TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ (Số tiết 4: Hình Học Nâng Cao ) pot

+ Học sinh nắm được tích của vectơ với một số.. +Học sinh hiểu được các tính chất, biết các tính chất của phép nhân vectơ với một số.. + Biết được điều kiện để hai vectơ cùng phương, để

TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ

(Số tiết 4: Hình Học Nâng Cao )

I/ Mục tiêu:

- Kiến thức

+ Học sinh nắm được tích của vectơ với một số

+Học sinh hiểu được các tính chất, biết các tính chất của phép nhân vectơ

với một số

+ Biết được điều kiện để hai vectơ cùng phương, để ba điểm thẳng hàng

+ Biết định lí biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

- Kỹ năng

+Xác định được toạ độ của điểm, của vectơ và của điểm trên trục toạ độ

+ Tính được độ dài đại số của một vectơ khi biết toạ độ hai điểm đầu mút

của nó

- Tư duy: Ứng dụng vectơ vào các bài toán cụ thể

- Thái độ: Rèn luyện tính cẩn thận và cách phân tích bài toán để chọn phương án

thích hợp

II/ Chuẩn bị phương tiện dạy học

- Thực tiễn: Học sinh đã học tổng 2 vectơ

- Phương tiện: Đèn chiếu, bảng phụ, phiếu học tập

III/ Phương pháp dạy học:

- Dùng các phương pháp mở vấn đáp kết hợp phương pháp chia nhóm

IV/ Tiến trình bài học và các hoạt động

1/ Bài củ

2/ Bài mới

Hoạt động 1: Học sinh làm quen với khái niệm phép nhân vectơ với 1 số

- Học sinh nhận bài

tập

Làm theo nhóm trên

giấy A4

Gv giới thiệu bài mới

GV dựa vào h.20 (sgk)

- Có nhận xét gì về hướng và

độ dài của 2 vectơ a và b, c và

d, để đi đến trường hợp tổng quát định nghĩa

- Gv nêu câu hỏi

Vẽ hình bình hành ABCD

a) Xác định điểm E sao cho

Bài 4: TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ 1/ Định nghĩa tích của một vectơ với một số

- Định nghĩa: (Sgk)

- Học sinh chỉ ra được

BC = 2MN

BC = -2 NM

-Đại diện nhóm trình

bày

AE= 2 BC b) Xác định F sao cho F

A =

-2

1

CA

Gv chia lớp thành 4 nhóm

- Nhóm 1,3 câu a

- Nhóm 2,4 câu b

Yêu cầu học sinh làm trên giấy

A4

-GV: Chính xác hoá vấn đề

Vd: Cho ∆ABC, M,N lần lượt là trung điểm AB và

AC

- Ta có:

BC= 2MN, BC= -2 NM

AB= 2AM = 2MB

N M

C B

A

Hoạt động 2: Học sinh làm quen với các tính chất phép nhân vectơ với 1 số

- Học sinh lắng nghe

câu hỏi

Lên bảng trình bày

Hs: AC =AB+BC

= a +b

A 'C' = A ' B'+B 'C'

=3a +3b

 A 'C'= 3AC

- Phát biểu các tính chất của phép nhân vectơ với 1 số

- Gv làm cho học sinh kiểm chứng được tính chất 3 thông qua bài toán

a) Vẽ ∆ABC với gt AB = a,

BC = b b) Xác định A’ sao cho AB =

3a; C’ sao cho BC = 3b c) Có nhận xét gì về 2 vectơ

AC, AC'?

2/ Các tính chất của phép nhân vectơ với một số

Với a , b bất kỳ và k,l€ R

Ta có:

i) k(la) = (kl) a ii) (k+l) a = ka + la

iii) k( a +b) = ka + kb

iv) ka = o k=0 hoặc

a=o

Hoạt động 3: Áp dụng các tính chất vào phép tính thông qua 1 số bài toán

-Học sinh thảo luận

Làm trên giấy A4

Trình bày cách giải

Gv nêu bài toán 1, vẽ hình

H: Dùng quy tắc 3 điểm biểu diển MA, MB theo các vectơ

IB IA

MI, , ? H: I là trung điểm đoạn thẳng

AB thì IA + IB = ?

