Các nguyên lý của dòng chảy chất lỏng và sóng mặt trong sông, cửa sông, biển và đại dương - Chương 9 pps

Chương này giới thiệu cơ sở lý thuyết sóng ngắn, có thể phân chia như sau: Sóng biên độ nhỏ Sóng tuyến tính Airy Sinusoid Sóng Stokes bậc cao Sóng biên độ hữu hạn Sóng Trocoid Sóng Cno

Chương 9 Dòng không ổn định: sóng Ngắn trên mặt

9.1 Mở đầu

Sóng ngắn trên mặt tự do là sóng dao động được đặc trưng bởi độ cao, độ dài, chu

kỳ, vận tốc lan truyền và hướng của chúng Chu kỳ sóng là khoảng thời gian giữa những lần đi qua hai đỉnh sóng liên tiếp tại một vị trí đã cho Hướng sóng (và cũng là hướng gió) được định nghĩa là hướng mà từ đó sóng đang đến so với hướng Bắc Như vậy, hướng sóng 900 có nghĩa sóng đến từ phía Đông Hướng sóng ngược với hướng dòng chảy, là hướng mà dòng chảy đi về phía đó

Sóng ngắn khác với sóng dài ở chỗ áp suất chất lỏng theo hướng thẳng đứng là phi thuỷ tĩnh Sóng ngắn trên mặt tự do thường phát sinh bởi lực gió Sóng ngắn lan truyền trong một vùng dưới ảnh hưởng của lực gió được gọi sóng gió hoặc sóng biển Những đặc trưng sóng gió được xác định bởi đà gió, là khoảng cách mà qua đó gió thổi, bởi vận tốc gió và bởi thời gian gió thổi Cùng một lúc, gió phát sinh ra các sóng có nhiều độ cao, độ dài và chu kỳ (sóng ngẫu nhiên)

Sóng đã lan truyền ra khỏi trường lực của gió được gọi sóng lừng Sóng này thay

đổi trong thời gian lan truyền của chúng từ sóng gió tương đối dốc và ngắn (L/H = 20, T

= 5 –10 s) thành sóng tương đối phẳng và dài (L/H = 100, T = 10 – 30 s) và thể hiện giống như sóng đơn điệu (đều) hơn Sóng gió (biển) và sóng lừng là sóng trọng lực bởi vì trọng lực có xu hướng trả bề mặt chất lỏng về vị trí cân bằng nằm ngang của nó Sóng ngắn với chu kỳ giữa 30 và 300 s đôi khi được gọi là sóng dưới trọng lực mà chuyển thành sóng dài

Sóng ngắn có thể lan truyền qua đại dương và biển cho đến khi chúng tiếp cận bờ, nơi năng lượng còn lại của chúng một phần được phản xạ hoặc tiêu tán bởi sóng đổ và

ma sát đáy

Chương này giới thiệu cơ sở lý thuyết sóng ngắn, có thể phân chia như sau:

Sóng biên độ nhỏ Sóng tuyến tính Airy (Sinusoid)

Sóng Stokes bậc cao

Sóng biên độ hữu hạn Sóng Trocoid

Sóng Cnoid Sóng đơn độc Những chủ đề sau được trình bày:

• những phương trình cơ bản của sóng tuyến tính và phi tuyến

• những thuộc tính sóng tuyến tính

• lớp biên sóng

• năng lượng sóng và sự truyền năng lượng sóng

Về cơ bản, sự quay phát sinh tại các biên và thâm nhập từ đó vào trong chất lỏng

Sự quay không thể tự nó phát sinh trong chất lỏng khi không có biên Trong trường hợp sóng mặt tự do chu kỳ ngắn trong nước sâu, chuyển động sóng không trải rộng đến đáy

và do đó không thể phát sinh sự quay Trong nước nông chuyển động sóng đạt đến đáy

và phát sinh lớp biên sóng với dòng quay Tuy nhiên, lớp biên này rất mỏng (0,01 m) do chu kỳ của sóng nhỏ Dòng chảy sẽ đảo ngược trước khi một bề dày lớp biên đáng kể phát triển và những xoáy nước phát sinh trước khi dòng đảo ngược nhanh chóng mất đi Như vậy, những chuyển động quay sẽ bị hạn chế trong một lớp biên khá mỏng gần đáy

và có thể bỏ qua trong phương trình chuyển động mô tả dao động tự do trên mặt Những phương trình cơ bản mô tả dòng chảy không ổn định không quay trong mặt phẳng thẳng đứng x - z là phương trình liên tục (phương trình 5.2.2) và phương trình chuyển động Euler:

U W x

U U t

P z

W W x

W U t

W

trong đó: U, W = vận tốc tức thời theo các hướng x, z

Dòng không quay có thể mô tả dưới dạng thế vận tốc  (xem mục 7.2.2), được định nghĩa là:

2 0

2 2





(9.2.5) Thay phương trình (9.2.4) vào những phương trình Euler (9.2.2), (9.2.3) và sắp xếp lại, áp dụng phương trình liên tục (9.2.1) cuối cùng cho ta:

2

1 ) ( 2

t F gz P z x

Giá trị hàm phụ thuộc thời gian F(t) không mang ý nghĩa vật lý ở đây (sóng ổn

định) và được lấy là F(t) = 0, cho ta:

2

1 ) ( 2

9.2.2 Lý thuyết sóng tuyến tính biên độ nhỏ

Giả thiết rằng dao động mực nước  nhỏ, những số hạng phi tuyến ( )2

x



 

và 2

Lý thuyết sóng tuyến tính hợp lệ đối với sóng tiến biên độ nhỏ trong chất lỏng

đồng nhất có độ sâu không đổi

Để giải phương trình (9.2.5) và (9.2.10), những điều kiện biên cần thiết là:

+ điều kiện động học tại z = - h là: W = 0 hoặc

+ điều kiện động học tại z = x,t là:

t dt

dx x dt

Những phương trình (9.2.12) và (9.2.13) chỉ rõ những điều kiện biên tại mặt tự do z

= x,t là một trong những biến chưa biết sẽ được giải Vấn đề này có thể giải quyết bằng việc xấp xỉ phương trình (9.2.12) và (9.2.13) tại z =  bằng khai triển chuỗi Taylor tại mặt nước trung bình z = 0, là một vị trí được biết áp dụng cho phương trình Bernoulli (9.2.13):

0

0 2

2 2

0 0

g t z

g t

Cũng ứng dụng quy trình đó cho phương trình (9.2.12) và sau đó giả thiết rằng

/x = 0 trong phương trình (9.2.12)

Hệ phương trình đầy đủ cho lý thuyết sóng tuyến tính bây giờ là:

2 2

+ điều kiện biên động học z = 0:





(9.2.19) Lời giải hệ phương trình tuyến tính (9.2.15) và (9.2.19), kết hợp với phương trình (9.2.11) là:

) sin(

sinh

) ( cosh

kz

z h k

c = /k =(gtanh(kh)/k)0,5 = vận tốc lan truyền sóng

Vận tốc lan truyền sóng c cũng được gọi vận tốc pha bởi vì tất cả điểm của prôfil sóng (có cùng pha) lan truyền với cùng vận tốc c đó áp dụng c = L/T = /k, có thể nhận

được biểu thức sau:

2 = gk tanh(kh) (9.2.21)

và gọi là quan hệ phân tán, biểu thị quan hệ giữa chu kỳ sóng T và bước sóng L Sóng

được gọi phân tán khi sóng có tần số (chu kỳ) khác nhau lan truyền với vận tốc pha khác nhau

Biên độ mặt nước được mô tả bằng (xem hình 9.2):

 = ˆ cos(t - kx) (9.2.22)

Hình 9.2 Lan truyền sóng

Những vận tốc U và W có thể nhận được từ những đạo hàm của hàm thế  (mục 9.3.3) Vận tốc U và W lệch pha 90o đối với chuyển động quỹ đạo của vectơ vận tốc Mỗi hạt chất lỏng mô tả một chuyển động quỹ đạo hình êlíp với trục dài song song với đáy Những quan trắc chỉ ra rằng quỹ đạo hạt chất lỏng trong sóng tiến là không kín Có sự dịch chuyển nhỏ thực sự theo hướng ngang trong thời gian mỗi chu kỳ sóng (xem mục 9.2.4) Đây là hiệu ứng phi tuyến, có nghĩa là không thể dự đoán những quỹ đạo không kín chỉ bằng lý thuyết sóng tuyến tính

Mô tả chi tiết những thuộc tính sóng tuyến tính cho trong mục 9.3

9.2.3 Lý thuyết sóng biên độ nhỏ phi tuyến

ở phạm vi nào đó có thể xét những số hạng gia tốc đối lưu phi tuyến (/x)2 và (/z)2 bằng cách thể hiện thế  theo một chuỗi số mũ như sau:

) (

3 sin )

( 2 sin )

trong đó H = độ cao sóng và z,1, z, 2 là những hàm của z giảm về bậc độ lớn

Số hạng đầu tiên bên vế phải phương trình (9.2.23) được thể hiện trong lý thuyết sóng tuyến tính Những số hạng khác là số hạng hiệu chỉnh, thể hiện các hiệu ứng phi tuyến Lý thuyết sóng bậc hai thể hiện hai số hạng đầu tiên, như Stokes (1819 -1903)

đưa ra:

) (

2 sin sinh

) ( 2 cosh 4 8

3 ) sin(

sinh

) ( cosh

2

kx t kz

z h k H

kx t kz

z h k H

4

1 16

3

) ( ,

) (

h

L L

H h

L L

H

Tỷ số này biểu thị rằng tính phi tuyến của chuyển động sóng nhỏ, nếu tham số UR

= (h/L)(L/h)3 nhỏ (< 1) Số hạng này được gọi là số Ursell Trong trường hợp UR < 1, lý thuyết sóng tuyến tính có thể ứng dụng an toàn trong nước sâu Lý thuyết Stokes chỉ có thể áp dụng trong nước không sâu lắm nếu độ dốc sóng H/L nhỏ

Biên độ mặt nước  theo lý thuyết sóng bậc hai là:

) (

2 cos sinh

) 2 cosh 2 )(

2 (cosh 4 4 ) cos(

2

kx t kz

kh kh

H k kx t H

đi qua đỉnh sóng hoặc chân sóng

Những lý thuyết sóng tuyến tính và phi tuyến không chính xác trong nước nông, trừ khi H/h và H/L nhỏ Để vượt qua điều này, những lý thuyết sóng đặc biệt cho nước

nông đã được phát triển Một ví dụ là lý thuyết sóng Cnoidal Về cơ bản, những lý thuyết này là những lý thuyết sóng dài có sự hiệu chỉnh những hiệu ứng đối lưu động lượng thẳng đứng Điều này đặc biệt quan trọng dưới đỉnh sóng

9.2.4 Các hiệu ứng phi tuyến: vận chuyển khối lượng trong sóng

không đổ

Nói một cách chặt chẽ, vận chuyển khối lượng là một hiệu ứng phi tuyến bởi vì những phương trình chứa số hạng H2 Tuy nhiên có thể nhận được những phương trình này bằng cách áp dụng những đặc điểm của lý thuyết sóng tuyến tính

Dòng dao động không nhớt

Stokes là người đầu tiên chỉ ra rằng những hạt chất lỏng không mô tả chính xác những quỹ đạo kín trong trường hợp sóng mặt biên độ nhỏ (sinusoidal) lan truyền trong một dòng dao động không nhớt (không quay) hoàn chỉnh, xem hình 9.4 Những hạt có vận tốc Lagrange trung bình bậc hai (gọi là dòng trôi Stokes) theo hướng lan truyền sóng Điều này là do vận tốc quỹ đạo ngang tăng theo độ cao (z) ở trên đáy Vậy, một hạt tại đỉnh quỹ đạo ở đỉnh sóng chuyển động nhanh hơn về phía trước so với khi tại

đáy quỹ đạo ở chân sóng theo hướng ngược lại Theo định nghĩa, không thể phát hiện dòng trôi Stokes theo phương pháp Lagrange bằng việc đo đạc tại một điểm cố định Dòng trôi Stokes tức thời hướng ngang (Us) của một hạt nước so với vị trí trung bình x1 và z1 là Us (x1 + z1 + ), trong đó  và  là những tọa độ của vị trí hạt trên quỹ

đạo Một xấp xỉ của Us là:

z

U x

U z

x U z

z

sinh

) ( 2 cosh 8

1 )

sinh

1 8

sinh

2 cosh 8

1



kh kH

dz z U M

h s s

8

coth 8 sinh

2 sinh 16

1 ) (

2 2

2 2 0

Phương trình (9.2.31) đơn giản thành Ms = H2/8 đối với nước sâu (kh >> 1)

Đối với sóng lan truyền trong miền có biên nằm ngang, thích hợp nhất là gán điều kiện dòng khối lượng bằng không (M = 0) cho mỗi vị trí (x), cho ta (hình 9.5A):

kh kh

kh h

z k kH

1 )

được tạo ra bởi "sự dâng" mặt tự do về phía bờ (tương tự nước dâng do gió)

Dòng khối lượng (m2/s) tại một vị trí cố định (x) trong một miền không có biên cũng

có thể xác định theo phương pháp Euler như sau:

M

0

)

) , (

(9.2.33)

trong đó:

U = vận tốc ngang tức thời tại độ cao z

 = độ dịch chuyển mặt nước so với mặt trung bình

Trong vùng giữa đỉnh và chân của sóng hình sin, sự bất đối xứng của vận tốc ngang chỉ ra rằng chất lỏng truyền theo hướng sóng dưới đỉnh lớn hơn trong vùng chân sóng Dưới chân của sóng hình sin, giá trị trung bình thời gian của vận tốc ngang tại một điểm cố định bằng không

Bằng việc áp dụng lý thuyết sóng bậc nhất (tuyến tính) cho sóng hình sin biên độ nhỏ, phương trình (9.2.33) cho ta:

Dòng dao động rối và nhớt

Longuet - Higgins (1953) đã chỉ ra rằng đối với những chất lỏng thực với độ nhớt ,

có sự truyền động lượng thực tế xuống dưới trung bình theo thời gian vào trong lớp biên

do khuyếch tán nhớt (  U  / z), tạo ra dòng Euler trung bình (Us) bổ sung cho dòng trôi Stokes kiểu Lagrange (Ue) Dòng Euler trung bình có thể xem như vận tốc trung bình của các tâm quỹ đạo Giả thiết dòng không nhớt, vận tốc Euler trung bình bằng không (lý thuyết Stokes)

Vận tốc vận chuyển khối lượng tổng cộng (Um) xác định như sau:

U U U U

Với dòng chảy phân tầng trong lớp biên, Longuet - Higgins dẫn ra:

) 3 cos 8 5 ( sinh 16 ) (

c

U kh

kH

Um

2 2

2

376 1 4

376

, sinh

kH

Um

2 2

4

5 sinh

Hình 9.5 Những vận tốc vận chuyển khối lượng trong sóng không đổ

h z F kh

kH z

U z U z

2

3 2

2 sinh ( 2

3 ) 1 4 3 )(

2 sinh(

2 2

3 ) ( 2 cosh

)

