GIÁO TRÌNH SÓNG GIÓ ( VŨ THANH CA ) - CHƯƠNG 4 docx

Kết quả của lý thuyết tuyến tính được dùng để tìm một xấp xỉ thứ nhất cho các số hạng phi tuyến bị bỏ qua.. Khi mà cực đại thứ hai tại bụng sóng không được quan trắc ở sóng thực tại nước

Chương 4 những lý thuyết sóng phi tuyến cho

vùng có độ sâu không đổi

4.1 Giới thiệu chung

Không có một lời giải chính xác nào cho các phương trình đầy đủ về sóng được trình bày trong chương 3 Điều này là do các số hạng phi tuyến trong các điều kiện biên trên bề mặt tự do Trong các xấp xỉ tuyến tính, các số hạng này bị bỏ qua hoàn toàn Tuy nhiên, trong các lý thuyết phi tuyến thì chúng được tính đến bằng cách xấp xỉ Rất nhiều lý thuyết

về sóng phi tuyến với phương pháp giải quyết và mức độ chính xác của việc xấp xỉ khác nhau đã được đưa ra Trong chương này, ta sẽ trình bày một cách định tính tổng quan về những lý thuyết này

Lý thuyết sóng phi tuyến đầu tiên do Stokes (1847) đưa ra Lý thuyết của ông về mặt nguyên tắc là có thể áp dụng cho tất cả các độ sâu Tuy nhiên, trong thực tế, đối với nước nông thì kết quả lý thuyết này chỉ chấp nhận được khi mà độ cao sóng rất nhỏ Một loại lý thuyết thứ hai là chỉ áp dụng cho các điều kiện sóng nước nông Những lý thuyết này sẽ

được trình bày trong mục 4.3

Các lý thuyết vừa nói cho ta các biểu thức giải tích về nhiều hệ số cần thiết cho việc tính toán sóng Các lý thuyết số trị cho ta thuật toán để xác định giá trị của các hệ số cho một tập hợp cho trước các điều kiện đầu vào Một số lý thuyết số trị sẽ được trình bày trong mục 4.4 Vấn đề về tính đúng đắn của các lý thuyết sẽ được xử lý trong mục 4.5

4.2 Lý thuyết Stokes

Stokes (1847) dùng phương pháp xấp xỉ liên tiếp, có thể được mô tả sơ qua như sau

Kết quả của lý thuyết tuyến tính được dùng để tìm một xấp xỉ thứ nhất cho các số hạng phi tuyến bị bỏ qua Việc hiệu chỉnh các kết quả của phép xấp xỉ thứ nhất (tuyến tính) của nghiệm được tiến hành bằng cách tính đến điều trên

Bằng cách dùng nghiệm đã được hiệu chỉnh lần thứ nhất, một xấp xỉ lần thứ hai cho các số hạng phi tuyến được tiến hành Sau đó là xấp xỉ lần thứ ba Nếu như quá trình này hội

tụ thì nó có thể cứ được tiếp tục cho đến khi đại lượng hiệu chỉnh trở nên đủ bé Thật ra thì một giới hạn thực tế sẽ đạt được sớm mà không phải tiến hành nhiều phép xấp xỉ vì các biểu thức toán học trở nên rất dài và rất khó tìm ra các xấp xỉ bậc cao

Như đã trình bày ở trên, các biểu thức toán học trong những xấp xỉ bậc cao rất dài Bởi

vậy, để dễ dàng hơn trong việc áp dụng những lý thuyết này, người ta đã chuẩn bị những đồ

thị và bảng như là những đồ thị và bảng của Skjelbreia (1959) cho xấp xỉ bậc 3, trong đó tất

cả những số hạng có bậc 3 hay nhỏ hơn được giữ nguyên và những số hạng khác bị bỏ qua

Trong phần tiếp theo, một số kết quả sẽ được trình bày chủ yếu dưới dạng định tính

Một số phương trình của lý thuyết bậc hai sẽ được trình bày với mục đích diễn giải

4.2.1 Mặt cắt bề mặt nước

Biểu thức bậc 2 đối với mặt nước có thể được viết như sau:

