skkn vai trò của đường cao trong việc giải toán hình học không gian

Dạng toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cáchgiữa hai đường thẳng chéo nhau, tính góc, tính thể tích khối đa diện trong nhữngnăm gần đây xuất hiện nhiều trong các

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG 2

- -SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI: VAI TRÒ CỦA ĐƯỜNG CAO TRONG VIỆC

GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

I.Lý do chọn đề tài:

Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh rất ngại học môn hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó rất trừu tượng, thiếu đường lối, thiếu phương pháp giải quyết Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, về phần giáo viên cũng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức Qua một thời gian giảng dạy môn học này tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên

Dạng toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cáchgiữa hai đường thẳng chéo nhau, tính góc, tính thể tích khối đa diện trong nhữngnăm gần đây xuất hiện nhiều trong các đề thi đại học, cao đẳng Đây là một dạngkhó đối với học sinh mặc dù bài toán về hình học không gian không thuộc vàocâu khó trong đề thi

Việc tính khoảng cách, tính góc, tính thể tích khối đa diện có nhiềuphương pháp giải, một phương pháp điển hình là là sử dụng công thức tính.Trong phương pháp này, điểm khó nhất lại nằm ở yếu tố đường cao Khi đườngcao của một hình chóp, lăng trụ được xác định ta dễ dàng thấy được các yếu tốnhư: góc giữa cạnh bên và mặt đáy, giữa mặt bên và đáy , từ đó có thể sử dụngtriệt để giả thiết bài toán , giúp định hướng giải quyết bài toán tốt hơn

Chân đường cao của hình chóp cũng đóng vai trò rất quan trọng, biết đượcđiểm này, cùng với những kiến thức về tỉ lệ khoảng cách, cho phép ta có thể lựachọn vị trí thuận lợi để vẽ hình cũng như để tính gián tiếp các yêu cầu của bàitoán

Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh còn chưa quenvới tính tư duy trừu tượng của nó, nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ranhững phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo

gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mongmuốn nâng dần chất lượng giảng dạy học nói chung và môn hình học khônggian nói riêng

II.Thực trạng của vấn đề

Khi làm bài tập toán nói chung,bài tập Hình học không gian nói riêng, họcsinh thường tự tìm tòi,vận dụng các kết quả ở phần lý thuyết để giải quyết,ưuđiểm là phát huy được tính chủ động, sáng tạo, rèn luyện tư duy.Tuy nhiên,nhiều học sinh nhận định chưa tốt dẫn đến việc mất phương hướng, mất nhiềuthời gian, sử dụng giả thiết không triệt để và lời giải thì dài dòng,phức tạp

III.Giới hạn và phạm vi nghiên cứu của đề tài

Các kiến thức về hình học không gian của trong chương III, hình học lớp 11-

Nâng cao và chương I, hình học 12- Nâng cao

B.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I.Các kiến thức được đề cập trong bài viết này:

1 Cách xác định khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng:

Trong không gian cho mp(P) và một điểm M không nằm trên mp(P), để xác định khoảng cách từ điểm M đến mp(P) ta làm như sau:

Bước 1: Dựng mp(Q) đi qua M và vuông góc với mp(P)

Bước 2: Xác định giao tuyến d của mp(P) và mp(Q)

Bước 3: Kẻ MH vuông góc với d tại H ⇒ MH ⊥ mp(P) ⇒ d(M;(P)) = MH

2 Cách xác định khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau.

Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau

TH1: a và b vuông góc với nhau

Chọn điểm M nằm trên a, kẻ MH ⊥ b ⇒ mp(a,H) ⊥ b

Kẻ HK ⊥ a ⇒ d(a,b) = HK

TH2: a và b bất kỳ

+ Dựng mp(α) chứa b và song song với a, d(a,b) = d(a,(α)) = d(M,(α)), trong đó

M là 1 điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng a

3 Tỉ lệ khoảng cách:

Cho mp(P) và 2 điểm A, H không nằm trên (P) Gọi I = AH ∩ (P) khi đó ta có: =

4 Cách xác định hình chiếu của đỉnh lên mặt phẳng đáy của hình chóp:

+ Nếu tồn tại một mặt phẳng đi qua đỉnh vuông góc với mặt đáy thì hình chiếucủa đỉnh lên mặt phẳng đáy trùng với hình chiếu của đỉnh lên giao tuyến của mặtphẳng đó và đáy