/

2 2

kh h

z h

z kh

kh h

z k h

z

(9.2.41) Phương trình (9.2.40) có thể xem như tổng của dòng trôi Stokes về phía trước (phương trình (9.2.28)) và phân bố vận tốc parabôn Euler, cho ta một dòng chảy về phía trước tại đáy và một dòng chảy ngược lại tại giữa độ sâu (hình 9.5 C) Giải thích này không chắc chắn lắm bởi vì nó liên quan đến một thành phần dựa vào dòng không nhớt

dự đoán khá tốt đối với 0,7 < kh < 1,5

Longuet - Higgins cũng cho thấy có thể sử dụng phương trình (9.2.44) để mô tả vận tốc vận chuyển khối lượng ngay bên ngoài lớp biên trong trường hợp dòng dao động rối trơn

9.2.5 Các hiệu ứng phi tuyến: vận chuyển khối lượng trong sóng đổ

Vận chuyển khối lượng cũng phát sinh do sóng đổ Trên mực chân sóng có vận chuyển khối lượng thực tế hướng vào bờ Theo xấp xỉ bậc nhất, khối lượng vận chuyển trên mực chân sóng có thể đánh giá như sau (xem phương trình 9.2.34):

h

g H M

8

 (9.2.46) Giả thiết không có dòng thực tế trong toàn bộ độ sâu, dòng trở lại, còn gọi là dòng sóng dội, dưới mực chân sóng có thể đánh giá bằng (xem hình 9.6):

t off

m

h

H h

g U

g

Um off

2

15 0,

,  (9.2.48)

Ví dụ

Giả thiết h = 2 m và H = 1,2 m, dòng chảy trở lại là U , m off = 0,25 m/s

Hình 9.6 Vận chuyển khối lượng trong sóng đổ

Thông thường các phương trình mô tả những thuộc tính sóng có thể đơn giản hóa cho nước sâu và nước nông bằng việc áp dụng những giá trị tiệm cận cho những hàm hyperbolic

Những hàm hyperbolic có thể biểu thị như sau:

2 sinh

kh kh

e e kh







2 cosh

kh kh

e e kh







kh kh

kh kh

e e

e e

h gL

T



 (9.3.2) Phương trình (9.3.1) cũng có thể biểu thị bằng:

k0h  gk tanh kh (9.3.3)

0tanh( 2 )

L

h L

 (9.3.5) trong đó:

 = 2 /T = tần số góc

Phương trình (9.3.1) không thể giải tường minh khi biết chu kỳ sóng T Những

hàm xấp xỉ do Nielsen (1984) đưa ra, chính xác đến 1% đối với kh < 3 (phương trình

9.3.6) và bởi Hunt (1979), chính xác tới 0,1% đối với kh <  (phương trình 9.3.7)

) , ,

( 1 0 166 y 0 031 y2y

kh    (9.3.6)

6 5

4 3

2 2

2

00654 0 0218 0 0632 0 161 0 355 0 666 0

y y

kh

, ,

, ,

, ,

trong đó:

2

2 2

02 4

4

T h gT

h g



 (9.3.8)

T g c



2

0  (9.3.9) Nước nông:

gh T

Những phương trình (9.3.2) và (9.3.5) dự đoán độ dài và vận tốc truyền sóng sẽ

giảm về phía bờ, giả thiết chu kỳ sóng không đổi và độ sâu giảm

Hình 9.9 Quan hệ phân tán ở dạng đồ thị (Groen và Dorrestein, 1976)

ảnh hưởng của dòng chảy

Khi sóng lan truyền vào trong nước nông hơn gần bờ, chúng có thể gặp dòng chảy tương đối mạnh ảnh hưởng tới những đặc trưng sóng Một dòng chảy ngược với sóng làm cho độ cao sóng tăng và bước sóng giảm, như vậy sóng trở nên dốc, thậm chí đạt

điểm sóng đổ Một dòng chảy theo hướng sóng làm tăng bước sóng và giảm độ cao sóng Mặc dầu độ cao và bước sóng có thể thay đổi, chu kỳ sóng vẫn hầu như không đổi

so với một hệ thống tọa độ cố định Lý thuyết tuyến tính có thể vẫn ứng dụng cho hệ thống tọa độ chuyển động với vận tốc dòng chảy (v)

Trước hết, xem xét một dòng chảy đồng nhất theo không gian (v) đi theo sóng Một

hệ tọa độ chuyển động với vận tốc v được đưa ra Độ dài sóng L' khi có mặt dòng chảy sẽ không đổi đối với một hệ tọa độ chuyển động và cố định, nhưng chu kỳ sóng và vận tốc pha thay đổi phù hợp với hệ chuyển động Chu kỳ sóng và vận tốc pha đối với hệ chuyển

động là cr và Tr, cho ta:

L’ = c’T = crTr = (c’=v)Tr (9.3.12) Như vậy,

T L v

T c

v

T v c

T c

Tr

) ' / ( 1 ' / 1 '

T c

v

T v c

T c

Tr

) ' / cos ( 1 ' / 1 '

áp dụng L ' = crTr = (r/k')Tr ta có:

'

2 tanh 2

' ) '

L

h gL

T Lr

' ) cos '

L

h gL

v T

v = độ lớn vectơ vận tốc trung bình độ sâu

 = góc giữa hướng dòng chảy và hướng lan truyền sóng ( = 0o đối với dòng chảy theo,  = 180o đối với dòng chảy ngược,  = 90o đối với dòng chảy vuông góc với sóng) c' = vận tốc lan truyền sóng (tuyệt đối) khi có mặt dòng chảy

