Giáo trình kinh tế chất lượng - ôn lại thống kê - 5 pptx

Cực Đại và Cực Tiểu Việc ước lượng các thông số chưa biết của một phân phối thường liên quan đến cực đại hoặc cực tiểu một số hàm mục tiêu.. Các Hàm Số, Đạo Hàm, Cực Đại Và Cực Tiểu Tươ

Sample standard deviation Second central moment Size of a test

Standard deviation (s.d.) Standard error

Standardized normal Standard normal distribution Statistically independent Statistical test

Student’s t-distribution Test statistic

Two-sized test Two-tailed test Type I error Type II error Unbiased Uncorrelated Variance of the distribution Z-score

Mômen mẫu Độ lệch chuẩn mẫu Mômen trung tâm bậc 2 Kích thước của một kiểm định Độ lệch chuẩn

Sai số chuẩn Chuẩn chuẩn hóa Phân phối chuẩn chuẩn hóa Độc lập thống kê

Kiểm định thống kê Phân phối Student t Trị thống kê kiểm định Kiểm định hai phía Kiểm định hai đầu Sai lầm loại I Sai lầm loại II Không thiên lệch Không tương quan Phương sai của một phân phối Giá trị Z

2.A PHỤ LỤC

Các Kết Quả Tính Toán Khác

2.A.1 Một Số Kết Quả Hữu Ích Của Phép Tính Tổng

Phép tính tổng được sử dụng nhiều trong xác suất, thống kê và kinh tế lượng, vì vậy, việc tóm tắt một số tính chất của phép tính tổng là rất cần thiết Tổng X1 + X2 + … + Xn được thể hiện bằng ký hiệu Σt = nt = 1 Xt, với n là tổng số các số hạng trong tổng và Xt là một số hạng đặc trưng trong tổng Giá trị trung bình số học của các X thường được ký hiệu là X_

= (∑Xt/n) Một vài tính chất đơn giản nhưng rất hữu ích của phép tính tổng được trình

bày trong phần này

Tính chất 2.A.1

Nếu k là một hằng số thì Σt = n

t = 1 k = nk

Vì có n số hạng, mỗi số hạng là một hằng số k, kết quả rõ ràng như trên

Tính chất 2.A.2

Nếu k là một hằng số, thì Σt = n

t = 1 kXt = kΣt = n

t = 1 Xt

Vì mỗi số hạng có một hằng số k, nên có thể đặt k làm nhân tử chung

Tính chất 2.A.3

(Xt + Yt) =













∑

t = n

t = 1Xt +













∑

t = n

t = 1Yt

Tính chất 2.A.4

Nếu X_ = (∑Xt) / n là giá trị trung bình, thì t = n∑

t = 1 (Xt –X_ ) = 0

Vì vậy, tổng các sai lệch so với giá trị trung bình là bằng không

CHỨNG MINH

∑ (Xt – X_ ) = ( ∑Xt) – (∑ X_ ) = (∑Xt) – nX_

vì X_ đều như nhau đối với mỗi giá trị t Nhưng từ định nghĩa của X_ , nX_ = ∑Xt Do đó, hai số hạng cuối cùng triệt tiêu lẫn nhau và vì vậy ∑(Xt – X_ ) = 0

2.A.2 Cực Đại và Cực Tiểu

Việc ước lượng các thông số chưa biết của một phân phối thường liên quan đến cực đại hoặc cực tiểu một số hàm mục tiêu Ví dụ, khi ước lượng các mối quan hệ, một mục tiêu quan trọng là tìm được “mối quan hệ phù hợp nhất”, đó là mối quan hệ có sai số nhỏ nhất Trong phần này chúng ta trình bày các phương pháp cực đại hoặc cực tiểu các hàm mục tiêu; việc này đặc biệt hữu ích khi nhà nghiên cứu có những ràng buộc về các vấn đề nghiên cứu Các nguyên lý căn bản trước tiên được nghiên cứu đối với trường hợp đơn giản, chỉ liên quan đến một biến và không có ràng buộc nào Sau đó, các nguyên lý này được mở rộng cho nhiều biến và cho trường hợp có ràng buộc

Các Hàm Số, Đạo Hàm, Cực Đại Và Cực Tiểu

Tương quan tổng quát của một biến phụ thuộc (Y) và một biến độc lập (X) được trình bày dưới dạng một hàm số ký hiệu bằng biểu thức Y = F(X) Lúc này, chúng ta chỉ tập trung chú ý các hàm số liên quan đến một biến đơn Chúng ta sẽ giả sử là F(X) là hàm

liên tục; nghĩa là, F(X) không “nhảy” khi X chỉ thay đổi trong một khoảng xác định

