skkn - một số kn mở rộng, phát triển, đặt các đề toán ở từ một bài toán đơn giản

Đối với học sinh Tiểu học nhận thức nặng về cảm tính, cụ thể, năng lực tư duy còn hạn chế do đó trong quá trình giải các bài tập các em còn máy móc, thụ động và rất lúng túng khi phân tí

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ KINH NGHIỆM MỞ RỘNG, PHÁT TRIỂN, ĐẶT CÁC ĐỀ TOÁN TỪ MỘT BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN

Năm học: 2013 - 2014

I ĐẶT VẤN ĐỀ:

1 Cơ sở lí luận:

Ở bậc tiểu học môn toán là một trong những môn học hết sức quan trọng Môn toán nhằm giúp học sinh phát triển óc sáng tạo, kỹ năng tưởng tượng, suy luận phán đoán và giải quyết vấn đề một cách chính xác góp phần hình thành, phát triển toàn diện nhân cách học sinh Vì vậy môn toán là một môn học khó, khó không những ở phần tiếp thu kiến thức mới mà khó ở cả phần vận dụng kiến thức vào giải các bài tập Đối với học sinh Tiểu học nhận thức nặng về cảm tính, cụ thể, năng lực tư duy còn hạn chế do đó trong quá trình giải các bài tập các em còn máy móc, thụ động và rất lúng túng khi phân tích, tưởng tượng, liên kết các mối quan hệ của kiến thức để giải bài tập hơi phức tạp

Môn toán ở tiểu học được cấu trúc bao gồm các mảng kiến thức về: số học, các yếu tố đại số, đo đại lượng, các yếu tố hình học và giải bài toán có lời văn Với đặc điểm của môn học, đặc điểm tư duy của học sinh như trên và với nội dung chương trình cũng như các dạng toán ở tiểu học vô cùng đa dạng và phong phú nên trong phạm vi đề tài này tôi chỉ đưa ra mỗi mạch kiến thức một vài bài tập đại diện để phân tích từ đó phát triển ra một số đề bài phức tạp hơn so với bài toán ban đầu giúp học sinh khá giỏi lớp 4, 5 tự giải, đồng thời giúp các bạn đồng nghiệp có thể có những hướng mới trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán hay tự ra đề bài cho học sinh làm

2 Cơ sở thực tiễn:

Căn cứ nội dung chương trình môn toán ở tiểu học nói chung và ở lớp 4, 5 nói riêng, Căn cứ vào quá trình giảng dạy đại trà cũng như bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi lớp 4, 5 tôi đã rút ra một số kinh nghiệm mở rộng, phát triển đặt các đề toán tứ bài toán đơn giản hơn

Qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi thấy đối với một bài toán khi hướng dẫn học sinh giải nếu chỉ đơn thuần phân tích các dữ kiện của bài toán để phục vụ cho việc tìm

ra cách giải bài toán đó thì sau này nếu học sinh gặp các bài toán dạng tượng tự hoặc

có thêm bớt dữ kiện, yêu cầu….thì học sinh sẽ rất lúng túng khó tự tìm ra cách làm nếu không có gợi ý dẫn dắt của giáo viên nhưng nếu cũng giải bài toán đó mà giáo viên trong quá trình phân tích hướng dẫn học sinh giải có liên hệ mở rộng thêm một số yếu tố liên quan, phân tích thêm các dữ kiện của bài toán thì học sinh sẽ dễ liên tưởng

để giải các bài toán dạng tương tự mà không cần sự hỗ trợ thêm của cô giáo

Mặt khác qua quá trình phân tích hướng dẫn học sinh giải một bài toán giáo viên cũng có thể tự ra các đề bài khác tương tự hay phát triển thêm bằng cách thay đổi dữ

kiện, thêm, bớt dữ kiện….mà không cần phải máy móc tìm kiếm đề trong sách tham khảo,….mà lại phát huy tích liên kết kiến thức, khắc sâu kiến thức cho học sinh

