skkn rèn luyện năng lực khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự cho học sinh thông qua các bài toán chứng minh bất đẳng thức

Khái quát hóa,đặc biệt hóa, tương tự là phương pháp giúp chúng ta mò mẫm, dự đoán để tìmlời giải của bài toán, mở rộng, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức và góp phần quantrọng trong việc h

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN

TRƯỜNG THPT MỸ HÀO

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“RÈN LUYỆN NĂNG LỰC KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ VÀ TƯƠNG TỰ CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC

BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ”.

Người thực hiện: Đinh Văn Chuẩn

Môn: Toán

Đơ n vị công tác: Trường THPT Mỹ Hào

1 Lý do chọn đề tài

Khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự là những thao tác tư duy có vai tròrất quan trọng trong quá trình dạy học toán ở trường phổ thông Khái quát hóa,đặc biệt hóa, tương tự là phương pháp giúp chúng ta mò mẫm, dự đoán để tìmlời giải của bài toán, mở rộng, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức và góp phần quantrọng trong việc hình thành những phẩm chất trí tuệ cho học sinh

Tuy nhiên, khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự chưa được rèn luyệnđúng mức trong dạy học ở trường phổ thông

Bất đẳng thức là một vấn đề khá cổ điển của toán học sơ cấp đang ngàycàng phát triển, đây cũng là một trong những phần toán sơ cấp đẹp và thú vịnhất vì thế luôn cuốn hút rất nhiều đối tượng bạn đọc quan tâm Điểm đặc biệt

ấn tượng nhất của BĐT đó là có rất nhiều bài toán khó, thậm chí là rất khó làmcho học sinh phải e ngại Nó chỉ thực sự gây hứng thú đối với những học sinhyêu thích toán học, đam mê sự sáng tạo, tìm tòi Mặt khác bất đẳng thức lại cókhả năng to lớn trong việc rèn luyện năng lực khái quát hoá, đặc biệt hoá vàtương tự

Vì những lý do đó, tôi chọn đề tài: “Rèn luyện năng lực khái quát hoá,

đặc biệt hoá và tương tự cho học sinh thông qua các bài toán chứng minh bất đẳng thức ”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu vai trò của khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự trong dạyhọc toán và dạy học chứng minh bất đẳng thức

- Đề xuất một số biện pháp nhằm rèn luyện khái quát hoá, đặc biệt hoá vàtương tự cho học sinh

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong đề tài này chúng tôi chủ yếu sử dụng các phương pháp nghiên cứusau:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu về khái quát hoá,đặc biệt hoá, tương tự, lý luận dạy học, sách giáo khoa, sách tham khảo, sáchgiáo viên, tạp chí giáo dục,…

- Phương pháp điều tra - quan sát: Tìm hiểu khả năng khái quát hoá, đặcbiệt hoá, tương tự của học sinh lớp 10 thông qua các bài toán chứng minh bấtđẳng thức

4 Giả thuyết khoa học

Nếu học sinh được rèn luyện khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự trongdạy học chứng minh bất đẳng thức thì sẽ có khả năng khái quát hoá, đặc biệt hoá

và tương tự trong dạy học môn toán ở trường phổ thông khắc phục được thựctrạng dạy học ở nước ta hiện nay

5 Bố cục đề tài

Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, đề tài gồm 3

chương: Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn.

Chương 2 Vận dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương

tự thông qua các bài toán chứng minh bất đẳng thức

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Một số khái niệm

1.1.1 Khái quát hoá

Theo G Pôlya, “Khái quát hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợpđối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập lớn hơn, bao gồm cả tập hợp banđầu” (1, tr.21 ).

Trong “Phương pháp dạy học môn Toán”, các tác giả Nguyễn Bá Kim, VũDương Thụy đã nêu rõ: “Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sangmột tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số trong các đặcđiểm chung của các phần tử của tập hợp xuất phát” (3,tr.31 ).

