Bài giảng điện tử môn tin học: Tính toán và xác suất pdf

SỰ KIỆNKHÔNG GIAN MẪU SỰ KIỆN NGẪU NHIÊN = Kết quả của Phép Thử  Ký hiệu: A, B,C = kết quả không đoán trước tiên đoán được = Σ Sự kiện ngẫu nhiên có thể có của Phép thử ngẫu nhiên Card

Trang 2

Giả sử để làm công việc A có 2 phương pháp

- Phương pháp 1 có n cách làm

- Phương pháp 2 có m cách làm

Khi đó số cách làm công việc A là n+m

Ví dụ An có 3 áo tay dài, 5 áo tay ngắn Để chọn 1 cái

áo thì An có mấy cách

TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009…

Trang 4

Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau mà chia hết cho 2

Giải Gọi số có 3 chữ số là abc

Trang 5

n k

Trang 6

Ví dụ Có 20 chim bồ câu ở trong 7 cái chuồng Khi đó sẽ

có ít nhất 1 chuồng có 3 con bồ câu trở lên

- Trong 1 nhóm có 367 người thì ít nhất có 2 người sinh

cùng ngày

Gọi là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hay bằng x

Giả sử có n chim bồ câu ở trong k chuồng Khi đó tồn tại ít

nhất một chuồng chứa từ bồ câu trở lên   n k /  

Trang 7

Trong một nhóm có 366 người thì ít nhất có 2 người trùng ngày sinh nhật?

Một năm có 365 ngày  n=365, k=366

Theo Nguyên lý Dirichlet

366

2 365

Trang 9

Ví dụ Cho tập X ={1,2,3,4,5,6,7,8,9} Lấy A là tập hợp con của X gồm 6 phần tử Khi đó trong A sẽ có hai phần tử có

Trang 10

) 5

* 5

Trang 11

Tính lượng SV tối thỉểu cần có ghi tên vào danh sách lớp CC02, để chắc chắn có ít nhất 5 SV có cùng một điểm trong thang điểm 10?

Bài 3.1:

Thời khoá biểu trường xx học từ thứ 2 đến thứ

7 CMR nều trường có 7 lớp thì it nhất có 2 lớp học cùng ngày?

Bài 3.2:

Trang 12

đảm bảo trong 1 lớp A có ít nhất:

a/ 2 SV có quê cùng tỉnh b/ 10 SV có quê cùng tỉnh c/ 50 SV có quê cùng tỉnh

Lớp có 32 SV, CMR có ít nhất 2 SV có tên bắt đầu cùng 1 chữ cái?

Bài 3.4:

Trang 13

CMR trong 5 số chọn từ tập hợp 8 số {1,2,3,4,5,6,7,8} bao giờ cùng có 1 cặp số có tổng bằng 9?

CMR trong 6 số bất kỳ chọn từ tập hợp 9 số nguyên dương đầu tiên {1,2,3,4,5,6,7,8,9} bao giờ cũng chứa it nhất 1 cặp số có tổng bằng 10?

Bài 3.5:

Bài 3.6:

Trang 14

Cho A và B là hai tập hữu hạn Khi đó

|A ∪ B|= |A|+|B| - |A ∩ B|

A ∩ B B A

Trang 16

Ví dụ Trong một lớp ngoại ngữ Anh Pháp Có 24 HS

học Tiếng Pháp, 26 học sinh học Tiếng Anh 15 học sinh

học Tiếng Anh và Tiếng Pháp Hỏi lớp có bao nhiêu

người

Giải

Gọi A là những học sinh học Tiếng Pháp

B là những học sinh học Tiếng Anh

Khi đó Số học sinh của lớp là |A ∪ B | Theo nguyên lý

bù trừ ta có |A ∪ B|= |A|+|B| - |A ∩ B|=24+26-15=35

Trang 17

3 2

2 1

3 2

1 3

2 1

3 2

8

6

7 9

10

Trang 18

{ }

=

{ 1 , 3 , 7 , 9 }

X1 =

{ 2 , 4 , 6 , 10 , }

X2=

{ 5 , 7 , 10 , 11 }

X3=

3 2

1 1

3 3

3 2

2 2

1 1

3 2

X ∪ ∪ = − ∩ + − ∩ + − ∩ + ∩ ∩

{ ? }

X3 = { ? }

X X X1 ∩ 2 ∩ 3 = = ∩ 2 1 X X { ? }

X X2 ∩ 3 = { ? }

X X3 ∩ 1 = ? = 1 X { ? }

X2 = ………

………

Trang 19

1 Hoán vị

Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách sắp đặt

có thứ tự n phần tử của A được gọi là một hoán vị của n

phần tử Số các hoán vị của n phần tử ký hiệu là Pn

Trang 20

Ví dụ.

