giải tóan trên máy tính - tìm số dư, tìm số tận cùng, tổng hợp bài toán về số

giải tóan trên máy tính - tìm số dư, tìm số tận cùng, tổng hợp bài toán về số tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, l...

Ghi chú: Tài liệu này bỏ qua một số kiến thức sơ đẳng như sơ đồ Hoorner, giải phương trình

bậc 2, bậc 3 tổng quát, thậm chí là bậc 4 tổng quát (dạy rồi nhỉ??), giải hệ 2 phương trình bậc nhất 2 ẩn, hệ 3 phương trình bậc nhất 3 ẩn; sử dụng máy tính để phân tích đa thức thành nhân

tử, sử dụng phép gán để giải các pt bậc nhất với các hệ số là các số phức tạp… Các kon tự ôn lại nhá! Thầy lười typing quá! (ToT)

Một số công thức về lũy thừa cũng cần được quan tâm là ( ) .

2743508913388212483

A=

• Luyện tập:

a Tính B=123456789 987654321× ĐS: B = 121932631112635269

DẠNG 2 Tìm số dư

Cĩ 3 trường hợp

• Trường hợp 1: Số nhỏ

Ví dụ: tìm số dư của phép chia sau 3523127÷2047

Quy trình bấm máy: 3523127÷2047 = (máy hiện
1721.117245

ghi nhớ

)

Sửa lại trên máy: 3523127−1721 2047 =× (máy hiện 240 )

Vậy số dư là 240

• Trường hợp 2: Số lớn (vừa vừa :D)

Ta sử dụng phương pháp chia để trị, tức là chia số bị chia ra làm nhiều phần cĩ số chữ

số ít hơn 10

Ví dụ: Tìm số dư trong phép chia sau 123456789876543210123 247 ÷

khúc này giữ lại cắt ra tại đây!

Ta tìm số dư của phép chia sau 123456789 247÷ (làm tương tự như trường hợp 1, ta ra được số dư là 14) Bây giờ, ta ghép số14 vào phía trước “khúc giữ lại” ban nãy, ta được

số 14876543210123, lúc này, ta thấy số này vẫn cịn nhiều hơn 10 chữ số, nên ta lại

tiếp tục “chia để trị” Tức là 14876543210123 247
÷

giữ lại cắt ra tại đây

Ta sử dụng kiến thức đồng dưđể trình bày Định nghĩa:

a chia bđược q, dưr thì ta viết a≡r(modb) (khơng quan tâm đế n s ố q)

C ầ n bi ế t các tính ch ấ t c ơ b ả n sau:

Vậy, số dư của phép chia là 351

Luyện tập: Tìm số dư của các phép chia sau

a 1234567 23÷ ĐS: dư 19

b 321987321987321987 123÷ ĐS: dư 78

DẠNG 3 Tìm n chữ số cuối của số a (thực chất là tìm số dư khi chia số a cho 10n )

Ví dụ: Tìm 3 chữ số cuối của 232006 (đề có thể hỏi là tìm chữ số hàng trăm, ta vẫn làm như vậy!)

Ta sẽ tìm số dư của 232006 khi chia cho 10 3

DẠNG 4 Phân số tuần hoàn

Ví dụ: Đưa số sau về dạng phân số 0,123123123123123123

( ) ( )

DẠNG 5 Tìm chữ số thứ n sau dấu phẩy của phân số tuần hoàn

Ví dụ: Tìm chữ số thứ 2011 sau dấu phẩy của phân số 152

Dễ dàng tìm được số dư của phép chia 2011 khi chia cho 3 là 1, như vậy, chữ số thứ 2011 sau dấu phẩy sẽ là 4

Ví dụ: Tìm chữ số thứ 2011 sau dấu phẩy của phân số 1037

8325

Dễ thấy 1037 ( )

0,12 456

8325= : chu kỳ vẫn là 3 chữ số, nhưng trước đó còn có 2 chữ số khác!?

Ta sẽ đưa về bài toán cũ bằng cách: Lấy 100 nhân vào phân số đã cho, khi đó ta ra được

( )

1037

8325

× = : lúc này, chu kỳ đã được đưa về sát dấu phẩy, và bài toán ban đầu sẽ

trở thành “tìm chữ số thứ 2009 sau dấu phẩy của số 12, 456( ) ” (các em có giải thích được tại sao lại như vậy không?), nghĩa là tìm số dư của phép chia 2009 khi chia cho 3

Dễ dàng tìm được số dư là 2, hay chữ số cần tìm là 5

Luyện tập:

a Tìm chữ số thứ 1234 sau dấu phẩy của phân số 5

b Tìm chữ số thứ 20112011 sau dấu phẩy của 0, 123456789 ( ) ĐS: 1

c Tìm chữ số thứ 211112 sau dấu phẩy của 7811

DẠNG 6 Tìm số dư khi chia đa thức P(x) cho một đơn thức ax+b

Rất đơn giản! Đáp số của bài toán chính là P b

a

−

  (Tại sao vậy???)