- Gv nêu bài toán 2, vẽ hình

H1: Hãy biểu thị các vectơ

MB

MA, , MC qua vectơ MG

và từng vectơ GA,GB,GC ?

Bài toán 1: Gọi I lad trungđiểm AB

C/m với mọi điểm M bất kì

ta có: MA + MB = 2MI

Giải:

Ta có: MA = MI + IA

MB = MI + IB

 MA + MB =2MI +(IA +

IB)=2MI

Bài toán 2: Cho ∆ABC với trọng tâm G, c/m với điểm

M bất kì

MA + MB + MC = 3MG

Giải:

Ta có: MA = MG +GA

MB = MG + GB

MC = MG+GC

 MA + MB+ MC = 3MG

+ (GA +GB +GC= 3MG

Hoạt động 4: Học sinh tìm hiểu điều kiện 2 vecơ cùng phương

Hs quan sát hĩnh vẽ

- Xác định các hệ số

v,m,n,p,q

Đặc vấn đề: Ta biết rằng nếu

b= ka  a,bcùng phương, điều ngược lại có đúng không?

- Gv đưa ra ví dụ sẳn giấy A4 cho học sinh xác định các hệ

số k,m,n,p sao cho

b= ka, c= ma

b = nc, x=pu

Gv khái quát đi đến khẳng định 2 vectơ cùng phương

3/ Điều kiện để hai vectơ cùng phương

*bcùng phương a(≠0)

  kR : b= ka

3 điểm A,B,C thẳng

hàng AB,AC cùng

phương

 k  Rsao cho

AB =kAC

H: Tại sao có đk a ≠0?

ĐK cần và đủ để 3 điểm A,B,C thẳng hàng là gì ?

Gv nêu đk để ba điểm thẳng hàng

*Đk cần và đủ để 3 điểm A,B,C thẳng hàng là có 1

số k sao cho AB =kAC

Hoạt động 5: Học sinh vận dụng công thức giải toán

Hs vẽ hình

Tìm cách giải

∆ABC vuông tại A,

 AH = 2OI

Hs: c/m tứ giác

HBDC là hình bình

hành

HS: Trả lời

Gv nêu bài toán 3 (sgk)

vẽ hình

TH1: ∆ABC vuông tại A -Yêu cầu HS c/m

TH2: ∆ABC không vuông Gọi D là điểm đối xứng với A qua O

Có nhận xét gì về tứ giác HBDC? tứ giác đó là hình gì?

từ đó có nhận xét gì về điểm I đối với đoạn thẳng HD?

H: I là trung điểm HD nên với điểm 0 bất kỳ ta có 2OI =?

H: Có nhận xét gì về 2 vectơ

A

0 và 0D? H: Tính tổng 0B + 0C =?

H: G là trọng tâm ∆ABC , nên với một điểm O bất kỳ ta có,

0A + 0B + 0C =?

Từ đó có nhận xét gì 2 vectơ

H

0 và 0G?

Bài toán 3: (sgk)

I

D

C B

A

a) Gọi D là điểm đối xứng A qua O

Tứ giác HBDC là hình bình hành

Do đó I là trung điểm HD

2OI = 0H +0D

= 0H - 0A = AH

b) 0B + 0C = 2OI =AH

 0A + 0B + 0C = 0H + AH =0H

C) Với G là trọng tâm

∆ABC nênđiểm 0, ta có:

A

0 + 0B + 0C =30G

0 + 0B + 0C = 0H

 0H= 30G

Suy ra 3 điểm O,G,H thẳng hàng

Hoạt động 6: Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương

MI=

2

1

MA +

2

1

MB

3 vectơ này không

cùng phương

Được , nếu đặt MI= x

thì m = n =

2

1 đối với trường hợp trên

A

0 và 0X cùng

phương 0X =m0A,

n =o

H1: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, M bất kỳ ta

có biểu thức đại số nào ?