Cho X ={1,2,3,4,5} Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm

5 chữ số khác nhau được tạo từ tập X  5!

Trang 21

2 Chỉnh hợp.

Định nghĩa Cho A là tập hợp gồm n phần tử Mỗi bộ gồm k

phần tử (1 ≤ k ≤ n) sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một

n A

n k

=

−

k n

A

Ví dụ Cho X ={abc} Khi đó X có các chỉnh hợp chập 2 của

3 là: ab, ba, ac, ca, bc, cb

Trang 22

Ví dụ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số được tạo

thành từ 1,2,3,4,5,6

Kết quả: A63

Trang 23

3.Tổ hợp.

Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi tập con gồm k

phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

Số tổ hợp chập k của n phần tử được kí hiệu là hay k

n C

Trang 24

Ví dụ Cho X = {1,2,3,4} Tổ hợp chập 3 của 4 phần tử của

Trang 25

Từ một tập thể gồm 15 nam và 10 nữ, hỏi có bao nhiêu

cách chọn ra một tổ gồm 8 người mỗi trường hợp sau:

a) Không có điều kiện gì thêm.

Trang 26

a) Không có điều kiện gì thêm.

b) Chứa đúng 3 bit 1.

c) Chứa ít nhất 3 bit 1.

d) Không có hai bít 1 nào gần nhau.

e) Không có ba bít 1 nào gần nhau.

Trang 27

Sự kiện ngẫu nhiên

MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN:

Trang 28

SỰ KIỆN

KHÔNG GIAN MẪU

SỰ KIỆN NGẪU NHIÊN

= Kết quả của Phép Thử  Ký hiệu: A, B,C

= kết quả không đoán trước (tiên đoán) được

= Σ Sự kiện ngẫu nhiên (có thể có) của Phép thử ngẫu nhiên

Card A = Số phần tử của A

Trang 29

Tung đồng tiền 1 lần = Phép thử ngẫu nhiên

Trang 31

Không gian mẫu

(4, 4),(,5),(4,6), (5,5),(5,6),

Trang 32

= Σ Sự kiện ngẫu nhiên (có thể có) của Phép thử ngẫu nhiên

Trang 33

SK ngẫu nhiên = kết quả không đoán trước (tiên đoán) được

Trang 34

A: SK có ít nhất 1 mặt sấp (S) B: SK ngửa (N) ở lần tung thứ 2 C: cả 2 lần đều mặt sấp (S)

Trang 35

1/ Định nghĩa cổ điển

Xác suất của A là tỉ số của số kết

quả thích hợp cho A (m) trên số

kết quả đồng khả năng (n) của

A ( P

0 )

A ( P 0

1 n

n )

A ( P n

1

n )

A ( P 0

n m

HỆ QUẢ

Trang 36

lại là màu đỏ Nếu lấy ngẫu nhiên một quả thì xác suất rút được là bao nhiêu?

a/ quả trắng?

b/ quả xanh?

c/ quả đỏ?

d/ quả đen?

e/ quả trắng hoặc xanh?

f/ quả trắng hoặc xanh hoặc đỏ?

Trang 37

Một hộp đồ chơi đối xứng và đồng chất có 12 mặt, được đánh số từ 1 đến 12 Số 1,4,7,10,12 tô màu đỏ; số

2,5,8,11 tô màu xanh; các số còn lại tô màu đen Tính xác suất để khi ném nó lên thì xuất hiện:

a/ Mặt màu cam?

b/ Mặt màu đỏ hoặc xanh?

c/ Mặt màu đỏ hoặc xanh hoặc đen?

Ví dụ 2.20:

Trang 38

Nếu lấy ngẫu nhiên hai viên cùng lúc thì xác suất rút được 2 viên bi màu là bao nhiêu?

a/ cùng xanh? b/ xanh và cam?

c/ cam và đỏ? d/ khác màu?

Trang 39

được đánh số từ 1 đến 12 Số 1,4,7,10 tô màu vàng;

số 2,5,6,9,12 tô màu nâu; các số còn lại tô màu trắng

Tính xác suất để khi ném một lần hai hộp đồng thời lên thì xuất hiện:

Trang 40

xảy ra khi xuất hiện:

a/ 3 mặt có số giống nhau b/ 3 mặt có số khác nhauc/ 2 mặt có màu đỏ d/ 2 mặt có màu đen

e/ Tổng giá trị 3 mặt là 12 f/ Tổng giá trị 3 mặt là 9

Trang 41

Định nghĩa

Nhóm các biến cố của một phép thử được gọi là một

hệ đầy đủ các biến cố nếu thỏa mãn 2 tính chất:

Trang 42

Giải: = “xạ thủ thứ i không bắn trúng thú”

a) A= A1∪A2∪A3 (ít nhất 1 viên trúng)

b) B= (cả ba xạ thủ đều bắn trượt)

Ba xạ thủ cùng bắn mỗi người một viên đạn vào một con thú

Gọi biến cố Ai=“xạ thủ thứ i bắn trúng thú”, i=1, 2, 3

Hãy biểu diễn Ai qua các biến cố sau:

Trang 43

c) C= A1∩A2∩A3 (cả 3 xạ thủ đều cùng bắn trúng thú)

1 2 3 1 2 3 1 2 3

d D = A ∩ ∩ A A ∪ A ∩ ∩ A A ∪ A ∩ ∩ A A

Trang 44

Một hộp đựng bi gồm có 12 viên bi trắng và 8 viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên 1 bi trong hộp

a Xác suất lấy được 1 bi trắng:

b Xác suất lấy được 1 bi xanh:

12( )

20

P T =

8( )

20

P X =

Trang 45

Một thùng có 3 quả cầu trắng và 5 quả cầu đen giống nhau về kích thước Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ thùng đó Tính xác suất lấy được:

a) 2 quả cầu màu trắng

b) 1 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen

Giải

a) A= “lấy được 2 quả cầu trắng”

b) B= “lấy được 1 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen”

2 3 2 8

3 ( )

Trang 46

Giả sử A là một biến cố Khi đó

b nếu A và B là 2 biến cố ngẫu nhiên bất kỳ:

P(A∪B)= P(A) + P(B) – P(A ∩B)

0 ≤ P A( ) 1≤ P A( ) 1= −P A( )

A ⊂ B P A( ) ≤ P B( )

Trang 47

Giải Đặt A= “lấy được ít nhất 1 bi đỏ”.

Khi đó = “lấy được 3 bi xanh”

Một hộp có 10 bi, trong đó có 4 bi đỏ và 6 bi xanh Lấy ngẫu nhiên 3

bi từ hộp Tính xác suất để lấy được ít nhất 1 bi đỏ

A

3 6 3 10

( ) 1 ( )

1 0,8333

P A P A

C C

= −

=

Trang 48

Toán, 50 sinh viên giỏi Văn, 20 sinh viên giỏi cả Toán lẫn Văn

Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên trong lớp Tính xác suất để sinh

viên đó giỏi ít nhất 1 trong 2 môn

Giải Đặt T=“sinh viên được chọn giỏi Toán”

V=“sinh viên được chọn giỏi Văn”

Khi đó

T∪V=“sinh viên được chọn giỏi ít nhất 1 trong 2 môn”

T∩V=“sinh viên được chọn giỏi cả 2 môn”

Trang 49

Ví dụ 3:

Một hộp chứa 5 cầu trắng, 3 cầu xanh và 4 cầu đen cùng

kích thước Chọn ngẫu nhiên cùng lúc 3 cầu Tính xác

Trang 50

a) Đặt:

At= “3 cầu rút được màu trắng”

Ađ= “3 cầu rút được màu đỏ”

Ax= “3 cầu rút được màu xanh”

3 44

Trang 51

b) Bt= trong 3 cầu rút được có 2 cầu trắng

Bđ= trong 3 cầu rút được có 2 cầu đen

Bx= trong 3 cầu rút được có 2 cầu xanh

P(B)= P(Bt)+ P(Bđ)+ P(Bx)

3 12

Trang 52

44 44

= − =

Trang 53

Xác suất có điều kiện Công thức đầy đủ Công thức Bayes

Trang 54

Cho hai biến cố A, B Xác suất của A với điều kiện B,

ký hiệu là xác suất của A được tính sau khi B đã xảy ra

Trang 55

• Ví dụ (xác suất có điều kiện):

Một hộp có 10 vé, trong đó có 3 vé trúng thưởng Tính xác suất

người thứ hai bốc được vé trúng thưởng, biết rằng người đầu tiên

đã bốc được một vé trúng thưởng (mỗi người chỉ được bốc 1 vé)

Đặt A=“người thứ nhất bốc được vé trúng thưởng”

B=“người thứ hai bốc được vé trúng thưởng”

Xác suất của B sau khi A đã xảy ra:

2 ( / )

9

Trang 56

một vùng Trong số 500 người được điều tra (gồm 240 nam và 260 nữ), có 136 nam và 224 nữ trả lời “thích”.

a) Chọn một người nữ của vùng Tính xác suất người đó thích mua sắm

b) Chọn một người nam của vùng Tính xác suất người đó thích

Trang 57

Công thức nhân xác suất

• Cho A, B là hai biến cố

• Khi A, B là hai biến cố độc lập

P(A∩B)= P(A) P(B)

( ) ( ) ( / )

Trang 58

Giải

Đặt Ai=“máy i hỏng trong một ngày làm việc”

a) A=“có máy hỏng”

khi đó = “không có máy nào hỏng”

0,05 Tính xác suất trong một ngày làm việc xưởng có:

a) máy hỏngb) một máy hỏng

Trang 60

b) trường hợp lấy không hoàn lại

P(A)=P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1 ∩ A2).P(A4/A1 ∩ A2 ∩ A3)

Giải Đặt A= “lô hàng được mua”.

Ai=“lấy được sản phẩm tốt lần thứ i”

a) trường hợp lấy có hoàn lại P(A)=P(A1∩ A2 ∩ A3 ∩ A4)=P(A1).P(A2).P(A3).P(A4) (xác suất các lần lấy độc

Trang 61

Công thức xác suất đầy đủ

• Nếu trong một phép thử có biến cố A và một hệ đầy đủ A1, A2,…, An

xảy ra thì ta có công thức xác suất đầy đủ:

P(A)=P(A1).P(A/A1)+P(A2).P(A/A2)+… +P(An).P(A/An)

Trang 62

• Công thức Bayes cho ta biết xác suất của các biến cố trong nhóm

đầy đủ thay đổi như thế nào khi một biến cố đã xảy ra

Trang 63

Một lô sản phẩm gồm hai loại và do hai máy sản xuất ra Số sản

phẩm do máy I sản xuất là 65% và do máy II sản xuất là 35% Tỉ lệ

phế phẩm của máy I là 0,02 và của máy II là 0,03 Lấy ngẫu nhiên

một sản phẩm, tính xác suất để lấy được phế phẩm

Giải Đặt Ai=“sản phẩm chọn được do máy i sản xuất”

Trang 64

nguồn I, II, III với tỷ lệ thị phần tương ứng là 35%, 40% và 25% Tỷ

lệ được kiểm định chất lượng tương ứng là 70%, 80% và 90% Mua ngẫu nhiên một nón loại này

a) Tính xác suất để mua được nón đã được kiểm định chất lượng

b) Giả sử đã mua được nón đã được kiểm định Tính xác suất để

nón này xuất xứ từ nguồn II

a) Giải Đặt A1=“mua được nón từ nguồn I”

A2=“mua được nón từ nguồn II”

A3=“mua được nón từ nguồn III”

A=“mua được nón đã được kiểm định chất lượng”

Trang 65

b) Xác suất để nón này có xuất xứ từ nguồn II:

A1, A2, A3 là một hệ đầy đủ các biến cố

P(A)=P(A1).P(A/A1)+P(A2).P(A/A2)+P(A3).P(A/A3)

=0,35.0,7 + 0,4.0,8 + 0,25.0,9 = 0,79

Trang 66

Bài tập

Trang 67

Bài tập 1:

Một lớp học có 40 học sinh, trong đó có: 8 học sinh giỏi, 20 học sinh

khá và 12 học sinh trung bình Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh Tính xác

suât để trong 3 học sinh đó có:

a) 1 học sinh trung bình, 1 hsinh khá và 1 hsinh giỏi

b) Có ít nhất 1 học sinh giỏi

Trang 68

Có hai hộp đựng bút chì Hộp I có 10 bút màu đỏ và 15 bút màu

xanh, hộp II có 8 bút màu đỏ và 9 bút màu xanh Rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một bút Tính xác suất sao cho trong hai but lấy ra có:

a) Ít nhất 1 bút màu đỏ

b) Chỉ có 1 bút màu đỏ

c) Hai bút có màu giống nhau

Trang 69

Bài tập 3:

Có hai xe chở hàng độc lập về một xí nghiệp Xác suất để hai xe

chở hàng về đến xí nghiệp lần lượt là 0,7 và 0,6 Tính xác suất sao cho:

a) Chỉ có một xe chở hàng về đến xí nghiệp

b) Xí nghiệp nhận được hàng

Trang 70

Một hộp gồm có 24 sản phẩm, trong đó có 2 sản phẩm loại II Lấy

ngẫu nhiên lần lượt ra từng sản phẩm kiểm tra (lấy không hoàn lại), đến khi nào được sản phẩm loại II thì dừng lại Tìm xác suất để

quá trình kiểm tra kết thúc sau không quá 3 lần lấy

Trang 71

Bài tập 5:

Một người say mê xổ số cào, người đó mua liên tiếp từng vé xổ

cho đến khi nào được vé trúng thưởng thì dừng Tìm xác suất sao

cho người đó mua đến vé thứ 4 thì dừng, biết rằng xác suất trúng

thưởng của mỗi lần mua là như nhau và bằng 0,01

Trang 72

Học kỳ này sinh viên được thi môn Toán ứng dụng 3 lần Xác suất

để sinh viên thi đậu ở lần thi thứ nhất là 0,5 Nếu thi trượt ở lần thi

thứ nhất thì xác suất thi đỗ ở lần thi thứ hai là 0,7 Còn nếu thi trượt

ở cả hai lần đầu thì xác suất thi đỗ ở lần thi thứ 3 là 0,9 Tìm xác

suất để sinh viên nói trên thi đậu học kỳ này

Trang 73

Bài tập 7:

Một trường đại học có 52% số sinh viên là nữ, 5% số sinh viên của trường học Toán và 2% nữ của trường học ngành này Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của trường Tìm xác suất:

a) Tìm xác suất sinh viên là nữ, biết rằng sinh viên đó học Toán

b) Tìm xác suất sinh viên học Toán, biết rằng sinh viên đó là nữ

Trang 74

Có 2 máy cùng sản xuất một loại sản phẩm Tỷ lệ làm ra chính

phẩm của máy thứ nhất là 0,9; của máy thứ hai là 0,8 Từ một kho

chứa 1/3 số sản phẩm của máy thứ nhất (còn lại của máy thứ hai), lấy ra một sản phẩm để kiểm tra

a) Tính xác suất lấy được phế phẩm

b) nếu sản phẩm lấy ra không phải là phế phẩm Tính xác suất để

sản phẩm đó do máy thứ hai sản xuất ra

Trang 75

c)* Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm của hộp thứ nhất bỏ qua hộp thứ

hai, sau đó lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm của hộp thứ hai Tính xác

suất lấy được phế phẩm từ hộp thứ hai

Trang 76

Một nhà máy sản xuất giày xuất khẩu làm việc 3 ca: sáng, chiều,

tối, trong đó 40% sản phẩm được sản xuất ca sáng, 40% sản phẩm được sản xuất ca chiều, 20% sản phẩm được sản xuất ca tối Tỷ lệ phế phẩm trong các ca tương ứng là 5%, 10% và 20% Lấy ngẫu

nhiên 1 sản phẩm để kiểm tra

a) Tính xác suất để lấy được phế phẩm

b) Giả sử đã lấy được sản phẩm tốt Tính xác suất để sản phẩm đó

do ca sáng sản xuất

Trang 77

CÁM ƠN CÁC EM

ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE !

Kết thúc Chương 2:

TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT

Định dạng
Số trang	77
Dung lượng	1,35 MB