Hệ toạ độ và biến đổi toạ độ Hệ toạ độ Trong hình học Ơclit chúng ta cho rằng các đại lượng y1, y2, y3 các các toạ độ trong hệ Đề-các trực giao... Trong các công thức có chứa tích các s
Trang 1PHỤ LỤC MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ TEN XƠ VÀ GIẢI TÍCH TEN XƠ
1.CÁC KHÁI NIỆM VỀ VÉC TƠ VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI TOẠ ĐỘ
1.1 Hệ toạ độ và biến đổi toạ độ
Hệ toạ độ
Trong hình học Ơclit chúng ta cho rằng các đại lượng y1, y2, y3 các các toạ độ trong hệ Đề-các trực giao Các đại lượng
) , , (y1 y2 y3 x
xα= α (1)
được xác định như các toạ độ cong xα trong trong miền V nếu như hàm (1) cho phép biến đổi nghịch đảo
) , , (x1 x2 x3 y
yα = α (2)
Mặt xα = const được gọi là mặt tạo độ và đường cong mà trên đó chỉ có một toạ độ duy nhất biến đổi được gọi là đường toạ độ
Hình 1 Hệ toạ độ và véc tơ cơ sở của hệ toạ độ
x2
x3
O
M
e1
e2
e3
x1
Trang 2Cho điểm cố định O là gốc toạ độ và bán kính véc tơ OM , người ta đưa ra
định nghĩa các véc tơ cơ sở e1, e2, e3 như sau:
x
eα ∂OMα
∂
= (3)
Theo định nghĩa trong hình học giải tích đây chính là các véc tơ tiếp tuyến với đường toạ độ xα tại điểm M
Đối với các véc tơ a bất kỳ ta có thể phân tích về dạng thành phần thông
qua các véc tơ cơ sở:
e a e a e
a
a = 1 1 + 2 2 + 3 3
Bên cạnh các véc tơ cơ sở eα người ta còn đưa ra định nghĩa về đối véc
tơ cơ sở eα theo mối tương quan hàm như sau:
δβ α
α
αe = .
e
trong đó
⎩
⎨
⎧
=
↔
≠
↔
=
β α
β α
δβ
α 1
0
.
Trong trường hợp đó véc tơ a bất kỳ ta có thể phân tích về dạng thành
phần thông qua các véc tơ cơ sở eα như sau:
e a e a e a e a
a = + + 3= α α
3
2 2
1
Các thành phần aα được gọi là các thành phần covariant và aα tương ứng là contrecovariant Đối với hệ toạ độ Đề-các thì các thành phần này hoàn toàn tương đương Trong các công thức có chứa tích các số hạng kèm theo chỉ số, nếu các chỉ số trùng nhau thì đó là tổng của các thành phần với các chỉ số biến đổi từ 1 đến 3
Tại điểm M từ hai hệ véc tơ cơ sở ta có thể thu được một ma trận đối xứng:
e e
mαβ = α β và mαβ =eαeβ
Trang 3Từ các biểu thức này ta có:
a e e a e e a e a e e a a e e a
β β β
α α β β
α α α β α
α
và tương tự
a a
m β α
αβ = , m eβ eα
αβ = , m e eβ
α
αβ = Đồng thời ta cũng thu được:
δω α
ωβ
αβm = .
