Giáo trình hình thành ứng dụng đoạn nhiệt theo dòng lưu động liên tục p5 doc

định luật fourier và hệ số dẫn nhiệt 9.1.1 Định luật fourier và hệ số dẫn nhiệt Dựa vào thuyết động học phân tử, Fourier đã chứng minh định luật cơ bản của dẫn nhiệt như sau: Vec tơ dòn

.Chương 9 dẫn nhiệt ổn định

9.1 định luật fourier và hệ số dẫn nhiệt

9.1.1 Định luật fourier và hệ số dẫn nhiệt

Dựa vào thuyết động học phân tử, Fourier đã chứng minh định luật cơ bản của dẫn nhiệt như sau:

Vec tơ dòng nhiệt tỷ lệ thuận với vectơ gradient nhiệt độ

Biểu thức của định luật có dạng vectơ là: q = ư λ gr a dt , dạng vô hướng là:

tn

dt gradt

Theo định luật này, nhiệt lương Q được dẫn qua diện tích F của mặt đẳng nhiệt trong 1 giây được tính theo công thức:

∫λ∂∂

ư

=

F

dF n

t Q

Khi gradt không đổi trên bề mặt F, công thức có dạng:

dF n

t Q

∂

∂ λ

ư

Định luật Fourier là định luậtcơ bản để tính lượng nhiệt trao đổi bằng phương thức dẫn nhiệt

9.1.2 Hệ số dẫn nhiệt λ

Hệ số của định luật Fourier

gradt

q

=

Hệ số dẫn nhiệt λ đặc trưng cho khả năng dẫn nhiệt của vật Giá trị của λ phụ thuộc vào bản chất và kết cấu của vật liệu, vào độ ẩm và nhiệt độ, được xác

định bằng thực nghiệm với từng vật liệu và cho sẵn theo quan hệ với nhiệt độ tại bảng các thông số vật lý của vật liệu

9.2 Phương trình vi phân dẫn nhiệt

9.2.1 Nội dung của phương trình vi phân dẫn nhiệt

Phương trình vi phân dẫn nhiệt là phương trình cân bằng nhiệt cho một phân tố bất kỳ nằm hoàn toàn bên trong vật dẫn nhiệt

9.2.2 Thiết lập phương trình

Xét cân bằng nhiệt cho phân tố dV bên trong vật dẫn, có khối lượng riêng

ρ, nhiệt dung riêng Cv, hệ số dẫn nhiệt λ, dòng nhiệt phân tố là q, công suất phát nhiệt q

Theo định luật bảo toàn năng lượng, ta có:

[Độ biến thiên nội năng của dV] = [Hiệu số nhiệt lượng (vào-ra) dV] + [lượng nhiệt sinh ra trong dV], tức là:

τ

∂

∂

ρ.dV.Cv t divq.dV.d qv.dV.d ,

hay:

v v

q q div C

1 t

ρ

+ ρ

=

τ

∂

∂

Theo định luật fourier q = ư λ gr a dt ,

khi λ = const ta có:

) dt a gr ( div )

dt a gr ( div q

Trong đó:

z

t z y

t y x

t x

2

∇

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂ +

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂ +

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

, Với:

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

ϕ

∂

∂ + ϕ

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

=

∇

z) r, trụ dộ toạ (trong ,

z) y, x, với góc vuông dộ

toạ (trong ,

2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2

2

z

t t r

1 r

t r

1 r t

z

t y

t x

t t

Phương trình vi phân dẫn nhiệt là phương trình kết hợp hai định luật nói trên, có dạng:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

λ +

∇

= ρ +

∇ ρ

λ

= τ

∂

v

v 2

v

q t a C

q t C t

với a =

v

C

ρ

λ

, m2/s., được gọi là hệ số khuyếch tán nhiệt, đặc trưng cho mức độ tiêu tán nhiệt trong vật

9.2.3 Các dạng đặc biệt của phương trình vi phân dẫn nhiệt với q v = 0

Khi vật ổn định nhiệt, t =0

τ

∂

∂ , phương trình có dạng ∇2t=0 Trong vách phẳng rộng vô hạn và ổn định nhiệt có λ = const, trường nhiệt độ t(x) được xác

dx

t d

2

2

trường nhiệt độ t(r) trong vách trụ tròn dàI vô hạn được xác định theo phương trình vi phân dẫn nhiệt trong toạ độ trụ:

0 dr

dt r

1 dx

t d

2

2

=

9.3 Các điều kiện đơn trị

Phương trình vi phân dẫn nhiệt nói chung là phương trình đạo hàm riêng cấp 2, chứa ẩn là hàm phân bố nhiệt độ t(x, y, z, τ) Nghiệm tổng quat của nó chứa nhiều hằng số tuỳ ý chọn

để xác định duy nhất nghiệm riêng của phương trình vi phân dẫn nhiệt, cần phải cho trước một số điều kiện, gọi là các điều kiện đơn trị

9.3.1 Phân loại các điều kiện đơn trị

Tuỳ theo nội dung, các điều kiện đơn trị bao gồm 4 loại sau:

- Điều kiện hình học cho biết mọi thông số hình học đủ để xác định kích thước, hình dạng, vị trí của hệ vật V

- Điều kiện vật lý cho biết luật phân bố các thông số vật lý theo nhiệt độ tại mọi điểm M ∈ V, tức cho biết (ρ, Cv, λ, a ) = f(t, M ∈ V)

- Điều kiện ban đầu cho biết luật phân bố nhiệt độ tại thời điểm τ = 0 tại mọi điểm M∈ V, tức cho biết t(M ∈ V, τ = 0) = t(x, y, z)

- Điều kiện biên cho biết luật phân bố nhiệt độ hoặc cân bằng nhiệt tại mọi

điểm M trên biên W của hệ V tại mọi thời điểm τ Nếu ký hiệu dòng nhiệt qλ dẫn

n

t

∂

∂ λ

ư

=

dạng:

) , 0 ( , W

Ư M ) , M ( q ) , M ( t q

) , M ( t t

n

⎭

⎬

⎫ τ

= τ λ

ư

=

τ

=

λ

hoặc

Điều kiện hình học, vật lý và điều kiện biên cần phải cho trước trong mọi bài toán Riêng điều kiện ban đầu chỉ cần cho trong bài toán không ổn định

9.3.2 Các loại điều kiện biên

Tại mỗi mặt biên Wi ∈ W = ∑Wi của vật V, tuỳ theo cách phân bố nhiệt độ hoặc cách trao đổi nhiệt với môi trường khác nhau, điều kiện biên có thể được cho theo các loại sau đây:

- ĐKB loại 1: cho biết luật phân bố nhiệt độ tại mọi điểm M1 ∈ W1 ở dạng:

tw1 = t(M1,τ)

- ĐKB loại 2: cho biết dòng nhiệt qua điểm M2 ∈ W2 là:

q(M2,τ) = -λ.tn.(M2,τ)

Đặc biệt khi W2 được cách nhiệt tuyệt đối hoặc là mặt đối xứng của bài toán, thì tn(M2,τ) = 0 và hàm t sẽ đạt cực trị tại M2 ∈ W2

- ĐKB loại 3: cho biết biên W3 tiếp xúc chất lỏng có nhiệt độ tf với hệ số toả nhiệt α và luật cân bằng nhiệt tại W3 ∈ W3 có dạng:

qλ = qα hay -λ.tn.(M3,τ) = α[t(M3, τ) – tf ]

- ĐKB loại 4: cho biết biên W4 tiếp xúc với môi trường rắn có phân bố nhiệt độ t4 và luật cân bằng nhiệt tại W4 ∈ W4 là qλ = qλ 4 hay -λ.tn.(M4, τ) = -λ t (M ,τ)

- ĐKB loại 5: cho biết trên biên W5 có sự trao đổi chất do sự khuyếch tán hay chuyển pha (chẳng hạn do hoá lỏng, hoá rắn hoặc thăng hoa, kết tinh) Khi đó chính biên W5 sẽ di chuyển và khối lượng vật V sẽ thay đổi và phương trình cân bằng nhiệt tại điểm M5 trên biên W5 di động sẽ có dạng:

qλ = qλ’ + qr hay -λtn(M5,τ) = -λ’t’n(M5, τ) + r

τ

ρ d

dx

trong đó:

τ d

dx5

là tốc độ di chuyển của điểm M5 ∈ W5,

r là nhiệt chuyển pha j/kg

- ĐKB loại 6: cho biết biên W6 tiếp giáp với môi trường chân không, ở đó chỉ xẩy ra sự trao đổi nhiệt bằng bức xạ và phương trình cân bằng nhiệt tại W6 ∈

W6 có dạng:

qλ = qε hay -λtn(M6,τ) =εσ0T4(M6,τ)

- ĐKB loại 7: cho biết biên W7 tiếp xúc với chất khí có nhiệt độ Tk, ở đó có

sự trao đổi nhiệt bằng cả đối lưu và bức xạ Phương trình cân bằng nhiệt tại W7 ∈

W7 có dạng:

qλ = qλ + qr hay -λtn(M7,τ) = α[T(M7,τ) - Tk] + εσ0[T4(M7,τ) – T4

k]

ĐKB loại 7 có thể qui về loại 3 nếu viêt phương trình trên ở dạng:

qλ = α ( Tw ư Tk) với α = α + εσ0( Tw4 ư Tk4) /( Tw ư Tk), được gọi là hệ

số toả nhiệ phức hợp ĐKB loại 6 và loại 7 là những ĐKB không tuyến tính

9.3.3 Mô hình bài toán dẫn nhiệt

Bài toán dẫn nhiệt có thể được mô tả bằng một hệ phương trình vi phân (t) gồm phương trình vi phân dẫn nhiệt và các phương trình mô tả các đIều kiện đơn trị như đã nêu ở mục (9.3):

⎪⎩

⎪

⎨

τ

∂

∂

dkdt các tả

mô

trinh phưong Các

t a

t )

t

(

2

Giải bài toán dẫn nhiệt là tìm hàm phân bố nhiệt độ t(x, y, z, τ) thoả mãn mọi phương trình của hệ (t) nói trên

9.4 Dẫn nhiệt ổn định trong vách phẳng

9.4.1 Vách 1 lớp, biên loại 1

9.4.1.1 Bài toán

Cho 1 vách phẳng rộng vô hạn, dày δ, (0 ≤ x ≤ δ), làm bằng vật liệu đồng chất có hệ số dẫn nhiệt λ = const, nhiệt độ tại hai mặt vách phân bố đều bằng t1, t2

và không đổi

Tìm phân bố nhiệt độ t(x) bên trong vách Bài toán dẫn nhiệt ổn định này

được mô tả bởi hệ phương trình (t) có dạng:

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

= δ

=

=

(3)

(2)

(1)

2 1 2 2 t ) ( t t ) 0 ( t 0 dx t d ) t (

9.4.1.2 Tìm phân bố nhiệt độ t(x) Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân dẫn nhiệt (1) có dạng

t(x) = C1x + C2 Các hằng số C1, C2 được xác định theo các ĐKB (2) và (3): ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ư δ = → = + δ = δ = = ) t t ( 1 C t C C ) ( t t C ) 0 ( t ) t ( 1 2 1 2 2 1 1 2

Vậy phân bố nhiệt độ trong vách là t(x) = t1 1(t1 ưt2)x

δ

thẳng qua 2 điểm (0 t1) và (δ, t2)

9.4.1.3 Tính dòng nhiệt dẫn qua vách

Theo định luật Fourier ta có:

R

t t t dx

dt

λ ρ

ư

= λ

ư

với R =

λ

δ

, (m2K/W) gọi là nhiệt trở của vách phẳng

9.4.2 Vách n lớp, biên loại 1

9.4.2.1 Bài toán

Cho vách phẳng n lớp, mỗi lớp thứ i dày δ, có hệ số dẫn nhiệt λ, 2 mặt biên

có nhiệt độ không đổi, phân bố đều và bằng t0, tn cho trước Tính dòng nhiệt q qua vách và nhiệt độ các mặt tiếp xúc ti, ∀i = 1 ữ (n-1)

9.4.2.2 Lời giải

Khi ổn định, dònh nhiệt q qua mọi

lớp là không đổi:

n n

n 1 n

i i

1 i i

1 1

1

t

q

λ δ

ư

= λ δ

ư

= λ

δ

ư

Đây là hệ n phương trình đại số

tuyến tính của ẩn số ti và q bằng cách khử

các ẩn số ti, ∀ i = 1 ữ (n-1), sẽ tìm được:

∑

∑

∆

= λ δ

ư

=

=

i n

1

i i

i

n 0

R

t t

t

Thay q vào lần lượt mỗi phương trình ta tìm được nhiệt độ các mặt tiếp xúc:

ti = ti-1 - 1 (ti 1 ti)x

i

ư

Phân bố nhiệt độ trong mỗi lớp thứ I là đoạn thẳng có dạng:

ti(x) = ti-1 - 1 (ti 1 ti)x

i

ư

9.4.3 Vách một lớp, biên loại 3

9.4.3.1 Bài toán

Cho vách phẳng rộng vô

hạn, dày δ, hệ số dẫn nhiệt λ =

const, mặt x = 0 tiếp xúc với

chất lỏng 1 có nhiệt độ tf1 với

hệ số toả nhiệt α1, mặt x = δ

tiếp xúc với chất lỏng 2 có

nhiệt độ tf2 với hệ số toả nhiệt

α2, tìm phân bố nhiệt độ t(x)

trong vách

Mô hình bài toán có dạng:

[ ]

[ ] ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ δ λ ư = ư δ α λ ư = ư α = (3)

(2)

(1)

dx ) ( dt t ) ( t dx ) 0 ( dt ) 0 ( t t 0 dx t d ) t ( 2 f 2 1 f 1 2 2 9.4.3.2 Tìm phân bố t(x) Nghiệm tổng quát của (1) là: t(x) = C1x + C2 Các hằng số C1, C2 được xác định theo (2) và (3):

⎩ ⎨ ⎧ λ ư = ư + δ α λ ư = ư α 1 2 f 2 1 2 1 2 1 f 1 C ) t C C ( C ) C t (

Giải hệ này ta được: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ α λ + = α λ + δ + α λ ư = 1 2 1 f 2 2 1 2 f 1 f 1 C t C t t C

Do đó phân bố t(x) có dạng: ⎜⎜⎝⎛ + αλ ⎟⎟⎠⎞ α λ + δ + α λ ư ư = 1 2 1 2 f 1 f 1 f t t x t ) x ( t Đồ thị t(x) là đoạn thẳng đi qua 2 điểm ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ α λ ư f1 1 1 , t R và ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ α λ + δ f2 2 2 , t R được gọi là các điểm định hướng của ĐKB loại 3

9.4.3.3 Tính doang nhiệt q Theo định luật Fourier ta có:

2 1 2 f 1 f 1 1 1 t t C dx dt q α + λ δ + α ư = λ ư = λ ư = , (W/m2), Theo biểu thức t(x) có thể tính nhiệt độ tại 2 mặt vách theo:

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ α λ + δ α λ + δ + α λ ư ư = δ = α α + λ δ α + ư ư = = 1 2 1 2 f 1 f 1 f 2 w 2 1 1 2 f 1 f 1 f 1 w t t t ) ( t t 1 t t t ) 0 ( t t

9.5 Dẫn nhiệt trong vách trụ

9.5.1 Trụ một lớp, biên loại 1

Bài toán: Cho vách trụ 1 lớp đồng chất, bán kính trong r1, ngoài r2, λ = const, hai mặt biên có nhiệt độ t1, t2 Tìm phân bố nhiệt độ t(r) trong trụ và nhiệt lượng

ql = ,

l

Q

(W/m), truyền qua 1m dài mặt trụ Trong toạ độ trụ, mô hình bài toán trên

có dạng:

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

=

=

= +

(3)

(2)

(1)

2 2

1 1 2 2

t ) r t

t ) r t

0 dr

dt r

1 dr

t d ) t (

9.5.1.2 Tìm phân bố t(r)

dr

dt

u= thì phương trình vi phân dẫn nhiệt (1) có dạng:

0 r

u dr

du

=

r

dr u

du

ư

Lấy tích phân lần 1 ta có:

Lnu = - ln r + ln C1 =

r ln

C

hay

r

dt C dt r

C u dr

dt

1

=

Lấy tích phân lần 2 ta có nghiệm tổng quát của (1) là:

Các hằng số C1, C2 được tính theo ĐKB (2) và (3):

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

ư

=

ư

ư

=

→

⎭

⎬

⎫ +

=

=

+

=

=

1 1 1 2

1 2

2 1 1

2 2 1 2 2

2 1 1 1 1

r ln C t C

r

r ln

t t C C

r ln C t ) r t

C r ln C t ) r

Vậy phân bố nhiệt độ trong vách trụ có dạng:

1 1 2

2 1 1

r

r ln r

r ln

t t t ) (

ư

=

Đường cong t(r) có dạng logarit đi qua 2 điểm (r1, t1) và (r2, t2)

9.5.1.3 Tính nhiệt lượng

Dòng nhiệt qua 1m2 mặt trụ bán kính r bất kỳ là:

1 2

2 1 1

r

r ln r

) t t ( r

C dr

dt

= λ

ư

= λ

ư

luôn giảm khi r tăng Lượng nhiệt qua 1m dài mặt trụ bán kính r bất kỳ là:

l 1 2

2 1 1 l

R t r

r ln 2 1

) t t ( C 2 l

rl 2 q l

Q

= πλ

ư

= πλ

ư

=

π

=

Với

1

2 l

r

r ln 2

1 R

πλ

mặt trụ, không phụ thuộc vào bán kính r nên ql được coi là 1 đại lượng đặc trưng cho dẫn nhiệt qua vách trụ

9.5.2 Trụ n lớp biên loại 1

9.5.2.1 Bài toán

Cho vách trụ n lớp, bán kính trong

r0, r1, ri, rn, có hệ số dẫn nhiệt λi,

có nhiệt độ 2 mặt biên không đổi t0, tn

Tìm lượng nhiệt ql , qua 1m dài mặt trụ,

nhiệt độ ti, ∀ i = 1 ữ (n-1) các mặt tiếp

xúc và phân bố nhiệt độ ti(r) trong mỗi

lớp

9.5.2.2 Lời giải

Vì ql = const với mọi lớp nên có hệ

phương trình:

, i 1 n,

r

r ln 2 1

) t t (

1

i i

i 1 i

πλ

ư

=

∑

ư

Bằng cách khử (n-1) ẩn ti, ∀ i = 1 ữ (n-1) se thu được:

,

r

r ln 2 1

) t t (

1

i i

n 0 l

∑

ư

r

r ln 2

1 R

n

1

i i

Tính ti, ∀ i = 1 ữ (n-1) lần lượt theo ql ta được:

), 1 n ( 1 i , r

r ln 2

1 t

t

1 i i

i 1

l

πλ

ư

=

ư

ư

Phân bố nhiệt độ trong mỗi lớp thứ i có dạng:

), 1 n ( 1 i , r

r ln r

r ln

t t t ) ( t

1 i 1 i i

1 i i l

ư

ư

ư

là đường cong logarit đI qua 2 điểm (ri-1, ti-1) và (ri, ti)

9.5.3 Vách trụ một lớp biên loại 3

9.5.3.1 Bài toán

Tìm phân bố nhiệt độ t(r) trong vách trụ

đồng chất có r1, r2, λ cho trước, mặt trong tiếp

xúc với chất lỏng nóng có tf1, α1, mặt ngoài

tiếp xúc với chất lỏng lạnh có tf2, α2 Trong toạ

độ trụ, mô hình bài toán có dạng:

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

λ

ư

=

ư α

λ

ư

=

ư α

= +

(3)

(2)

(1)

) r t t

) r t

) r t ) r t t

0 dr

dt r

1 dr

t d

)

t

(

2 r 2

f 2 2

1 r 1

1 f 1

2

9.5.3.2 Tìm phân bố t(r)

Nghiệm tổng quát của (1) là: t(r) = C1x + C2 Các hằng số C1, C2 được xác

định theo các ĐKB (2) và (3):

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

λ

ư

=

ư + α

λ

ư

=

ư

ư α

2

1 2

f 2 2 1 2

1

1 2

1 1 1 f 1

r

C )

t C r ln C (

r

C )

C r ln C t (

Giải ra ta được:

; r

r ln r r

t t C

1 2 2

2 1 1

1 f 2 f 1

+ α

λ + α λ

ư

Vậy:

+ α

λ + α λ

ư

ư

=

1 1 1 1 2

2 2 1 1

2 f 1 f 1

f

r r

r ln r

r ln r r

t t t

) (

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ α

λ

1 1

1 r , t

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ α

λ

2 2

9.5.3.3 Tính nhiệt lượng q 1

Lượng nhiệt qua 1m dài mặt trụ không đổi và bằng: