Các nguyên lý của dòng chảy chất lỏng và sóng mặt trong sông, cửa sông, biển và đại dương - Chương 7 ppt

Tính không đều có thể do những thay đổi không gian của mặt cắt ngang hoặc bởi những vật chắn đập tràn trong dòng chảy.. Trong dòng biến đổi gấp, những thay đổi độ sâu, bề rộng và do đó b

Chương 7 dòng chảy ổn định không đều

7.1 Mở đầu

Dòng ổn định không đều là dòng chảy trong đó vận tốc không đổi theo thời gian (u/t = 0), nhưng không phải là hằng số trong không gian (u/x  0, u/y  0) Tính không đều có thể do những thay đổi không gian của mặt cắt ngang hoặc bởi những vật chắn (đập tràn) trong dòng chảy

Hai loại dòng không đều được xem xét: dòng chảy biến đổi dần (chậm) và dòng chảy biến đổi gấp (nhanh)

Trong dòng biến đổi dần, vận tốc thay đổi dần dần từ mặt cắt này đến mặt cắt khác; những đường dòng thực chất là song song và có thể giả thiết áp suất thủy tĩnh Giả thiết khác là tổn thất năng lượng cũng được xem như đối với dòng chảy đều

Trong dòng biến đổi gấp, những thay đổi độ sâu, bề rộng và do đó biến đổi vận tốc xảy ra trong những đoạn lòng dẫn ngắn; những đường dòng uốn cong mạnh và áp suất trong dòng chảy không phải là thủy tĩnh (ví dụ: nước nhảy thuỷ lực, chảy tràn tự do, dòng chảy qua đập tràn) Thông thường, tổn thất năng lượng do ma sát đáy có thể bỏ qua so với những tổn thất năng lượng khác (tổn thất do mở rộng)

Những dòng không đều cũng có thể nghiên cứu bằng việc giả thiết dòng thế, có nghĩa là bỏ qua những ứng suất trượt do nhớt (độ nhớt bằng không)

Các lực dòng chảy tác động lên công trình do những biến đổi vận tốc và áp suất cũng được xem xét trong chương này

7.2 Dòng thế

7.2.1 Mở đầu

Dòng thế là dòng chảy không quay với những thành phần vận tốc có thể dẫn xuất

từ một hàm thế () Vì dòng chảy không quay (có nghĩa là xoáy bằng không, xem mục 4.6), phương trình Bernoulli hợp lệ cho toàn bộ trường dòng chảy (xem mục 5.4.3)

Từ bức tranh đường dòng và phương trình Bernoulli, có thể nhận được những biến

đổi vận tốc và áp suất trong trường dòng chảy Những đường dòng cùng với đường thế liên quan với chúng hình thành một lưới dòng (lưới thuỷ động lực) có thể xây dựng dễ

dàng bằng phép thử sai

Nhiều chất lỏng thực có thể biểu thị như những dòng thế khi hiệu ứng ma sát nội

là nhỏ để bỏ qua, thông thường là trường hợp cho dòng chảy tăng tốc (gấp) Ví dụ, hình 7.3 cho thấy một lưới dòng trong khu vực tăng tốc của ống dẫn ứng dụng cách tiếp cận lưới dòng không cho ta những kết quả chính xác đối với những dòng chảy giảm tốc nhanh

7.2.2 Dòng thế hai chiều

Dòng thế có thể mô tả dưới dạng thế vận tốc () và hàm dòng () ứng dụng của hàm thế () và hàm dòng () chỉ thích hợp cho một trường dòng chảy hai chiều: u = f(x,y) hoặc u = f(x,z)

Đối với trường dòng chảy hai chiều thẳng đứng không quay, có thể xác định thế vận tốc (), sao cho những thành phần vận tốc u và w là:

Trong mục 4.3 đã chỉ ra rằng những thành phần vận tốc (u, w) cũng liên quan đến hàm dòng (), như sau:



(7.2.7) nói rằng những thành phần vận tốc cũng có thể biểu thị như gradient của một đại lượng vô hướng  (phương trình 7.2.6)