m
điều này cho ta thấy hai ma trận mαβ và mωβ nghịch đảo nhau
Trên các cơ sở định nghĩa và hệ quả nêu trên chúng ta có thể đưa ra biểu thức tích vô hướng hai véc tơ như sau:
b a b a m b a m b
αβ β
α
Ta cũng có thể viết công thức tính khoảng cách giữa hai điểm M’(xα+dxα)
và M(xα), biết rằng
x e x
x d d
OM OM
OM
α
=
∂
∂
=
−
từ đó
x x
m d d
ds2 = αβ α β
Biến đổi toạ độ
Cho rằng cũng trong miền V nêu trên ta có thể xác định một hệ toạ độ khác liên quan tới xα theo các hệ thức mới:
) , ,
' '
x x x x
xα = α và xα= xα(x1',x2',x3') (4)
Như vậy tương tự như trên ta cũng thu được các véc tơ cơ sở và các ma
' '
' ', α, αβ , αβ
'
, α
α
Trang 4Dựa vào định nghĩa véc tơ cơ sở ta có các biểu thức liên quan giữa hai hệ toạ độ nêu trên
e x
x x
x x x
α α
α α α
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
và ngược lại
e x
x x
x x x
' '
α α
α α α
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
Tuy các thành phần toạ độ của một véc tơ phụ thuộc vào hệ toạ độ lựa chọn, nhưng bản thân véc tơ là không đổi vì vậy đối với một véc tơ bất kỳ ta có: a =aα'eα'=aαeα
Sử dụng công thức (6) ta có:
a x
x
a α α
α α
∂
∂
=
' '
(7)
và hoàn toàn tương tự
a
x x
a α α
α
α ' ∂ '
∂
= (8)
Như vậy giữa hai hệ toạ độ nêu trên tồn tại một ma trận chuyển đổi A như sau:
x x
A ' α '
α α
α ∂
∂
x
x
α α
α ∂
∂
=
' '
.
Các công thức (7) và (8) cũng là điều kiện để tập hợp 3 số aα , aα và aα '
,
aα 'là các thành phần của một véc tơ a
Để làm rõ điều này chúng ta dẫn ra một ví dụ chứng minh rằng ba đại lượng đạo hàm riêng theo các biến toạ độ của một đại lượng vô hướng ϕ bất kỳ
là các thành phần của một véc tơ Ta có thể viết
Trang 5x x
x x
x x
α α
α α α
ϕ ϕ
ϕ
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
' '
'
và
x x
x x
x x
' '
α α
α α α
ϕ ϕ
ϕ
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
Như vậy chúng hoàn toàn tuân theo các điều kiện (7) và (8) do đó 3 đại lượng
xα
ϕ
∂
∂
là thành phần của một véc tơ, véc tơ đó được gọi là gradient của hàm vô hướng ϕ và thông thường được viết trong dạng sau:
e x
e x
e x
e x
α α
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ
∂
∂
=
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
=
3
2 2
1 1
Phụ thuộc vào tính chất của bài toán người ta có thể chọn các toạ độ covariant hoặc contrecovariant
2.TEN-XƠ VÀ MỘT SỐ PHÉP TÍNH TOÁN TEN-XƠ
2.1 Định nghĩa về ten-xơ
Trong khi nghiên cứu và giải quyết các bài toán vật lý và cơ học, các khái niệm về đại lượng vô hướng và véc tơ chưa cho phép mô tả được đầy đủ tất cả các yếu tố và đặc trưng cơ bản Ví dụ, khi một véc tơ lực tác động lên một bề mặt bất kỳ tại một điểm M, ta cần phải biết véc tơ pháp tuyến của bề mặt tại điểm đó Chúng ta đã biết lực tác động lên bề mặt theo hướng xα sẽ được xác định theo véc tơ sức căng hay áp lực theo hướng đó:
n p n p n p n p n p
3
2 2
1 1
.