T = chu kỳ sóng tuyệt đối ( = 2 /T)

cr = vận tốc lan truyền sóng tương đối so với dòng chảy (= c0 - v cos )

Tr = chu kỳ sóng tương đối so với dòng chảy ( = 2 /Tr)

L ' = bước sóng khi có mặt dòng chảy

k' = số sóng khi có mặt dòng chảy (= 2 /L ')

Có thể xác định ảnh hưởng của dòng chảy lên vận tốc pha và bước sóng trong nước sâu bằng việc giả thiết rằng chu kỳ sóng vẫn không đổi đối với hệ tọa độ cố định, cho ta:



cos

' '

'

, 0

0

0 0

0

0

v c

L c

L c

L T

r 





L’0 và c’0 là bước sóng và vận tốc pha thay đổi do hiệu ứng dòng chảy đem lại

Hình 9.10 ảnh hưởng của dòng chảy lên bước sóng và vận tốc pha trong nước sâu

, 0

0

0

v c

c c

1

0 0

, 0

c

v c

2

0 0

) cos 4 1 1 ( 4

1 '

c

v L

có nghĩa là năng lượng sóng không thể lan truyền ngược lại dòng chảy

Những phương trình (9.3.22) và (9.3.18) cho ta những kết quả đồng nhất đối với nước sâu

6

92 81 9 5 0 10

, ,

, tanh ,

, ) ,

97

8 62 28

6

97 81 9 5 0 10

, ,

, tanh ,

, ) ,

98

8 62 28

6

98 81 9 5 0 10

, ,

, tanh ,

, ) ,

sinh

) ( cosh

z h k H

) sin(

sinh

) ( sinh

z h k H

Những biểu thức vận tốc chất lỏng cho thấy những đặc tính sau:

• vectơ vận tốc (v) tại mỗi điểm mô tả một quỹ đạo hình êlip

• vận tốc thẳng đứng và nằm ngang lệch pha 90o°

• vận tốc ngang (U) lớn nhất phía trước dưới đỉnh sóng (xem hình 9.11)

• vận tốc ngang (U) bằng không tại điểm có dao động mực nước bằng không (hình 9.11)

• vận tốc ngang có hướng theo hướng lan truyền sóng ở dưới đỉnh sóng và ngược hướng lan truyền sóng ở dưới chân sóng

• vận tốc thẳng đứng (W) bằng không dưới đỉnh sóng và chân sóng; như vậy vectơ vận tốc là nằm ngang dưới đỉnh và chân sóng (hình 9.11)

• vận tốc thẳng đứng (W) tăng theo hướng đi lên và lớn nhất tại giao điểm không của profil sóng đi xuống, và giảm theo hướng đi xuống và nhỏ nhất tại giao điểm không của profil sóng đi lên (hình 9.11)

• vận tốc chất lỏng gần đáy về cơ bản là nằm ngang (W = 0)

Hình 9.11 Vận tốc chất lỏng trong một sóng ngắn tiến

Giá trị lớn nhất (biên độ) của vận tốc ngang tại mép lớp biên sóng gần đáy (z = - h) rất quan trọng đối với những quá trình vận chuyển trầm tích, như sau:

kh

H U

sinh 2

Về cơ bản, phương trình (9.3.25) không hợp lệ trong nước nông bởi vì lý thuyết sóng biên độ nhỏ không hợp lệ trong trường hợp đó Tuy nhiên, những số đo vận tốc cho thấy phù hợp tốt với những giá trị tính toán theo phương trình (9.3.25)

Ví dụ

Những giá trị vận tốc ngang lớn nhất và độ dịch chuyển gần đáy được tính cho các

độ sâu và cho những chu kỳ sóng khác nhau (xem bảng dưới)

độ sâu

nước

chu kỳ sóng



T

B z A x t

A

0 ,

B

0 ,

Bỏ qua A và B trong Ux+A, z+B và Wx+A, z+B ứng với x và z (sóng biên độ nhỏ), thay phương trình (9.3.23) và (9.3.24) và tích phân cho ta:

) sin(

sinh

) ( cosh

z h k H

) cos(

sinh

) ( sinh

z h k H

H A

ˆ sinh

9.3.5 áp suất chất lỏng

Trường áp suất dưới một sóng tiến ngắn là phi thuỷ tĩnh và có thể nhận được từ phương trình Bernoulli không ổn định (9.2.10), cho ta:

) cos(

cosh

) ( cosh

z h k gH gh

Số hạng đầu tiên bên vế phải phương trình (9.3.31) là áp suất thuỷ tĩnh và số hạng thứ hai gọi là áp suất động lực gây ra gia tốc hạt chất lỏng (xem hình 9.13)

Phương trình (9.3.31) không chính xác gần mặt nước bởi vì những số hạng bậc cao

hơn đã bị bỏ qua (Mục 9.2.2)

Hình 9.13 Trường áp suất chất lỏng dưới sóng ngắn tiến

Bởi vậy, phương trình (9.3.31) áp dụng cho tới bề mặt với  < 0 và tới z = 0 cho  >

0 Trong trường hợp sau giả thiết áp suất thuỷ tĩnh từ z = 0 tới z = , xem hình 9.13 Trong điều kiện hiện trường, độ cao sóng thường đo bằng cách đặt máy đo áp suất trên đáy áp dụng phương trình (9.2.22) và (9.3.31), có thể biểu thị áp suất chất lỏng như sau:

kh

z h k g

gh P

cosh

) (

P      (9.3.33) trong đó:

 = biên độ mặt nước tức thời tại vị trí x

kh

a h k

Kp

cosh

) ( cosh 

Vận tốc ngang của chất lỏng U có thể biểu thị như sau:

kx t kh

z h k H

sinh

) ( cosh

Sóng phản xạ và hình thành sóng đứng lên những công trình có mái dốc hoặc bờ dốc Các sóng chu kỳ dài khi đến một bãi phẳng và dốc thường phát sinh sóng đứng bởi vì độ dốc nhỏ của các sóng này (h/L) ngăn cản sóng đổ

9.4 Lớp biên sóng

9.4.1 Bề dày lớp biên

Lớp biên sóng là một lớp mỏng hình thành nên lớp quá độ giữa đáy và lớp trên với dòng chảy nhiễu động không quay (hình 9.11) Bề dày W lớp này mỏng (0.01 đến 0.1 m) trong sóng chu kỳ ngắn (T  10 s) bởi vì dòng chảy đảo ngược trước khi lớp này có thể tăng trưởng theo hướng đứng Bề dày lớp biên (W) có thể định nghĩa là khoảng cách nhỏ nhất giữa đáy và một độ cao, tại đó vận tốc bằng giá trị lớn nhất của vận tốc dòng

Aˆ = giá trị lớn nhất của quỹ đạo ngay ngoài lớp biên

ks = độ cao nhám đáy Nikuradse

Phương trình (9.4.2) dựa trên nghiên cứu thí nghiệm và lý thuyết nhờ sử dụng những phần tử nhám nhân tạo trong một tuynen sóng thí nghiệm

Mặc dầu lớp biên sóng khá nhỏ, ứng suất trượt phát sinh và cường độ rối khá lớn

và cơ bản quan trọng đối với những quá trình vận chuyển trầm tích

P t

) (

độ vận chuyển trầm tích quan trọng

Một vài nghiên cứu thực nghiệm đã được thực hiện trong những tuynen sóng để đo vận tốc trên những đáy gợn sóng Những thí nghiệm nhiều thông tin nhất được thực hiện bởi DuTolt và Sleath (1981)

Hình 9.15 cho thấy thành phần vận tốc ngang trên một gợn cát trong nửa chu kỳ Những đặc tính quan trọng như sau:

• dòng tự do chuyển động với vận tốc lớn nhất từ phải sang trái và một xoáy dễ nhận thấy lấp đầy hầu hết nửa chân sóng trên phía thượng lưu gợn sóng,

• xoáy tăng kích thước khi dòng tự do giảm,

• xoáy hầu như lấp đầy toàn bộ chân sóng,

• dòng tự do đảo hướng, xoáy bật qua đỉnh và chất lỏng dâng mạnh (quét qua chân sóng và tràn lên đỉnh),

• dòng bắt đầu tách ra tại đỉnh và một xoáy mới bắt đầu hình thành,

• một tia (liên quan đến việc tách ra) bắn ra trên chân sóng và hầu như đạt đến chân sóng

Hình 9.15 Vận tốc tức thời trên gợn cát ( = độ dài gợn sóng, z 1 = tọa độ thẳng đứng), DuToit,

1982

9.4.3 ứng suất trượt và ma sát tại đáy

Sóng chịu lực ma sát tại đáy trong thời gian lan truyền ứng suất trượt tại đáy, quan trọng đối với sự tắt dần sóng và cuốn theo trầm tích, liên quan đến hệ số ma sát bằng (dòng rối):

2 ,

b,w = ứng suất trượt tức thời tại đáy

fw = hệ số ma sát (không đổi trong chu trình sóng)

U = vận tốc chất lỏng tức thời ngay ngoài lớp biên





A U

fw

ˆ ˆ

ˆ ˆ log ,

, log

Trong chế độ nhám thủy lực với gợn sóng và điều kiện dòng mỏng sát đáy Jonsson (1966) đề xuất:

s w

A f

f



ˆ log ,

, log

0

(9.4.11)

với fw,max = 0,3 đối với

sk

A ˆ

 1,57

Phương trình (9.4.11) cho trong hình 9.16 có thể xấp xỉ bằng:

19 0

2 5



s w

k A

với fw,max = 0,3 đối với

sk

H A

ˆ sinh

2

ˆ   = 1,32 m/s

19 0

2 5



s w

• vận tốc gần đáy giảm trong trường hợp dòng chảy cùng hướng cũng như trong trường hợp dòng chảy ngược hướng,

• vận tốc gần mặt tăng trong trường hợp dòng chảy ngược hướng, nhưng vận tốc gần mặt hơi giảm trong trường hợp dòng chảy cùng hướng,

• những hiệu ứng thể hiện rõ nhất trong trường hợp sóng tương đối lớn kết hợp với dòng chảy yếu