+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên tạo với mặt đáy một góc bằng nhau thì hình chiếu của đỉnh lên mặt phẳng đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

+ Hình chóp có các mặt bên tạo với mặt đáy một góc bằng nhau thì hình chiếu của đỉnh lên mặt phẳng đáy trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy

(trường hợp hình chiếu của đỉnh xuống mặt đáy nằm trong đa giác đáy)

- Giao tuyến của 2 mặt phẳng phân biệt cùng chứa đỉnh và vuông gócvới đáy

- Đường thẳng qua đỉnh nằm trong mặt phẳng (α) vuông góc với đáy,

đồng thời vuông góc với giao tuyến của (α) và đáy.

- Cho hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy thì đoạn nối đỉnh vàhình chiếu của nó là đường cao

b Ví dụ minh họa.

Ví dụ 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D;

AB AD 2a = = , CD = a; góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 Gọi

I là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc

với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Giải:

Từ (SIB) (ABCD) ⊥ và (SIC) (ABCD) ⊥ ta có

SI (ABCD) ⊥ nên SI là đường cao Kẻ IK ⊥ BC

(K BC) ∈ đồng thời BC ⊥ SI (vì SI ⊥ (ABCD))

bên góc giữa (SBC) và (ABCD) là SKI· = 60 0

2 ABCD

(AB CD).AD (2a a).2a

Nhận xét:Nhận thấy SI là giao tuyến của 2 mặt phẳng phân biệt (SIK) và

(SIC) cùng vuông góc với đáy do vậy SI là đường cao Từ đó để thuận lợi cho

giải toán cần vẽ hình sao cho SI thẳng đứng.

Ví dụ 2:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB 3a, BC 2a = =

Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm

của tam giác BCD, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600.Tính thể

tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a

ID

Gọi I là trung điểm của AD ta có CI = AD

⇒∆ACD vuông tại C hay AC ⊥ CD ⇒ (SAC)

- Ví dụ 4: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh

bằng a, SA=a Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB)

Giải:

S.ABCD là hình chóp đều nên

Ta có: = = 2 ⇒ d(C;(SAB)) = 2a

- Nếu đề yêu cầu tính khoảng cách từ trung điểm K của SC đến (SAB) ta có thể tính gián tiếp như sau: Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB) rồi sử dụng tỉ

lệ khoảng cách :OK∥(SAB) ⇒ d(K;(SAB)) = d(O;(SAB)) = a

Vậy, để tính khoảng cách từ 1 điểm bất kì đến mặt bên của khối chóp như sau: Tính khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh lên mặt đáy đến mặt bên đó rồi sử dụng tỉ lệ khoảng cách để suy ra khoảng cách cần tính.

Ví dụ 5 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=3a,

BC=4a; mp(SBC) vuông góc với mp(ABC) Biết SB=2a, ·SBC=30 Tính 0

khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) theo a

Giải:

AC a= , hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng

tâm G của tam giác ABC và góc giữa AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) bằng 600

Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng

B

C A'

G K H

Nhận xét: Qua bài tập ta có thể rút ra cách tính khoảng cách từ điểm I nào đó

đến mp(α) chứa đường cao của khối chóp như sau:

+ Xác định giao tuyến d của mp(α) và mặt đáy

+ Chọn 1 điểm M nằm trên mặt đáy thuận lợi nhất, rồi tính khoảng cách từ điểm

M đến mp(α), bằng cách kẻ MH ⊥ d tại M ⇒ MH ⊥ (α) ⇒ d(M;(α)) = MH+Sử dụng tỉ lệ khoảng cách

Ví dụ 7.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh A,

AB=a Gọi I là trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc H của S lên (ABC) thỏa mãn IA = -2 , góc giữa SC và mp(ABC) bằng 60 Tính khoảng cách từ trung điểm E của SB đến mp(SAH)

Ví dụ 9 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,

AB=BC=2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy Gọi

M là trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song BC cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a

Giải:

Vì (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC) ⇒ SA ⊥ (ABC)

