DẤU HIỆU TRỤC ĐỐI XỨNG, TÂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM ĐA THỨC G/v: Nguyễn Văn Nhiệm Trường THPT chuyên lam Sơn, Thanh hoá Trục đối xứng và tâm đối xứng của đồ thị hàm số là những tính
Trang 1DẤU HIỆU TRỤC ĐỐI XỨNG, TÂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ
HÀM ĐA THỨC
G/v: Nguyễn Văn Nhiệm
Trường THPT chuyên lam Sơn, Thanh hoá
Trục đối xứng và tâm đối xứng của đồ thị hàm số là những tính chất hình học quan trọng của hàm số, nó liên quan đến nhiều bài toán mà khi giải sử dụng tới
nó thì đạt được kết quả nhanh chóng Vấn đề đặt ra là đối với một hàm số cho trước làm thế nào nhanh chóng biết được đồ thị của nó có trục đối xứng hay tâm đối xứng không ? Và hãy tìm trục đối xứng, tâm đối xứng đó nếu có
Trong bài viết này tôi xin giới thiệu một phương pháp sử dụng đạo hàm giải quyết một lớp bài toán của yêu cầu trên, đó là lớp đồ thị các hàm đa thức
I LÝ THUYẾT
Cho f x( )=a0 +a x1 + +a x n n (a n ≠0) (1) là một đa thức với các hệ số thực, đối số x ∈ Gọi đồ thị hàm số (1) là (C)
Ta dễ dàng chứng minh được các nhận xét sau:
• Nếu f x( ) là đa thức hằng, hoặc đa thức bậc nhất thì mọi đường thẳng vuông góc với nó đều là trục đối xứng của đồ thị và mọi điểm nằm trên
đồ thị đều là tâm đối xứng của của đồ thị
Bây giờ giả sử deg( )f =n≥2
• Nếu đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng thì n là số tự nhiên lẻ và tâm đối
xứng thuộc đồ thị
• Nếu đồ thị hàm số (1) có trục đối xứng thì n là số tự nhiện chẵn và trục
đối xứng cùng phương với trục O y
Ghi chú Ở đây kí hiệu f( )k ( ),x k ∈ * là đạo hàm cấp k của hàm số f x( ), và (0)
f x = f x
Ta viết f x( )=a0 +a x1 + +a x n n (a n ≠0,n≥2) dưới dạng
f x =b +b x−x + +b x−x
Thế x =x0 vào (2), ta được b0 = f x( ).0
Để xác định b b1, , ,2 b n ta lần lượt đạo hàm hai vế của (2) theo x từ cấp 1 đến cấp n:
1
2
( )
0 ( )
n n
n n
k n
f x b b x x nb x x
f x b n n b x x
f x k b n n n n k x x
f x n b
−
−
−
=
Trang 2Thay x=x0 vào các hệ thức trên ta được
Do đó
( )
n
n
n
Xét phép tịnh tiến hệ trục toạ độ O xy theo vectơ OI =( ; ( )x f x0 0
uur
, ta có công thức chuyển hệ trục toạ độ 0
0
( )
x X x
y Y f x
Trong đó I x f x( ; ( )0 0 là toạ độ của điểm I đối với hệ trục Oxy;
M x y M X Y lần lượt là toạ độ của điểm M đối các hệ trục Oxy IXY,
Trong hệ trục IXY đồ thi (C) có phương trình:
( ) 2
0
n
n
n
Từ (4) suy ra:
• Đồ thị (C) nhận đường thẳng x=x0 làm trục đối xứng khi và chỉ khi hàm
số (4) là hàm số chẵn
• Đồ thị (C) nhận điểm I x f x( ; ( ))0 0 làm tâm đối xứng khi và chỉ khi hàm
số (4) là hàm số lẻ
Vậy ta có các kết quả sau
Mệnh đề 1