( )S ζˆ cosS ζˆ sinS

1

(4.1) trong đó:

a

= ˆ

kh

kh kh

2

sinh

2 cosh 2 cosh 2

1

Điểm S=0 được chọn tại một đỉnh sóng Hình 4.1 trình bày một phác thảo của (4.1)

Một số hạng tuyến tính điển hình là tỷ lệ với hay , trong đó a là biên độ

của dao động mực nước trong phép xấp xỉ tuyến tính, và

S

a cos a sin S

( t kx)

S = ω ư là pha Bởi vì các thành phần phi tuyến bao gồm các tích như là , xấp xỉ đầu tiên cho các số hạng này bao

gồm các số hạng tỷ lệ với

2

u

( ) (a S)

S

a2cos2 = 1/2 2 1+cos2 , và các số hạng tương tự với Điều này cũng áp dụng được cho hiệu chỉnh thứ nhất của xấp xỉ tuyến tính của

nghiệm chính xác Tiếp tục theo cách này, ta có thể tìm được những xấp xỉ liên tiếp của

nghiệm chính xác dưới dạng những số hạng liên tục của một chuỗi số mũ của a (các số

hạng tỷ lệ với a, , , v.v ) Nếu a là đủ nhỏ (đối với L và h), mỗi số hạng bậc cao sẽ nhỏ

hơn nhiều những số hạng bậc thấp hơn và nếu như khi đó chuỗi được kết thúc bằng một một

vài số hạng thì ta có thể tìm được một xấp xỉ tiện lợi

S

2

sin

2

a a3

Mặt cắt sóng dường như có các đỉnh hẹp hơn và nhọn hơn mặt cắt biểu thị bằng hàm

cosine, và bụng rộng hơn và phẳng hơn Hệ quả là mực nước tại đỉnh sóng trên mực biển

trung bình (MWL) cao hơn một nửa chiều cao sóng, với giá trị vượt quá là (tới bậc 2)

Điều này quan trọng cho việc tính toán lực sóng tác động lên các công trình ở nước nông

hay là cho việc xác định độ cao cần thiết của khoảng không giữa mặt dưới của cầu tàu hay

bến mà mực MWL (còn được gọi là “khoảng không”)

2

ˆ

ζ

2 ζ

MWL

1 ζ

2

1 ζ

ζ +

Hình 4.1 Mặt cắt bề mặt nước khi có sóng xấp xỉ bằng lý thuyết bậc 2 của Stokes

Tính bất đối xứng như ở trên thường được quan sát thấy rõ ràng trong các sóng thực

Mặt cắt thực đo dường như được dự báo rất tốt bằng lý thuyết Stokes bậc 2 và bậc 3 cho sóng

nước sâu, nhưng sự phù hợp là kém hơn cho các điều kiện nước nông Từ lý thuyết có thể rút

ra một chỉ thị cho quá trình này, thí dụ như tỷ số của biên độ bậc hai và biên độ bậc nhất cần

phải nhỏ để phương pháp tiếp cận Stokes là có giá trị Tại nước sâu, tỷ số này là (xem các

phương trình 4.2 và 4.3):

L

H ka

2 2

1 ˆ

ˆ 1

ζ

ζ

≅

Tỷ số này thường là nhỏ (lớn nhất là vào khoảng 0.2) vì rằng sóng vỡ giới hạn độ dốc

có thể có của sóng Mặt khác tại nước sâu hơn tỷ số trên trở thành (xem các phương trình 4.2

và 4.3):

3

2 2 3

2

32

3 4

3 ˆ

ˆ

h

HL h

HL ka

π ζ

ζ

(kh<<1) (4.5)

Nếu ta yêu cầu ζˆ2 ≤0.2ζˆ1 thì bất đẳng thức sau sẽ phải được thỏa mãn:

20

3

2

≤

h

HL

Đây là một yêu cầu rất chặt chẽ về H/L vì rằng L>>h tại nước nông Tỷ số 3

2

h

HL

thường

được gọi là số Ursell, ký hiệu bởi U : r

3

2

h HL

Nếu là quá lớn thì chuỗi Stokes phân kỳ Một chỉ thị cho điều này là sự xuất hiện của một cực đại thứ hai tại bụng sóng khi mà như được phác thảo trên hình Fig 4.2 Khi mà cực đại thứ hai tại bụng sóng không được quan trắc ở sóng thực tại nước nông thì sự xuất hiện của nó trong các kết quả tính toán chỉ ra rằng lý thuyết được sử dụng trong các điều kiện vượt quá giới hạn áp dụng của nó

r

U

4 / ˆ

ˆ ζ

ζ2 > 1

Hình 4.2 Cực đại thứ hai tại bụng sóng do lý thuyết Stokes bậc 2 dự báo tại nước

rất nông

Các đo đạc mực nước khi có sóng lớn tại nước nông cho thấy các profile mặt nước với bụng dài và phẳng cùng với đỉnh hẹp và nhọn, như chỉ ra trên hình 4.3