AB ⊥ BC ⇒ SB ⊥ BC ⇒ ·SBA là góc giữa mp(SBC) và (ABC)

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc

của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB

Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600 Tính thể tích của khối

chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a

Dựng D sao cho ABCD là hình thoi, AD//BC

Vẽ HK vuông góc với AD Và trong tam giác

vuông

SHK, ta kẻ HI là chiều cao của SHK

Vậy khoảng cách d(BC,SA) chính là khoảng cách 3HI/2 cần tìm

Ví dụ 11 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông,

AB=BC=a, cạnh bên A’A=a Gọi M là trung điểm của BC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C và AM theo a

Kẻ AC’ cắt (A’BD) tại H và cắt (MBP) tại K; lấy

I là trung điểm A’C khi đú H là trọng tõm ∆ AOA ' Nờn

=

Thể tớch khối chúp O.MNP là

2 3 MNP

Nhận xột: Việc xỏc định và tớnh độ đường cao từ O xuống (MNP) khỏ phức tạp.

Mặt khỏc do (A’BD) // (MNP) nờn nghĩ đến hướng xột khoảng cỏch từ một điểm khỏc trờn (A’BD đến (MNP) Trong quỏ trỡnh phõn tớch ta chọn được điểm H.

Vớ dụ 13.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O,cạnh a,góc BADã =60o,

J

SA SB SD= = ,SC =2a.Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ O

đến mặt phẳng (SCD) theo a

Giải:

Gọi H là trọng tâm tam giác ABD Vì tam giác ABD đều nên HA HB HD= = ,

mà SA SB SD= = ⇒SH là trục của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABD

Bài tập 1 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thang vuụng tại A và

D, AB=AD=a, CD=2a, SA=a, hai mp (SCD) và (SAD) cựng vuụng gúc với

mặt đáy Gọi G là trọng tâm ∆BCD Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảngcách từ điểm G đến mp(SBC) theo a.

Bài tập 2.Cho hình chóp S.ABCcos đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, cạnh

huyền bằng 3a Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, SG vuông góc

mp(ABC), SB= Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) theo a

Bài tập 3.Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB=2a, BC=a, ·ABC =30 và thể

tích lăng trụ bằng a Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(A’BC) theo a

Bài tập 4.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB

đều và nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB bằng a

Bài tập 5.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B

với AB=BC=a

AD=2a, các mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy Biết góc tạo bởi (SAB) và (ABCD) bằng 60 Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD theo a

Bài tập 6.Cho hình chóp S.ABCD có SA=a và SA vuông góc với mặt đáy Biết

ABCD là thang vuông tại A và B, AB=a, BC=2a và SC vuông góc với BD Tínhthể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM theo a với M là trung điểm của BC

Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC cân tại B, ·ABC = 120 ; 0 AB = Bc

= a Mặt bên SAB vuông góc với đáy và SA = SB; SC a 2 = Tính thể tíchkhối chóp trên

Bài tập 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Gọi M, N là

trung điểm của SB, SC Tính thể tích khối chóp biết rằng (AMN) (⊥ SBC )

Bài tập 9: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Đáy ABC cân tại A, ·BAC = 120 ; 0

lấy M là trung điểm của B’C’ ta có ·AA 'M = 120 0 Biết BC AA ' 2a 3; = = tínhthể tích khối lăng trụ trên theo a

Bài tập 10: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại B và

B’; hình chiếu của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm của cạnh BC, cạnh bên tạo với đáy góc 300, biết rằng AC AB 3 a 3 = = Tính thể tích khối chóp C’ABCtheo a

C- KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ ĐỀ XUẤT KIẾN NGHỊ

1-Kết quả đạt được

Với cách định hướng xác định các yếu tố quan trọng của bài toán hình họckhông gian, chủ yếu là đường cao và chân đường cao của hình đó, tôi đã tiếnhành dạy ở lớp 11A6 năm học trước và l2A6 năm nay Qua khảo sát thực tế họctập, tôi thấy các em rất tự tin, không còn tâm lí e ngại khi gặp các bài toán vềhình học không gian như các em học sinh khóa trước, tinh thần, thái độ học tậpcủa các em tốt hơn.

