Chuyên đề Hàm số ( tài liệu học mãi )

Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng của nó... Tìm m để hàm số 1 có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị này cách đều gốc tọa độ O... Chứng minh hàm số luôn có cực đại, cực tiểu...

1

m m

*Chú ý: Vì bài toán yêu cầu y' < 0 với ∀ x ∈ (-∞; 1)

Nên giá trị x = - m phải không thuộc khoảng (-∞; 1) kéo theo điều kiện: - m > 1

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ Bài 3: Cho hàm số: y =x3−3(m+1)x2+3(m+1)x+1 Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng của nó

Nên tập nghiệm của bất phương trình (1) là: x ∈ (-∞; x1] ∪ [x2; +∞)

Nên để thỏa mãn bất phương trình (1) luôn đúng với ∀ x ∈ [2; +∞)

2

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ Bài 8:Cho hàm số

2

2x (1 m x) 1 m y

Tới đây mình sẽ giới thiệu cho các bạn 2 cách giải

Ai thích tam thức bậc 2 thì theo dõi cách 1

• Ta có: ∆ =′ 2(m+1)2 ≥0 nên phương trình f x =( ) 0 có 2 nghiệm thoả: x1 ≤x2

• Do đó để bất phương trình: f x ≥ ( ) 0 ∀ x ∈(1; + ∞)⇔ x1≤x2 ≤1 Điều này tương đương:

m m

Bài 9: Cho hàm số: y=(4m−5) cosx+(2m−3)x+m2−3m+1 Tìm m để hàm số nghịch biến trên R

*Nhận xét: Hàm số y = f(t) là một hàm số bậc nhất nên sẽ đạt giá trị lớn nhất tại các điểm

đầu mút nên yêu cầu bài toán suy ra:

( 1) 0

(1) 0

f f

+ − ≥0 với ∀ |t| ≤1 ⇔ m ≥

3 2

⇒m ≥ 5

6

*Chú ý:

1 Chỗ đưa về hàm số y = f(t) ta sử dụng công thức :

• Mặt khác: ( 2) 12 0y′′ − = > Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = −2

( * ) Với m =1 thì ta có: y ′ = x2+ 4 x + = 4 ( x + 2)2 ≥ 0 ∀ x∈R Suy ra hàm số đồng biến trên R

( * ) Vậy m = 3 thỏa yêu cầu bài toán

Bài 13: Cho hàm số: 2 3 2 2

3

y= x + m+ x + m + m+ x Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm có hoành độ lớn hơn 1

2

m m m

• Khi đó phương trình y′ =0 có 2 nghiệm phân biệt: x1= −m x; 2 = −2m

• Theo yêu cầu đề bài và điều kiện ( * ) ta có:

2

2

0( )( 2 )

2( )0

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ Bài 15: Cho hàm số y= −x3+3x2+3(m2−1)x−3m2−1(1) Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị này cách đều gốc tọa độ O

Giải:

Ta có: y′ = −3x2+6x+3(m2−1)

Phương trình : y′ =0 có ∆ = ' 9m2 > 0 với ∀m =/0

Nên phương trình y′ =0 có 2 nghiệm phân biệt: x1= −1 m và x2 = + 1 m

Hàm số có các điểm cực trị cách đều gốc tọa độ O thì

Phương trình y' = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt, và dấu ý đổi dấu qua các nghiệm nên hàm

số luôn có hai điểm cực đại và cực tiểu

• Giả sử hai điểm cực trị là: A m( +1, 2m3 +3m2); ( ; 2B m m3 +3m2 +1)

1 174

m m m

Bài 17: Cho hàm số: 2 3

3

y = x +(cosm−3sin )m x2 −8(1 cos 2 )+ m x+1 Chứng minh hàm số luôn có cực đại, cực tiểu

Giải:

Ta có: y′ =2x2 +2(cosm−3sinm x) −8(1+cos m2 )

• Để hàm số có CĐ, CT thì phương trình y′ =0 phải có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 và dấu của y' đổi dấu qua hai nghiệm x x1, 2

• Nhận xét: ∆ = ' (cosm− 3sinm) 2 + 16(1 +cos m2 ) > 0 ∀ m

Nên phương trình y′ =0 luôn có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 và khi lập bảng xét dấu y' thì dấu y' đổi dấu qua hai nghiệm x x1, 2 nên hàm số luôn có CĐ và CT

Bài 18: Cho hàm số 1 3 5 2 4 4( )

y= x − mx − mx− C Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x x1; 2 sao cho biểu thức :

2 2

m m

( ) 3

• Vậy: Min AB=2 13

3 Dấu "=" xảy ra khi m =0

Bài 21: Cho hàm số y= x3−3x2−mx+2(1) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm CT sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ Bài 22: Cho hàm số: y=x3 − 3x2 +m x2 +m Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng: : 1 5.

