SKKN xây dựng cơ sở cho phương pháp nhân tử bất đẳng thức cauchy

NỘI DUNG ĐỀ TÀI 2.1 Hình thành phương pháp "tạo nhân tử giải bất ñẳng thức chứa căn" Những năm gần ñây trong các ñề thi học sinh giỏi của các trường và các tỉnh có rất nhiều bất ñẳng th

PHẦN 2 NỘI DUNG ĐỀ TÀI 2.1 Hình thành phương pháp "tạo nhân tử giải bất ñẳng

thức chứa căn"

Những năm gần ñây trong các ñề thi học sinh giỏi của các trường và các tỉnh có rất nhiều bất ñẳng thức chứa căn gây không ít cảm giác khó cho các em học sinh Thực tế khi gặp bất ñẳng thức chứa dấu căn các em lúng túng không biết nên bắt ñầu từ ñâu, vận dụng giả thiết như thế nào

Chúng ta bắt ñầu từ bài toán ñơn giản như sau

x = ±

Nhận xét: Đây chưa là bài toán khó, với mức học sinh trung bình khá có thể giải ñược Ngoài ra có thể giải bằng cách khác từ ñiều kiện ñó ta ñặt x= sint tuy vậy cách giải trên là ñơn giản nhất Học sinh cũng có thể biến ñổi tương ñương từ hằng ñẳng thức vì thế vấn ñề về dấu căn ở ñây chưa có gì khó

Phân tích: Bài toán này yêu cầu ñã cao hơn một tí, ñể tìm max của y ta phải làm

sao xuất hiện y ≤ ( hằng số) Làm sao ñể khử x ở vế trái tức là tử thức phải có a dạng a.x Từ ñó xét x − liệu x-1 có là tích hai số cộng lại mất số tự do như số 1-1 ? và kết quả là x-1= 1(x-1)

Lời giải:

Điều kiện: x≥ 1

= ≤ = = dấu bằng xảy ra khi x-1 =1 tức là x=2

Vậy giá trị lớn nhất của y là 1

2 khi x =2

Nhận xét: Việc nhân thêm số 1 là ý tưởng khá ñộc ñáo ñã làm cho bài toán trên trở nên rất ñẹp sau khi ta giải, và chính bài toán ñã khơi nguồn cho bản thân tôi bắt tay vào chọn ñề tài này ñể viết

Ta sẽ bắt ñầu từ bất ñẳng thức cô si:

Cho n số không âm a 1 ; a 2 ; ; a n khi ñó ta luôn có

1 2 n 1 2

a +a + +a ≥n a a a dấu bằng xảy ra khi a 1 = a 2 = = a n

Thông thường khi học sinh giải toán sẽ rất dễ nhận ra việc ứng dụng bất ñẳng thức trên theo chiều thuận như thế cho nên ña số các em sẽ giải quyết các bất ñẳng thức chứa tổng các số hạng nên ñôi lúc gặp bất ñẳng thức chứa dấu căn mà vì không linh hoạt vận dụng ñược bất ñẳng thức ñó theo chiều ngược như

n n

n

n

a a

a a

Đó là nội dung của phương pháp tôi gọi tên là " Phương pháp tạo nhân tử giải

quyết bất ñẳng thức chứa căn"

2.2 Xây dựng hệ thống bài toán từ phương pháp " Tạo nhân

tử giải bất ñẳng thức chứa căn"

\ Trong ñề tài tôi sẽ xây dựng và hình thành các kĩ thuật, kinh nghiệm giải toán của

phương pháp kết hợp các bài toán tôi xây dựng theo hệ thống logic từ bài toán số

1 ñế bài toán 30, tuy vậy ñể làm nổi bật nội dung phương pháp giải trong ñề tài này tôi tạm phát triển vấn ñề phân loại theo hai hệ thống cụ thể trong mỗi hệ thống sẽ phân hai nhóm cho người ñọc dễ nhớ như sau