Những dạng khái quát hóa thường gặp trong môn toán có thể biểu diễntheo sơ đồ sau:

Như vậy có hai con đường khái quát hóa: con đường thứ nhất trên cơ sở

so sánh những trường hợp riêng lẻ, con đường thứ hai không dựa trên sự so sánh

mà dựa trên sự phân tích chỉ một hiện tượng trong hàng loạt hiện tượng giốngnhau

Khái quát hóa từ

cái riêng lẻ đến cái

Chẳng hạn, chúng ta đặc biệt hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu đa giácsang việc nghiên cứu đa giác đều Từ việc nghiên cứu đa giác đều ta lại đặc biệthóa để nghiên cứu tam giác đều Đó là đặc biệt hóa từ cái riêng đến cái riênghơn

Đặc biệt hóa là quá trình đi từ cái chung đến cái riêng, là quá trình minhhọa hoặc giải thích những khái niệm, định lí bằng những trường hợp riêng lẻ, cụthể

Đặc biệt hóa thường được sử dụng trong việc trình bày các khái niệm,chứng minh các định lí, bài tập…Trong bài toán quỹ tích hoặc tìm điểm cố địnhđặc biệt hóa thường được sử dụng để mò mẫm, dự đoán quỹ tích, dự đoán điểm

cố định trên cơ sở đó để tìm lời giải của bài toán

1.1.3 Tương tự

Theo G Pôlya: “Hai hệ là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong

Kết luận dựa theo sự tương tự có thể mô tả như sau:

A có tính chất a, b, c

B có tính chất a, b

-Thế thì B có thể có tính chất c

Người ta thường xét sự tương tự trong toán học trên các khía cạnh sau:

- Hai phép chứng minh là tương tự nếu đường lối, phương pháp chứngminh là giống nhau

- Hai hình là tương tự nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau hay nếu vaitrò của chúng giống nhau trong vấn đề nào đó, hoặc giữa các phần tửtương ứng của chúng có quan hệ giống nhau

- Hai tính chất là tương tự nếu chúng biểu diễn các yếu tố hoặc các thuộctính của hai hình tương tự

Tương tự là nguồn gốc của nhiều phát minh Bên cạnh đó cũng giống nhưkhái quát hóa, tương tự thuộc về những suy luận có lý, do đó cần lưu ý với họcsinh những kết luận rút ra từ tương tự có thể dẫn đến những kết luận sai Chẳng

Đặc biệt hóa tới cái

riêng lẻ đã biết

Đặc biệt hóa tới cái riêng lẻ chưa biết

tương tự, mọi tứ diện có các đường cao đồng quy tại trực tâm là sai, vì điều đóchỉ đúng với tứ diện có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau mà thôi (gọi

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = a = a = = a1 2 3 n.

a) Cho n  *, a -1, a   ta có: 1+an 1+na.

b) Cho a -1 , r, r 1 ta có: 1+ar 1+ra

12 Phương pháp đổi biến số

1.3 Vai trò của khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự trong toán học

Trong toán học, khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự trở thành mộtphương pháp suy nghĩ sáng tạo và là nguồn gốc của nhiều phát minh trong toán

lý Phec-ma do nhà toán học Phec-ma đề ra từ thế kỉ 17 Lời giải chỉ có sau hơn

300 năm, đã tốn không biết bao nhiêu thời gian và trí tuệ của hàng trăm nhà toánhọc lớn khắp thế giới

1.4 Vai trò của khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức

Đối với nhà trường phổ thông khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự đãthâm nhập vào mọi khâu của quá trình dạy học Trong dạy học chứng minhBĐT, khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự là con đường giúp chúng ta hìnhthành các tri thức lí thuyết, là phương pháp suy nghĩ giúp chúng ta mò mẫm, dựđoán để tìm lời giải của bài toán, mở rộng đào sâu và hệ thống hóa kiến thức

1.4.1 Khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự là con đường giúp chúng ta hình thành các tri thức lí thuyết

Khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự là con đường giúp chúng ta hìnhthành các tri thức lí thuyết như các định lí, tính chất, hệ thức,…

1.4.2 Khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự là phương pháp suy nghĩ giúp chúng ta mò mẫm, dự đoán để tìm lời giải của bài toán chứng minh bất đẳng thức

Bài toán chứng minh BĐT là những bài toán không có thuật toán để giải,với những bài toán đó ta có thể đặc biệt hóa để giải bài toán trong những trườnghợp riêng hoặc thử xét những bài toán tương tự nhưng đơn giản hơn bài toán banđầu và lời giải cũng dễ dàng hơn Ta thử xét xem bài toán tương tự đó có giúpích ta trong việc chứng minh bài toán ban đầu hay không? Về phương pháp giải

có tương tự nhau không? Hay ta có thể áp dụng kết quả bài toán tương tự đó đểgiải bài toán ban đầu không?