Thế vận tốc  và hàm dòng  đều là những hàm số của cả x lẫn z Như vậy,

wdz udx dz z

dx x

dx x

Thế  không đổi dọc theo một đường đẳng thế, có nghĩa là d = 0

Hàm dòng  không đổi dọc theo một đường dòng, có nghĩa là d = 0

Hai họ đường có thể xây dựng trong mặt phẳng x - z:

đường đẳng thế: udx + wdz = 0 (7.2.10)

đường dòng: wdx - udz = 0 (7.2.11) Những phương trình (7.2.10) và (7.2.11) thể hiện một hệ trực giao của nhiều đường,

mà có nghĩa là taị bất kỳ giao điểm nào những đường dòng đều thẳng góc với những

đường đẳng thế (xem hình 7.1) Những đường đẳng thế cũng thẳng góc với những biên của khu vực dòng chảy, bởi vì những biên cũng là những đường dòng

Hình 7.1 Đường dòng thẳng góc với đường đẳng thế

7.2.3 Lưới dòng (lưới thuỷ động lực)

Lưới dòng là một họ các đường dòng và đường đẳng thế tạo nên các hình vuông cong Trong một lưới dòng khoảng cách giữa các đường dòng () và khoảng cách giữa các thế vận tốc () bằng nhau trong toàn bộ lưới Điều này có thể thấy bằng việc áp dụng một hệ toạ độ tự nhiên (s, n), xem hình 7.1 Các vận tốc trong hệ là:

n s

Hình 7.2 Lưới dòng (lưới thuỷ động lực)

Ví dụ trong hình 7.2, lưu lượng q giữa 2 đường dòng là q = 3 m2/s

Khi biết lưu lượng toàn bộ q, lưu lượng q có thể rút ra từ q = q/m, trong đó m là

số lượng các khoảng đường dòng giữa đáy và mặt nước Bằng cách đo những giá trị n,

có thể xác định vận tốc tại bất kỳ điểm nào:

vs1n1 = vs2n2 = q (7.2.16)

Trường áp suất có thể xác định từ phương trình Bernoulli:

2 2 2 2 1 1 2 1

2

p g

v z g

p g

Với nhiều mục đích những lưới dòng có thể vẽ tay Những đường dòng được vẽ cách

đều nhau một khoảng nào đó nơi dòng chảy song song Số lượng đường dòng phụ thuộc vào độ chính xác mong muốn Khoảng cách càng nhỏ, độ chính xác càng cao và đòi hỏi

nỗ lực lớn hơn khi vẽ lưới dòng Sau khi những đường dòng đã được vẽ bằng mắt, vẽ những đường đẳng thế Thực hiện những điều chỉnh liên tiếp cho cả những đường dòng lẫn những đường đẳng thế, cho đến khi những hình vuông thích hợp xuất hiện Để kiểm tra, có thể vẽ những đường chéo qua đỉnh các hình vuông, chúng cũng phải lập

áp dụng phương trình Bernoulli từ điểm 1 đến điểm 2 dẫn đến:

2

2 1

2 1

2

g

p g

p g

u g

Bây giờ có thể xác định vận tốc và áp suất tại những điểm khác bằng việc sử dụng phương trình liên tục và phương trình Bernoulli

Những kết quả cho trong bảng sau:

Điểm z

(m)

n (m)

u (m/s)

u/2g (m)

p/g (m)

z+p/g (m)

Hình 7.4 Ví dụ của lưới dòng

7.3 Dòng chảy rối biến đổi dần

7.3.1 Mở đầu

Trong trường hợp của dòng biến đổi dần (ổn định) độ sâu nước thay đổi chậm theo chiều dài lòng dẫn Những đường dòng thực tế là song song nên áp suất chất lỏng là thủy tĩnh Giả thiết cơ bản cho những loại dòng chảy này là: có thể xác định ứng suất trượt tại đáy cho mỗi đoạn bằng việc áp dụng công thức sức cản cho dòng đều Như vậy,

2 2

C

u g

cũng hợp lệ cục bộ đối với dòng biến đổi dần Điều này có nghĩa là tổn thất cột nước trong một đoạn cũng như đối với một dòng chảy đều