Ví dụ: Tìm số dư của phép chia ( ) 3 2

   , quy trình bấm máy như sau

Ta nhập đa thức P(x) vào máy X3−9X2−35X +7

Sau đó bấm CALC , nhập 5 3− = , máy sẽ ra kết quả là 964

27

Lại bấm CALC , nhập 7 = , máy sẽ ra kết quả là -336

Lại bấm CALC , nhập 1 2 = , máy sẽ ra kết quả là 101

8

−

Vậy, các số dư lần lượt là 964

27 , -336,

1018

DẠNG 7 Cho đa thức với các hệ số chưa biết, tìm giá trị của đa thức đó tại 1 điểm

Nói chung, cách làm tổng quát (dành cho mọi bài) là đưa về việc giải hệ phương trình Tuy nhiên, có vài bài nếu quan sát tốt thì sẽ có 1 lời giải “trí tuệ” hơn! Thầy mong rằng các kon sẽ thật “trí tuệ”, nhá (gà của thầy Sơn mà!) ! ☺

Ví dụ:

Đến đây, 3 phương trình cuối chính là 1 hệ 3 phương trình bậc nhất 3 ẩn (máy có thể giải đc!)

Ta bấm máy cho 3 phương trình cuối ra được

Rõ ràng cách làm trên chất chứa nhiều rủi ro! Vì việc rút thế khi giải hệ 5 phương trình khá mệt mỏi (bản thân thầy khi giải bài này theo cách 1 cũng bị sai 1 lần, phải làm lại lần 2…hix) Sau đây, là 1 cách “trí tuệ” hơn! Và dĩ nhiên, để hiểu được thì cũng cần phải “trí” một chút! :D

Cách 2 Ta quan sát thấy được

Ghi nhớ 1 điều là bạn nào không thích “trí” (nghĩa là xài cách 2) thì hoàn toàn có thể sử

dụng cách 1 để giải các bài trên! Thầy cam đoan rằng có thể giải được mọi bài dạng này

bằng cách 1 Nhưng đôi khi đừng “cơ bắp” quá! 

DẠNG 8 Kiểm tra một số có phải là số nguyên tố hay không?

Ta có một định lý như sau: “Nếu n là hợp số thì n có ước nguyên tố không vượt quá

n”

Định lý trên cũng tương đương với “Nếu n là số nguyên tố thì n không chia hết cho mọi

số nguyên tố không vượt quá n”

Dựa vào định lý trên, ta xây dựng phương pháp kiểm tra 1 sốa có là số nguyên tố hay không, thông qua việc kiểm tra a có chia hết cho các số lẻ không vượt quá a hay không?

Nếu a không chia hết cho mọi số lẻ không vượt quá a thì a là số nguyên tố!

Ta sẽ minh họa thông qua ví dụ sau:

Ví dụ: kiểm tra xem số 8191 có phải là số nguyên tố hay không!?

- Bước 1: ta thấy 8191 là số lẻ nên không chia hết cho 2 (số 2 cũng là số nguyên tố)

- Bước 2: Ta tính ra được 8191=90,5041 lấy phần đứng trước dấu phẩy là số 90

Như vậy là ta sẽ kiểm tra xem số 8191 có chia hết cho các số lẻ nhỏ hơn 90 hay không!

phép chia 8191 khi chia cho A là 8191

3 (tức là không chia hết) Tiếp tục bấm = liên tục

và để í xem có trường hợp nào chia hết hay không?! Đến khi A nhận giá trị vượt quá số 90 thì ta dừng lại Nếu từ đầu đến giờ không có trường hợp nào chia hết thì ta kết luận 8191 là

số nguyên tố Còn trong quá trình bấm, nếu thấy có trường hợp chia hết thì ta dừng lại, kết

luận ngay 8191 không là số nguyên tố!

Trong ví dụ này, ta kiểm tra được 8191 là số nguyên tố!

Luyện tập: Kiểm tra xem các số sau có phải là số nguyên tố hay không?

