skkn rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị hình học

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRUNG NGẠNSÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC Môn: TOÁN Tác giả: Nguyễn Thành Giá

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRUNG NGẠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC

Môn: TOÁN

Tác giả: Nguyễn Thành Giáp

Giáo viên môn Toán

NĂM HỌC 2013 - 2014

I.1 Bài toán cực trị hình học

I.2 Một số dạng Toán cực trị hình học thường gặp

3

I.3 Một số phương pháp giải toán cực trị hình học 5

II RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH NHẰM RÈN LUYỆN KỸ

NĂNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC

8

I HỆ THỐNG CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH CÓ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC

I.1 Mục tiêu

I.2 Hệ thống các bài toán điển hình

I.2.1 Một số bài toán cực trị trong hình học không gian tổng hợp

8

I.2.2 Một số bài toán cực trị trong hình học giải tích 17

I.2.3 Một số bài toán cực trị hình học có ứng dụng thực tiễn 24

II KHẢ NĂNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HS LỚP 12

THÔNG QUA DẠY GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC

MỞ ĐẦU

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Chương trình Giải tích THPT, đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm giữ vaitrò chủ đạo Thực trạng dạy và học toán ở trường THPT cho thấy: Do vai tròchủ đạo của đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong chương trình toán nênphần lớn giáo viên và học sinh rất chú trọng Bên cạnh đó có nhiều sách thamkhảo viết về ứng dụng của đạo hàm để giải toán nói chung Tuy nhiên về bàitoán cực trị hình học và việc ứng dụng của đạo hàm giải loại toán này thì đa sốhọc sinh đối với cả học sinh còn chưa được rèn luyện, thậm chí ít được tiếpcận Trên thực tế có rất ít tài liệu tham khảo viết có hệ thống về loại toán này.Vấn đề cực trị hình học khó đối với học sinh vì nó đòi hỏi kiến thức tổng hợp

về hình học, đại số, giải tích và nó đòi hỏi học sinh phải có thói quen ứng dụngtổng hợp kiến thức Nếu rèn luyện được kỹ năng giải loại toán này thì khôngchỉ học sinh nắm được hệ thống tri thức toán mà còn góp phần rèn luyện nănglực giải toán, kỹ năng vận dụng tri thức toán vào thực tiễn, phát triển tư duytoán học cho học sinh Vì vậy việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giảitoán cực trị hình học là một nhu cầu thiết yếu đối với học sinh, đặc biệt là học

sinh khá, giỏi lớp 12 Vì lẽ đó tôi chọn đề tài: Rèn luyện kỹ năng ứng dụng

đạo hàm để giải toán cực trị hình học

2 MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu lí luận về kỹ năng, kỹ năng giải toán và một số biện pháp rènluyện kỹ năng giải toán cho học sinh THPT

- Rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị của hàm số

- Tìm hiểu thực trạng của việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm tronggiải toán cực trị hình học

- Tìm hiểu bài toán cực trị hình học và nêu quy tắc giải bài toán cực trị hìnhhọc có ứng dụng của đạo hàm

- Xây dựng hệ thống các bài tập điển hình nhằm rèn luyện kỹ năng ứng dụng

- Bước đầu thử nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài

3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Phương pháp nghiên cứu lý luận:

Nghiên cứu một số giáo trình phương pháp dạy học môn toán, SGKphổ thông, Sách bồi dưỡng giáo viên THPT, các sách tham khảo, các tạp chí vềgiáo dục

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm:

Tổng kết kinh nghiệm qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy, qua trao đổikinh nghiệm với một số giáo viên giỏi bộ môn Toán ở trường THPT Từ đó xâydựng được hệ thống các bài tập điển hình và những gợi ý dạy học nhằm rènluyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm trong giải toán cực trị hình học

- Phương pháp quan sát, điều tra:

Quan sát và điều tra thực trạng dạy học giải toán cực trị hình học đối vớihọc sinh lớp 12, qua đó nắm bắt được nhu cầu của việc rèn luyện kỹ năng ứngdụng của đạo hàm cho học sinh khá, giỏi lớp 12

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm:

Thử nghiệm việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải toán

cực trị hình học thông qua chuyên đề tự chọn môn toán lớp 12 Bước đầu kiểmnghiệm tính khả thi và hiệu quả của nội dung đã được xây dựng trong đề tài

4 ĐỐI TƯỢNG VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU

Đối tượng nghiên cứu đề tài là học sinh lớp 12 trường THPT NguyễnTrung Ngạn, năm học 2013 - 2014

5 BỐ CỤC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Mở đầu

Chương I Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương II Rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải toán cực trịhình học

Kết luận

Tài liệu tham khảo

CHƯƠNG I

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

I BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC

I.1 Bài toán cực trị hình học

Trong chương trình THPT hầu như các bài toán cực trị hình học có dạngchung là: Trong tất cả các hình có chung một tính chất, tìm hình mà một đạilượng nào đó (độ dài, khoảng cách, số đo góc, số đo diện tích, số đo thểtích, ) có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất

Giả sử hình H thay đổi trên miền D mà vị trí hay hình dạng của nó thay

đổi theo một đại lượng cho bởi biểu thức f ứng với sự biến thiên của tập các

biến số X trên tập xác định D

Khi tìm vị trí hay hình dạng của hình H trên miền D sao cho f đạt giá

trị lớn nhất ta phải xác định được hai điều kiện sau:

1 Với mọi vị trí hay dạng của hình H trên miền D thì f  M (là hằng số)

2 Tồn tại vị trí hay dạng của hình H trên miền D sao cho f = M

Khi tìm vị trí hay hình dạng của hình H trên miền D sao cho f đạt giá

trị nhỏ nhất ta phải xác định được hai điều kiện sau:

2 Tồn tại vị trí hay dạng của hình H trên miền D sao cho f = m.

I.2 Một số dạng Toán cực trị hình học thường gặp

Dạng 1: Xác định khoảng cách (độ dài đoạn thẳng) lớn nhất hay nhỏ nhất Dạng 2: Các bài toán xác định diện tích đa giác, diện tích hình tròn

lớn nhất, nhỏ nhất

Dạng 3: Các bài toán xác định thể tích đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Dạng 4: Các bài toán xác định và tính góc lớn nhất hay nhỏ nhất.

- Biết cách dựng đường vuông góc từ một điểm đến một đường thẳng, đến

một mặt phẳng đặc biệt là đường vuông góc tới mặt phẳng

- Biết vận dụng kiến thức hình học vào việc chứng minh: song song, vuông

góc, chéo nhau,

- Biết cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.

- Biết cách so sánh, đặt tương ứng khoảng cách cần tìm với khoảng cách

nào đó để tiện cho việc tính khoảng cách

- Biết cách vận dụng thành thạo các công thức liên quan đến tính khoảng

cách, tính độ dài của đoạn thẳng

- Kỹ năng vẽ hình không gian

- Kỹ năng nhận dạng các hình đăc biệt như: tam giác(tam giác vuông, cân,

đều), Tứ giác có hai đường chéo vuông góc, hình bình hành, hình thoi, chữnhật

- Kỹ năng nhận dạng các đa diện đặc biệt như: đa diện đều, hình chóp đều,

lăng trụ đứng, lăng trụ đều, hình hộp, hộp chữ nhật, lập phương

- Biết vận dụng linh hoạt các công thức vào tính toán

- Kỹ năng nhận dạng các khối đa diện đặc biệt

- Kỹ năng xác định chiều cao của hình chóp, lăng trụ, hình trụ, hình nón

- Kỹ năng vận dụng linh hoạt các công thức tính thể tích, công thức về tỉ số

các thể tích của các khối chóp tam giác

- Kỹ năng dựng góc giữa hai đường thẳng trong không gian, góc giữa

đ-ường thẳng với mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng

- Biết cách thiết lập tương ứng sự thay đổi độ lớn của đoạn thẳng (góc, diện

tích, thể tích ) với các đại lượng (biến số) hay hàm số của một hay nhiều biếnsố

- Biết vận dụng các phương pháp tìm cực trị, GTLN, GTNN.

I.3 Một số phương pháp giải toán cực trị hình học

Ph

bất đẳng thức trong tam giác

Ph

1 Các kỹ năng chung giải toán cực trị hình học: Vẽ hình, chứng minh,

nhận dạng, áp dụng công thức, tính toán và biến đổi linh hoạt, so sánh,

2 Các kỹ năng giải toán cực trị, tìm GTLN, GTNN của hàm số: Kỹ năng

tính đạo hàm, xét dấu của đạo hàm, kỹ năng vận dụng các quy tắc tìm cực trị,tìm GTLN, GTNN của hàm số

3 Kỹ năng vận dụng quy trình 4 bước để giải toán cực trị hình học bằng

phương pháp hàm số có ứng dụng của đạo hàm

II.2 Một số khó khăn và sai lầm khi giải toán cực trị hình học

Khi giải toán hình học nói chung, giải toán cực trị hình học đặc biệt là hìnhhọc không gian, học sinh lớp 12 kể cả học sinh khá, giỏi môn Toán đã và có thểmắc những khó khăn và sai lầm sau:

1 Trong vẽ hình không gian: khó khăn do hình vẽ phức tạp, phương tiện

hỗ trợ còn thô sơ (thước kẻ và compa), quy tắc vẽ hình không gian đơn giảnsong để vẽ đúng hình trong các trường hợp cụ thể còn gặp khó khăn như xác

2 Khó khăn trong việc áp dụng các định lý, đặc biệt là cách xác định góc,

khoảng, cách dẫn đến xác định sai góc, và khoảng cách

3 Sai lầm khi không xét bài toán ở trường hợp đặc biệt, trường hợp không

tồn tại theo giả thiết

4 Khó khăn và sai lầm trong việc vận dụng các phương pháp giải toán cực

trị hình học: so sánh các đại lượng, áp dụng bất đẳng thức, sử dụng phươngpháp hàm số

Ví dụ 1 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a Đườngchéo BC’ hợp với mặt bên BAA’B’ một góc  Tính thể tích hình lăng trụ

Nối BA’ Góc  = C’BA’ từ đó tính toán được: V = 1 4sin 2

2 sin 8

a

(?) Sai lầm chính của lời giải là việc xác định góc giữa BC’ với mp(BAA’B’)

Lẽ ra theo định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ta phải tìm góc giữa đường thẳng với hình chiếu của nó lên mp

Do tam giác A’B’C’ đều nên gọi I là trung điểm của A’B’  C’I  A’B’ và C’I

 (A’B’BA) vì lăng trụ cho là đều Từ đó suy ra  = C’BI, sau khi tính toán

A’

C’

C B

Bài giải

Lập hệ trục toạ độ Descartes vuônggóc Oxyz sao cho O trùng B’,trục Ox chứaA’, trục Oy chứa C’ trục Oz chứa B

Ta có: A(a; 0; a), C(0; a; a), A’(a; 0; 0),

; 2

t t

) nên AC  ( a;a; 0 )

)

; 0

; (

; 0

Do MN nhỏ nhất khi và chỉ khi MN là đoạn vuông góc chung của AC và A’B

0 2 0

'

0

a

t a

at B

A MN

AC MN

hệ này vô nghiệm Vậy giá trị nhỏ nhất không tồn tại!

Lời giải sai lầm ở chỗ vì MN nhỏ nhất trong bài toán này có thể xảy ra mà MNkhông là đoạn vuông góc chung

Lời giải đúng là:

Từ (!) thay là:MN2 =

2 2

M

x

1 Giúp giáo viên có được hệ thống các bài toán ứng dụng của đạo hàm

để giải toán cực trị hình học để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh đặcbiệt là học sinh khá, giỏi

2 Giúp học sinh củng cố, nắm vững kiến thức cơ bản, và có kỹ năng giải

toán cực trị hình học dựa trên kiến thức và kỹ năng giải toán cực trị của hàm số

3 Phát huy tính tự giác,tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh thông

qua việc tự rèn luyện kỹ năng giải toán dạng này

4 Rèn luyện kỹ năng ứng dụng tri thức Toán học vào nội bộ môn Toán,

tăng cường khả năng ứng dụng tri thức Toán học vào thực tế cho học sinh qua

đó học sinh thấy được vai trò của công cụ Toán học

I.2 Hệ thống các bài toán điển hình

I.2.1 Một số bài toán cực trị trong hình học không gian tổng hợp

Bài toán 1 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1 Điểm M chạy

trên đoạn AA’, điểm N chạy trên BC sao cho AM = BN = x (0 < x < 1) P làtrung điểm của C’D’ Dựng thiết diện tạo bởi mp(MNP) của hình lập phương.Tìm x để chu vi thiết diện đạt GTNN

Bài giải

Gọi Q là trung điểm của AB,

Suy ra mặt phẳng (MNP) đi qua Q

D C

vuông tại C, AB = 2a , góc A bằng 300 Gọi M là một điểm di động trên cạnh

AC, SH  BM Đặt AM = x, Tính khoảng cách từ S đến BM theo a và x Tìm x

để khoảng cách đó lớn nhất

Bài giải

SH BM

BM SA

2

2 3

M A

H

C S

0

2 1

1

Tính SH: Ta có AHM ~ BCM  AH =

BM

AM BC.

Mặt khác AM = x, (0  x  a 3)

BC = a; BM = x2  2a 3x 4a2  AH= 2 2

4 3

2a x a x

4

a x a x

x a

2a x a x

0 0

) ( ' : ) 4 3 2 (

8 3 2

2 2 2

2 2

a x

x x

f a x a x

x a x a

Bài toán 3 Cho tứ diện đều cạnh bằng 1 Các điểm M, N di động lần lượt trên

AB và AC sao cho mp(DMN)  mp(ABC) Đặt AM =x, AN =y

a) Chứng minh hệ thức x+y = 3xy

b) Xác định vị trí của M và N để Thể tích của tứ diện ADMN đạt GTLN,GTNN

c) Diện tích toàn phần của tứ diện ADMN đạt GTLN, GTNN

Bài giải

a) Chứng minh hệ thức x+y = 3xy

Hạ DH  (ABC)  H là trọng tâm  AH làphân giác của MAN

Do (DMN)  (ABC)  M, H, N thẳng

hàng Ta có S AMN xy xy

4

3 60

sin 2

3 30 sin 2

1 30 sin 2

S S

S AMN  AMH ANH    

Bài toán quy về tìm t để pt (*) có hai nghiệm thuộc [ 0 ; 1]

 Tìm t để pt

1 3

2 3





z

z z

= 0

3

2 ,

H

y

x B

C

Từ bảng biến thiên suy ra (*) có hai nghiệm  [0; 1] 

xy y x

xy y

6

6 4

3 60

sin 2

) 1 6 ( 2

Bài toán 4.Cho khối chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân

đỉnh C và SA  mặt phẳng(ABC), SC = a Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng(SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất

x 0

f(x) fx x) f’(x)

0

f(x)

-Đặt SCA = x, (0 < x < /2)

Khi đó: SA = asinx, AC = acosx

 VS.ABC = a x a2 2 x a3 sinx cos 2 x

6 2

cos 3

Ta có f’(x) = cos3x - 2cosxsin2x = cosx(3cos2x -2)

Chú ý : Ta có thể đặt sinx = t, (0 < t < 1) xét hàm số f(t) = t(1-t 2 )

Gọi V là thể tích của nó hãy tìm các cạnh của ABCD sao cho V có giá trị lớnnhất

Bài giải

Giả sử AB > 1, khi đó max{AC,AD,BC,CD,DB}  1

Kẻ AH  mặt phẳng(BCD), AE, BF lần lượt

là các đường cao của các tam giác ACD, BCD

M là trung điểm của BC Đặt CD=x  (0; 1]

Theo hệ thức lượng trong tam giác BCD,

có 4BM2 +CD2 = 2(BD2+BC2)

1

3

AH BF CD AH

4 1 ( 6

1

4

1 6

x AH

x x

1 x2

x  đạt giá trị lớn nhất

Xét hàm số f(x)= )

4 1 ( 6

1 x2

2

) 4 1 [(

1 1 ( 1 6

) (

R x

x R R SK

IK SO AO AO

V(x)= ( )

) (

) ( 3

.

3

1

2 2

2 2

R x

x R R SO

x R R

2

R x R x

x R x

R x x

f R

x

R Rx x

x

) (

3 2 )

(

2 2

Bảng biến thiên của f(x) trên khoảng (R;   )

Hàm số f(x) đạt GTNN trên khoảng (R;   ) tại x = 3R,

Suy ra V(x) đạt GTNN =

3

8 R3

khi SO = x = 4R  AO = R 2 Vậy hình nón cần tìm có bán kính đáy AO = R 2 và chiều cao SO = 4R

Bài toán 7 Tìm hình nón nội tiếp mặt cầu bán kính R cho trước sao cho

( 3

3

8R

I S

x 0 1 f’(x)

f(x)

0

-0 -0

R x

R x

x = R/3  [0; R] Ta có f(0) = R3 , f(R) = 0, f(R/3) = 8R2/9.4R/3 = 32R3/27

 f(x) đạt GTLN trên [0; R] tại x = R/3 OI = R/3  O = 2R 2 /3, SO = 4R/3Vậy hình nón nội tiếp mặt cầu bán kính R cho trước có thể tích lớn nhấtkhi bán kính đáy bằng 2R 2/3, chiều cao bằng 4R/3 Max V = 32R3/81

.

cos 2 cos ,

cos

R SA

AO

R SA

SO R

= 4R2(sin2 +sin )cos2  = 4R2(sin2  +sin )(1-sin2 )

Stp lớn nhất  P = (sin2  +sin)(1-sin2 ) lớn nhất

8

17 1

Bảng biến thiên

Vậy Stp LN  sin =

8

17 1  chiều cao của hình nón SO =

16

) 17 23 ( 

Kí hiệu chiều cao, bán kính đáy và thể tích của hình trụ nội tiếp hình cầu lần lượt là h, r và V Khi đó V = r2h Vì r2 = R2 -

3 2

2 2

) ( ' , 4

3 2

h x

Vậy hình trụ nội tiếp hình cầu có bán kính R có thể tích lớn nhất khi chiều

4 R3

I.2.2 Một số bài toán cực trị trong hình học giải tích

và điểm A(-3; 0) Tìm M thuộc (P) sao cho đoạn AM nhỏ nhất, tìm giá trị đó

Dựa vào bảng biến thiên 

Minf(a) = f(-1) = 5  M(-1; 1)

Vậy AM nhỏ nhất bằng 5 khi M (-1 ; 1)

Cách 2

M  (P)  M(a; a2)

Tiếp tuyến tại M có phương trình:y = 2ax-a2 (d),

khoảng cách từ A đến (P) ngắn nhất khi AM  (d)

Ta có AM (a3; a2); u d  ( 1 ; 2a) AM  d

 a+3+2a3 = 0  a = -1 M(-1; 1) AM = 5

Vậy AM nhỏ nhất bằng 5 khi M (-1 ; 1)

Bài toán 10 Trong hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxy cho Elíp (E):

1

4

2

2



y

x và đường thẳng d: x+y - 4 = 0 Tìm N  d, M  (E) sao cho MN nhỏ

nhất.Tìm khoảng cách giữa d và (E)

Bài giải

Do d nằm phía trên (E) nên MN nhỏ nhất 

M  (E) và M nằm phía trên trục Ox

 M(C): y= 2 4 2

2

1 4

1  x   x

 M (x; 4 2

2

1

x

 ) ,x[-2 ; 2] Ta có:

a - -1 +

f’(a) f(a) - 0 +

+

+

(P)