Chuyên đề III: Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit. ppsx

Chuyên đề III: Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.. Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ.. Lý huyết - Ghi nhớ các phép toán với lũy thừa, mũ... Kết luận: P/trình

Chuyên đề III:

Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

1 Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ

Lý huyết

- Ghi nhớ các phép toán với lũy thừa, mũ (Với 0a1)

a  a a ;  x y x y.  y x

x

x y

y

a

a

a



 ; 1x a x

a





Ghi nhớ công thức khử cơ số: a f x  a g x   f x  g x 

  1   0

f x

a   f x  ;

f x

a

Dạng 1: Phương trình mũ bậc hai m a 2xn a x p0 (1) Cách giải:

 Đặt t a x,t 0, khi đó 2  x 2 2x

t  a a

Ta có p/trình m t 2n t p0, t 0 (2)

 Giải p/trình (2), tìm nghiệm t 0

 Giải p/trình a x  t xloga t

 Kết luận, nghiệm của (1)

Ví dụ: Giải các phương trình sau

1) 32x14.3x  1 0

2) 2 3 2 2   x 2 1 x  1 0

Lời giải :

1) 32x14.3x  1 0 3.32x 4.3x  1 0

Đặt t 3 ,x t 0, khi đó t 2 32x

Ta có p/trình 3t24t 1 0, t 0

Giải p/trình này được 1; 1

3

t  t  (thỏa mãn đ/k t 0)

 Với t 1, ta có 3x  1 3x 30  x0

- Với 1

3

3

x



 Vậy p/trình đã cho có hai nghiệm x0;x 1

Chú ý: 32x13 32x 13.32x

2) Để ý  2 1 2 22 2 1  3 2 2

Đặt t  2 1 x, t 0,

x

t

 P/trình đã cho trở thành 2t2  t 1 0, t 0

Giải p/trình này ta được t 1 (nhận); 1 0

2

t    (loại)

 Với t 1, ta có  2 1 x  1 x0

 Vậy p/trình đã cho có nghiệm duy nhất x 0

Dạng 2: m a x n a x  p0 hay m a x n x p 0

a

Cách giải:

 Đặt t a x,t 0, khi đó a x 1x 1

t a



Thay vào p/trình đã cho, giải tìm nghiệm t 0 Rồi tìm x

 Kết luận

Ví dụ : Giải các phương trình sau

1) 6x 61x 5 0

5

x

x





Lời giải:

1) Ta có 6x61x  5 06x 6.6x  5 0

 Đặt t 6x, t 0 ta có 6 1 1

6

x



 Ta có p/trình t 6.1 5 0

t

   , t 0

2

Giải p/trình này được t 6 (thỏa); t   1 0 (không thỏa)

 Vậy ta có 6x 6 x1

Kết luận: P/trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1

2) Để ý : 5x15 5x 15.5x; 11 1 1 5

5x  5 5x  5x

Ta có 5 1 11 26 0

5

x

x





5

x x

Đặt t 5 ,x t 0 ta có p/trình

5

5.t 26 0, t 0

t

    5t226t 5 0

Giải p/trình này được 5; 1

5

t  t  (thỏa mãn đ/k t 0)

 Với t 5, ta có 5x 5 x1

- Với 1

5

5

x



 Tóm lại, p/trình đã cho có hai nghiệm x1;x 1

Dạng 3: Bất phương trình mũ a f x  a g x , 0a1

Cách giải:

 Nếu 0a1 ta có f x g x  (đổi chiều BPT)

 Nếu a 1 ta có f x g x 

Với BPT a f x  c

- Nếu 0a1, ta có f x loga c (Đổi chiều BPT)

- Nếu a 1, ta có f x loga c

Ví dụ : Giải các bất phương trình

4

x  x

3

x  x



Giải:

a) Ta có 2 2 3 1

4

x  x

 2x23x 22  x23x 2

2

     1 x2

Vậy BPT đã cho có tập nghiệm T  1;2

Vì cơ số a 2 1 nên 2x23x 22  x2 3x 2 (hai BPT có cùng chiều) Để giải BPT x23x20, ta tìm nghiệm tam thức x23x2 và xét dấu rồi chọn miền nghiệm

b)  1 2 2 3 1

x  x

  1 2 2 3  1 2

x  x

2

2x 3x 2

   (đổi chiều BPT do cơ số 1 1

3

a   )

2

2x 3x 2 0

2

x

   

Vậy BPT đã cho có tập nghiệm 2;1

2

  

Bài tập:

Câu 1 (Đề TN 2006, Phân ban): Giải phương trình

2 2

2 x 9.2x20

Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Phân ban):

Giải phương trình 7x2.71x 9 0

Câu 3 (Đề TN 2008, L1, Phân ban):

Giải phương trình 32x19.3x  6 0

Câu 4: Giải các bất phương trình sau

a)  1 2 3  1 2 6

 b) 32x x 2 37x6

2 Hàm số, phương trình, bất phương trình lôgarit

Lý huyết

Ghi nhớ: Với 0a1,b0,c0 khi đó

Tính toán: loga a   ; loga b  loga b

1





Cộng, trừ logarit : loga bloga cloga b c ; loga b loga c loga b

c

Đổi cơ số: log log

log

a c

a

b b

c

log

a

b

b

a



 Cách khử logarit:

   

0 loga f x loga g x f x

f x g x







loga f x c f x a c

Chú ý: log10alogalga; loge alna

Dạng 1: Biến đổi về phương trình loga f x loga g x 

Cách giải:

- Dùng các công thức tính toán, cộng trừ logarit để biến đổi

- Cần chú ý đến đ/k với các biểu thức dưới dấu logarit

Ví dụ: Giải các p/trình sau:

1) log3 9x log9x5

2) log2x2log2x3log 122

Lới giải:

1)  Đ/k xác định: 0 0

x

x x









 Khi đó ta có

 

log 9x log x5 log 9 log3  3xlog32 x5

1

2

2 3

 Vậy p/trình có nghiệm duy nhất x 9

x

Khi đó ta có log2x2log2x3log 122

log x 2 x 3 log 12

x 2x 3 12

     x25x60

Giải p/trình này dược x 6 (thỏa đ/k); x  1 (không thỏa đ/k)

 Vậy, p/trình đã cho có nghiệm duy nhất x 6

Dạng 2: P/trình bậc hai chứa lôgarit

2

Cách giải:

 Đ/k xác định: f x   0

 Đặt t loga f x , t 

Ta có p/trình m t 2nt p0 Giải p/trình này tìm t

 Giải p/trình loga f x  t f x a t để tìm x

 Kết luận

Ví dụ : Giải ph/trình log22x23log2x100

Giải:

Đ/k xác định: x 0

log x  log x  2 log x 4 log x

 Đặt t log2x, ta có log22x2 4t2

 P/trình đã cho trở thành 4t23t100

Giải p/trình này được 2; 5

4

t  t  

 Với t 2, ta có log2x2 x22  x4

- Với 5

4

4

x   x 

 Kết luận: P/trình đã cho có hai nghiệm 4; 5

4

x x  Dạng 3: Bất p/trình loga f x loga g x , 0a1

Điều kiện xác định:  

 

0 0

f x

g x









- Nếu 0a1, ta có f x g x  (BPT đổi chiều)

- Nếu a 1, ta có f x g x  (BPT cùng chiều)

 Với BPT loga f x c

- Nếu 0a1, ta có f x a c (BPT đổi chiều)

- Nếu a 1, ta có   c

f x a (BPT cùng chiều)

Ví dụ: Giải các bất p/trình:

a) log2xlog23x1 b) 1   1  

log 2x1 log x2 Giải:

a)  Đ/kiện xác định: 0 1

x

x x







 



 Với 1

3

x  ta có :

log xlog 3x1 x3x1 2 1 1

2

{ Cơ số a 2 1 nên có BPT cùng chiều}

 Vậy tập nghiệm của bất p/trình đã cho 1 1;

3 2

  

b)  Đ/kiện xác định: 2 1 0 1

x

x x

 





 



 Với 1

2

x  ta có :

log 2x1 log x2 2x  1 x 2x3

{ Cơ số 1 1

2

a   nên BPT đổi chiều}

 Vậy tập nghiệm của bất p/trình đã cho 1;3

2

  

Bài tập:

Câu 1 (Đề TN 2007, Lần 1, Phân ban):

Giải phương trình log4xlog2 4x 5

Câu 2 (Đề TN 2008, Lần 2, Phân ban):

Giải phương trình log3x2log3x2log 53 x 

Câu 3: Giải các bất phương trình

log xlog x2 log 3 b) log23x4log3x 3 0