Nếu profile này được xấp xỉ bằng một tổng các thành phần điều hòa dạng cosin (cos S, cos 2S v.v.) thì cần có một số lượng lớn các thành phần Điều này có nghĩa là chuỗi cần phải

được tính tại một bậc rất cao Đây là một nhiệm vụ rất khó khăn và mất thời gian, và do vậy trong thực tế, không nên áp dụng chuỗi Stokes trong các điều kiện đó, thậm chí cả khi mà nó không phân kỳ

Hình 4.3 Profile mặt nước khi có sóng đo được tại nước nông

4.2.2 Vận tốc và quỹ đạo hạt nước

Trong xấp xỉ phi tuyến, vận tốc hạt nước không còn là đối xứng qua giá trị trung bình

(bằng 0 nếu chỉ có sóng) Vận tốc nằm ngang của hạt nước có dạng bất đối xứng gần giống

với mặt nước Vì vậy, vận tốc có giá trị tuyệt đối lớn hơn bên dưới đỉnh so với bên dưới bụng

Điều này ảnh hưởng mạnh tới việc tính toán áp lực sóng lên công trình, đặc biệt là trong các

điều kiện nước nông Các số hạng bậc cao trong các chuỗi vận tốc hạt nước giảm nhanh hơn

theo khoảng cách dưới bề mặt so với các số hạng bậc thấp Vận tốc ở gần đáy được dự báo

khá tốt bằng lý thuyết tuyến tính

Trong lý thuyết tuyến tính, quỹ đạo hạt nước là đối xứng cả theo phương đứng và

phương ngang Trong các lý thuyết phi tuyến, không thể bỏ qua sự bất đối xứng của vận tốc

hạt nước Vì vậy quỹ đạo hạt nước không còn là đối xứng Sau một chu kỳ sóng thì hạt nước

tiến về phía trước một chút, như vẽ trên hình 4.4

Hình 4.4 Quỹ đạo hạt nước xấp xỉ bằng các lý thuyết sóng phi tuyến

Vậy, sóng gây ra vận chuyển khối lượng đối với hệ quy chiếu của ta Một cách khác là

ta có thể chọn một hệ quy chiếu sao cho vận tốc vận chuyển khối lượng tổng cộng dư tích

phân theo phương thẳng đứng bằng 0 Trong trường hợp này các hạt nước trong phần thấp

của profile thẳng đứng sẽ có vận tốc dư ngược lại và chỉ có các hạt nước ở trên là có vận tốc

dư theo hướng sóng Với độ chính xác bậc hai, vận tốc trung bình thời gian của một hạt nước

tại một độ cao trung bình z0 trong các điều kiện sóng nước sâu được cho bởi:

0

kz

ae ka z

Với nước trung bình và nước nông, lý thuyết Stokes cho dự đoán không chính xác về

vận tốc vận chuyển vật chất Điều này là do ảnh hưởng của độ nhớt (chỉ giới hạn trong lớp

biên mỏng gần đáy) Longuet-Higgins (1953) đã phân tích kỹ càng về tốc độ vận chuyển vật

chất do sóng gây ra tính theo các lý thuyết sóng khác nhau và có tính đến ảnh hưởng của độ

nhớt

4.2.3 Mối liên hệ phân tán và vận tốc pha

Trong xấp xỉ Stokes bậc 2, mối liên hệ phân tán giống như trong lý thuyết tuyến tính

Trong lý thuyết bậc 3, xuất hiện một thành phần hiệu chỉnh phi tuyến tỷ lệ với bình phương

