Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận, M là một điểm bất kì trên C, tiếp tuyến của C tại M cắt các tiệm cận tại A, B.. Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không đổi khi M thay đổi trên
Trang 1KHOA TOÁN-TIN MÔN: TOÁN- KHỐI A
- Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian giao đề )
-
A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm )
Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số: 2 1
1
x y x
(C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2 Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận, M là một điểm bất kì trên (C), tiếp tuyến của (C) tại M cắt các tiệm cận
tại A, B Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không đổi khi M thay đổi trên (C)
Câu II: (2,0 điểm)
1 Giải phương trình
sin sin 3 os cos 3 1
8 tan tan
2 Giải phương trình 2 3 3 2
1 1x 1x 1x 2 1x
0
Ix x x dx
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có AB ADa, 3
AA '
2
a
, góc BAD bằng 600 Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của cạnh A’D’ và A’B’ Chứng minh AC’ vuông góc với mặt phẳng (BDMN) và tính thể tích khối đa diện AA’BDMN theo a
Câu V (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực dương a b c , , thỏa mãn a2 b2 c2 1, ta có:
3
B PHẦN RIÊNG (3,0 ĐIỂM):Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
I Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của hai đường thẳng: d1: x – y – 3 = 0, d2: x + y – 6 = 0 Trung điểm một cạnh là giao điểm của d1 và tia Ox Tìm
tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1;1;1) và đường thẳng d: 14 5
Viết phương
trình mặt cầu (S) tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB bằng 16
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm hệ số chứa x2 trong khai triển:
4
1 2
n
x x
, biết n là số nguyên dương thỏa mãn:
n n
II Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông có đỉnh là (-4; 8) và một đường chéo có phương trình 7x – y + 8 = 0 Viết phương trình các cạnh của hình vuông
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y z 1 0 và hai điểm A(1;-3;0), B(5;-1;-2) Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA MB đạt giá trị lớn nhất
Câu VII.b (1.0 điểm) Cho hệ phương trình
2
1
0
Tìm m để hệ có nghiệm
Trang 2ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2011
Môn thi: TOÁN
TXĐ : D = R\ 1
Sự biến thiên:
y’ =
2
1 0,
x
Hàm số nghịch biến trên: ;1 à 1; v
0,25
Giới hạn: lim lim 2
xx ; tiệm cận ngang: y = 2
x x ; tiệm cận đứng: x = 1 0,25
Đồ thị:
0,25
Gọi M(m; 2 1
1
m m
)
Tiếp tuyến của (C) tại M:
2
1 1
m
m m
0,25
A(1; 2
1
m
m
1
2
IAB
S IA IB
Vậy diện tích tam giác IAB không đổi khi M thay đổi trên (C)
0,25
Điều kiện:
k
0,25
Phương trình tương đương với: sin3x sin 3 x c os cos 33x x = 1
8
1 os2 os2 os4 1 os2 os2 os4 1
1
2 os2 os2 os4
2
0,25
Trang 3 ai 6
, 6
Vậy :
6
Đk: -1 x1
Đặt u = 1 x 3, v = (1x)3; u,v 0
Hệ thành:
2 2
3 3
2
0,25
2
2 2
( ) 2
0,25
2 2
2
2 2
1 2 2
u
0,25 2
2
x
2
2 1
2
x
x
2 0
1 1 2 2
0,25
1 1
0
0
ln 3
dx
J
0,25
1
2 2
dx J
x
tan , ;
3
6
0,25
Vậy I = 3
ln 3
4 -
3 12
0,25
Gọi O là tâm của ABCD, S là điểm đối xứng với A qua A’ M, N lần lượt là trung
điểm của SD và SB
AB = AD = a, góc BAD = 600 ABD đều OA = 3
2
a
AC a
3,CC ' AA ' a
0,25
Trang 4~ ' '
' ~
(I là giao điểm của AC’ và SO)
'
(1)
Mặt khác BD ( ACC A ' ') BD AC ' (2)
Từ (1) và (2) đpcm
0,25
2 2
'
3
SABD
SA MN
a
V
0,25
2
7 32
a
Do a, b, c > 0 và a2 b2 c2 1 nên a, b, c 0;1
Ta có: 5 3 2 2
3
1 2
1
a a
BĐT thành: 3 3 3 2 3
3
0,25
Xét hàm số f x x3x x, 0;1
Ta có:
0;1ax
M f x = 2 3
9
0,25
0,25
2 3
3
Đẳng thức xảy ra 1
3
0,25
I 9 3
;
2 3
Giả sử M là trung điểm cạnh AD Ta có: AB = 2IM = 3 2
ABCD
AD qua M và vuông góc với d1 AD: x + y – 3 = 0
0,25
Lại có MA = MB = 2
Tọa độ A, D là nghiệm của hệ:
2 2
1
y
hoặc 4
1
x y
0,25
Chọn A(2 ; 1) D4; 1 C7; 2v Bà 5; 4 0,25
2 2 2
Trang 5Ta có:
2
0
n
n n
n
1
1
n
4 7 4
0
2 2
k k k
x
Số hạng chứa x2 ứng với k thỏa: 14 3
4
k
k
Vậy hệ số cần tìm là: 21
4
0,25
Gọi A(-4; 8) BD: 7x – y + 8 = 0 AC: x + 7y – 31 = 0 0,25 Gọi D là đường thẳng qua A có vtpt (a ; b)
D: ax + by + 4a – 5b = 0,
D hợp với AC một góc 450 a = 3, b = -4 hoặc a = 4, b = 3
AB: 3 x 4 y 32 0; AD : 4 x 3 y 1 0
0,25
Gọi I là tâm hình vuông I( 1 9
; )
2 2
C3; 4
0,25
Ta có: A, B nằm khác phía so với (P).Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua (P)
MA MB MA MB AB
Đẳng thức xảy ra khi M, A, B’ thẳng hàng M là giao điểm của (P) và AB’ 0,25 AB’:
1 3 2
y
0,25
Đk: x 0, y > 0
2
2
1
log log
2
0 0
, 1 , 2 0
0,25
Hệ có nghiệm khi (2) có nghiệm y > 0
Ta có : f(y) =y2y>0 ,y > 0 0,25
Do đó pt f(y) = a có nghiệm dương khi a>0 0,25