= (trong đó I là trung điểm của AB)

* Để hàm số có cực đại và cực tiểu đối xưng nhau qua d:

2

2 2

2

1 2 1 2 (x x ) 4 x x 64

⇔m2 −m− 16 0 ≥

y= x − − m x + + m x+ đạt cực trị tại x x1; 2 thoả mãn: 2 2

1 2 1 2 (x x ) 2 x x 1

+

⇔m=2( )N

• Vậy m =2 thoả yêu cầu bài toán

Bài 26: Cho hàm số y=x3 − 3x2 +mx+ 1(C m) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho khoảng cách từ điểm ( ; )1 11

• Phương trình đi qua hai điểm cực trị có dạng: (2 2) ( )

• Kết quả: m =1

Bài 27: Cho hàm số: y=x4 − 4x3 +x2 +mx− 1 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu

Giải:

• Hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình y′ =0 có 3 nghiệm phân biệt

⇔ g x( ) 4 = x3− 12x2+ 2x= −m(1) có 3 nghiệm phân biệt

• Bài toán này cơ bản rồi, bạn lập bảng biến thiên xét dấu hàm số y=g x( )

Ta có phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi:

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ Bài 29: Tìm m để hàm số: y=mx4 + (m− 1)x2 + − 1 2m có đúng 1 cực trị

• Nếu m =0 thì $g(x)$ vô nghiệm, suy ra $f(x)$ có 1 cực đại

• Nếu m =1 thì g x( ) có nghiệm kép x =0, suy ra f x( ) có 1 cực tiểu

• Nếu 0 <m< 1 thì g x( ) có 2 nghiệm phân biệt khác 0, suy ra f x( ) có 3 cực trị

• Nếu 0

1

m m

≤





≥

 thoả yêu cầu bài toán

Bài 30: Cho hàm số y=x4 − 2mx2 + 2m+m4 Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị lập thành 1 tam giác đều

Giải:

•Ta có:y′ = 4x3 − 4mx= 4 (x x2 −m)

• Để Hàm số có 3 cực trị thì pt y′ =0có 3 nghiệm phân biệt:⇔m> 0

•Gọi A(0;2m+m4);B( m; 2m+m4 −m2);C(− m; 2m+m4−m2)

•Dễ thấy B,C đối xứng nhau qua trục oy nên tam giác ABC cân tại A

• tam giác ABC đều thì:

Bài 31: Cho hàm số y=x4 − 2mx2 + 2m2 − 4(1) Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng

•Vậy m =1 thõa mãn ycbt

Bài 32: Tìm m để hàm số: y=x4 +mx3 +mx2 +mx+ 1 không thể đồng thời có cực đại và cực tiểu ∀ m∈R

• Mà số nghiệm của (1) đúng bằng số giao điểm của đồ thị hàm số f(x) với đường thẳng

y=m Từ trên ta có: số giao điểm chỉ có 1 (Trái giả thiết)

• Vậy hàm số không thể đồng thời có cực đại và cực tiểu

x x x

a

b c

Bài 34: Cho hàm số: y=x4 + (m+ 3)x3 + 2(m+ 1)x2 Chứng minh rằng ∀m ≠ −1 hàm số luôn có cực đại đồng thời x CD≤ 0

⇔ < < , kết hợp với bảng biến thiên ta sẽ suy ra được x CD =x2 < 0

(*) Vậy: ∀ m ≠ −1 hàm số luôn có cực đại đồng thời x CD ≤ 0

Bài 35: Cho hàm số: y=x4 − 2(m2 −m+ 1)x2 +m− 1 Tìm m để khoảng cách giữa 2 điểm cực tiểu nhỏ nhất