Một hàm được gọi là tăng đơn điệu nếu Y tăng khi và chỉ khi X tăng (xem Hình 2.A.1)

Một ví dụ về hàm tăng đơn điệu là một đường cung Nếu Y giảm khi X tăng, như trong

Hình 2.A.2, hàm số được gọi là giảm đơn điệu (đường cầu là một ví dụ) Trong Hình

2.A.1, xét hai điểm A và B có tọa độ là (X1, Y1) và (X2, Y2) Tỷ số (Y2 – Y1) / (X2 – X1)

là độ dốc của đường thẳng nối hai điểm A và B, đường này cắt đồ thị hàm số tại A và B

Tỷ số này đo lường sự thay đổi của Y theo một đơn vị thay đổi của X Tỷ số này còn được ký hiệu là ∆Y/∆X, với ∆Y = Y2 – Y1 là thay đổi của Y và ∆X = X2 – X1 là thay đổi của X Giả sử chúng ta làm cho ∆X ngày càng nhỏ hơn đến cuối cùng thì A và B gặp nhau tại X Cuối cùng, đường thẳng AB chỉ tiếp xúc với đồ thị của F(X) Đây chính là

tiếp tuyến của đường cong tại điểm X; hệ số góc của tiếp tuyến được gọi là đạo hàm của

Y theo X Hệ số này được viết dưới dạng đại số như là giới hạn của ∆Y/∆X khi ∆X tiến tới 0, và được ký hiệu là dY/dX hoặc là F ’(x) Vì vậy chúng ta có định nghĩa sau

ĐỊNH NGHĨA 2.A.1

Đạo hàm của Y theo X được định nghĩa là

dY

dX = F’(X) = lim∆ X → 0

∆Y

∆X với điều kiện tồn tại giới hạn

Nếu tồn tại giới hạn, F(X) được gọi là có đạo hàm tại X Ví dụ, giả sử X là tổng lượng

hàng hoá sản xuất của một công ty và Y là tổng chi phí sản xuất lượng hàng hóa này.Vậy, F(X) là hàm tổng chi phí và đạo hàm, dY/dX, là chi phí gia tăng khi sản xuất

thêm một đơn vị hàng hóa, trong kinh tế lượng đại lượng này được gọi là chi phí cận

biên Từ Hình 2.A.1 và 2.A.2 cần lưu ý là đạo hàm F’(X) không nhất thiết phải là hằng

số nhưng phải phụ thuộc vào giá trị X mà tại giá trị đó đạo hàm được tính Do đó chúng

ta có thể lấy đạo hàm F’(X) một lần nữa và được F”(X) = d2Y/dX2, miễn là đạo hàm bậc hai này tồn tại

} Hình 2.A.1 Hàm Số Tăng Đơn Điệu

F(X)

B

(X 1 , Y 1 )

A

Y2

Y1

(X2,Y2) F(X)

X

} Hình 2.A.2 Hàm Số Giảm Đơn Điệu

Trong Hình 2.A.1 đạo hàm dương đối với mọi X trong miền xác định của F(X) Tương tự, đạo hàm này luôn âm trong Hình 2.A.2 Chúng ta đã thấy đối với một hàm đơn điệu đạo hàm luôn luôn có cùng một dấu Trong Hình 2.A.3a chúng ta lưu ý là F(X) không phải là hàm đơn điệu mà lần lượt tăng rồi giảm (ví dụ như tỷ lệ thất nghiệp) Đầu tiên, hệ số góc là dương, sau đó chuyển sang âm và sau đó lại trở lại dương Các điểm A và B có tính chất là hệ số góc của tiếp tuyến bằng 0 Vì vậy, F’(X) = 0 tại những điểm này Chúng ta lưu ý là tại A, F(X) đạt cực đại cục bộ và tại B hàm số đạt cực tiểu cục

bộ Một điều kiện cần để có cực trị cục bộ (nghĩa là cực đại hoặc cực tiểu) là đạo hàm bậc nhất F’(X) phải bằng 0 Điều kiện này, được gọi là điều kiện bậc nhất, không phải là