α α
α β α β
α
Như vậy để xác định đầy đủ lực mặt tác động lên một điểm M của bề mặt
ta cần 9 đại lượng pα.β Chín đại lượng này có thể viết trong hệ toạ độ xα ’ theo quy luật đã được trình bày trong các công thức (7) và (8) trên cơ sở cho rằng các thành phần của véc tơ có thể thay đổi phụ thuộc vào hệ toạ độ nhưng bản thân véc tơ lại không đổi:
Trang 6p x
x x
x
β α
α α
' '
'
∂
∂
∂
=
Điều này hoàn toàn tương tự trong phép chuyển đổi ngược lại của hệ toạ
độ
Tương tự như khi đưa ra định nghĩa véc tơ đối với tập hợp 3 đại lượng aα, ngời ta cũng đưa ra khái niệm ten-xơ bậc hai cho 9 đại lượng pα.β Thông thường ten-xơ bậc hai được viết trong dạng p Điều này cũng có thể áp dụng đối với 27 đại lượng qαβ γ :
q x
x x
x x
x
γ β
β α
α β
α
' '
'
'
∂
∂
∂
∂
∂
= (10)
là thành phần của một ten-xơ bậc ba
Điều kiện tương tự (10) là cơ sở để đưa ra định nghĩa ten-xơ các bậc khác nhau, trong đó ta dễ dàng nhận thấy các đại lượng vô hướng là ten-xơ bậc không và véc tơ là ten-xơ bậc nhất
2.2 Một số tính chất cơ bản của ten-xơ
a Hai ten-xơ được xem là bằng nhau nếu như trong cùng một hệ toạ độ các thành phần tương ứng của các ten-xơ đó như nhau
b Ten-xơ được xem là đối xứng theo các cặp chỉ số trên hoặc dưới tương ứng nếu như khi hoán vị chúng các thành phần đó không thay đổi giá trị: Aαβ = Aβα Nếu như khi hoán vị các thành phần đó chỉ đổi dấu mà không thay đổi giá trị tuyệt đối thì ten-xơ đó được gọi là bất đối xứng: Aαβ =− Aβα
c Tổng hai ten-xơ cùng loại được xác định theo công thức sau:
C A Bαβγ
α βγ
α
. = +
d Tích của hai ten-xơ A và B là ten-xơ C có các thành phần như sau:
γ αβ
γνμ
ω
=
Trang 7e Khi có các chỉ số trùng nhau là biểu thức tổng theo các chỉ số đó và kết quả cho ta một ten-xơ mới:
A Aνααβλ
βλ ν
.
f Với một ten-xơ B bất kỳ nếu ta có:
A βγαBβγ =Cα
với C là ten-xơ thì các đại lượng Aβγα
cũng là thành phần của một ten-xơ A
2.3 Một số ten-xơ đặc trưng
Dựa vào phép biến đổi các công thức liên quan tới các thành phần δα
β ta có:
x x x
x x
x x
x x
x
' '
'
' '
'
β β
β β
α β
β α
β β
α β
β α
α
δ
δ = = ∂∂ ∂∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
(trong khi biến đổi đã cho các chỉ số α = β trong thành phần δα
β )
Hoàn toàn tương tự có thể viết công thức đối với δα
β :
x
x
x x β
α α
α β
α
δ = ∂∂ ∂∂
' '
Như vậy theo định nghĩa thì δ cũng là một ten-xơ
Chúng ta có thể chứng minh một cách hoàn toàn tương tự các công thức thành phần mαβ và mωβ đã dẫn ra trên đây
Trang 8c Ten-xơ ε
Ten-xơ ε được xác định bởi các thành phần theo các công thức sau:
αβγ αβγ
ε
ε = 1 , =
trong đó: m là định thức của ma trận mαβ: m = mαβ ,
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
) ( 1
) ( 1
) ( 0
iii ii
i
eαβγ
với các điều kiện tương ứng: (i) nếu như hai chỉ số bằng nhau; (ii) nếu như 3 chỉ số tạo thành hoán vị chẵn 1,2,3 và (iii) – ba chỉ số tạo thành hoán vị lẻ 1,2,3
Dựa vào định nghĩa này ta có thể chứng minh rằng tích véc tơ của hai véc
tơ cũng là một véc tơ Thực vậy:
e b a e
b e a b
γ β αβγ β
β α α
ε
=
×
=
Trong khi biến đổi đã sử dụng định nghĩa tích hỗn hợp ba véc tơ
( a b c ) aαbβcγ
αβγ
ε
và định nghĩa của các véc tơ cơ sở:
e e e e e
3 2 1 3
2× =( )
e e e e e
3 2 1 1
3× =( )
e e e e e
3 2 1 2
1× =( )