• Trường hợp 1 Khi ta bấm máy có thể tối giản phân số a

• Trường hợp 2 Khi ta bấm máy không thể tối giản phân số a

b được!

Lúc này, ta sử dụng thuật toán Euclid để tìm UCNN:

“Nếu a chia b có dư là r thì UCLN a b( ); =UCLN b r( ); ”

Ví dụ: Tìm UCLN, BCNN của 2871298379 và 1276181

Sử dụng máy tính, ta thấy không thể tối giản phân số 2871298379

1276181 , ta sẽ áp dụng thuật toán Euclid:

Khi ta thấy số dư cuối cùng là 0 thì kết luận UCLN là 1

Lưu ý: ở bài trên, nếu cắm đầu làm đến khi ra số dư là 0 như vậy thì cũng được, nhưng nếu

ở bước (*), ta kiểm tra thì sẽ thấy 5845

523 là phân số tối giản, suy ra

(2871298379 1276181; ) (5845;523) 1

Vì vậy, khi làm dạng này, ở mỗi bước tìm đồng dư, ta nên thử xem phân số b

b 24614205 và 10719433 ĐS: UCLN = 21311, BCNN = 12380945115

DẠNG 10 Tìm số tự nhiên theo điều kiện cho trước

Ví dụ:

Tìm số lớn nhất, nhỏ nhất có dạng 1 2 3 4x y z thỏa điều kiện chia hết cho 7

Ta dự đoán, số lớn nhất thỏa ycbt có dạng 19293 4z với z∈{0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9}

Như vậy là, chỉ việc thử lần lượt các giá trị của z, để xem z bằng bao nhiêu thì thỏa ycbt là xong! Ở ví dụ này, ta được z=5

Tương tự, dự đoán số nhỏ nhất thỏa ycbt có dạng 10203 4z với z∈{0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9}

Cũng bằng phép thử, ta có được z=3

Vậy, số lớn nhất và nhỏ nhất cần tìm là 1929354 và 1020334 (Nếu thử hết các giá trị của

z mà không có giá trị nào thỏa thì sao nhỉ? Các kon hãy tự trả lời xem? ☺)

v v

1

; ; ;

111

1

n

n n

−

++

142

+++

Ví dụ: Tính

12

13

14

15

16

17

189

A= +

+

++++++

Bài tốn quá đơn giản! Ta chỉ việc nhập đúng phân số trên vào máy, máy sẽ ra kết quả Tuy nhiên, bài này thì khơng làm ngay như vậy được vì máy khơng đủ chỗ Vì vậy, ta nhập từ

189

Đây la økết quả

Nhập phần này vào trước

Đến đây, ta nhập biểu thức x vào máy tính, ra được kết quả 336

Ta lập trình các bước như sau:

a A Lúc này, A là u

b B Lúc này B là u

B A A Tức là u u A vậy A đóng vai trò là u

A B B Tức là u u B vậy B đóng vai trò là u

Kết quả thu được: u7=8659

• Mở rộng 1: Đề bài cĩ thể cho dãy ở dạng khĩ hơn, như sau

a A Lúc này, A là u

a A Lúc này, A là u

a A Lúc này, A là u

a A Lúc này, A là u

b B Lúc này B là u

b B Lúc này B là u

b B Lúc này B là u

b B Lúc này B là u

B A A Tức là u u A vậy A đóng vai trò l

B A A Tức là u u A vậy A đóng vai trò l

B A A Tức là u u A vậy A đóng vai trò l

B A A Tức là u u A vậy A đóng vai trò là u à u

A B B Tức là u u B vậy B đóng vai trò l

A B B Tức là u u B vậy B đóng vai trò l

A B B Tức là u u B vậy B đóng vai trò l

A B B Tức là u u B vậy B đóng vai trò là u à u

Kết quả thu được: u6 =1099936

• Mở rộng 2: Đề bài cịn cĩ thể cho ở dạng như sau

a A Lúc này, A là u

a A Lúc này, A là u

a A Lúc này, A là u

a A Lúc này, A là u

b B Lúc này, B là u

b B Lúc này, B là u

b B Lúc này, B là u

b B Lúc này, B là u

c C Lúc này, C là u

c c C C Lúc này, C là u Lúc này, C là u

c C Lúc này, C là u

C B A A Tức là u u u A vậy A đóng vai trò

C B A A Tức là u u u A vậy A đóng vai trò

C B A A Tức là u u u A vậy A đóng vai trò

C B A A Tức là u u u A vậy A đóng vai trò là u là u

A C B B Tức là u u u B vậy B đóng v

A C B B Tức là u u u B vậy B đóng v

A C B B Tức là u u u B vậy B đóng v

A C B B Tức là u u u B vậy B đóng v

B A C C Tức là u u u C vậy C đóng vai trò

B A C C Tức là u u u C vậy C đóng vai trò

B A C C Tức là u u u C vậy C đóng vai trò

B A C C Tức là u u u C vậy C đóng vai trò là u là u

Phần này, các kon cứ luyện tập lại các ví dụ của thầy, các kon có thể tự đặt ra 1 dãy theo các dạng trên rồi tự tìm số hạng theo ý muốn Xem như là tự luyện tập nha! (tự đặt dãy thì cho mấy cái u u1, 2có giá trị bé bé thui, nói chung là mấy số a b c, , , , , , , ,α β γ h k l các kon đặt nhỏ nhỏ thui, ko là khi lập trình xong máy sẽ tràn số đó!)

Cuối cùng, cho dạng bài này, thầy đặt ra cho các kon 1 bài toán mở, các kon hãy thử mày

mò (tương tự như cách lập trình các dạng trên) để lập trình cho dãy như sau:

2 1 1

u hãy thử tính u6 xem? Good luck! ☺

DẠNG 14 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 1 biểu thức biến x

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức bậc hai A ax bx c a= 2+ + ( ≠0)

Nếu a >0, đề bài sẽ hỏi là tìm GTNN

Nếu a<0 thì đề bài sẽ hỏi là tìm GTLN

Và đáp án chung cho cả hai trường hợp là :

GTLN (hay GTNN tùy theo đề bài) của

b x

a

DẠNG 15 Hình học

• Công thức sin, cos, tan, cot trong tam giác vuông (dùng cho 2 góc nhọn trong tam giác vuông)

“Sin đi học, Cứ khóc hoài, Thôi đừng khóc, Có kẹo đây”

Trong tam giác ABC, vuông tại A, khi đó, giả sử ta xét góc nhọn B, như vậy, đối với góc nhọn B thì cạnh AC là cạnh đối, cạnh AB là cạnh kề, còn cạnh BC hiển nhiên là cạnh huyền

Ta có

• Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (H BC∈ ), khi đó ta có các hệ thức sau

• Hệ thức lượng trong tam giác thường

Cho tam giác ABC bất kỳ, ta quy ước gọi tên như sau:

- A, B, C lần lượt là các góc BAC CBA ACB, ,

- a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các góc A, B, C

- h h ha, b, c lần lượt là độ dài các đường cao xuất phát từ A, B, C

- m m ma, b, c lần lượt là độ dài các đường trung tuyến xuất phát từ A, B, C

- , ,l l la b c lần lượt là độ dài các đường phân giác trong, xuất phát từ A, B, C

- R r, lần lượt là độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp tam giác

- S là diện tích tam giác

- p là nửa chu vi tam giác

Khi đó, ta có các công thức sau

222

.cos cos cos

CÁC BÀI TOÁN CASIO CHỌN LỌC ĐIỂN HÌNH Bài 1 Tìm số X nhỏ nhất có 11 chữ số biết chữ số cuối là số 3 Biết X chia cho 1562 dư 137 Giải:

Giải trên máy tính Casio fx-570ES

Bài 3 Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 12 chữ số, biết rằng khi chia M cho các số 1256; 3568

và 4184 đều được số dư là 973

hay M - 973 là bội của bội chung nhỏ nhất của 1256; 3568 và 4184

Quy trình bấm phím tìm ước chung lớn nhất như sau:

Dùng máy thực hiện phép tính (*), ta được: 1, 001964414 10× 11

Tiếp tục thực hiện:Ans 1, 00196441 10− × 11, ta được 389

Vậy các số tự nhiên lớn hơn 12 nhỏ hơn 100 và là nhân tử của 320−220là 13; 25; 55; 65

Bài 5 Tìm các nghiệm nguyên dương thỏa mãn phương trình:

12x 6xy2+ +3y2 =28(x+y)

Giải:

Giải trên máy tính Casio fx-570MS (các máy tính khác tương tự)

Biến đổi phương trình đã cho thành: 12x 2(3y 14)x2+ − +(3y2 −28y)=0

Tính: ∆ =′ (3y 14) 12(3y 28y) 27y 252y 196− 2− 2− =− 2+ +

Dùng điều kiện ∆’ ≥ 0, dùng máy tính ta tính được:

2 Ghi vào màn hình:

A = +A 1: (14 3A − + −27A +252A 196)+ ÷ 12 : (14 3A − − −27A +252A 196)+ ÷ 12

3 Bấm cho đến khi A = 11 thì dừng lại Chú ý sau mỗi lần bấm = dừng lại xem kết quả khai căn có là số tự nhiên không, nếu là số tự nhiên thì nhận x chính là kết quả khai căn, y tương ứng với kết quả khai căn đó là nghiệm của phương trình

KQ: (x,y) nhận được là (1;8)

Vậy nghiệm (x;y) của phương trình là ( 1; 8)

Bài 6 Tìm các cặp số tự nhiên (x,y) biết x , y có 2 chữ số và thỏa mãn phương trình :

3 2

x −y = xy

Giải:

Giải trên máy Casio fx-570ES (Casio fx-570MS tương tự )

Biến đổi phương trình thành:

Vậy nghiệm (x;y) của phương trình là ( 12; 36) và ( 20; 80)

Bài 7 ChoA=300300 Hỏi:

Giải trên máy tính Casio fx-570MS ( các máy tính khác tương tự)

Quy trình bấm phím như sau:

1 Lưu 3 vào máy

Bấm 3

2 Ghi vào màn hình: 3+ Ans

Bấm ( 11 lần ) , ta có giá trị cần tìm là 2,302775608

Vậy A = 2,302775608

Bài 9 Có bao nhiêu số có 10 chữ số chia hết cho 9?

Vậy có 1000000000 số có 10 chữ số chia hết cho 9

Bài 10 Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, lớn nhất có 10 chữ số, biết số đó chia cho 1502 dư 249 chia

Giải trên máy tính Casio fx-570MS( các máy tính khác tương tự)

Quy trình bấm phím như sau:

KQ: 3; 20

Vậy với x = 3 hoặc 20 thì 2x 2 + 2x + 1 là một số chính phương nhỏ hơn 1000

Bài 12 Tìm tất cả các số tự nhiên A có ba chữ số sao cho A tận cùng bằng ba chữ số 4 2

Giải:

Giải trên máy tính Casio fx-570ES ( Casio fx-570MS tương tự)

Quy trình bấm phím:

1 Ghi vào màn hình: A 2

Bấm , để thử từ 0 cho tới 9 ta thấy chỉ có 2 có tận cùng là chữ số 4 2

2 Ghi vào màn hình: (10A+2)2

Bấm , để thử từ 0 cho tới 9 ta thấy chỉ có 2

12 và 62 có tận cùng là chữ số 44 2

3 Ghi vào màn hình: (100A 12)+ 2

Bấm , để thử từ 0 cho tới 9 ta thấy không có số nào tận cùng là chữ số 444

4 Ghi vào màn hình: (100A+62)2

Bấm , để thử từ 0 cho tới 9 ta thấy 462 và 2 962 có số nào tận cùng là chữ số 444 2

Vậy có hai số tự nhiên là 462 và 962 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 13 Tìm số tự nhiên n ( 20349 < n <47238) để 4789655 27n− là lập phương của một số

Bài 14 Tìm hai cặp số (x,y) nguyên dương nghiệm đúng phương trình

x − nguyên, khi đó ta có hai nghiệm thỏa yêu cầu bài toán

Quy trình bấm phím như sau:

1 Lưu 9 vào X

Bấm 9

2 Ghi vào màn hình:

5240677

Vậy phương trình có ít nhất 2 cặp (x=32,y=4603), (x=32,y=5) là nghiệm

Bài 15 Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình x x y4− 2 + =y 810012

( Trích đề thi HSGMT TPHCM, THCS, 2008-2009)

Giải:

Giải trên máy tính Casio fx-570MS ( casio fx-570ES tương tự)

KQ: (x;y) = ( 3;289); (x;y) = (17;9); (x;y) = (17; 280)

Vậy nghiệm (x; y) của phương trình là (3; 289); (17; 9); (17; 280)

Bài 16 Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất có 9 chữ số, biết rằng chia cho 16 dư 15, a chia cho 17 dư

16, a chia cho 18 dư 17 và a chia cho 19 dư 18

Giải:

Giải trên máy tính Casio fx-570MS ( các máy tính khác tương tự)

Gọi số cần tìm là A

Ta có: B = A +1 chia hết cho 16, 17, 18, 19

suy ra A + 1 là bội chung nhỏ của 16, 17, 18, 19

Dùng máy tính ta tìm được bội chung nhỏ nhất của 16, 17, 18, 19 là 46512

suy ra A + 1 có dạng A + 1 = 46512k