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ Vậy MinAB = 3 khi 1

*Nhận xét: Tam giác ABC cân tại A, trung tuyến kẻ từ A thuộc trục Oy Nên O là trọng tâm

của tam giác ABC khi : y A+ 2y B = 0 ⇒

2 3 1 3

m = thỏa mãn điều kiện bài toán

Bài 37: Cho hàm số: y=x4 − 2mx2 + 2 Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua điểm 3 9;

• Điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị là: m >0

• Giả sử 3 điểm cực trị là: A(0; 2); (B − m; −m2 + 2); (C m; −m2 + 2) và điểm ( ; )3 9

5 5

D

• Gọi I(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

• Theo giả thiết ta có:

So sánh với điều kiện thì m =1 thỏa mãn điều kiện bài toán

Bài 38: Tìm m để (C m) :y=x3 − 3(m+ 1)x2 + 2(m2 + 4m+ 1)x− 4 (m m+ 1) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1

0 (3)(0) 0 (4)

CD

f f f f I

x x f

x y x y

• Vậy có 2 tiếp tuyến thoả yêu cầu bài toán:

∆1:y= (2m+ 3)x− (2m+ 3)

∆2:y= − ( 2m+ 3)x− (2m− 1)

Bài 42: Cho hàm số y=x3 − 3x+ 2( )C Viết phương trình đường thẳng d cắt hàm số (C) tại 3

điểm phân biệt A, B, C Biết x A = 2;BC= 2 2

• Khi đó gọi B x kx( ,1 1− 2k+ 4); ( ,C x kx2 2− 2k+ 4) là 2 giao điểm của ( )C và ( ) ∆

• Theo yêu cầu bài toán :

2 2

1 2 1 2 (k 1)[(x x ) 4x x ] 8

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ Bài 43: Cho hàm số 2 ( )

Nên tam giác AOB vuông cân tại O Suy ra hệ số góc tiếp tuyến là k = 1 và k = -1

Gọi tọa độ tiếp điểm là M x y( ; )o 0 ta có :

2 4

x x

• Dễ dàng tìm được 2 đường tiệm cận của đồ thị là: x= 1;y= ⇒ 1 I(1;1)

• Gọi tiếp tuyến tại M x y( ; ) ( )o o ∈ C là: 2

Dấu "=" xảy ra khi |x o− = ⇔ 1| 1 x o = 2V x o = 0

• Vậy tiếp tuyến cần tìm là:

18

Giải:

1

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ Đường thẳng d cắt trục Ox tại điểm ( 1 ;0)

A m

− +

• Theo giả thiết diện tích tam giác OAB bằng 1

18 ⇔ 1 1

.

2OA OB =18 ⇔ |m +2 | 1 =

⇔ 1

3

m m

Giải:

• Ta có đường tiệm cận đứng là d1:x = −1; tiệm cận ngang d2:y =2 ⇒ I −( 1; 2)

• Gọi tọa độ tiếp điểm M x y( ; )o o Phương trình tiếp tuyến tại điểm M có dạng

o

x x

x



 +



 >

 ⇔ ( 1)4 10( 1)2 9 0

Giải:

• Dễ dàng tìm được 2 đường tiệm cận của đồ thì là: x= −1;y=1

Suy ra giao điểm 2 đường tiệm cận là: I −( 1,1)

• Ta có phương trình tiếp tuyến tạ M x y( ; ) ( )o o ∈ C :

: 3 2 ( ) 2

o o

Dấu "=" xảy ra khi: IA= IB ⇔ x= −1 3+−

• Vậy có 2 tiếp tuyến thảo yêu cầu bài toàn:

− Tìm các điểm M thuộc đường thẳng d: y= 2x+ 1 sao cho từ

M kẻ được 1 tiếp tuyến tới hàm số (C)

• Để từ M kẻ được 1 tiếp tuyến tới (C)⇔ 2 Trường hợp :

- TH1:m =0 thì pt(1) có 1 nghiệm duy nhất (thoãm mãn)

m m

• Vậy các Diểm M thõa man ycbt là: M(0;1);M − −( 1; 1);M(2;5)

Bài 50: Cho hàm số y= −x3 + 3x+ 2( )C Tìm trên trục hoành các điểm có thể kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số (C)