2.2.1 Hệ thống 1 Các bài toán tạo nhân tử gắn với vai trò của vị trí dấu căn

Như chúng ta thường thấy khi gặp một bài toán chứa căn thì ñập vào mắt chúng ta là dấu căn thức và ấn tượng ñầu tiên luôn là cảm giác phức tạp hơn bất

ñẳng thức thông thường, việc dấu căn nằm ở ñâu ? vế trái hay vế phải, trên tử hay dưới mẫu ? biểu thức dưới dấu căn là gì? Tất cả những yếu tố ñó sẽ quyết ñịnh ñộ khó của bài toán cũng như là hướng mở ñầu ñể ta lựa chọn con ñường ñi tiếp theo

2.2.1.a Khi dấu căn ở tử thức

Phần này tôi xét các bài toán chứa căn thức của các ña thức một biến hoặc nhiều biến và chỉ có ở tử chưa chứa căn ở mẫu, ñây là dạng toán mà học sinh ít ngại khó hơn

Ta hãy ñưa các em tiếp tục bài toán 2 với suy nghĩ liệu khi ta thay số 1 cho một số dương khác thì sao?

Qua các bài tốn vừa rồi ta cĩ thể tổng quát là

21

−

≤

−++

−+

−

n x

n x x

x x

1

n k k

k k

k k k

2

1 1

1

−

− + +

− +

− +

≤ + +

Qua 4 bài tốn trên chắc hẳn bạn đọc đã nhận ra một nét chung rất riêng biệt và dễ

thấy đĩ là ta đã làm mất dấu căn thơng qua tạo ra tích các thừa số để vận dụng bất đẳng thức cơ si, một điều cĩ thể khơng khĩ để nhìn ra mấu chốt để giải quyết

các bất đẳng thức chứa căn là nhân thêm nhưng liệu nhân thêm như thế nào và nhân thêm bao nhiêu số ? Đa số các bài chứa căn trước hết ta cứ tìm cách khử dấu căn rồi tính tiếp, vậy làm sao để mất được căn bậc n?

Trong các bài tập tơi đề cập phương pháp giải đều là áp dụng bất đẳng thức cơ si

nên xuất phát từ dấu = xảy ra ta dự đốn rồi nhân thêm biểu các biểu thức bằng nhau dưới dấu căn và phải nhân thêm để cĩ đủ n thừa số trong căn bậc

n thì việc làm mất dấu căn là cĩ thể.Tơi nghĩ rằng khi đưa ra câu trả lời đĩ ta cảm

thấy rõ ràng và dễ dàng nhưng để phát hiện ra nĩ là kết quả của một quá trình tính tốn và xử lí của cả một hệ thống bài tốn cĩ phát triển và với phép tương tự như ta

đã làm

Ta hãy tiếp tục với bài tốn sau:

Bài tốn 5: Với các số dương a,b,c,d thỏa mãn a+b+c+d = 1

Chứng minh 4a+1+ 4b+ +1 4c+ +1 4d+1≤4 2

Dự đốn dấu bằng xảy ra khi a=b=c=d = 1/4

ở đây căn bậc hai và ta cĩ 4a+1=2 nên ta nhân và chia với số 2 trong căn

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=d=1/4

Ở bài tốn này cĩ người đọc cho rằng sao ta khơng dùng cách giải dùng bất đẳng thức Bunhia-copxki như sau:

( 4a+ 1 + 4b+ 1 + 4c+ 1 + 4d+ 1)2≤(12 + 12 + 12 + 12) (4a+ 1 + 4b+ 1 + 4c+ 1 + 4d+ 1)= 32

2 4 1 4 1 4 1 4 1

Quả thực cách giải đĩ nhanh nhưng mỗi lời giải cĩ cái hay riêng, ở lời giải tơi đưa

ra cĩ thể phát huy khả năng phân tích và dự đốn và đặc biệt sẽ phát triển vấn đề được sang căn bậc lớn hơn 2 thì khi đĩ sử dụng Bunhia khơng cịn hiệu quả chẳng hạn ta xét bài tốn sau:

Bài tốn 6: ( Đề thi chọn hsg trường THPT Đơ Lương 2 năm học 2010 khối 10)

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1 chứng minh ta luơn cĩ

3 4

≤ và 3

3

3c+53c+1

Qua bài toán 5 và 6 giáo viên hoàn toàn có thể thay giả thiết bởi tổng n số dương nào ñó và thay căn bậc 2 bậc 3 bởi bậc cao hơn thì sẽ ñề xuất ñược những bài toán rất ñẹp

Ví dụ : Chỉ cần viết ra một căn thức nào ñó như 5a+ 2sau ñó muốn tạo bài toán bao nhiêu ẩn cũng ñược và thay ñổi giả thiết tùy ý chẳng hạn

3

b c bc

+ +

133

3

c a ca

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1/3

Mở rộng bài toán: Ta có thể tổng quát các bất ñẳng thức nhỏ như sau:

n

Mấu chốt để chứng minh các bất đẳng thức đĩ là việc nhân thêm trong dấu căn tạo

ra n thừa số bằng nhau Sau khi biết các bất đẳng thức tạm xem là cơ bản đĩ ta cĩ thể lắp ghép để ứng dụng giải các bài tốn lớn hơn

Dễ dàng giải được và dấu bằng khi a=b=c=1

Như vậy qua việc phát triển và tìm tịi các bài tốn cĩ nét chung để đưa ra cách giải hiệu quả phù hợp dạng tốn học sinh cĩ thể giải bài tốn này một cách đơn giản hơn nhiều so với đặt nĩ nằm riêng lẻ và khơng biết tìm ra cơng cụ chung trong các bài tốn đĩ Đến đây các em học sinh cĩ thể nhìn thấy rất nhiều bài tốn cĩ quan

hệ gần với những bài tốn ta đã nêu, chính những bài tốn này thời gian mấy năm nay ta hay gặp trong các sách và tài liệu nâng cao nhưng người ta khơng cĩ một phương pháp nào chung cả

Sau đây là các ví dụ minh họa những bài tốn đã gặp:

Ví dụ 1: ( Tốn học tuổi trẻ 5/2008)

Cho a,b,c>0 và ab bc ca+ + ≥ chứng minh 3

a+3+ b+ +3 c+ ≤3 2(a +b +c )

Dự đốn: Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 và khi đĩ a+3=4

Vì thế các em chỉ cần nhân số 4 vào căn là được

a

a≤ + ;

212

b

b≤ + ;

212

c

c≤ +suy ra

2 2 2 2

3

) (

c b a c b a ca

bc

ab+ + ≤ + + ≤ + +

Chẳng hạn khi có giả thiết ab+bc+ca hoặc a+b+c chỉ cần ñặt a2 +b2 +c2 vào vế lớn

hơn là tạo ra bài toán khác

a b c

a +b +c ≥ + + ≥ Đpcm

Bây giờ ta thay thế giả thiết và cùng giá trị khi a=b=c=1 thì

a=b=c=a2=b2=c2=ab=bc=ca khi ñó ta có những bài toán hoàn toàn mới

Ví dụ 3:

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 3 chứng minh ta luôn có

1+a +2bc+ 1+b +2ca + 1+c +2ab ≤ 6Lời giải :

Dấu bằng khi và chỉ khi a=b=c=1

Cũng có một bài toán tương tự ví dụ 1 trong ñề tuyển sinh vào lớp 10

Ví dụ 4 (THPT chuyên Lam Sơn -2006)

Ta lại dự đốn dấu bằng khi a=b=c=1 và a+7=8 lại cĩ căn bậc 3 nên ta nhân hai số

b

b≤ + ;