độ dốc sóng Hiệu ứng của nó là làm tăng vận tốc pha Do vậy, vận tốc pha tại mọi độ sâu không chỉ phụ thuộc vào tần số mà còn phụ thuộc vào biên độ Tuy rằng hiệu chỉnh là tương

đối nhỏ nhưng nó thể trở nên đáng kể khi mà khác biệt trong vận tốc pha là đáng kể, như trong trường hợp nhóm sóng

4.2.4 Hàm lượng năng lượng và vận chuyển năng lượng

Trong xấp xỉ bậc thấp nhất, hàm lượng năng lượng (E) và tốc độ vận chuyển năng

lượng là tỷ lệ với Hiệu chỉnh phi tuyến cho đại lượng này bao gồm các thành phần tỷ lệ với v.v Năng lượng tổng cộng của sóng có độ cao nào đó trở nên nhỏ hơn giá trị tính theo lý thuyết sóng tuyến tính Có thể thấy được điều này mà không cần các tính toán chi tiết về thế năng trung bình, bằng với

2

a

4

a

( )1/2 ρgζ2 Với các sóng hình sin,

( ) 2 ( ) 2

2 = 1/2a = 1/8H

ζ Tỷ số ζ2 / H2 giảm khi mà profile trở nên nhọn hơn

Tại nước sâu, các hiệu chỉnh phi tuyến cho E và là đáng kể cho các sóng gần vỡ Chúng là quan trọng trong nước nông, nhưng trong trường hợp đó chuỗi Stokes là không phù hợp ngoại trừ các giá trị nhỏ của độ cao sóng tương đối, như đã thảo luận ở trên

f

E

4.3 Lý thuyết Cnoidal

Một cách tiếp cận khác cho sóng phi tuyến tại nước nông đã được Boussinesq đưa ra Các phương trình Boussinesq mô tả sóng tại nước nông có tính đến một chút ảnh hưởng của

áp suất phi thuỷ tĩnh xảy ra dưới đỉnh sóng khi mà độ cong là khá lớn thậm chí nếu bước sóng là lớn hơn nhiều so với độ sâu Vì vậy, lời giải của các phương trình Boussinesq có một

số tính chất của sóng dài và một số tính chất của sóng ngắn

Lời giải của các phương trình Boussinesq biểu thị các sóng chu kỳ có dạng không đổi

được diễn tả bằng một hàm có sử dụng ký hiệu "cn" Vì vậy lời giải đã được gọi là sóng cnoidal và lý thuyết tương ứng với nó là lý thuyết cnoidal Thực ra là hiện nay một tiếp cận khác và một mức độ xấp xỉ khác đã được sử dụng nhưng do lý do nguyên nhân lịch sử, lý thuyết trên vẫn được gọi là lý thuyết cnoidal Trong phần sau ta sẽ mô tả các kết quả của phép xấp xỉ do Skovgaard và cộng sự (1974) sử dụng Rất nhiều thông số sóng do các tác giả xác định theo lý thuyết Cnoidal được trình bày trong bảng 4.1

Bảng 4.1 Các thông số sóng xác định từ lý thuyết Cnoidal

Hướng dẫn tính sóng Cnoidal

1.1 Cho: h, H và T Xác định: L, c Cho: H a và T (hoặc L a ) tại độ sâu H

Tính 0 2

2 T

g L

π

= Xác định: H b và L b tại độ sâu h b

T2 trong hệ SI), Kiểm tra* Tính L0 và L a sử dụng 1.1

H/h và

(= 1.561

Tính T g/h hoặc T và L0 sử dụng 1

ịnh c=L/T

Tính

Tìm

(

0

0 4H B L /L

H = a a a

Kiểm tra*

ịnh c=(gh(1+AH/h) )1 / 2và T=L/c Xác định L b sử dụng 1.1

* Nếu h/L 0 > 0.10 (h/L > 0.13) Lý thuyết Cnoidal không áp dụng được, sử dụng

sóng dạng sin cho vùng nước sâu này

Công thức cơ bản

Cho:

Kiểm tra*

Tìm

Xác đ

Đại lượng (hệ SI)

Bản tóm tắt các phương trình lý thuyết Cnoidal (Skovgaard và cộng sự, 1974)

Trước khi đi vào chi tiết, ta hãy đưa ra hai nhận xét chung Thứ nhất là lý thuyết cnoidal về bản chất chỉ giới hạn cho điều kiện nước nông với tiêu chuẩn h/L0 ≤1

