math.CT]] Mặt khác, mỗi Ann-phạm trù mạnh làmột phạm trù vành [Comm Korean Math Soc 25(4)(2010) 523-535] Năm 2008, N T.Quang đã chứng minh được rằng mỗi lớp tương đẳng cácAnn-phạm trù hoàn toàn đượcxác định bởi ba bất biến: vành R, R−song môđun M và một phần tử thuộc nhóm đốiđồng điều Mac Lane HM aL3 (R, M ) ([arXiv.0804.1820v4[math.CT]]) Trường hợp chínhquy (ràng buộc đối xứng thỏa mãn điều kiện cX,X = 0 đối với mọi vật X) đã đượcphân lớp bởi nhóm đối đồng điều Shukla HSh3 (R, M ) ([Ann-phạm trù, Luận án Tiến sĩ(1988)]) Từ các kết quả phân lớp của các Ann-phạm trù chính quy, Trần Phương Dung

đã giải bài toán về sự tồn tại và phân lớp cácAnn-hàm tử giữa cácAnn-phạm trù chínhquy [Ann-phạm trù chính quy và ứng dụng, Luận án Tiến sĩ (1992)] Mỗi Ann-phạm trùđược xem như một one-object của Gpd-categories trong luận án của M Dupont [Abeliancategories in dimension 2, PhD Thesis (2008)], hay như một one-point enrichments ofSPC của V.Schmitt [arXiv:0812.0150v2[math.CT]]

Năm 2006, M Jibladze và T Pirashvili [J of Homotopy and Related Structures2(2)(2007) 187-216] đã đưa ra khái niệm vành phạm trù với những sự sửa đổi từ hệ tiên

đề của một Ann-phạm trù Tuy nhiên, mối liên hệ giữa hai hệ tiên đề của Ann-phạmtrù và vành phạm trù như thế nào? Hai lớp này có trùng nhau không, lớp này chứa lớpkia hay chúng chỉ giao nhau một phần? Một vành phạm trù còn được gọi là một 2-vànhtheo cách gọi trong [Abelian categories in dimension 2, PhD Thesis (2008)] Năm 2010,các tác giả F Huang, S H Chen, W Chen và Z J Zheng đã định nghĩa các 2-môđuntrên các 2-vành và đưa ra sự biểu diễn của các 2-vành [arXiv:1005.2831v1[math.CT]].Bên cạnh những kết quả đã có về Ann-phạm trù, chúng tôi thấy rằng vẫn còn cónhững vấn đề liên quan tới Ann-phạm trù cần được nghiên cứu như: bài toán tồn tại

và phân lớp các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù trong trường hợp tổng quát, mốiliên hệ giữa Ann-phạm trù và vành phạm trù, tính bện trong lớp Ann-phạm trù, Vìvậy, chúng tôi viết luận án với tiêu đề: "Phân lớp đối đồng điều các Ann-hàm tử và cácAnn-phạm trù bện" để giải quyết những vấn đề nêu trên

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Mục đích nghiên cứu của luận án bao gồm: sử dụng đối đồng điều vành của Mac Lane

để nghiên cứu các Ann-hàm tử, xây dựng Ann-phạm trù cảm sinh bởi một Ann-hàm

tử và xem xét mối liên hệ giữa hai hệ tiên đề của Ann-phạm trù và vành phạm trù(categorical rings); đưa ra định nghĩa Ann-phạm trù bện và một trường hợp riêng của

nó là Ann-phạm trù đối xứng, đưa ra các ví dụ, xem xét mối liên hệ giữa Ann-phạmtrù đối xứng với các phạm trù có tính phân phối (distributivity categories) và phạm trùtựa vành (ring-like categories), xây dựng phạm trù thu gọn cho lớp Ann-phạm trù bện

và tiến hành phân lớp các Ann-phạm trù bện

III ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Đối tượng nghiên cứu của luận án bao gồm: Ann-phạm trù, Ann-hàm tử và tính bện(và một trường hợp riêng của nó là tính giao hoán) trong lớp Ann-phạm trù

Phạm vi nghiên cứu của luận án là những bài toán thường gặp của lý thuyết phạmtrù với cấu trúc, đó là bài toán phân lớp, xây dựng các ví dụ cụ thể, nghiên cứu các tínhchất, các mối liên hệ phụ thuộc của các tiên đề và mối liên hệ giữa những lớp phạm trù

có cấu trúc tương tự nhau

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Ngoài những phương pháp nghiên cứu lý thuyết truyền thống, trong luận án nàychúng tôi sử dụng triệt để phương pháp biểu đồ của lý thuyết phạm trù để chứng minhcác biểu đồ giao hoán, thay cho các biến đổi đẳng thức trừu tượng

V NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN

Luận án đã đóng góp một số kết quả mới về Ann-phạm trù Kết quả chính đầu tiên

là sử dụng các nhóm đối đồng điều vành của Mac Lane để tiến hành giải bài toán tồntại và phân lớp các Ann-hàm tử (Định lý 2.1.8, Định lý 2.1.9) Kết quả chính thứ haicủa luận án là xây dựng Ann-phạm trù đối ngẫu của một Ann-hàm tử (Định lý 2.2.10).Đây là một phép dựng mới ngoài phép dựng Ann-phạm trù của một đồng cấu chínhquy trong bài toán mở rộng vành Kết quả tiếp theo của luận án là Định lý 2.3.3 Định

lý đã chỉ ra rằng các Ann-phạm trù là chứa trong các vành phạm trù Ngược lại, mỗivành phạm trù khi bổ sung thêm một tiên đề về sự tương thích với các ràng buộc đơn

vị sẽ trở thành một Ann-phạm trù (Định lý 2.3.4)

Những đóng góp tiếp theo của luận án có liên quan đến tính bện trong lớp Ann-phạmtrù Định lý 3.1.6 chỉ ra: Tâm của một Ann-phạm trù là một Ann-phạm trù bện và nóichung không đối xứng, đây là một kết quả tiếp nối các kết quả về tâm của một phạmtrù monoidal đã được đưa ra trong [J of Pure and Applied Algebra 2(2)(1991) 43-51].Trên cơ sở xem xét mối liên hệ giữa Ann-phạm trù đối xứng với các phạm trù có tínhphân phối và phạm trù tựa vành, luận án đã chỉ ra sự tương đương của hai hệ tiên đề:phạm trù có tính phân phối và phạm trù tựa vành (Mệnh đề 3.4.1), một khẳng địnhđược A Fr¨ohlich và C T C Wall đưa ra nhưng không có chứng minh [CompositioMathematica 28(3)(1974) 229-285]

Trong chương 4 của luận án, trước hết chúng tôi chứng minh sự tương đẳng của mỗiAnn-phạm trù bện với một Ann-phạm trù bện kiểu (R, M ) (Mệnh đề 4.1.6, Mệnh đề4.1.7) Từ đây, kết hợp với các kết quả về sự tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử bện(Định lý 4.2.6), chúng tôi đưa ra và chứng minh các định lý phân lớp cho các Ann-phạmtrù bện (Định lý 4.3.1, Định lý 4.3.2)

VI Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ Ý NGHĨA THỰC TIỄN CỦA LUẬN ÁN

Bên cạnh những công trình nghiên cứu về những lớp phạm trù có hai cấu trúc

monoidal đã được đưa ra bởi M L Laplaza, A Fr¨ohlich và C T C Wall, N T Quang,

M M Kapranov và V A Voevodsky, M Jibladze và T Pirashvili, V Schmitt, M.Dupont, luận án đã làm phong phú thêm những kết quả cho lớp phạm trù này Đồngthời, luận án đã nghiên cứu về tính bện trong lớp Ann-phạm trù, điều này trước đâychỉ thực hiện cho lớp phạm trù có một cấu trúc monoidal Các kết quả mà luận án đạtđược bổ sung thêm các kết quả đã có về việc chuyển các kết quả của lý thuyết đại sốthuần túy lên lý thuyết phạm trù, góp phần phát triển lý thuyết phạm trù nói riêngcũng như sự phát triển chung của Toán học hiện đại

VII BỐ CỤC CỦA LUẬN ÁN

Ngoài các phần mở đầu, kết luận, luận án gồm bốn chương sau

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Một số kết quả về Ann-phạm trù và Ann-hàm tử

Chương 3: Ann-phạm trù bện

Chương 4: Phân lớp đối đồng điều các Ann-phạm trù bện

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Phạm trù với cấu trúc đã thu hút được sự quan tâm của nhiều tác giả S Mac Lane đãđưa ra khái niệm phạm trù monoidal [Rice.Univ.Studies 49(4)(1963) 28-46], Hoàng XuânSính đã đưa ra khái niệm Gr-phạm trù [Gr-catégories, Thèse de Doctorat (1975)], A.Joyal và R Street đã đưa ra khái niệm phạm trù monoidal bện [Advances in Mathematics102(1993) 20-78] Những kết quả về Ann-phạm trù đã được trình bày trong Luận ánTiến sĩ của Nguyễn Tiến Quang (1988) Trong chương này, chúng tôi nhắc lại nhữngkhái niệm và kết quả chủ yếu, dùng làm cơ sở cho các chương sau Phần cuối của chươngtrình bày về các nhóm đối đồng điều vành của Mac Lane và đối đồng điều đại số củaHochschild Các nhóm đối đồng điều này sẽ được sử dụng vào bài toán phân lớp cácAnn-hàm tử

(idB⊗cA,C) ◦ a−1B,A,C◦ (cA,B) = a−1B,A,C ◦ cA,B⊗C◦ a−1A,B,C; (1.7)

Một tensor phạm trù bện hay một phạm trù monoidal bện là một cặp (C, c)bao gồmmột phạm trù monoidal C và một bện c

Hơn nữa, nếu

thì C được gọi là một phạm trù monoidal đối xứng, hay một ACU-phạm trù

Định nghĩa 1.1.16 [Hàm tử monoidal bện (đối xứng)] Cho C và D là hai phạm trùmonoidal bện (đối xứng) Một ⊗-hàm tử (F, e F , ˆ F )từ C đếnD được gọi là bện (đối xứng)

nếu với mỗi cặp (A, B) những vật của C ta có

F (cX,Y) ◦ e FX,Y = e FY,X ◦ c0F X,F Y. (1.11)

1.2 Gr-phạm trù và P ic-phạm trù

Định nghĩa 1.2.5 (H.X.Sinh) Một Gr-phạm trù G là một phạm trù monoidal mà tất

cả các vật đều khả nghịch và phạm trù nền là một groupoid, nghĩa là tất cả các mũitên đều là đẳng cấu

Định nghĩa 1.2.8 (H.X.Sinh) Một phạm trù Picard hay một P ic-phạm trù P là một

Gr-phạm trù cùng với một ràng buộc giao hoán tương thích với ràng buộc kết hợp

1.3.1 Định nghĩa và ví dụ về Ann-phạm trù

Định nghĩa 1.3.1 (N.T.Quang) Một Ann-phạm trù gồm:

(i) Phạm trù A cùng với hai song hàm tử ⊕, ⊗ : A × A → A;

(ii) Vật cố định0 ∈ Acùng với các đẳng cấu tự nhiêna+, c+, g, d, sao cho(A, ⊕, a+, c+, (0, g, d))

sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:

(Ann-1) Đối với mỗi vật A ∈ A các cặp (LA, ˘ LA), (RA, ˘ RA) xác định bởi các

là những ⊕−hàm tử tương thích với a+, và với c+

(Ann-2) Đối với mọi vật A, B, X, Y ∈ A các biểu đồ sau là giao hoán:

(aA,B,X⊗ aA,B,Y) ◦ ˘ LABX,BY ◦ (idA⊗ ˘ LBX,Y) = ˘ LABX,Y ◦ aA,B,X⊗Y; (1.13)

được xây dựng từ a+, c+, id trong phạm trù monoidal đối xứng (A, ⊕).

(Ann-3) Đối với vật đơn vị 1 ∈ A của phép toán ⊗, các biểu đồ sau là giao hoán:

lX⊗Y = (lX ⊗ lY) ◦ ˘ L1X,Y; (1.17)

rX,Y = (rX ⊗ rY) ◦ ˘ R1X,Y. (1.18)1.3.2 Định nghĩa Ann-hàm tử

Định nghĩa 1.3.12 (N T Quang) Cho A và A0 là những Ann−phạm trù MộtAnn−hàm tử từ A đến A0 là một bộ bốn (F, ˘ F , e F , F∗) trong đó (F, ˘ F ) là một hàm

tử monoidal đối xứng đối với phép toán ⊕,(F, e F , F∗)hàm tử monoidal đối với phép toán

⊗ và thỏa mãn hai biểu đồ giao hoán sau:

˘

LF XF Y,F Z◦ (idF X⊗ ˘ FY,Z) ◦ e FX,Y ⊕Z = ( e FX,Y ⊕ e FX,Z) ◦ ˘ FXY,XZ ◦ F ( ˘ LXY,Z); (1.51)

˘

RF ZF X,F Y ◦ ( ˘ FX,Y ⊗ idF Z) ◦ e FX⊕Y,Z = ( e FX,Z ⊕ e FY,Z) ◦ ˘ FXZ,Y Z ◦ F ( ˘ RZX,Y). (1.52)

Ta gọi u : F → K là một Ann−mũi tên hay một đồng luân giữa hai Ann−hàm tử(F, ˘ F , e F , F∗) và (K, ˘ K, e K, K∗) nếu nó đồng thời là một ⊕−mũi tên và ⊗−mũi tên

Ann-hàm tử (F, ˘ F , e F , F∗) : A → A0 được gọi là một Ann-tương đương nếu tồn tại mộtAnn-hàm tử (F0, ˘ F0, e F0, F∗0) : A0 → A và các Ann-mũi tên đẳng cấu tự nhiên u : F ◦ F0 ∼=

idA0 , u0 : F0◦ F ∼ = id A

1.3.3 Ann-phạm trù thu gọn

Giả sử A là một Ann-phạm trù Khi đó tập hợp các lớp vật đẳng cấu π0(A) của A làmột vành đối với hai phép toán +, ×, cảm sinh bởi các phép toán ⊕, ⊗ trên A, còn

π1(A) = Aut(0) là một nhóm aben mà luật hợp thành được ký hiệu bởi dấu +

Từ Định lý 1.6, chương IV [Ann-phạm trù, Luận án Tiến sĩ (1988)] và Định lý 7.6[arXiv.0804.1820v4[math.CT]], mỗi Ann-phạm trù A được xác định duy nhất, sai khácbởi một Ann-tương đương, bởi ba bất biến đặc trưng:

1 Vành π0(A) các lớp vật đẳng cấu của phạm trù A;

2 π 0 (A)-song môđun π 1 (A) = Aut(0);

3 Phần tử [h] ∈ HM acL3 (π 0 (A), π 1 (A)) (đối đồng điều vành theo nghĩa Mac Lane)

-về các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù chính quy Chương này chúng tôi trình bàycác kết quả nghiên cứu nối tiếp về Ann-phạm trù Mục 2.1 trình bày về các kết quảphân lớp các Ann-hàm tử bởi nhóm đối đồng điều vành của Mac Lane Mục 2.2 xâydựng một Ann-phạm trù cảm sinh bởi một Ann-hàm tử Mục 2.3 trình bày về mối liên

hệ giữa Ann-phạm trù và vành phạm trù

2.1 Phân lớp đối đồng điều của các Ann-hàm tử

2.1.1 Tiêu chuẩn tương đương của một Ann-hàm tử

Để thiết lập được mối liên hệ giữa các Ann-hàm tử với các nhóm đối đồng điều MacLane của vành, trước hết chúng ta chỉ ra một tính chất đặc trưng của Ann-hàm tử, cóliên quan tới ràng buộc kết hợp-giao hoán v của phạm trù monoidal đối xứng

Định nghĩa 2.1.1 ChoA, A0là những⊕−phạm trù monoidal đối xứng Khi đó⊕−hàm

tử (F, ˘ F ) : A → A0 được gọi là tương thích với các ràng buộc "kết hợp - giao hoán" v, v0nếu biểu đồ sau là giao hoán với mọi X, Y, Z, T ∈ Ob(A)

(i) (F, ˘ F ) tương thích với các ràng buộc đơn vị của phép cộng,

(ii) (F, ˘ F ) tương thích với các ràng buộc kết hợp–giao hoán v, v0

Định nghĩa 2.1.5 Giả sử S = (R, M, h), S0 = (R0, M0, h0) là những Ann−phạm trù.Một hàm tử F : S → S0 được gọi là một hàm tử kiểu (p, q) nếu

F (x) = p(x), F (x, a) = (p(x), q(a)),trong đó p : R → R0 là một đồng cấu vành và q : M → M0 là một đồng cấu nhóm thỏamãn

q(xa) = p(x)q(a), q(ax) = q(a)p(x), (2.2)với x ∈ R, a ∈ M.

Mệnh đề 2.1.6 Giả sử S = (R, M, h),S0= (R0, M0, h0) là hai Ann-phạm trù và (F, ˘ F , e F )

là một Ann-hàm tử từ S đến S0 Khi đó (F, ˘ F , e F ) là một hàm tử kiểu (p, q).

2.1.3 Ann-hàm tử và các nhóm đối đồng điều chiều thấp của vành theo nghĩa

Mac Lane

Bài toán về sự tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử giữa hai Ann-phạm trù đã đượcTrần Phương Dung giải quyết cho trường hợp các Ann-phạm trù chính quy (Định lý4.2, Định lý 4.4 [Ann-phạm trù chính quy và ứng dụng, Luận án Tiến sĩ (1992)]) nhờcác tính toán của Nguyễn Tiến Quang về các nhóm đối đồng điều đại số chiều thấp củaShukla [Ann-phạm trù, Luận án Tiến sĩ (1988)] Trong phần này, bằng cách sử dụngtiêu chuẩn tương đương của các Ann-hàm tử đã được trình bày trong mệnh đề 2.1.3,chúng ta sẽ giải quyết bài toán đó cho trường hợp các Ann-phạm trù tổng quát nhờcác lớp đối đồng điều vành của Mac Lane Trong cả mục này ta ký hiệu S, S0 là nhữngAnn-phạm trù dạng (R, M, h), (R0, M0, h0)

Định nghĩa 2.1.7 Nếu F : S → S0 là một hàm tử kiểu (p, q) thì F cảm sinh các 3-đốichu trình h∗= q∗h = q(h), h0∗ = p∗h0 = h0p, chẳng hạn,

σ0∗(x, y, z, t) = σ0(p(x), p(y), p(z), p(t)), σ∗(x, y, z, t) = q(σ(x, y, z, t)).

Hàm k = q∗h − p∗h0 được gọi là một cản trở của hàm tử kiểu (p, q).