434

112

1

+

=++++++++

+

+

a a

a

a

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=1

Lời giải rõ ràng hơn các đáp án sử dụng phân tích hay đặt ẩn phụ t= 6 a

Từ đây các bạn cĩ thể chế biến thêm các căn để cĩ các bài tốn khác hoặc sửa thành các phương trình vơ tỷ như

VD: Giải phương trình x + 3 x + 6 x = x + 2

Một số ví dụ sau cĩ thể giải tương tự

Ví dụ 6 Cho a,b,c dương a+b+c=3/4

Chứng minh 3 a+ 3b+ 3 b+ 3c+ 3 c+ 3a ≤ 3

Gợi ý:

3

3 1 1 ) 3 ( 1 1

3 3

b a b

a+ = + ≤ + + +

Ví dụ 7 Cho a,b,c dương a 2 +b 2 +c 2 =3

Tìm giá trị lớn nhất của P= 3 3 3

4 3 4

3 4

8 ) 4 3 (

8 8 4

1 4

b a b

a+ + = + + ≤ + + + tương tự cho các căn khác

rồi dùng bất đẳng thức ( 2 2 2)

cba

≤++b c a

Ví dụ 8 Cho a,b,c dương a+b+c=1

Chứng minh a3 1 +b−c+b3 1 +c−a+c3 1 +a−b≤ 1

Gợi ý

3 3

) 1

1 1 ( ) 1

( 1 1

a c b a

c b a

c b

Tổng kết mục 2.2.1.a:

Như vậy khi chúng ta gặp các bài tốn chứa căn đơn thuần ở tử thức như dạng

trên dạng trên việc đầu tiên là ta quan sát biểu thức dưới căn sau đĩ sẽ nghĩ làm

sao xuất hiện tích những biểu thức nhỏ trong căn mà tổng của chúng khơng đổi

hoặc tích của chúng khơng đổi thì ta cĩ thể bắt tay làm như các bài tập trong

mục này Một điều dễ nhận ra theo bất đẳng thức cơ si khi đĩ căn thức chứa

nhân tử mà ta tạo ra đĩ phải nằm về chiều bé của bất đẳng thức nên sẽ gặp ở

dạng bài tốn chứng minh A≤B, A<B mà căn thức nằm trong A hoặc dạng

tốn tìm giá trị lớn nhất của P là biểu thức chứa căn.

2.2.1.b Khi dấu căn thức nằm ở mẫu hoặc biểu thức dưới dấu căn là phân thức

Qua phần trên học sinh cĩ thể tự tin khi gặp một số bài với biểu thức dạng căn ở

tử thức tuy vậy sẽ khĩ khăn hơn nếu dấu căn ở mẫu hoặc biểu thức trong căn cĩ

dạng phân thức trong mục này ta sẽ giải quyết các dạng đĩ

Các bài tốn trên với dấu căn thức nằm trên tử thức gắn với bài tốn tìm giá trị

lớn nhất ta sẽ chuyển suy nghĩ tương tự khi dấu căn ở mấu với bài tốn tìm giá trị

nhỏ nhất Đĩ là nội dung của bài tốn sau:

Bài tốn 9 (Diễn đàn Boxmath.vn) Cho a,b,c dương a+b+c=3/4

Tìm giá trị nhỏ nhất của

3 3

3

3

1 3

1 3

1

a c c b b a

P

+

+ +

+ +

=

Rõ ràng bài tốn này được suy ra từ bài tốn như ví dụ 6 phần 2.1.1 cùng một cách

nhân thêm hai số 1

3 2

3

3 2

3

3

1 1 3

1 1

1 3

1 1

1 3

1 3

1 3

1 3

1

2

3 3

3 3

3 3

= + + +

+ +

≥ + +

+ + +

+ +

+

≥

≥ +

+ +

+ +

= +

+ +

+ +

=

c b a a

c c

b b

a

a c c

b b

a a c c b b a

P

dễ dàng tìm được giá trị nhỏ nhất của P=3 khi a=b=c=1/4

Bài tốn 10: Cho a,b,c khơng âm, a 2 +b 2 +c 2 =1 Chứng minh

11

1

+

++

+

c ca

b bc

a

Phân tích: Nhiều bạn đọc sẽ nghĩ rằng đề tài của tơi là phát triển theo hướng khai

thác dấu = của bất đắng thức Cơ si đề xây dựng lời giải, tuy vậy điều đĩ sẽ dẫn đến

sai lầm khi áp dụng ngay cho ví dụ này với dự đốn a=b=c vì thực tế dấu bằng

khơng xảy ra tại tâm Với phương pháp nhân thêm ở bài tốn 9 với mục tiêu làm

sao xuất hiện a+b+c hoặc ab+bc+ca ở vế phải để gần gũi với giả thiết nên ta phải

làm mất căn của 1+bc; 1+ca,1+ab và biểu thức nhân bên cạnh nĩ phải cùng bậc 2

ta dự đốn là nhân với a2, b2,c2 khi đĩ buộc ta phải xét a,b,c tại biên là số 0 Và kết

quả là dấu bằng xảy ra khi a=0;b=1;c=2 và các hốn vị

Hướng dẫn lời giải:

TH1: Chỉ có một trong 3 số a,b,c khác 0 giả sử a#0 suy ra a=1,b=c=0

11

+

++

+

c ca

b bc

a

TH2: Có hai trong 3 số khác 0 giả sử c=0, a,b#0 ta có a2+b2=1

11

1

2 2

=+

>

+

=+

++

+

ab

c ca

b bc

sẽ ñánh giá ñược vế trái lớn hơn 1

Bài toán 11: ( o limpic 30-4-2003) Cho a;b;c dương thỏa mãn a.b.c=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

12

22

Như vậy vấn ñề ở ñây khi gặp bất ñẳng thức chỉ chứa căn ở mẫu và chắc chắn học

sinh có thể liên hệ với dạng chứa ở tử nhưng chiều bất ñẳng thức sẽ ngược lại Vậy những bài toán có phân thức trong căn hay dấu căn nằm cả tử và mẫu thì làm sao?

Ta tiếp tục giải quyết câu hỏi ñó

Cùng với việc thay ñổi hình thức bài toán còn có thể thay ñổi ñiều kiện của biến từ

ñó ta ñến với các bài toán khá thú vị sau

Bài toán 12 Cho a,b,c>0 và a+b+c=6

=3 Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=2

Vậy min T=2 khi a=b=c=2

Cùng cách giải ñó học sinh dễ dàng giải quyết vấn ñề phức tạp của mẫu thức về số ñơn giản hơn

Rõ ràng min P = 3 khi a=b=c=2

Thử vận dụng dạng này mở rộng yêu cầu sang hình học ta gặp bài toán

Bài toán 13

Cho tam giác ABC các cạnh là a,b,c Tìm giá trị nhỏ nhất của

c b a

c b

a c

b a

c b

a

S

−+

+

−+

+

−+

=

222

22

2

Hướng dẫn: Cách làm tương tự

32

2232

2232

22

3

3

)22.(

3)22.(

3)22(3

+

−++

+

−++

+

−+

+

−+

=

c b a c

c b

a c b

b a

c b

a

a

c b a c

c b

a c b

b a

c b a

a S

Như vậy bản thân các biểu thức về mặt hình thức thì có vẻ phức tạp nhưng nếu ñặt trong những suy luận theo logic có tính hệ thống sẽ có thể trở nên ñơn giản hơn nhiều

Tại sao học sinh và cả giáo viên ñều cho rằng bất ñẳng thức là một phần khó trong chương trình học và các kì thi? Bởi mỗi bất ñẳng thức thực tế là kết quả của một quá trình suy luận nhưng khi gặp chỉ một bài trong ñề thi thì nó nằm một cách riêng lẻ do ñó nếu người giải ít va chạm và ít phân dạng theo hệ thống thì sẽ rất bỡ ngỡ trong việc chọn hướng giải Mỗi bất ñẳng thức từ mức vừa ñến khó có thể có

từ hai nút khóa trở lên và ña số các chìa khóa mà người giải phải tạo ra một phần

là ñột phá nhưng vẫn phải xuất phát từ một trong các dạng cơ bản nào ñó mà ta

ñã gặp

Trong các bài toán mà tôi ñã nêu có một vấn ñề rất chung ñể các em học sinh có thể nhận ra khi gặp các bài toán tương tự ñó là biết biến ñổi phù hợp biểu thức trong dấu căn phù hợp với chiều lớn hơn hay bé hơn mà ñề yêu cầu Ở bài viết này tôi chỉ chọn hệ thống bài tập theo con ñường phân tích biến ñổi rồi nhân thêm tạo

ra tích các số không âm mà tổng của nó khi ñặt vào bài toán giúp làm xuất hiện hằng số hoặc biểu thức gần gũi với các biểu thức trong bài

Ta cần tạo cho học sinh khá giỏi trước mỗi bất ñẳng thức hãy biết sáng tạo và biến ñổi ñưa ra các bài toán mới hay và ñẹp hoặc tổng hợp từ những bài ñã biết thành những vấn ñề chung ñể có thể ñưa ra những lời giải mới cho các bài toán ñã biết

Chẳng hạn với luồng suy nghĩ trên ta có thể giải bài toán quen thuộc sau ñây theo

a b b c+ + + + c a+ p (2)

Từ (1) và (2) suy ra ñiều phải chứng minh

Tiếp tục có một suy nghĩ xuất hiện là liệu ta có thể chế biến thêm hay tương tự hóa các bài toán ñã biết với căn bậc hai sang những căn thức bậc cao hơn, bằng việc thay các số hoặc thay căn bậc cao ta có các bài toán mới:

b c+ + c a+ + a b+ f và

31

1

+

++

++

≥+

++

c a

c

b c

b

a b

a

c a

c

b c

b

a

n n

n n

n

n

Hướng chứng minh như ta ñã chứng minh khi n = 2 và n=3

bằng cách ñặt ẩn phụ như trên ñể ta giải quyết cho các trường hợp n lớn hơn

Bây giờ ta lại tiếp tục xét ñến mở rộng biểu thức trong căn

Từ ñó ta có bất ñẳng thức tổng quát như sau

Cho các sô dương a a1; 2; ;a n ñặt S= a1+a2+ +a n khi ñó ta có

Lại thay ñổi bậc của căn ta có bất ñẳng thức

Bài toán 17: Cho a,b,c,d là các số dương

b c d+ + + c d a+ + + d a b+ + + a b c+ + f

Mở rộng bài toán Tương tự trên ta có thể tổng quát theo biểu thức trong dấu căn

và cả bậc căn

Cho các số dương a a1; 2; ;a ñặt S= n a1+a2 + +a n khi ñó ta có

2

2 2 1

−

+

a S

a a

S

a a

m

Tổng kết mục 2.2.1.b : Ở ñây tôi không tham vọng ñưa ra công cụ giải quyết

hết các bài toán chứa căn mà xác ñịnh mục tiêu và phạm vi của ñề tài là cố gắng phân dạng ñược một số bài toán theo hướng giải áp dụng bất ñẳng thức Cô si như ñã nêu Những bài toán ở mục này giúp học sinh biết cách giải một số bài toán tương tự , khi gặp biều thức chứa căn phức tạp phải làm sao triệt tiêu căn

ở tử hoặc mẫu khi ñó bài toán sẽ có dạng 2.1.1 hoặc 2.1.2 công ñoạn tiếp theo là phân tích thành tích tiếp tục khử căn