Cơ chế cơ bản là những xoáy sản sinh trong lớp biên sóng mỏng tạo ra áp suất và lực trượt bổ sung trong chất lỏng, làm cho sức cản dòng chảy tăng khi vận tốc gần đáy giảm

Hiệu ứng này có thể mô hình hoá bằng việc đưa ra độ nhám đáy biểu kiến (ka), lớn hơn độ nhám đáy vật lý (ks)

Những mô hình khác (Fredsoe, 1984) đã được đề xuất để xét hiệu ứng này, nhưng nói chung chưa có những biểu thức được công nhận

a k e k

k hz k

z v

v

30 ln 1

30 ln

,





s s

a

a R z R

k

k z

k h k v v





30 ln

30 ln 30 ln 1

30 ln

bổ sung của ứng suất trượt tại đáy liên quan đến dòng chảy và liên quan đến sóng (xem hình 9.18) ứng suất trượt tại đáy được giả thiết liên quan tới vận tốc gần đáy tại độ cao

Thay U = U ˆ cos  t cho ta:

U2,cw  vR2,  U ˆ2cos2 t  2 vR,U ˆ cos  cos  t

Lấy trung bình chu kỳ sóng T cho ta:

0

2 2

, 2

2

1 ( )

 = ứng suất trượt tại đáy liên quan đến dòng chảy trung bình thời gian

 U fW = ứng suất trượt tại đáy liên quan đến sóng trung bình thời gian

Hướng vectơ b, cw phụ thuộc vào góc , nhưng độ lớn b, cw không phụ thuộc vào góc 

Như đã lưu ý quá trình kéo theo trầm tích, chỉ có độ lớn b, cw là quan trọng vì nó xác định sự khuấy lên của vật chất đáy Vận chuyển chủ yếu theo hướng vectơ vận tốc

Hình 9.18 ứng suất trượt tại đáy kết hợp sóng và dòng chảy

Cuối cùng, sức cản toàn bộ trong hướng dòng chảy được bàn luận Vì độ nhám biểu kiến (ka) chỉ phụ thuộc yếu vào góc () giữa sóng và dòng chảy, nó được đơn giản (Mục 5.4.5.3) thành:

C

v u

u = vận tốc trung bình độ sâu theo hướng x

v = vận tốc trung bình độ sâu theo hướng y

2 2

v u

h h g E

L p

2 2

) (

Hình 9.19 Năng lượng sóng

Mật độ năng lượng là năng lượng trên diện tích đơn vị Ep  Ep/ L:

216

) (

216

1

gH

Ek   (9.5.6)

Năng lượng toàn phần

28

1

gH E

Vì công trên thời gian đơn vị được định nghĩa là tích của lực và vận tốc, công tức thời thực hiện bởi lực áp suất động trong đoạn thẳng đứng là:

Công trung bình thời gian (trong một chu kỳ sóng) bởi lực áp suất động:

dt Udz P T F

h d T

2 1 ( 2

1

gH kh

kh k

E c E cn

trong đó:

cg = nc = vận tốc lan truyền nhóm sóng

) 2 sinh

2 1

9.5.3 Vận tốc nhóm sóng

Nhóm sóng là một chuỗi hữu hạn các sóng riêng lẻ với một front sóng và một đuôi sóng (độ cao sóng vô cùng nhỏ) lan truyền trong chất lỏng không nhiễu động hoặc trong một trường sóng ngẫu nhiên

Hình 9.20 cho thấy cho một nhóm sóng gồm hai sóng có độ cao H không đổi với những tần số hơi khác nhau ,  và số sóng k, k Giả thiết rằng:  =  - 1/2,  =

 + 1/2, k1 = k – 1/2k và k2 = k + 1/2k, trong khi    và k  k

Hai sóng có thể kết hợp như sau:

) cos(

2

) (

2

1 cos 2 ) cos(

2 ) cos(

2 ) cos(

t H x k t H

x k t H

Mặt cắt sóng kết quả gồm một sóng mang (tần số , số sóng k) truyền với vận tốc c

= /k và một sóng bao m = 2 cos(1/2(t - kx)) điều khiển biên độ sóng mang Thừa số

m thể hiện mặt cắt sóng bao và có giá trị lớn nhất là 2, nhỏ nhất là 0, bước sóng Lg = 2

kh c

dt

d

2 sinh

2 1 ( 2

Dòng năng lượng trong miền theo thời gian là: F t

Năng lượng toàn phần trong miền tăng lên bởi vì nhiều sóng hơn có mặt trong miền sau chu kỳ t Như vậy, năng lượng tăng trong miền là:

t c E x

E   f

Vận tốc lan truyền front sóng nhỏ hơn vận tốc lan truyền các sóng riêng lẻ theo hệ

số n (n = 1/2 trong nước sâu) Như vậy, các sóng riêng lẻ xuất hiện vào cuối đợt sóng, chuyển động xuyên qua đợt sóng và biến mất tại front Hiện tượng này có thể quan sát khá rõ trong tự nhiên

Một đợt sóng có thể xem như một lượng năng lượng không đổi lan truyền với vận tốc nhóm cg (bỏ qua tổn thất năng lượng do ma sát đáy và những hiệu ứng nhớt)