(hay ( )2 8

1

≥

gh

T ) là thoả mãn Thứ hai, một thông số quan trọng trong lý thuyết là số Ursell ( , phương trình 4.6) Các hàm toán học dạng cnoidal mô tả nghiệm cho một giá trị nào đó của được giảm xuống cho hai trường hợp giới hạn: và

3

2 / h

HL

U r =

r

Trường hợp đầu tiên tương ứng với (vì rằng L/h>> 1 trong lý thuyết cnoidal) Các

kết quả trong trường hợp này trở thành các kết quả của lý thuyết sóng tuyến tính cho vùng nước nông Trường hợp giới hạn thứ hai tương ứng với

0 /h→

H

∞

→

h

L / (vì H/h là giới hạn; thực

tế là đã giả thiết rằng H/h<< 1) Điều này dẫn tới tên gọi là sóng cô lập

4.3.1 Profile mặt nước

Profile mặt nước p dự báo theo lý thuyết cnoidal chỉ phụ thuộc vào (xem hình 4.5) Với , profile mặt nước có dạng hình sin Khi giá trị tăng lên, đỉnh sóng trở nên nhọn hơn và bụng sóng trở nên dài hơn và phẳng hơn Nói chung các profile dự báo phù hợp tốt với các profile đo đạc được

r

U

0

→

r

H

trough

ζ

ζ ư

L

x

xư crest

Hình 4.5 Các profile mặt nước dự báo theo lý thuyết sóng Cnoidal (Skovgaard

và cộng sự, 1974)

4.3.2 Vận tốc và quỹ đạo hạt lỏng

Trong lý thuyết sóng cnoidal bậc nhất, vận tốc nằm ngang của hạt lỏng là gần như tỷ lệ với mực mặt nước và thay đổi theo khoảng cách từ đáy theo một đường parabol Có thể tham khảo Skovgaard và cộng sự (1974) về các công thức với umaxvà umin (Bảng 4.1)

4.3.3 Vận tốc pha

Vận tốc pha trong lý thuyết sóng cnoidal có bậc biên độ là ( )2

1

gh , hơi giảm hơn một

chút vì giá trị giới hạn của tỷ số giữa bước sóng và độ sâu (hiệu ứng phụ thuộc vào tần số

như trong lý thuyết cho sóng ngắn) và tăng lên một chút do ảnh hưởng của tính hữu hạn của

biên độ (hiệu ứng phi tuyến)

4.3.4 Hàm lượng năng lượng và tốc độ vận chuyển năng lượng

Năng lượng thế trung bình trên một đơn vị diện tích (PE, phương trình 3.103) là tỷ lệ

thuận với ζ2 Với một mặt sóng dạng hình sin, ζ2 =H2 /8 Với mặt sóng cnoidal với dạng

mặt nước phụ thuộc vào U r, tỷ số B=ζ2/H2là một hàm giảm của U r

Với phép xấp xỉ bậc thấp nhất, tốc độ vận chuyển năng lượng trong sóng cnoidal được

tính từ (3.111), vớip+ cho bởi xấp xỉ tĩnh học p+ = ρgζ , và u bởi biểu thức tuyến tính cho

sóng dài u=cζ /h Điều đó cho

∫ ∫

ư ư

= 0 /2

2 /

2 2

1

h

T

T

T

Thực ra, p+ không phải là thuỷ tĩnh và giá trị tuyệt đối của nó nhỏ hơn ρg tại các ζ

điểm thấp hơn MWL Vì vậy, (4.8) tính quá tốc độ vận chuyển năng lượng

4.4 Các lý thuyết số

Các lý thuyết ở trên cung cấp các biểu thức giải tích cho các hệ số xuất hiện trong các

chuỗi số mũ giả thiết với bậc chính xác cho trước Sự phức tạp của các biểu thức tăng nhanh

với sự gia tăng của bậc chính xác Vì lý do đó mà các xấp xỉ giải tích bậc cao là không khả

thi Tuy nhiên có thể đưa ra các thuật toán để tính các hệ số này bằng phương pháp số trị