điều kiện đủ để xác định xem F(X) đạt cực đại hay cực tiểu Hình 2.A.3b biểu diễn F’(X), và chúng ta lưu ý là đạo hàm này đầu tiên thi giảm nhưng sau đó lại tăng Độ dốc của F’(X) là đạo hàm bậc hai F”(X) có giá trị âm tại A và dương tại B Để phân biệt

giữa một cực đại và một cực tiểu, chúng ta cần điều kiện bậc hai là đạo hàm bậc hai

F”(X) phải âm tại điểm mà tại đó đạo hàm bậc nhất F’(X) = 0 thì hàm F(X) mới đạt cực đại Để hàm số đạt cực tiểu thì điều kiện bậc hai là F”(X) dương tại điểm mà F’(X) = 0 Chúng ta phát biểu mà không cần chứng minh một số kết quả hữu ích từ các đạo hàm

Tính chất 2.A.5

F(X)

F(X)

X

a Đạo hàm của một hằng số bằng không

b Đạo hàm của tổng F(X) + G(X) bằng tổng của các đạo hàm F’(X) + G’(X)

c Nếu a là một hằng số, đạo hàm của aF(X) bằng aF’(X)

d Đạo hàm của hàm số mũ Xm bằng mX m –1 Một trường hợp đặc biệt của tính chất này là đạo hàm của X (nghĩa là X1/2 ) bằng 1 / (2 X ), hoặc 12 X-1/2 Tương tự, đạo hàm của 1 / X (nghĩa là X-1) bằng −1 / X2 (nghĩa là −X− 2)

e Nếu Y = F(Z) và Z = G(X) thì dYdX = dYdZ dX = F’G’ = F’(Z) G’(X) = F’[G(X)]G’(X) dZ

[Kết quả này được gọi là qui luật dây chuyền của vi phân.]

f Theo nguyên tắc nhân sai phân, đạo hàm của F(X)G(X) bằng F(X)G’(X) + G(X)F’(X)

g Theo nguyên tắc chia sai phân, đạo hàm của tỷ số F(X) / G(X) bằng [G(X)F’(X) − F(X)G’(X)] / [G(X)]2

} Hình 2.A.3

a Đồ thị hàm số không đơn điệu

b Đồ thị F’(X)

B

A F(X)

F(X)

X

F(X)

X F(X)

Ứng Dụng

Giả sử một công ty có một hàm chi phí C(q) (mối quan hệ giữa tổng chi phí và sản

lượng), với q là số lượng sản phẩm sản xuất được Hơn nữa, giả sử là công ty này hoạt động trong một ngành mạnh và có thể bán sản phẩm ở mức giá thị trường cố định p cho

một đơn vị sản phẩm Công ty cần quyết định chọn số lượng hàng hóa nên sản xuất

Mục tiêu của công ty là tối đa lợi nhuận Tổng doanh thu là pq và lợi nhuận bằng tổng

doanh thu trừ tổng chi phí Do đó, hàm lợi nhuận là

π (q) = pq − C(q)

Như chúng ta đã lưu ý trước, điều kiện để cực đại lợi nhuận là π’(q) = 0 = p − C’(q) C’

là đạo hàm của C theo q Đó chính là chi phí phát sinh thêm khi sản xuất thêm một đơn

vị sản phẩm nữa, chúng ta gọi chi phí này là chi phí cận biên Do đó, điều kiện này phát

biểu là để cực đại lợi nhuận, một công ty cạnh tranh cần phải chọn mức sản lượng tại đó

giá bằng chi phí cận biên Ví dụ cụ thể, lấy C(q) = 10 − 5 q + 2q2 và giá đơn vị là 35 Lấy đạo hàm của C(q) theo q, hàm chi phí cận biên là C’(q) = −5 + 4q Đặt hàm này bằng 35 và giải tìm q, chúng ta có q = 10 Vì vậy, sản lượng để có được lợi nhuận cực đại là q = 10 Trong trường hợp tổng quát khi hàm chi phí là bậc hai (ngghĩa là phụ thuộc vào bình phương của q), C(Q) = a + bq + cq2 và hàm chi phí cận biên là C’(q) = b + 2cq Điều kiện cực đại lợi nhuận là p = b + 2cq Khi giải để tìm q, phương trình này cho ta sản lượng tối ưu cần sản xuất là q = (p − b)/2c Điều kiện bậc hai để cực đại là π”(q) < 0 Đạo hàm cấp hai của π là −C”(q) = −2c Để đạo hàm này âm, chúng ta cần có điều kiện là c phải dương Tương tự, để có sản lượng dương, p phải lớn hơn b Nếu b âm, như trong ví dụ trên, điều kiện này luôn luôn thỏa vì giá luôn luôn là số dương

Các Hàm Của Nhiều Biến

Ở đây, chúng ta tổng kết một số kết quả của một hàm số phụ thuộc vào nhiều biến Các ứng dụng của tính toán đa biến được trình bày trong phần sau

Hàm đa biến có dạng tổng quát là Y = F(X1, X2, …, Xn) Lấy một ví dụ đơn giản là hàm số của một đường thẳng Y = X1 + 2X2 + 3X3 + … + 8X8 Như đã biết, Y là biến phụ thuộc còn các biến X là biến độc lập Thay đổi của Y khi chỉ có một trong các biến X thay đổi một cách rất đáng quan tâm Lúc này, chúng ta xem X2, X3, …, Xn là cố định Xem như Y là một hàm có duy nhất một biến X1, chúng ta có thể đánh giá thay đổi của

Y theo một thay đổi đơn vị của X1 Phép tính đạo hàm này được gọi là đạo hàm riêng

phần của Y theo X1 và được viết theo nhiều cách

ĐỊNH NGHĨA 2.A.2

Đạo hàm riêng phần của Y theo X được định nghĩa là

∂ Y

∂ Xi = ∂ X∂ F

i = Fi = lim

∆ X i → 0

∆ Y

∆ Xi

Vì vậy, đạo hàm riêng phần là thay đổi tương ứng với thay đổi đơn vị của một trong

các biến độc lập, các biến độc lập khác được giữ giá trị không đổi Trong ví dụ chúng ta

đã đưa ra, ∂ Y /∂ X8 = 8

} VÍ DỤ 2.A.1

Đặt Y = β1X1 + β2X2 + … + βnXn, với mỗi β là một hằng số Đạo hàm riêng phần là

∂Y/∂Xi = βi Một ví dụ khác, giả sử Y = aK2 + bKL + cL2 (a, b, và c là hằng số) Đạo hàm riêng phần của Y theo K là ∂Y/∂K = 2aK + bL Bởi vì đạo hàm của aK2 là 2aK, cho ra số hạng đầu tiên Đạo hàm riêng phần của bKL theo K là bL vì L được xem như không đổi Đạo hàm riêng phần của cL2 theo K bằng không vì số hạng này độc lập với

K

Nguyên tắc dây chuyền của vi phân cũng áp dụng được ở đây Giả sử Y = F(Z) và Z

= G(X1, X2, …, Xn) Đạo hàm riêng phần của Y theo Xi được tính như sau

∂ Y

∂ Xi = ∂ Y∂ Z ∂ X∂ Z

i = F’(Z) ∂ X∂ G

i

Lưu ý rằng đạo hàm riêng phần này một cách tổng quát sẽ phụ thuộc vào tất cả các biến

X

Các khái niệm về cực đại và cực tiểu dễ dàng được mở rộng cho hàm nhiều biến Để hàm F(X1, X2, …, Xn) đạt cực đại hoặc cực tiểu, phải thỏa các điều kiện sau đây:

∂ F

∂ Xi = 0 với i = 1, 2, …, n

Bằng cách cho đạo hàm riêng phần của F theo mỗi X bằng không, chúng ta có được n phương trình trong đó n biến chưa biết X1, X2, …, Xn Giải các biến Xi, chúng ta tìm được lời giải Khi các giá trị này được thay vào hàm F, chúng ta có giá trị cực đại hoặc cực tiểu của Y Phân tích điều kiện bậc hai trong trường hợp đơn biến, có một điều kiện tương tự có thể giúp chúng ta phân biệt giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu Điều kiện này rất phức tạp và không được trình bày ở đây Độc giả có thể tham khảo các cuốn sách về toán học được liệt kê trong phần cuối của chương này để biết thêm chi tiết

Ứng Dụng

Minh họa các khái niệm trên bằng một ứng dụng là rất cần thiết Xét một công ty trong một ngành cạnh tranh, công ty có giá bán mặt hàng gia dụng cố định là p, một mức lương

cho trước w, và một tỷ suất vốn vay r Đặt hàm F(K, L) là hàm sản xuất, hàm này liên

hệ với sản lượng đầu ra của công ty theo lượng đầu vào, vốn (K) và lao động (L) Mục tiêu của công ty là chọn một mức lao động và vốn sao cho tối đa hóa lợi nhuận Hàm lợi nhuận π (K, L) được tính bằng giá trị của đầu ra [pF(K, L)] trừ chi phí vốn (Kr) và chi phí lao động (wL)