Cũng có thể hiểu cơ chế truyền năng lượng tại front sóng bằng việc xét công thực hiện bởi con sóng đầu tiên trên chất lỏng không nhiễu động (xem hình 9.22) Công thực hiện bởi sóng đầu tiên bằng dòng năng lượng đi qua mặt phẳng A trong chu kỳ T Năng lượng trên diện tích đơn vị của sóng mới sau khi chu kỳ T là:

1

s s

g

c

E c c

F L

T F

Hình 9.22 Truyền năng lượng tại front sóng

Hệ số n luôn nhỏ hơn 1 Như vậy, mỗi sóng mới có ít năng lượng hơn sóng ngay trước đó Sóng mới này nhận nhiều năng lượng hơn trong chu kỳ tiếp theo Khi sóng phát triển hoàn toàn trong nước sâu, mỗi sóng chuyển một nửa năng lượng của nó cho sóng tiếp theo trong hướng lan truyền và nhận một nửa năng lượng của sóng đang đến Quá trình vận chuyển năng lượng có thể hiểu tốt hơn bằng việc xét một máy tạo sóng trong một máng dài có độ sâu không đổi (h) Sóng nước sâu được tạo ra (h > 1/2L) Trong mỗi chu trình năng lượng 1/2E được bổ sung cho chất lỏng Thì đầu tiên phát sinh sóng có năng lượng 1/2E Sau một chu kỳ T, sóng này đã lan truyền một khoảng cách L trong khi phát sinh sóng thứ hai có năng lượng 1/4E Trong thời gian này thì thứ hai của máy phát sóng bổ sung 1/2E cho 1/4E còn lại sau vị trí 1 của sóng thứ nhất, trong khi cho năng lượng toàn phần là (1/2 + 1/4) E và vv

Các tính toán cho một số lớn sóng (= 1000) cho thấy năng lượng trên diện tích đơn

vị (E) tăng lên rất nhanh do một số ít các sóng (khoảng 50) ở giữa nhóm sóng trong nước sâu (hình 9.23)

Hình 9.23 Phân bố năng lượng trong nhóm sóng

9.6 Phản xạ sóng

Sóng được phản xạ một phần khi đáy biển thay đổi từ nằm ngang đến nghiêng Trong trường hợp đáy hơi dốc (ví dụ 1: 100) có thể bỏ qua phản xạ Sóng hầu như phản xạ hoàn toàn tại những biên có độ dốc lớn hoặc những tường thẳng đứng, cho ta một hệ thống sóng đứng

trong đó  = trễ pha của sóng phản xạ Trong trường hợp phản xạ toàn phần Hi = Hr và

 = 0

Những thực nghiệm trong phòng chỉ ra rằng hệ số phản xạ r liên quan đến tham số

 = tan(h/L0)-0,5 trong đó tan = độ dốc đáy, H = độ cao sóng đến, L0 = bước sóng nước sâu Tổng năng lượng phản xạ tăng theo sự tăng độ phẳng của sóng Ví dụ, một sóng dài sẽ phản xạ toàn phần trên độ dốc đáy nhỏ

Phản xạ giảm khi mặt biên nhám

Khi sóng tiếp cận một biên thẳng đứng dưới một góc, sóng phản xạ với một góc bằng góc tới của sóng đến Sóng đến và sóng phản xạ cho ta bức tranh sóng đan chéo nhau

9.7 Sóng nước nông

9.7.1 Cân bằng dòng năng lượng

Giả thiết sóng đang lan truyền theo hướng thẳng góc với một đường bờ thẳng Những đường đẳng sâu song song mọi nơi với đường bờ Kết quả là những đỉnh sóng cũng song song khắp nơi với đường bờ, trong khi những tia sóng (những đường tiếp tuyến với hướng lan truyền sóng) thẳng góc với bờ Những biến đổi độ cao sóng dọc theo tia sóng có thể xác định từ cân bằng dòng năng lượng Giả thiết trạng thái ổn định (không nhận năng lượng bởi lực gió) và không có phản xạ, dòng năng lượng cân bằng trên khoảng cách ds là:

(9.7.1) trong đó:

s = tọa độ dọc theo tia sóng

D = tiêu tán năng lượng (bởi ma sát đáy, sóng đổ)

hoặc E cg= const (9.7.2) Như vậy:

dẫn đến:

H2n2c2 = H1 n1c1

1 1

2 2

1 1

c n

c n

trong đó:

2 2

1 1

2 1

Hệ

số

Hệ số nước nông

Độ cao sóng

Độ dốc sóng

Độ cao sóng tương

đối

Giá trị lớn nhất của vận tốc

đối (h/h = 0,71) tại độ sâu 3 m đã gần tới giá trị sóng đổ (h /h = 0,8) Độ dốc sóng tại

độ sâu nước 3 m là H/L= 0,059, nhỏ hơn nhiều giá trị giới hạn 0,068 theo phương trình (9.10.1) Như vậy, sóng sẽ võ do giới hạn độ sâu nước chứ không do hạn chế độ dốc (xem mục 9.10)

U f

T w

3

3 3

0 3 3

sinh

) ( 6 3

ˆ 4 sin

0 sinh

) ( 6 8

fw

3 3

sinh 6

1 1

x x H

trong đó:

Hx = độ cao sóng tại khoảng cách x – x1

H1 = độ cao sóng đã cho tại khoảng cách x1.