1.4.3 Khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự là phương pháp suy nghĩ giúp chúng ta mở rộng, đào sâu và hệ thống hóa kiến thức

Từ những kiến thức bài toán đã cho chúng ta có thể vận dụng khái quáthóa, đặc biệt hóa, tương tự để hình thành những tri thức mới, đề xuất và giảinhững bài toán mới Trên cơ sở đó chúng ta sẽ đào sâu và hiểu rõ các khái niệm,định lí, góp phần mở rộng vốn kiến thức của mình Từ đó sẽ tạo cho chúng tahiểu rõ hơn bản chất và các quy luật của các sự kiện toán học, xác lập mối liên

hệ và thống nhất giữa các tri thức mà chúng ta tiếp nhận được

ABC ABC ABC BHC AHC AHB

BHC AHC AHB ABC ABC ABC

ABC ABC ABC

Các đường cao, trung tuyến, phân giác của một tam giác có tính chất đồngqui tại một điểm Từ đó ta có thể đề xuất một bài toán tổng quát hơn:

Cho tam giác ABC, O là một điểm tùy ý trong tam giác Kéo dài

AO, BO, CO cắt các cạnh đối diện tại A , B , C Khi đó ta có:' ' '

’

ABC '

OBC

SAO+OA

=

ABC '

OBC

SOA

AOB

SOC

OBC AOC AOB ABC ABC ABC

do SOBC+SOAC+SOAB = SABC

ABC ABC ABC

OBC AOC AOB

Cho tứ diệnABCD, O là một điểm trong tứ diện Các đường thẳng

AO, BO, CO, DO cắt các mặt đối diện với các đỉnh A, B, C, D lần lượt tại

Tính độc lập và tính sáng tạo là hai trong số những phẩm chất trí tuệ quantrọng

- Tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả năng tự phát hiện và giải quyết vấn

đề, tự mình kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được

- Tính sáng tạo của tư duy thể hiện ở khả năng phát hiện vấn đề mới, tìm rahướng đi mới, tạo ra kết quả mới

Muốn phát triển tính độc lập, sáng tạo của học sinh cần cho họ thường xuyêntập dượt các suy luận có lý thông qua quan sát, so sánh, khái quát hóa, đặc biệthóa, tương tự,…

Giải một bài toán với nhiều cách giải khác nhau từ đó tìm được cách giải haycũng đã góp phần phát triển tính độc lập, sáng tạo Đề xuất và giải quyết các bàitoán mới từ những bài toán đã biết không những là sáng tạo mà còn tăng thêmniềm vui trong quá trình giải toán của học sinh

Ví dụ 2

Cộng vế với vế các BĐT trên ta được ĐPCM.

Chúng ta có thể đề xuất bài toán mới như thế nào?

trong số hạng a3 số mũ của a là 3, trong số hạng a b2 thì số mũ của a là 2, số

Đặc biệt hóa các giá trị của m, n ta lại có những BĐT mới

Chẳng hạn m = n = 2 ta thu được BĐT quen thuộc a +b4 4 2a b 2 2 (6)

n = 5, m = 2 ta thu được BĐT a +b5 5 a b +b a 3 2 3 2 (7)

* Tiếp tục quan sát số biến của các BĐT, các bài toán trên chỉ áp dụng cho 2biến ta hoàn toàn có thể mở rộng cho 3 biến, 4 biến, …và khái quát hóa lên nbiến Ta có thể xây dựng những BĐT tương tự sau:

Khái quát hóa bài toán trên trong trường hợp n biến

Cho n số dương a , a , a , a1 2 3 n, m, k, m k Chứng minh rằng:

m m m k m-k k m-k m m-k

BĐT này chứng minh tương tự như ở cách giải 2

Bằng những cách làm đó ta có thể hướng học sinh độc lập suy nghĩ đểkhông ngừng rèn luyện trí thông minh và sự sáng tạo

Ta có thể sáng tạo được BĐT (2), (3), (4), (6), (7) nhờ sự tương tự vớiBĐT (1) Đối chiếu sự tương ứng giữa các BĐT tìm ra dấu hiệu bản chất củachúng để xây dựng được bài toán tổng quát Từ đó bằng khái quát hóa để đượcBĐT (4), (5) và (10), ta thấy mức độ khái quát hóa ở đây cũng tăng dần

Tính sáng tạo sẽ phát triển cao hơn nếu ta biết đề xuất và giải quyết các bàitoán mới từ những bài toán đã biết

Ví dụ 3

hướng trong không gian Ơclit ba chiều ta có các BĐT sau:

     

a +3bc b+c +2abc b +3ac a+c +2abc c +3ab a+b +2abc  (6)

Như vậy xuất phát từ một bài toán chúng ta có thể hướng dẫn học sinhdùng đặc biệt hóa để tìm những hình thức khác nhau của một bài toán Kĩ thuậtđặc biệt hóa các biến càng cao thì bài toán đó lại càng phức tạp Việc giải mộtbài toán hay là điều thú vị nhưng chắc chắn nếu có thể tự mình sáng tạo nhữngbài toán mới thì niềm vui còn tăng lên rất nhiều Khái quát hóa, đặc biệt hóa vàtương tự có ý nghĩa trong vai trò giúp học sinh sáng tác các bài toán mới, tạo racác kết quả mới

1.5 Kết luận chương 1

Tóm lại, khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự có quan hệ mật thiết vớinhau trở thành một phương pháp suy nghĩ sáng tạo và là nguồn gốc của nhiềuphát minh trong toán học sơ cấp cũng như toán học cao cấp

Ở nhà trường phổ thông, trong dạy học chứng minh BĐT, khái quát hóa,đặc biệt hóa và tương tự là phương pháp suy nghĩ giúp chúng ta mò mẫm, dựđoán để tìm ra lời giải của bài toán; mở rộng đào sâu, hệ thống hóa kiến thức.Với ý nghĩa là các phương pháp suy nghĩ sáng tạo, khái quát hóa, đặc biệt hóa

và tương tự đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành những phẩm chất trítuệ cho học sinh giúp họ làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học, gópphần đào tạo và bồi dưỡng năng khiếu toán học nói chung và lĩnh vực giải cácbài toán BĐT nói riêng

CHƯƠNG 2 VẬN DỤNG KHÁI QUÁT HÓA, ĐẶC BIỆT HÓA VÀ TƯƠNG TỰ THỒNG QUA CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 2.1 Vị trí và vai trò của bài tập chứng minh bất đẳng thức

Giáo sư Hoàng Tụy có viết trên tạp chí Toán học và tuổi trẻ “ Các nhà toánhọc thường làm việc với bất đẳng thức nhiều hơn đẳng thức” Đối với chươngtrình toán ở trường phổ thông, BĐT là một trong những phần quan trọng Ngay

từ lớp 1, học sinh được làm quen với BĐT thông qua các bài toán như: So sánh

vấn đề về BĐT nhưng ở mức độ cao hơn Sang bậc THPT, việc dạy học BĐT đãđược đưa vào chương III - đại số 10 BĐT có trong tất cả các chủ đề của toán sơcấp thông qua các dạng toán như: toán cực trị, khảo sát hàm số, giải phươngtrình, giải bất phương trình… Có những bài toán, việc sử dụng BĐT đóng vaitrò quyết định lời giải nhưng cũng có những bài toán ta chỉ sử dụng BĐT nhưmột khâu trung gian