2- Kết luận

Trong việc tính khoảng cách, tính góc, tính thể tích khối đa diện thì đườngcao, chân đường cao là các yếu tố rất quan trọng.Chú trọng vấn đề này, ta có thểgiúp học sinh phân tích, vẽ hình, sử dụng triệt để giả thiết bài toán, giúp địnhhướng giải quyết bài toán tốt hơn.Tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ranhững phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo

gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mongmuốn nâng dần chất lượng giảng dạy học nói chung và môn hình học khônggian nói riêng

Như vậy, với SKKN này dù ít hay nhiều cũng giúp ích cho cho công việcgiảng dạy của tôi, góp một phần nhỏ giúp học sinh hiểu kĩ hơn và vận dụng tốthơn vào giải toán, nâng cao chất lượng học môn toán hơn trước Đối với bảnthân tôi, là một giáo viên đứng lớp viết SKKN này cũng giúp ích rất nhiều trongviệc tự học và trau dồi chuyên môn, nghiệp vụ của mình

Từ quá trình áp dụng SKKN tôi thấy bài học kinh nghiệm được rút ra là khigiảng dạy giáo viên phải giúp học sinh tiếp thu kiến thức một cách nhẹ nhàng và

tự nhiên, không nên gò ép, áp đặt, phải đưa ra được phương pháp giải đối vớitừng loại toán có như vậy học sinh mới hứng thú học tập và yêu thích môn toán Trong quá trình thực hiện SKKN, tôi đã nhận được những góp ý quý báu củacác đồng nghiệp trong tổ toán trường THPT Nông Cống 2, rất mong nhận thêmnhững đóng góp quý báu khác từ các đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn

3-Đề xuất ,kiến nghị

1 Đối với tổ chuyên môn cho phép tôi được áp dụng SKKN với một sốlớp tôi không được phân công giảng dạy bằng cách cho học sinh đi học phụ đạobuổi chiều.

2 Tổ chuyên môn thường xuyên đóng góp ý kiến cho SKKN của tôi trongquá trình tôi thực hiện SKKN này

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Nông Cống ,ngày 04 tháng 04 năm 2013 Người thực hiện

Lê Đình Thịnh

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập- Tự do- Hạnh phúc

BẢN CAM KẾT

I THÔNG TIN TÁC GIẢ

Họ và tên: Lê Đình Thịnh

Ngày, tháng, năm sinh: 22/08/1981

Đơn vị: Trường THPT Nông Cống 2

Địên thoại: 0988625156

II TÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Tên SKKN:Vai trò của đường cao trong việc giải toán hình học không gian

III NỘI DUNG CAM KẾT

Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã áp dụng thành công tronggiảng dạy tại trường THPT Nông Cống 2.Trong trường hợp có xảy ra tranh chấp

về quyền sở hữu đối với một phần hay toàn bộ sản phẩm sáng kiến kinh nghiệmnày mà tôi là người vi phạm, tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trước lãnh đạo đơn

vị, lãnh đạo sở GD&ĐT Sáng kiến kinh nghiệm này tôi cũng đã phổ biến chođồng nghiệp nên nếu có bạn đọc học tập, nghiên cứu, sử dụng, áp dụng sángkiến này tôi cũng không khiếu nại hay đòi hỏi quyền sở hữu

Người viết

Lê Đình Thịnh

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[ ]1 Giải toán hình học 11:Trần Thành Minh, (2006), NXBGD.

[ ]2 Phương pháp giải toán hình không gian 11:Nguyễn Văn Dự, Trần Quang

Nghĩa, Nguyễn Anh Trường, (2002), NXB Đà Nẵng

[ ]3 Phân loại và phương pháp giải toán hình không gian lớp 11:Trần Văn

Thương, Phạm Đình, Lê Văn Đỗ, Cao Văn Đức , (2001), NXB ĐHQGTPHCM

[4] Các bài giảng luyện thi môn toán : Phan Đức Chính, (1999) NXBGD.

[5] Hình học 11 nâng cao, NxbGD-2010.

[6] Bài tập Hình học 11 nâng cao, NxbGD-2010.

[7].WWW.Violet.vn, Các đề thi, kiểm tra thử của các trường THPT

[8].Bộ đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng từ năm 2002 đến năm 2012 Bộ

GD&ĐT

Mục lục