H2: Nhận xét gì về phương của

3 vectơ

2

1

MA ; 2

1

MB; 2

1

MI? Vậy câu hỏi đặt a là nếu cho 2 vectơ a , b không cùng

phương liệu có vectơ x nào có thể biểu thị được dưới dạng:

x = ma + n b ?

- Tổng quát ta có định lý sau:

HD: C/m từ O ta vẽ 0A =a;

B

0 = b ; 0X = x

TH1: X nằm trên đường thẳng

OA, 0A và 0X có phương như thế nào:  0X =?

TH2: X nằm trên đường thẳng OB,…

TH3: X không nằm trên OA,OB

4/ Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương

Định lý: (Sgk)

Hoạt động 7: Hướng dẫn học sinh làm bài tập 21,22,23 (sgk)

Lấy điểm C sao cho tứ

giác OACB là hình

vuông

Ta có: 0C= 0A+ 0B

 │0A+0C=│0C│

Theo định lý Pytago

ta có: │0C│= a 2

0A- 0B= BA

│BA│=│0C│=a 2

M

0 =

2

1

A

0

M

0 =

2

1

A

0 + 0.0B

MN= MO+0N

MO=

2

1

A

0 ; 0N=

2

1

B

0

2

1

B

0

MB= MO+0B

= -

2

1

A

0 +0B

H1:Dựng 0A+ 0B

A

0 + 0B=?

H2: Dựng 0A- 0B

Theo quy tắc hiệu vectơ ta có:

0A- 0B=? │BA│=?

Vậy │0A- 0B│= a 2

TH: 30A- 40B

Trên OA ta lấy A’: 0A’ = 30A

Trên OB ta lấy B’: 0B’ = 40B

Lấy C sao cho tứ giác OA’C’B’ là hình chữ nhật

Ta có: │30A+40B│= 5a(theo định lý Pytago)

H1: 0M = ?0A

0M =

2

1

A

0 + ?0B

H2: MN=? Theo quy tắc 3 điểm?

MO=?0A; 0N=?0B

Vậy MN=

2

1

A

0 +

2

1

B

0 H3: AN=? Theo quy tắc 3 điểm? 0A=?0A; 0N=?0B

H4: MB=? Theo quy tắc 3 điểm?

Bài tập 21(sgk)

*0A+ 0B=0C

│0A+0B│= a 2

*Dựng0A’ = 30A;0B’ =

40B

30A+40B= 0C

 │30A+40B│=│0C│=5a

(theo Py ta go)

Bài 22: (sgk)

M

2

1

A

0 + 0B

MN=

-2

1

A

0 +

2

1

B

0

2

1

B

0

MB=

-2

1

A

0 + 0B

Hoạt động 8: Hướng dẫn học sing làm bài tập 24,26.(sgk)

Gọi G là trọng tâm

∆ABC thì

GA+GB+GC=0

A

G' +G' B+ G' C= 0

GA+GB+GC=0

A

G' = G' G+GA

B

G' = G' G+GB

C

G' = G' G+GC

G’ trùng với G

A

0 = 0G+GA

OB= 0G+GB

OC= 0G+OC

GA+GB+GC=0

G là trọng tâm

∆ABC theo a

3GG' = GA' +GB' +GC'

C/m: GA+GB+GC=0  là trọng tâm ∆ABC

H1: Về ý nghĩa hình học G

là trọng tâm ∆ABC thì ta có biểu thức đại số nào về vectơ?

HD: gọi G là trọng tâm

∆ABC ta có gì?