2.2 Dạy học phương pháp tìm lời giải bài toán

Trong môn toán ở trường phổ thông có rất nhiều bài toán chưa có hoặckhông có thuật giải Đặc biệt với những bài chứng minh BĐT là những bài toán

mà không có một thuật toán nào để giải đòi hỏi các em phải luôn tư duy, độngnão Vì vậy, khi dạy những bài chứng minh BĐT giáo viên hãy cố gắng hướngdẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tìm tòi lời giải Biết đề ra cho học sinh, đúnglúc, đúng chỗ những câu hỏi gợi ý sâu sắc, phù hợp với trình độ của từng đốitượng

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của G.Pôlya về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học,

có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán như sau:

tương tự thường được sử dụng trong hai bước: Tìm cách giải và nghiên cứu sâulời giải

2.3 Vận dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự để tìm lời giải của bài toán chứng minh bất đẳng thức

Các bài tập toán học ở nhà trường phổ thông có thể chia làm hai loại: loại

có thuật toán để giải và loại chưa có thuật toán để giải Bài tập chứng minh BĐTthuộc về dạng bài tập chưa có thuật toán để giải Để tìm cách giải dạng toán này

ta có thể hướng dẫn học sinh tìm tòi, phát hiện nhờ những suy nghĩ có tính chấttìm đoán: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm, liên hệ bài toán cần giải vớimột bài toán tương tự nhưng đơn giản hơn, mò mẫm dự đoán thử xét một vàitrường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó liên quan

Ví dụ 4

Giáo viên: Như vậy BĐT trên được chứng minh nhờ thao tác đặc biệt hóa.

Cách 2: Sử dụng tương tự và đặc biệt hóa.

Chúng ta có thể biểu diễn (1) dưới dạng:



Giáo viên: Hãy chứng minh (3)

Học sinh: (3)  a -a1 22 0 luôn đúng Đẳng thức xảy ra khi a = a1 2.

Vấn đề là sự tương tự giữa (2) và (3) có giúp gì cho việc chứng minh haykhông?

Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm mối liên hệ giữa (2) và (3)

Giáo viên: Như vậy (3) không những là một trường hợp tương tự của (2) mà còn

Đẳng thức xảy ra khi a = a = a1 2 3.

Sau khi tìm được lời giải, học sinh cần kiểm tra lời giải Kiểm tra lại lờigiải bài toán tức là xem xét lời giải có sai lầm hay thiếu sót gì không? Sai lầmkhi chứng minh BĐT thường bắt nguồn từ việc vận dụng các BĐT cổ điển màkhông để ý đến điều kiện để BĐT đúng hoặc sử dụng sai sót các quy tắc suyluận khi từ BĐT này suy ra BĐT kia

Học sinh giải như sau:

Kiểm tra lại lời giải cũng có thể bằng cách đặc biệt hóa kết quả tìm được

để xem xét tính đúng sai của kết quả bài toán thường là những bài toán tổng quát

từ một bài toán cho trước nào đó Chẳng hạn, ở ví dụ 11 của luận văn, sau khi

Hai BĐT thu được sau khi đặc biệt hóa giá trị n là hai BĐT ban đầu mà

ta đã chứng minh được tính đúng đắn của nó Nhờ đó mà ta dự đoán BĐT tổngquát mà ta tìm được là đúng và tìm cách chứng minh dự đoán đó

2.4 Vận dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự vào nghiên cứu lời giải của bài toán chứng minh bất đẳng thức

Sau bước tìm cách giải, học sinh thường bỏ qua bước nghiên cứu sâu lờigiải Giáo viên cần giúp học sinh làm quen và tập luyện một cách có ý thức bướcnghiên cứu lời giải trên hai khía cạnh: nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quảcủa lời giải và nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngượcvấn đề

ta thử tăng thêm số lượng biến trong bài toán sao cho các biến vẫn ràng buộc vớinhau bởi điều kiện có tổng bằng 1