Theo cách này, có thể dùng các xấp xỉ có độ chính xác rất cao (khoảng 100) để mở rộng

phạm vi áp dụng của lý thuyết và tăng cường độ chính xác Các lý thuyết thuộc dạng này

được gọi là các lý thuyết số trị Cần nhận thấy rằng tên này không có nghĩa là lời giải số trị

cho các phương trình vi phân cơ bản, thí dụ như bằng phương pháp sai phân hữu hạn hay

phần tử hữu hạn

Một lý thuyết được biết đến rất rộng rãi là lý thuyết hàm dòng do Dean (1965) xây

dựng Việc sử dụng nó khá dễ dàng nhờ việc xuất bản các bảng (Dean, 1974) Các bảng này

đã được xây dựng để áp dụng cho kỹ thuật Ngoài các thông số khác, nó chứa số liệu về vận tốc pha, vận tốc hạt lỏng, gia tốc và áp lực cũng như moment sóng trên các hình trụ đứng Các đại lượng này được lập bảng cho 10 độ sâu tương đối 10 ( trong khoảng từ 0.02 tới 2) và 4 độ cao sóng tương đối (

0

/ L h

4 / 3 , 2 / 1 , 4 / 1 /Hmax =

H và 1, trong đó là độ cao cực đại của sóng có bước sóng hay chu kỳ cho trước tại một độ sâu cho trước)

max

H

Chaplin (1980) đã xây dựng một phiên bản nữa của lý thuyết hàm dòng có độ chính xác cao hơn cho các sóng rất dốc Ông đã so sánh kết quả của mình và các kết quả của Dean (1974) với kết quả của lý thuyết chính xác của Cokelet (xem dưới đây) Các giá trị tính theo các bảng của Dean là chính xác với ba giá trị nhỏ của H / Hmax, nhưng với H/Hmax =1 có một sự sai khác lớn (cụ thể là sai số 30% trong vận tốc hạt nước cực đại )

Rienecker và Fenton (1981) đã đưa ra những cải tiến về lý thuyết hàm dòng và một thuật toán để tính tập hợp các hệ số bằng một sơ đồ lặp hiệu quả với tốc độ hội tụ nhanh

Một lý thuyết số trị khác do Cokelet (1977) đề xuất đã sử dụng mối liên hệ giữa các hệ

số của các bậc khác nhau để mở rộng lời giải tới các bậc rất cao Thêm vào đó, Cokelet dùng một kỹ thuật toán đặc biệt để cải tiến cách lấy tổng của các chuỗi được tạo thành Bằng cách đó ông đã có thể tính toán rất nhiều đặc tính của sóng với độ chính xác tới hai chữ số sau dấu phẩy, thậm chí cho sóng cao nhất có thể có như đã được kiểm chứng bằng cách so sánh với các lý thuyết đã được xây dựng độc lập cho trường hợp đặc biệt này Có vẻ như từ khía cạnh thực tế, công trình của Cokelet có thể được xem là cho một lời giải chính xác về các vấn đề cổ điển như các sóng trọng lực bề mặt phi tuyến và không xoáy Kết quả của ông

có thể được dùng như tiêu chuẩn để đánh giá các lý thuyết xấp xỉ khác nhau Cokelet đã trình bày các bảng về các tính chất độc lập về pha và trung bình của sóng mà không phải là các giá trị tức thời như vận tốc và gia tốc hạt lỏng Việc sử dụng lý thuyết của ông vào thực

tế kỹ thuật yêu cầu phải viết một số chương trình máy tính khá phức tạp

Cuối cùng là cần phải kể đến công trình của Williams (1985) người đã phát triển một công thức thay thế có khả năng hội tụ nhanh ngay cả với những sóng cao nhất Các kết quả của ông, kể cả áp suất thay đổi theo pha và vận tốc, gia tốc và dịch chuyển nằm ngang và thẳng đứng đã được lập thành bảng

4.5 Giới hạn áp dụng của các lý thuyết khác nhau

Trước khi tìm ra lời giải có độ chính xác cao, một câu hỏi thông thường nhất là các xấp

xỉ bậc thấp (như Stokes bậc 1, 2 hay 3 hay cnoidal bậc 1 hay 2) là áp dụng được cho một phối hợp cho trước của độ dốc sóng và độ sâu tương đối Vì vậy, người ta đã cố gắng xác lập