H2: Theo gt

GA+GB+GC=? G bất kỳ

GA=?; GB=?; GC=?; 

3G' G= 0 Nhận xét gì về G’ và G?

Vậy G là trọng tâm ∆ABC

H3: 0G=

3

1 (0A+ OB+OC)?

A

0 =?; OB=?; OC=? Theo quy tắc 3 điểm

G

0 = 0G+

3

1 (0A+ OB+OC)

 GA+GB+GC=? kết luận gì về điểm G?

Vậy theo tính chất đã học

và kết quả bài này ta có: G

là trọng tâm ∆ABC  ?

H1: G là trọng tâm ∆A’B’C’

G bất kỳ ta có điều gid?

- Biểu thị GA',GB',GC' theo quy tăc 3 điểm.?

Bài 24(sgk)

a)Gọi G là trọng tâm ∆ABC, ta

có : GA+GB+GC=0

= G' G+GA+G' G+GB+G' G+GC

= 3G' G+ GA+GB+GC

= 3 G' G  G trùng G’

Vậy G là trọng tâm ∆ABC b)CM: Nếu có 0:0G=

3

1 (0A+

OB+OC) G là trọng tâm

∆ABC Giải: 0G=

3

1 (0A+ OB+OC)

= 3

1 (0G+GA+0G+GB+0G+GC)

=0G+

3

1

GA+GB+GC

 GA+GB+GC=0

 G là trọng tâm ∆ABC theo a

* Tóm lại: G là trọng tâm ∆ABC

 GA+GB+GC=0 hoặc 0 bất

kỳ 0G=

3

1 (0A+ OB+OC)

Bài 26: (sgk) Giải:

Do G’ là trọng tâm ∆A’B’C’

3GG'= GA'+GB'+GC'

= GA+AA'+GB+BB'+GC+CC'

GA=GA+AA'

'

GB = GB+BB'

'

GC = GC+CC'

G trùng G’

3GG'=0

hayAA +' BB +' CC = 0'

3GG'= GA'+GB'+GC'

=……=AA'+BB'+CC' H2: Để G trùng G’?

điều kiện cần và đủ để 2

∆ có trọng tâm trùng nhau là:

=AA'+BB'+CC'+(GA+GB+GC)

= AA'+BB'+CC'

Để G trùng G’ 3GG'= 0

 AA'+BB'+CC' =0 Vậy điều kiện cần và đủ để 2 ∆

có trọng tâm trùng nhau là:

AA'+BB'+CC' =0

V/ Cũng cố và dặn dò:

- Điều kiện cần và đủ để 2 vectơ cùng phương

- Điều kiện cần và đủ để 3 điểm thẳng hàng

- Hệ thức trung điểm đoạn thẳng

- Hệ thức trọng tâm tam giác

* Câu hỏi trắc nghiệm:

Câu hỏi 1: Cho tam giác ABC vuông cân có AB =AC = a, độ dài của tổng 2 vectơ

AB và ACbằng bao nhiêu?

a) a 2; b) a

2

2

; c) 2a ; d) a Câu hỏi 2: Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC với BC= 12, tổng 2 vectơ

GB+GC có độ dài bằng bao nhiêu?

a) 2 ; b) 2 3 ; c) 8 ; d) 4

Câu hỏi 3: Cho 4 điểm A,B,C,D Gọi I,J lần lượt là trung điểm của các đoạn

thẳng AB và CD trong các đẳng thức dưới đây đẳng thức nào sai?

a) 2 IJ = AB+CD b) 2 IJ = AC+BD

c) 2IJ = AD+BC d) 2IJ + CA+BD= 0

nào sau đây là sai?

a) AB=-a+b ; b) GC=-a- b ;

c) BC=a+2b ; d) CA=2a+b ; Đáp án: 1) A

2) D

3) A

4) C

*Dặn dò: -Học thuộc bài và làm lại các bài tập đã giải

-Đọc trước bài trục toạ độ và hệ trục toạ độ