Trang 93 MỘT SỐ QUY TẮC VÀ PHÉP TÍNH TEN-XƠ
3.1 Đạo hàm
b Đạo hàm của một tích tuân theo quy luật sau:
μ
α β
γ μ
α β
γ μ
α
∇
c Đạo hàm của các ten-xơ m , δ , ε bằng không
3.2 Một số toán tử đạo hàm ten-xơ
x
a x
a a
m
α α
α
∂
∂
= +
∂
∂
=
∇
) (
trong đó Γγ
αβ là ký hiệu Cristofel:
x
e
eγ αβ
γ
αβ
∂
∂
=
hay
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
=
Γ
x
m x
m x
m
αβ α
χβ β
χα γχ
γ
αβ 2
1
Như vậy div của một véc tơ là một đại lượng vô hướng
áp dụng toán tử div đối với một ten-xơ bậc hai cho ta một véc tơ:
x a
a x
a
m
νμ β νμ
αβ α
χν β χν αβ χ χα α
αβ αβ
∂
∂
= +
+
∂
∂
=
b Gradient
Trang 10Như đã trình bày ở phần trước gradient của một đại lượng vô hướng là một véc tơ Có thể viết trong dạng khai triển sau:
e x m
αβ
ϕ
α ϕ
∂
∂
=
∇
=
∇
Như vậy áp dụng toán tử gradient làm tăng bậc ten-xơ, gradient của một véc tơ là một ten-xơ bậc hai với các thành phần của ∇a là ∇αaβ
c Laplace
Laplace của một đại lượng vô hướng cũng là một đại lượng vô hướng
( )ϕ
β α
β
αβ χ
χ
χ αβ
αβ β
α αβ αβ
ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
∇
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
=
=
∂
∂
−
∂
∂
∂
=
∇
∇
=
div m
x
m x x m m
1
2
Laplace của một véc tơ là một véc tơ: Δa =∇(diva )−rot(rota ), trong đó rot của một véc tơ được hình thành từ một ten-xơ bất đối xứng sau đây:
a
aβ β α
Các thành phần của véc tơ rot được xác định như sau:
a a
αβγ β
γ αβγ
ω = (∇ −∇ )= ∇
2
1
Với α = 1, ta thu được thành phần thứ nhất của véc tơ rot:
) (
1
3
2 2
3 1
x
a x
a
∂
−
∂
∂
=
3.3 Một số thí dụ tính toán ten-xơ trong hệ toạ độ trực giao
Theo định nghĩa, đối với hệ toạ độ trực giao ta có:
Trang 11⎪
⎨
⎧
=
≠
=
=
j i khi
j i khi
h e e
m
i j i
ij 2
0
trong đó hi là độ dài của véc tơ cơ sở tương ứng thường đợc gọi là hệ số Lamê
Hệ số này được xác định từ ten-xơ m như sau:
m
hi= ii
Khi chuyển từ hệ toạ độ Đề các α’ sang hệ toạ độ mới α ta có:
m
x x
x x
β α
α β
α ' ' '∂ '
∂
∂
∂
và từ đây khi i=j
x
x x
x
mii i ∂ i
∂
∂
∂
=
α α
Sử dụng kết quả trên có thể đưa ra ví dụ đối với công thức tính div:
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∂
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂ +
∂
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂ +
∂
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
=
∧
∧
∧
x
a h h x
a h h x
a h h h
h h a
2 1 2
1 3 1
3 2
3 2 1
3 2
1 1
trong đó a∧α là thành phần của véc tơ a theo các véc tơ cơ sở mới xác định theo công thức sau:
e m u
e m u
e m
33 3
2 22 2
1 11 1
1 ,
1 ,
=
Có thể viết biểu thức div a cho hệ toạ độ cầu trên cơ sở các công thức trên đây
Chúng ta đều biết tương quan giữa toạ độ Đề các và toạ độ cầu được mô tả như sau:
Trang 12ϕ θ
ϕ θ
cos
sin sin
cos sin
3
2
1
r
r
r
x
x
x
=
=
=
Ta có thể tìm được giá trị hệ số Lamê theo định nghĩa: h1 = 1, h2= r, h3 =
r sinθ Như vậy vận tốc trong hệ toạ độ cầu sẽ là:
t
r t
x h v
∂
=
∂
∂
=
=
' 1 1 1
t
r t
x h v
∂
∂
=
θ
' 2 2 2
t
r t
x h v
∂
∂
=
θ
' 3 3 3
và đối với div
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂ +
∂
∂ +
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
r
sin
1 sin
1
2
Hoàn toàn tương tự ta có thể viết các phương trình thuỷ nhiệt động lực trong các hệ toạ độ khác nhau sử dụng các công thức và toán tử cơ bản của giả tích ten-xơ