Đồ thị hàm đa thức y = f x( ) (deg( )f ≥2) nhận đường thẳng x =x0 làm trục đối xứng khi và chỉ khi x là nghiệm của các phương trình 0
(2 1)
k
Mệnh đề 2
Đồ thị hàm đa thức y= f x( ) deg( ( )f ≥2) nhận điểm I x f x( ; ( ))0 0 làm tâm đối xứng khi và chỉ khi x là nghiệm của các phương trình 0 f(2 )k ( )x =0, ∀ ∈k *
Hệ quả Phương trình f x( )=a x2n 2n +a2n−1x2n−1+ +a0 =0, (a2n ≠0,n≥1) chuyển về dạng a X2n n +A X n−1 n−1+ +A0 =0 khi và chỉ khi đồ thị của hàm số ( )
y = f x có trục đối xứng cùng phương với trục O y
II MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG
4
4
y=x − x + −x , nhận đường thẳng 1
2
x = làm trục đối xứng
Vậy ta có lời giải sau: Đặt 1
2
x= + X ta được phương trình
Trang 34 3 2 1 3 1
Ví dụ 2 Tìm a để đồ thị hàm số y= x4 +4ax3 −2x2 −12ax có trục đối xứng
Giải Ta có
2
''' 24 24
Xét hệ
; 1
0
1
a
a
=
= ±
Ví dụ 3 Chứng minh rằng nếu phương trình:
f x =ax +bx +cx +dx+ =e a≠ có nghiệm dạng x0 −β; x0 −α;
x +α x + β thì đồ thị hàm số y= f x( ) có trục đối xứng là đường thẳng
0
x =x
Giải Ta có f x( )=a x[( −x0)2 −α2][(x−x0)2 −β2]
=a x( −x0)4 −a(α2 +β2)(x−x0)2 +aα β2 2
Suy ra
0 0
'''( ) 24 ( )
Xét hệ '( ) 0 0
''( ) 0
f x
=
=
Vậy x=x0 là trục đối xứng của đồ thị hàm số y = f x( )
Nhận xét Ví dụ 3 cho ta một điều kiện cần để một đa thức bậc 4 (tổng quát một
đa thức bậc chẵn, bậc lớn hơn hoặc bằng 2) có các nghiệm lập thành cấp số cộng có 4 số hạng là đồ thị hàm số có trục đối xứng
Ví dụ 5 Chứng minh rằng nếu phương trình:
f x =ax +bx +cx +dx +ex+ f = a≠ có nghiệm dạng x0 −β; x0 −α; 0; 0 ; 0
x x +α x +β thì đồ thị hàm số y= f x( ) có tâm đối xứng là điểm I x( ;0).0
Giải Ta có f x( )=a x[( −x0)2 −α2] [(x−x0)2 −β2](x−x0)
Trang 4Xét hệ (4)''( ) 0 0.
( ) 0
=
=
Suy ra điểm I x( ;0)0 là tâm đối xứng của đồ thị
Nhận xét Ví dụ 5 cho ta một điều kiện cần để một đa thức bậc 5 (tổng quát một
đa thức bậc lẻ, bậc lớn hơn hoặc bằng 3) có các nghiệm lập thành một cấp số cộng có 5 số hạng là đồ thị hàm số có tâm đối xứng thuộc trục O x
Ví dụ 6 Tìm m để phương trình f x( )=x5−mx4 −2mx3+2m x2 2 +9x−45=0
có 5 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
Giải Điều kiện cần Ta có
2 (4)
'''( ) 60 24 12 ( ) 120 24
Xét hệ (4)
''( ) 0
5
( ) 0
5
m
m x
=
=
=
Điều kiện đủ
• Với m =0, ta được phương trình x5 +9x−45=0 (1)
Cách 1 Dễ thấy phương trình (1) có nghiệm duy nhất, suy ra với m =0, yêu cầu bài toán không thoả mãn
(0; 45)
I − ∉O x Suy ra với m =0, yêu cầu bài toán không thoả mãn
• Với m =5, ta được phương trình x5 −5x4−10x3 +50x2 +9x−45=0. (2) Phương trình (2) có các nghiệm {− −3; 1;1; 3; 5} lập thành cấp số cộng