2 3

Giải hệ bất phương trình này ta thấy luôn thảo mãn với ∀m

• Giả sử hai điểm A x( ; 21 x1+ 3 ); ( ; 2m B x2 x2+ 3 )m (x x1; 2 là hai nghiệm của phương trình (1) ) Theo giả thiết: OA OB = − 4






⇔ x x1. 2+ (2x1+ 3 )(2m x2+ 3 )m = − 4

⇒ 12 15

4 2

m −

= − ⇔ 7

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ Bài 52: Tìm trên hàm số 1( )

• Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng d nên đường thẳng AB có phương trình:

y= − +x m Như vậy hoành độ của hai điểm A, B là nghiệm của phương trình :

1

2

x

x m x

− +

= − +

− ⇒ ( ) 2 ( 3) 2 1 0(1)

Hệ bất phương trình luôn thỏa mãn với $ $ giá trị m

• Giả sử hai điểm A x( ;1 −x1+m B x); ( ;2 −x2+m)

Theo giả thiết: AB = 4

⇒ 2

1 2 (x −x ) = 4 ⇔ (x1+x2)2− 4x x1 2 = 8

⇒ m2 − 2m− = 3 0

⇔ 1

3

m m

• Hoành độ điểm B, C là nghiệm của phương trình :

2 1

1

x

x m x

+

= +

− ⇔ g x( ) =x2+ (m− 3)x− (m− 1) 0(1) = Với (x ≠1)

Do ∆ >g 0 và g(1) 0 ≠ với ∀ m nên d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt B, C và tam giác ABC cân tại A

• Giả sử đường thẳng d cắt d1 tại I ⇒ (3 ;3 )

Để tam giác ABC đều :

+

= +

− ⇔

• Giả sử hai điểm P x x( ;1 1+ 1); ( ;Q x x2 2+ 1)

Theo giả thiết ta có: S ABPQ = 24

⇒ (d( ,P AB) +d( ,Q AB)).AB= 24

⇔ |x1| | + x2| 4(2) =

Theo định lí vi ét ta có: x1 +x2 =m(3)



CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ Bài 55 Cho hàm số y=x4 − 2x2 − 3( )C Tìm m để đường thẳng y=m cắt hàm số ( )C tại 4 điểm M, N, P, Q (sắp theo thứ tự từ trái sang phải) sao chô độ dài các đoạn thẳng MN, NP,

PQ được giả sử là độ dài 3 cạnh của một tam giác bất kì

• Vì đường thẳng d song song với trục hoành nên đường thẳng d có dạng y = m

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là

1 3 2 8

3

3x −x − x+3=m ⇔ x3− 3x2− 9x+ − 8 3m= 0(1)

Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân thì phương trình (1) phải

có các nghiệm: x1; −x x1; 2 với (x1; −x1 là hoành độ các điểm A, B)

Khi đó phương trình (1) viết lại thành:

3 2 2 2

x − x − x+ − m= x −x x−x

− ⇔mx2 − (2m+ 1)x− = 2 0 (1) với x ≠1

Đặt t= −x 1 ⇔ x= +t 1

Phương trình (1) trở thành mt2 − − =t 3 0 (2)

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ

• Giả sử hai điểm M x m x( ; (1 1− 1)); ( ; (N x m x2 2− 1)) (x x1; 2 là hai nghiệm của phương trình (1))

Do A, M, N thuộc d và AM=2AN (A nằm giữa M và N)

k

x x

k k

x x

⇔ 

= +



• Ta tìm được hai điểm M thỏa mãn bài toán là: M1=( 3 + 5,1 + 5) và M2=( 3 − 5,1 − 5)

Bài 60: Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số 1( )

| |

m

m m

• Vậy: Mind =2( 2 1) − khi m= 2 1 − ⇒M( 2 1;1 − − 2)

Bài 61: Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị hàm số 4 9( )

• Tọa độ các điểm thỏa mãn bài toán là: M1(3 − 3; 4 − 3) và M2(3 + 3; 4 + 3)

Bài 62: Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số 3 5( )

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ

• Ta có 3 5 3 1

x y

3

m m

• Tọa độ điểm M thỏa mãn bài toán là: M1(1; 2) và M2(3; 4)

Bài 63: Giả sử đồ thị hàm số y=x3 − 6x2 + 9x+d cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

Oy tại 2 điểm phân biệt A; B sao cho tam giác OAB cân tại O (A-2009)

Đáp án: y= − −x 2 Bài 64: Khảo sát hàm số y = 2x4− 4x2 Tìm m để phương trình x x2 2− 2 =mcó đúng 6 nghiệm phân biệt (B-2009)

Đáp án: 0<m<1

Bài 65: Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y= −x+m cắt đồ thị hàm số

2 1xy

Đáp án: 1 1

− < < và m ≠0Bài 67: Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y= −2x+m cắt đồ thị hàm số

+

=+ Tìm m để đường thẳng y = −2x m+ cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A; B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 (B-2010)

Đáp án: m =+− 2

Bài 70: Cho (C) : y = −x4−x2+6 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1

16

y = x− (D-2010)

Đáp án: y= − 6x+ 10Bài 71: Cho hàm số 1

x y x

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ Bài 73: Cho hàm số 2 1

1

x y x

+

= + Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k +1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau (D-2011)

Đáp án: k=-3

Bài 74: Cho hàm số y=x4 − 2( m+ 1)x2 +m ( )2 1 ,với m là tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1)

có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông (A-2012)

Đáp án: m=0

Bài 75: Cho hàm số : y=x3 − 3mx2 + 3m3 Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48 (B-2012)

Đáp án: m=+− 2Bài 76: Cho hàm số : 2 3 2 2 2

Bài 83: Cho hàm số : (C m) :y=x3 −mx+m− 1 Tìm m để tiếp tuyến của (C m) tại điểm M có hoành độ bằng x= -1 cắt đường tròn ( ) : (I x− 2) 2 + (y− 3) 2 = 4 theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất

Đáp án: m=2

Bài 84: Cho hàm số : ( ) :C y=x3 − 3x+ 2 Tìm trên đường thẳng d y =: 4 các điểm mà từ đó

kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với (C)

Bài 87: Cho hàm số y=x4− 2mx2+ 2m− 1 (Cm) Tìm m để đồ thị hàm số (C m ) cắt trục hoành tại 4 điểm

phân biệt A, B, C, D sao cho 4 điểm A, B C, D thỏa mãn điều kiện AB BC CD= =

5;

9

m= m=Bài 88: Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + 1 (C m ) Xác định m để (C m ) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0, 1), D, E sao cho tiếp tuyến của (C m ) tại D, E vuông góc với nhau

Đáp án: 9 65

8

m= ±Bài 89: Cho hàm số y = 1

x x

+ + (1) Tìm m để đường thẳng d: 2 mx− 2y+m+ = 1 0 cắt hàm số (1) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho biểu thức P = OA2 + OB2 đạt giá trị nhỏ nhất

y=x + m x + (C m) Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng

y = x +1 luôn cắt hàm số (C m) tại hai điểm phân biệt

Gợi ý: Chứng minh phương trình x3 + 2m x2 − = 1 0 có nghiệm duy nhất khác 0

Bài 92: Cho hàm số y= x+2( )C Lập phương trình tiếp tuyến của hàm số biết tiếp tuyến cắt các trục

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ Bài 93: Cho hàm số 3( )

− Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = 2x + m luôn cắt

đồ thị hàm số (C) tại hai điểm phân biệt A, B Tìm m để điểm I(2; 1) cách đều các đường thẳng

Đáp án: 1 4

8≤m<27Bài 96: Cho hàm số 1 4 2 5

y= x − x + C Tìm m để phương trình |x4 − 6x2 + 5 | 2 = m2 − 4m(1) có 8 nghệm thực phân biệt

Đáp án: 1− 3 <m< 0 và 2 <m< + 1 3

Bài 97: Cho hàm số y =

2

x m x

− + (C) Tìm m để đường thẳng d: 2x + 2y + 1 = 0 cắt hàm số (C) tại 2 điểm phân biệt cùng với gốc tọa độ tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 3

3

C y= x − − m x − − m x+ Tìm m để hàm số có cực trị tại x x −1; 2 thỏa: x− + 1 2x2 = 1

+

−

CHÚC CÁC BẠN HỌC TỐT!