π(K, L) = pF(K, L) − rK − wL

Hai điều kiện để cực đại là ∂π / ∂K = 0 và ∂π /∂L = 0 Lấy các đạo hàm riêng phần của

π theo K và L và đặt chúng bằng không, chúng ta có (lưu ý là p, w và r là không đổi)

r = p ∂ K và w = p ∂ F ∂ L ∂ F

∂F / ∂K là phần sản lượng đầu ra tăng thêm trên một đơn vị vốn tăng thêm và được gọi là

sản phẩm cận biên của vốn Tương tự, ∂F / ∂L là sản phẩm cận biên của lao động Cũng

như vậy, p∂F / ∂L và p∂F / ∂K là các giá trị của sản phẩm cận biên tương ứng Điều kiện bậc nhất ngụ ý là các công ty sẽ cực đại lợi nhuận khi chọn K và L sao cho giá trị của sản phẩm cận biên của lao động bằng mức lương và giá trị của sản phẩm cận biên của vốn bằng tỷ suất vay

Chúng ta hãy áp dụng cho một hàm sản xuất cụ thể Đặt Y = F(K, L) = KαLβ, với Y

là sản lượng đầu ra Hàm này được gọi là hàm sản xuất Cobb−Douglas Sản phẩm cận biên của vốn là

∂ Y

∂ K = αKα - 1Lβ =

αKαLβ

K =

αY

K

Tương tự, sản phẩm cận biên của lao động là ∂F / ∂L = βY / L Để lợi nhuận cực đại, các điều kiện bậc nhất là αY / K = r/ p và βY / L = w/ p Từ đây có thể giải được lượng lao động và vốn là L = βYp/ w và K = αYp/ r

Lấy một ví dụ bằng số, đặt α = 0.2, β = 0.6, p = 10, w = 4 và r = 0.1 Từ các giá trị này, chúng ta có L = βYp/ w = 1.5Y và K = αYp/ r = 20Y Thay những giá trị này vào hàm sản xuất, ta có

Y = (20Y)0,2(1,5Y)0,6 = 200,21,50,6Y0,8 = 2,321992 Y0,8

Chia hai vế cho Y0,8, ta cóY0,2 = 2.321992 Giải phương trình này, ta có được tổng sản

lượng đầu ra Y bằng 67,5 Nhu cầu kéo theo về lao động và vốn là L = βYp/ w = 101,25

và K = αYp/ r = 1.350

Tối Ưu Hóa Trong Điều Kiện Ràng Buộc

Trong kinh tế học, chúng ta thường cần phải cực đại hoặc cực tiểu một hàm nhiều biến với một hoặc nhiều ràng buộc Ví dụ, đặt U(X1, X2) là độ thỏa dụng một người tiêu dùng có được từ việc tiêu thụ hai loại sản phẩm gia dụng X1 là việc tiêu thụ sản phẩm thứ nhất và X2 là việc tiêu thụ sản phẩm thứ hai Đặt p1 là giá của hàng hóa thứ nhất, p2 là giá của hàng hóa thứ 2 và Y là thu nhập của người tiêu dùng, tất cả được giả định là không đổi Mục tiêu của người tiêu dùng là cực đại hàm thỏa dụng với ràng buộc là tổng chi tiêu cho hai loại hàng hóa là (p1X1 + p2X2) bằng chính thu nhập của người tiêu dùng (Y) Vì vậy, vấn đề được giới hạn là chọn giá trị của X1 và X2 sao cho U(X1, X2) lớn nhất trong điều kiện về ngân sách là Y = p1X1 + p2X2

Ví dụ thứ hai, xét một công ty công ích sản xuất điện và bán cho khách hàng trong vùng phục vụ của mình Trong một thị trường độc quyền có điều khiển, công ty không được phép tối đa hóa lợi nhuận Thay vào đó, hội đồng thỏa dụng công ích và công ty sẽ dự báo về nhu cầu điện trong một hoặc hai thập kỷ tới và sau đó sẽ chọn công nghệ sản xuất điện ( hoặc là kết hợp các công nghệ) có chi phí sản xuất nhỏ nhất với ràng buộc là sản lượng đầu ra phải là một số cố định

Cả hai vấn đề trên đều là ví dụ về tối ưu có ràng buộc Đề tài này thường được xem

xét chỉ trong học kỳ thứ ba về tính toán Kiến thức về đề tài này không phải là điều tất yếu đối với việc học môn kinh tế lượng căn bản Chúng ta thảo luận đề tài này ở đây vì một số chứng minh lý thuyết được trình bày ở phụ lục của chương này và của các chương sau phụ thuộc vào đề tài này Các độc giả không thích thú với các chứng minh này có thể bỏ qua phần này mà không mất đi tính liên tục Tuy nhiên, phần thảo luận ở đây tương đối đơn giản để ngay cả những người chưa học các khóa toán cao cấp cũng có thể hiểu được Ngoài ra, sinh viên cũng sẽ thấy các ứng dụng trình bày trong phần này rất có ích cho các môn học khác

Phương Pháp Tối Ưu Có Ràng Buộc của Lagrange

Vấn đề tổng quát là cực đại hàm F(X1, X2, …, Xn) theo các ràng buộc G(X1, X2, …, Xn) =

0 Trước hết viết hàm Lagrange

H(X1, X2, …, Xn, λ) = F(X1, X2, …, Xn) + λG(X1, X2, …, Xn)

với λ gọi là nhân tử Lagrange và là một ẩn số mới Có thể chứng minh được là cực đại

hàm F theo ràng buộc G = 0 tương đương với cực đại hàm H với mỗi một trong các biến

X mà không có ràng buộc nào Vì vậy, vấn đề có thể giản lược thành dạng trước đây, với

một hàm được hiệu chỉnh và một ẩn số mới (λ) Cho tất cả các đạo hàm riêng phần của

H theo mỗi ẩn số bằng không, chúng ta có n + 1 điều kiện bậc nhất, G(X1, X2, …, Xn) = 0 và ∂H / ∂Xi = 0, với i = 1, 2, …, n Nhìn chung, có thể giải được các điều kiện này để có n + 1 biến X1, X2, …, Xn và nhân tử Lagrange λ

Ưùng Dụng Đối Với Vấn Đề Cực Tiểu Chi Phí

Trong ví dụ về sản xuất điện nêu trên, công ty cực tiểu hàm chi phí sản xuất với ràng buộc là công ty phải sản xuất một sản lượng đầu ra mục tiêu nhất định Đặt Y0 là sản lượng đầu ra mục tiêu Ràng buộc là Y0 = F(K, L), với F() là hàm sản xuất chúng ta đã gặp trước đây K và L là lượng vốn và lao động công ty sử dụng để sản xuất được sản lượng Y0 Chi phí tương ứng là Kr + Lw, với w là mức lương và r là tỷ suất vay vốn, cả hai được giả sử là không đổi Vấn đề tối ưu của công ty là chọn K và L sao cho Kr + Lw là bé nhất với ràng buộc Y0 = F(K, L) Hàm Lagrange ở đây là

H(K, L, λ) = Kr + Lw + λ[Y0 − f(K, L)]

Các điều kiện bậc nhất là ∂ H/ ∂ K = ∂ H/ ∂ L = ∂ H/ ∂ λ = 0 Các điều kiện này được chuyển thành ba điều kiện với các ẩn số K, L và λ, một cách tổng quát có thể giải được để có lượng lao động và vốn sử dụng tối ưu

r = λ ∂ K' ∂ F w = λ ∂ L' , Y∂ F 0 = F(K, L)

Mở Rộng Đối Với Nhiều Ràng Buộc

Nhân tử Lagrange cũng có thể áp dụng trong trường hợp có nhiều hơn một ràng buộc Chỉ cần hiệu chỉnh bằng cách thêm số hạng nhân tử Lagrange vào hàm Lagrange, một nhân tử cho mỗi ràng buộc thêm vào Vì vậy, vấn đề cực đại F(X1, X2, …, Xn) với hai ràng buộc G(X1, X2, …, Xn) = 0 và Q(X1, X2, …, Xn) = 0 có thể giải bằng hàm Lagrange có hiệu chỉnh

H(X1, X2, …, Xn) = F(X1, X2, …, Xn) + λ G(X1, X2, …, Xn) + µ Q(X1, X2, …, Xn)

với λ và µ là các nhân tử Lagrange tương ứng với hai ràng buộc Các điều kiện bậc nhất để cực đại là n +2 điều kiện sau:

G(X1, X2, …, Xn) = 0