Từ những lí do trên, tôi đã rút ra một số kinh nghiệm và thực tế áp dụng đã có hiệu quả khi hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 4, 5 giải bài toán như sau:

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:

1 Phạm vi nghiên cứu:

Nội dung chương trình toán tiểu học lớp 4, 5

2 Đối tượng thể nghiệm:

Học sinh khá giỏi lớp 4, 5

3 Nội dung chính:

Trong chương trình toán lớp 4 học sinh được học về dạng toán trung bình cộng - một dạng toán điển hình và cũng rất lí thú nếu chúng ta biết khai thác sâu hơn Sau đây

là một hướng phân tích và phát triển từ một bài toán cơ bản nhất của dạng toán trung bình cộng:

Ví dụ 1: Số học sinh của 3 lớp lần lượt là 25 học sinh, 27 học sinh, 32 học sinh Hỏi trung bình cộng mỗi lớp có bao nhiêu học sinh? (số 2 trang 27 sách toán 4)

Phân tích: Đây là một bài toán rất đơn giản để tính được trung bình mỗi lớp có bao nhiêu học sinh trước hết phải tính tổng số học sinh cả 3 lớp Sau đó thực hiện phép chia cho 3

Giải:

Tổng số học sinh của 3 lớp là:

25 + 27 + 32 = 84 ( học sinh ) Trung bình mỗi lớp có:

84 : 3 = 28 ( học sinh )

Mở rộng: Sau khi giải bài toán này giáo viên mở rộng thêm cho học sinh thêm bằng câu hỏi: Nếu biết trung bình cộng, muốn tính tổng thì ta làm thế nào?

Từ bài toán trên phát triển thành các bài toán khác cho học sinh làm như sau:

1 Khối 4 của một trường tiểu học có 3 lớp, trong đó lớp 4A có 25 học sinh, lớp 4B có 27 học sinh và trung bình số học sinh của mỗi lớp là 28 học sinh Hỏi lớp 4C có bao nhiêu học sinh?

Phân tích: Bài toán này cho biết trung bình cộng => sẽ biết được tổng số học sinh của cả khối 4 từ đó có thể dễ dàng giải bài toán

Giải:

Tổng số học sinh của cả 3 lớp khối 4 là:

28 x 3 = 84 ( học sinh )

Số học sinh của lớp 4C là:

84 - ( 25 + 27) = 32 ( học sinh )

Đáp số: 32 học sinh

2 Tại một trường tiểu học có 3 lớp 4 Trong đó lớp 4A có 25 học sinh, lớp 4B có

số học sinh nhiều hơn trung bình số học sinh 2 lớp 4A và 4B là 1 học sinh, lớp 4C có

32 học sinh Hỏi trung bình mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?

Phân tích: Mấu chốt để giải bài toán này là từ dữ kiện lớp 4B có số học sinh nhiều hơn trung bình số học sinh của 2 lớp 4A và 4B là 1 HS

Từ dữ kiện đó sẽ lí luận ra được trung bình số HS của 2 lớp 4A và 4B => tổng số học sinh của 2 lớp đó

Giải:

Coi trung bình số HS của 2 lớp 4A và 4B một phần thì tổng số HS của 2 lớp là 2 phần như thế

Khi đó số HS lớp 4B bằng 1 phần như thế cộng thêm 1 em

Ta có sơ đồ:

4A 1 4B

TB số HS của

2 lớp 4A và 4B

Nhìn vào sơ đồ ta thấy số HS lớp 4A ít hơn trung bình số HS của 2 lớp là 1 em Vậy trung bình số HS của 2 lớp 4A và 4B là:

25 + 1 = 26 ( em )

Tổng số HS của 3 lớp 4 là:

26 x 2 + 32 = 84 ( em )

Trung bình mỗi lớp có số HS là:

84 : 3 = 28 ( em )

Đáp số: 28 em

3 Khối lớp 4 của một trường tiểu học có 3 lớp Trong đó lớp 4A có 25 HS, lớp 4B

có số HS nhiều hơn trung bình số HS của 2 lớp 4A và 4B là 1 em, lớp 4C có số HS nhiều hơn trung bình số HS của cả 3 lớp là 4 em Tính số HS của cả 3 lớp khối 4? ( Cách phân tích để giải bài toán này tương tự bài toán trên)

Giải:

Coi trung bình số HS của cả 3 lớp là 1 phần thì tổng số HS của cả 3 lớp bằng 3 phần như thế Khi đó số HS của lớp 4C bằng 1 phần cộng thêm 4 em

Ta có sơ đồ:

4

4A + 4B 4C

Từ sơ đồ ta thấy tổng số HS của 2 lớp 4A và 4B bằng 2 phần bớt đi 4 em Do đó trung bình số HS của lớp 4A và 4B bằng một phần trừ đi 2 em suy ra số HS của lớp 4B bằng 1 phần bớt đi 1 em và số HS lớp 4A bằng 1 phần bớt đi 3 em nên 1 phần ứng với

số HS là: 25 + 3 = 28 ( em )

Số HS của 3 lớp khối 4 là:

28 x 3 = 84 ( em )

Đáp số: 84 em

4 Khối 4 của một trường tiểu học có 3 lớp Biết rằng trung bình mỗi lớp có 28 HS, trong đó số HS của lớp 4B ít hơn của lớp 4C là 5 em và nhiều hơn lớp 4A là 2 em Tính xem mỗi lớp có bao nhiêu HS?

Phân tích: Biết trung bình mỗi lớp có 28 HS => biết tổng số HS của cả khối 4 =>

vẽ sơ đồ để giải

Giải:

Tổng số HS của 3 lớp là:

28 × 3 = 84 (em)

Ta có sơ đồ:

Số HS lớp 4A

Số HS lớp 4B 2

Số HS lớp 4C 5

Nhìn vào sơ đồ ta thấy số HS của lớp 4A là:

(84 - 2 - 2 - 5) : 3 = 25 (em)

Số HS của lớp 4B là:

25 + 2 = 27 (em)

Số HS của lớp 4C là:

27 + 5 = 32 (em)

Đáp số: 25 em, 27 em, 32 em

Ví dụ 2: Cho a, b, c là các số tự nhiên khác 0, biết c - b = a Hãy chứng tỏ rằng:

c

b

a

× = b

1

-

c

1

Phân tích: Đây là 1 bài toán đơn giản HS chỉ việc thực hiện phép trừ hai phân số bằng cách quy đồng mẫu số

Giải:

b

1

-

c

1

=

bxc

c

-

bxc

b

=

bxc

b

c−

=

c b

a

×

Vậy:

c b

a

× = b

1

-

c

1

Từ bài toán này có thể mở rộng, phát triển thành các bài toán cho HS giải như sau:

1 Tính tổng sau bằng cách thuận tiện nhất:

2

1

+

3

2

1

x +

4 3

1

x +

5 4

1

x

Phân tích: Ta thấy: 3 - 2 = 1, 4 - 3 = 1, 5 - 4 = 1 vậy theo bài toán ở ví dụ 1, ta có thể phân tích mỗi số hạng thành hiệu 2 phân số để giải

Giải:

Ta thấy:

2

1

= 1 -

2

1

;

3 2

1

x =

2

1

-

3

1

;

4 3

1

x =

3

1

-

4

1

;

5 4

1

x =

4

1

-

5 1

Vậy:

2

1

+

3 2

1

x +

4 3

1

x +

5 4

1

x = 1 -

2

1

+

2

1

-

3

1

+

3

1

-

4

1

+

4

1

-

5

1

= 1 -

5

1

=

5 4

2 Tính tổng:

a

2

1

1

x +

3 2

1

x +

4 3

1

x + …….+

99 98

1

x +

100 99

1

x

(Cách giải bài này tương tự như bài ở trên)

b

6

1

+

12

1

+

20

1

+

30

1

+ …….+

90

1

+

110 1

( Ở bài này cần viết mẫu số thành tích 2 số tự nhiên liên tiếp để đưa về dạng như bài trên: 6 = 2 x 3, 12 = 3 x 4, 20 = 4 x 5, … , 90 = 9 x 10, 110 = 10 x 11 )

c

13

11

2

x +

15 13

2

x +

17 15

2

x +

19 17

2

x +

21 19

2

x +

23 21

2

x

( Ở bài này cũng dễ dàng nhận ra dạng của bài giống bài 1 vì 13 - 11 = 2, 15 - 13 =

2, 19 - 17 = 2, 21 - 19 = 2, 23 - 21 = 2 nên có thể phân tích mỗi số hạng thành hiệu của

2 phân số

13 11

2

x =

11

1

-

13

1

,

15 13

2

x =

13

1

-

15

1

; …….)

d

4

3

+

28

3

+

70

3

+

130

3

+

208 3

( Đưa bài này về dạng giống bài c bằng cách phân tích các mẫu số thành tích của 2

số tự nhiên hơn kém nhau 3 đơn vị: 4 = 1 x 4, 28 = 4 x 7, 70 = 7 x 10, 130 = 10 x 13,

208 = 13 x 16.)

Ngoài các dạng trên có thể mở rộng thêm các bài khó hơn như:

3 Tính tổng:

a

3

1

1

x +

5 3

1

x +

7 5

1

x + … +

99 97

1

x

Phân tích: Theo cách nhận dạng nhanh ở các bài trên, ta thấy: 3-1 =2, 5-3 =2, …

HS sẽ suy nghĩ đến việc làm xuất hiện số 2 ở tử số bằng cách: Đặt tổng đó bằng S rồi tính S x 2, ta có:

S x 2 =

3 1

2

x +

5 3

2

x +

7 5

2

x + ….+

99 97

2

x

Bài toán trở về giống với bài 2c Tính kết quả rồi chia đôi để tính S

b

5

1

2

x +

9 5

2

x + ……+

97 93 2

x

Phân tích: Cũng theo cách suy luận như bài 3a.: Vì 5-1= 4, 9-5= 4, …., 97-93= 4 nên HS sẽ suy nghĩ làm xuất hiện số 4 ở tử số bằng cách: Đặt tổng đó bằng A rồi tính

A x 2, ta có:

A x 2=

5 1

4

x +

9 5

4

x + ……+

97 93

4

x

Bài toán trở về giống bài 3a

c

2

1

3

x +

3 2

3

x + ….+

100 99

3

x

Phân tích: Ta thấy 2 - 1= 1, 3 - 2= 1, … 100 - 99= 1 cho nên HS sẽ có suy nghĩ làm xuất hiện số 1 ở tử số bằng cách: Đặt tổng đó bằng S rồi tính S : 3 Cách giải giống như các bài trên, tính được kết quả đem nhân 3 để tính S

d

7

5

4

x +

9 7

4

x +

11 9

4

x + … +

99 97

4

x

Phân tích: Vì 7 - 5 = 2, 9 - 7 = 2, …., 99 - 97 = 2 nên phải làm xuất hiện số 2 ở tử

số bằng cách: Đặt tổng trên bằng S rồi tính S : 2 Tính được kết quả đem nhân 2 để tính S

Ví dụ 3: Tìm 2 số tự nhiên M và N biết M gấp 5 lần N nếu cộng thêm 3 đơn vị vào

N thì M gấp 4 lần N

Phân tích: Ta thấy ở bài này đại lượng M là không đổi Vậy chúng ta cần dựa vào

M để giải bài toán này

Giải:

Ban đầu M gấp 5 lần N nên N =

5

1

M

Sau khi thêm 3 đơn vị vào N thì M gấp 4 lần N, như vậy lúc này N+3 =

4

1

M Vậy 3 đơn vị ứng với:

4

1

-

5

1

=

20

1

(M)

M = 3 :

20

1

= 60

N = 60 : 5 = 12

Từ bài toán trên có thể thay đổi giả thiết bằng cách bớt N và giữ nguyên M hoặc thay đổi M giữ nguyên N với cách giải tương tự bài trên GV có thể cho HS làm các bài sau:

1 Tìm 2 số tự nhiên M và N biết M gấp 5 lần N Nếu bớt N đi 2 đơn vị thì M gấp

6 lần N

Phân tích: Ở bài này cần dựa vào đại lượng không đổi M

Giải:

Ban đầu: N =

5 1

M

Sau khi N bớt 2 đơn vị thì : N - 2 =

6

1

M

2 đơn vị ứng với:

5

1

-

6

1

=

30

1

(M)

M = 2 :

30

1

= 60; N = 60 : 5 = 12 Đáp số: M = 60, N = 12

2 M và N là hai số tự nhiên, biết M gấp 5 lần N, nếu bớt M đi 12 đơn vị thì M gấp

4 lần N Tìm 2 số M và N

Phân tích: Ở bài toán này N là đại lượng không đổi

Giải:

Ban đầu M = 5 N Sau khi bớt M đi 12 đơn vị thì : M - 12 = 4 N

12 đơn vị ứng với: 5N - 4 N = N Vậy N = 12; M = 12x 5 = 60

Đáp số: M = 60, N = 12

3 Cho 2 số tự nhiên M và N, biết M gấp 5 lần N Nếu thêm vào M 2 đơn vị thì N =

16

3

M Tìm M, N ?

Phân tích: Ở bài toán này đại lượng không đổi là N

Giải:

Ban đầu m = 5 N Sau khi thêm vào M 2 đơn vị thì: M =

3

16

N

2 đơn vị ứng với:

3

16

N - 5 N =

3

1

N

N = 2 :

3

1

= 6

M = 6 x 5 = 30

Đáp số: M = 30, N = 6

4 Tìm 2 số tự nhiên M và N biết M gấp 5 lần N Nếu thêm vào N 3 đơn vị và bớt

ở M đi 3 đơn vị thì lúc này N =

19

5

M Phân tích: Ở bài toán này ta thấy cả 2 đại lượng M và N đều thay đổi Nhưng ta thấy ở đây thêm vào N và bớt ở M đi cùng 1 số đơn vị như nhau (3) nên tổng (M + N)

là không đổi Nên để giải bài toán này cần dựa vào tổng của M và N

Giải:

M = 5N nên coi N là 1 phần thì M sẽ gồm 5 phần như thế Vậy M + N = 6 (phần)

=> N =

6

1

(M + N)

Sau khi thêm vào N 3 đơn vị và bớt ở M 3 đơn vị thì:

N + 3 =

19 5

5

+ (M + N) = 24

5

(M + N)

3 đơn vị ứng với:

24

5

-

6

1

=

24

1

(M + N)

M + N = 3 :

24

1

= 72

N = 72 : 6 = 12 ; M = 12 x 5 = 60

Đáp số: M = 60; N = 12

5 Tìm 2 số tự nhiên M và N, biết M gấp 5 lần N Nếu cùng thêm vào mỗi số 3 đơn

vị thì lúc đó N =

21

3

M Phân tích: Cũng như ở bài 4, 2 đại lượng M và N đều thay đổi nhưng ở đây cùng thêm vào cả 2 số một số đơn vị như nhau (3) nên hiệu (M-N) không thay đổi => Dựa vào hiệu M - N không đổi để giải bài toán

Tóm tắt cách giải:

M = 5N nên M =

1 5

5

− (M-N) = 4

5

(M-N) Sau khi cùng thêm vào mỗi số 3 đơn vị thì:

M + N =

5 21

21

− (M-N) = 16

21

(M-N)

3 đơn vị ứng với:

16

21

-

4

5

=

16

1

(M-N)

M - N = 3 :

16

1

= 48

M =

4

5

x 48 = 60

N = 60 : 5 = 12

Đáp số: M = 60; N = 12

Ví dụ 4: Cho phân số

16

15

Hãy viết các phân số đã cho dưới dạng tổng của các phân số có tử số là 1 và mẫu số khác nhau

Phân tích: Để phân tích phân số

16

15

thành tổng các phân số có tử số = 1 và mẫu số khác nhau thì trước hết ta cần phân tích phân số đó thành tổng các phân số khác nhau

mà mẫu số chia hết cho tử số ( để rút gọn làm xuất hiện tử số = 1, mẫu số khác nhau)

Từ đó ta suy nghĩ ra cách làm là: Phân tích tử số 15 thành tổng các số khác nhau

và đều là ước số của mẫu số 16 Ta có: 15 = 1 + 2 + 4 + 8 ( 1, 2, 4, 8 đều là ước của 16)

Giải:

15

=

16

8 4 2

1+ + +

=

16

1

+

16

2

+

16

4

+

16

8

=

16

1

+

8

1

+

4

1

+

2 1

( Hoàn toàn tương tự với các bài toán mà tay phân số

16

15

bằng các phân số

27

25

,

18 17

,

35

13

,

32

31

,

16

11

,

30

14

, … ) Hoặc mở rộng thêm các bài như sau:

1 Hãy viết phân số

30

14

thành tổng các phân số khác nhau có mẫu số khác nhau và

tử số dều bằng 1 Có mấy cách viết như vậy ?

Phân tích: Đối với yêu cầu thứ nhất thì cách làm hoàn toàn giống bài ở ví dụ 3 Còn ở yêu cầu thứ 2 lưu ý thêm cho HS khi phân tích tử số 14 thành tổng của các số đều là ước của 30 thì cần tìm hết xem có bao nhiêu cách phân tích thì bài toán sẽ có bấy nhiêu cách viết

Ta thấy: 14 = 1 + 2 + 5 + 6 = 3 + 5 + 6 = 1 + 3 + 10

Có 3 cách phân tích do đó bài toán sẽ có 3 cách viết

Giải:

Cách 1:

30

14

=

30

6 5 2

1+ + +

=

30

1

+

30

2

+

30

5

+

30

6

=

30

1

+

15

1

+

6

1

+

5 1

Cách 2:

30

14

=

30

6 5

3+ +

=

30

3

+

30

5

+

30

6

=

10

1

+

6

1

+

5 1

Cách 3:

30

14

=

30

10 3

1+ +

=

30

1

+

30

3

+

30

10

=

30

1

+

10

1

+

3 1

2 Phân tích phân số dưới đây thành tổng của 2 phân số tối giản có cùng mẫu số:

a

5

4

b

21 17

Phân tích: Nếu như bài toán ở ví dụ 4 phân tích phân số theo hướng thành tổng các phân số rút gọn được (tử số là ước của mẫu số) thì ngược lại ở bài toán này ta lại phân tích tử số thành tổng của các số mà mẫu số không chia hết (không phải là ước của mẫu số)

a Ta thấy: 4 = 1 + 3 = 2 + 2 ( 1, 2, 3 đều không phải là ước của 5) Từ đó ta có cách giải như sau:

Giải:

Cách 1:

5

4

=

5

3

1+

=

5

1

+

5 3

Cách 2:

5

4

=

5

2

2+

=

5

2

+

5 2

Lưu ý: Vì ở bài toán này không yêu cầu viết thành tổng 2 phân số khác nhau nên ta

có cách 2 Mặt khác ở đề bài chỉ yêu cầu phân tích thành tổng 2 phân số nên chỉ có 2