Định lý 2.1.8 Hàm tử F : S → S0 kiểu (p, q) là một Ann−hàm tử nếu và chỉ nếu cáicản trở [k] = 0 trong HM acL3 (R, M0)

Định lý sau trình bày về sự phân lớp các Ann-hàm tử có cùng kiểu (p, q)

Định lý 2.1.9 Nếu có một Ann-hàm tử (F, ˘ F , e F ) : S → S0, kiểu (p, q) thì:

(i) Tồn tại một song ánh giữa tập các lớp tương đẳng của các Ann−hàm tử kiểu (p, q)

và nhóm đối đồng điều HM acL2 (R, M0) của vành R lấy hệ tử trong R−song môđun

M0

(ii) Tồn tại một song ánh: Aut(F ) → ZM acL1 (R, M0).

2.1.4 Ann-hàm tử và đối đồng điều Hochschild

Mối liên hệ giữa cácAnn-hàm tử mạnh, chính quy giữa cácAnn-phạm trù chính quy vớicác nhóm đối đồng điều Hochschild đã được được thiết lập trong [J of Science, HNUE4(2005), 3-8] (Mệnh đề 3, Định lý 4) Sau đó các kết quả này đã được làm mạnh lên bởicác kết quả trong [East-West J of Mathematics 11(2)(2009) 195-210] bằng cách bỏ điđiều kiện chính quy của các Ann-hàm tử

Dưới đây, chúng ta sẽ tìm điều kiện để tồn tại các Ann-hàm tử có dạng

F = (F, id, e F ) : S → S0kiểu (p, 0), trong đó p : R → R0 là một đồng cấu vành

Mỗi đối chu trình của các Z−đại số theo nghĩa Hochschild đều là những hàm đa tuyếntính Điều đó gợi ý chúng ta đến định nghĩa dưới đây:

Định nghĩa 2.1.11 Một Ann-hàm tử: (F, id, e F ) : S → S0 kiểu (p, 0) được gọi là mộtAnn-hàm tử mạnh nếu hàm ν : R2 → M0 tương ứng với F e là song cộng tính

Mệnh đề 2.1.12 Giả sử F : S → S0 là một hàm tử kiểu (p, 0) Tồn tại một Ann-hàm

tử mạnh (F, id, e F ) khi và chỉ khi lớp đối đồng điều [h0∗] = 0 trong nhóm đối đồng điềunhóm HHochs3 (R, M0)

Định lý 2.1.13 Nếu có một Ann-hàm tử mạnh (F, id, e F ) : S → S0, kiểu (p, 0) thì:

(i) Tồn tại một song ánh từ tập hợp các lớp tương đẳng của cácAnn−hàm tử mạnh kiểu(p, 0) đến nhóm đối đồng điều HHochs2 (R, M0) của vành R lấy hệ tử trong R−songmôđun M0

(ii) Tồn tại một song ánh

Aut(F ) → ZHochs1 (R, M0)giữa nhóm của các tự mũi tên của Ann-hàm tử mạnh F và nhóm ZHochs1 (R, M0) 2.1.5 Ứng dụng

Giả sử A là một vành (không nhất thiết có đơn vị) và MA là Ann-phạm trù của vành

A Ta gọi S là Ann-phạm trù thu gọn của Ann-phạm trù MA Giả sử R là vành có đơn

vị 1 6= 0 và θ : R → PA là một đồng cấu chính quy

Chúng ta xét R như một Ann-phạm trù kiểu (R, 0, id) Đồng cấu θ xác định một hàm

tử kiểu (θ, 0):

(θ, 0) : (R, 0, id) → S = (π 0 , π 1 , k).

Cản trở của hàm tử này là một phần tử: [k∗] ∈ HM acL3 (R, π1), k∗ = θ∗(k).

Chúng ta có kết quả sau nói về mối liên hệ giữa cản trở của một đồng cấu chính quy

và cản trở của Ann-hàm tử:

Mệnh đề 2.1.14 Giả sử S = (π0, π1, k) là Ann-phạm trù thu gọn của Ann-phạm trùchặt chẽ MA Khi đó:

(i) π0 = PA = MA/µA, π1 = CA;