Cho n số dương tùy ý a , a , a , a1 2 3 n thỏa mãn n i

Vẫn là cách nhìn dưới góc độ trên, nếu như tổng của các biến không phải

là 1 mà là một số bất kì, tức là

n i i=1

Ta có thể xây dựng được BĐT trên bằng cách thay số 2 ở trong BĐT bởi

Cho n số dương tùy ý a , a , a , a1 2 3 n thỏa mãn

n i i=1

Ngoài ra ta còn có thể mở rộng bài toán bằng cách tăng số mũ của biến

Cho n số dương tùy ý a , a , a , a1 2 3 n thỏa mãn

n m i i=1

Thông qua bài toán này ta thấy việc nhìn bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau

sẽ giúp ta khai thác và mở rộng bài toán theo nhiều hướng khác nhau

Ngoài việc nghiên cứu đào sâu các lời giải của một bài toán cụ thể, giáoviên còn có thể giúp học sinh vận dụng cách giải của bài toán ban đầu cho mộtlớp các bài tập khác Đây có thể xem như sự khái quát hóa về phương pháp.

1-a n-a

Qua các bài toán đó, giáo viên cần cho học sinh phát hiện mấu chốt của

Nhận xét hai cách giải này ta thấy:

Với cách giải 1

Giáo viên có thể yêu cầu học sinh giải tiếp các bài toán sau:

Bài toán 1

Cho a+b = 2 Chứng minh rằng: a +b4 4 a +b3 3

Bài toán 2 (Học viện Công nghệ bưu chính viễn thông 1998-1999)

Cho a, b, c 0 và a+b+c = 3 Chứng minh rằng: a +b +c4 4 4 a +b +c3 3 3

Bài toán 3 (Đại học Ngoại thương TP Hồ Chí Minh 1995-1996)

Cho x 0, y 0  và x +y3 3 2 Chứng minh rằng: x +y2 2 2

Bài toán 4 (Đại học Y Dược TP Hồ Chí Minh 1992-1993)

Cho a+b 2 Chứng minh rằng: a +bn+1 n+1 a +bn n

Sau khi học sinh giải hệ thống bài toán trên, giáo viên yêu cầu học sinhtìm phương pháp chung để giải bài tập đó Nguyên tắc để thực hiện đó là tìmcách biến đổi sao cho hai vế của BĐT cần chứng minh có cùng bậc Đây là mộtphương pháp chứng minh BĐT có điều kiện được gọi là phương pháp “cânbằng bậc”

Với cách giải 2

Học sinh có thể đặt câu hỏi số 1 trong BĐT Cauchy đến từ đâu? Tại sao talại nghĩ áp dụng BĐT Cauchy có sự tham gia của số 1

Câu trả lời là do tính bình đẳng của a, b, c nên ta dự đoán dấu đẳng thức

này được gọi là phương pháp sử dụng điểm rơi để chứng minh BĐT

điểm rơi”

Từ đó giáo viên có thể yêu cầu học sinh giải tiếp những bài tập sau:

Cho a, b, c 0 và a+b+c = 3 Chứng minh rằng:

Đến bài toán 2 và bài toán 3 học sinh có thể gặp lúng túng vì bài tập vẫn

tương tự như dạng trên nhưng không có điều kiện ràng buộc giữa các biến

khi a = = = 1b c

cân bằng bậc nhất cho một biến với điểm rơi là 1

BĐT được so sánh với một biểu thức có chứa xy+yz+zx Bởi vậy có lời giải cânbằng bậc hai cho một biến với điểm rơi như sau:

Qua đó giáo viên có thể yêu cầu học sinh chứng minh bài toán tổng quátcủa BĐT (*)

2.5 Hệ thống hóa mẫu nhóm bài toán chứng minh bất đẳng thức cùng dạng theo phương pháp khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự

BT tương tự bài toán xuất phát

Nếu a+b+c = 1 a+b+c = 12 và a, b, c 0 thì BĐT trên trở thành

Khai thác lời giải 3

Ta có thể mở rộng bài toán (1) như sau:

Từ (1.2*) và (1.3*) ta có bài toán tổng quát sau:

Xây dựng một số bài toán mới bằng thao tác đặc biệt hóa.

1 2

1 2 3 1 2 3

α +α +αα

Với x = x = x = 11 2 3 ta có BĐT quen thuộc 3 α +α +α 12 22 32 α +α +α1 2 32

Với α = a+b; α = b+c; α = c+a; x = c; x = a; x = b1 2 3 1 2 3 thì

1 2

1 2 3 1 2 3

α +α +αα