Hai loại đường cong mặt nước có thể phân biệt trong dòng không đều:

1 đường nước dâng khi độ sâu dòng chảy tăng theo hướng dòng chảy (dh/dx > 0),

và

2 đường nước hạ khi độ sâu dòng chảy giảm theo hướng dòng chảy (dh/dx < 0) Một đường nước dâng phát sinh khi dòng chảy được ngăn bởi một đập tràn (hình 7.7.16) Một đường nước hạ phát sinh trong trường hợp chảy tràn tự do (hình 7.7.16)

7.3.2 Phương trình Belanger

Những đường cong nước dâng và nước hạ có thể xác định bằng việc áp dụng phương trình Belanger, rút ra từ phương trình (5.4.54), cho một mặt cắt ngang tuỳ ý hoặc bằng phương trình (5.4.55) cho một mặt cắt ngang hình chữ nhật rộng (b >> h) Phương trình Belanger cũng có thể dẫn xuất bằng việc áp dụng cân bằng động lượng đối với một phần tử chất lỏng có chiều dài x và chiều cao h như trong hình 7.5

đối với lòng dẫn chữ nhật rộng

Lực áp suất thực tế trên đơn vị bề rộng (Fp) theo hướng s là:

s ds

dh gh

u (7.3.5) Phương trình chuyển động dẫn đến:

) )(

( sin

ds

u d u s h s s

gh ds

dh s

hoặc

0 sin  





h

g ds

dh g ds

u d

dh g ds

u d

dh u dx

h d

dh h

i h C q

dx

dh

2

3 2 2

e i h h

h h dx

dh

3 3

3 3

) (

hc  = độ sâu phân giới tại cùng q

Đối với những giá trị đã cho của q, ib, và C, biết được những độ sâu he và hc, ta có phương trình vi phân đối với độ sâu h Nếu cần thiết, hệ số  cũng được xét đến bằng việc áp dụng hc = (q2/g)1/3

Khi đã biết giá trị ks, độ sâu cân bằng he có thể tính toán từ:

q = Che(heib)1/2 = [18log(12he/ks)]he3/2 ib1/2

7.3.3 Phân loại những đường cong mặt nước

Hình 7.6 Phân loại những đường cong mặt nước (De Vries, 1985)

Phương trình (7.3.12) có thể giải được khi biết q, C, ib và những điều kiện biên ở x =

0 Trong trường hợp dòng dưói phân giới (Fr < 1) cần biết độ sâu nước hạ lưu Trong trường hợp dòng trên phân giới cần biết độ sâu nước thượng lưu, bởi vì sóng mặt không thể lan truyền ngược hướng dòng chảy trong trường hợp này Nhiều lời giải của phương trình (7.3.12) đã cho trong hình 7.6 Phân biệt những loại sau:

A – Loại đường cong cho độ dốc đáy ngược

H – Loại đường cong cho đáy nằm ngang

M – Loại đường cong cho độ dốc đáy thuận vừa phải (he > hc)

C – Loại đường cong cho dốc đáy thuận tới hạn (he = hc)

S – Loại đường cong cho độ dốc đáy thuận rất dốc (he < hc)

Độ dốc phân giới xuất hiện khi he = hc hoặc ic = g/C2, có thể dẫn xuất từ những biểu thức đối với he và hc (phương trình 7.3.12) Dốc vừa phải là ib < ic và rất dốc là ib > ic

Nhận xét

1 Đường cong mặt nước được biết nhiều nhất là đường nước dâng thượng lưu một

đập tràn trong trường hợp độ dốc đáy vừa phải (ib = 10-4) Nó phát sinh đường cong M1vì h > he > hc Độ sâu nước giảm theo hướng thượng lưu (xem hình 7.6)

2 Trong trường hợp đáy ngang độ sâu cân bằng he lớn vô hạn (he = ) Như vậy không thể h > he Như vậy, đường cong loại H1 không tồn tại

3 Trong trường hợp he = hc thấy rằng dh/dx = ib dẫn đến mặt nước nằm ngang đối với h > he = hc và h < he = hc.

Các ví dụ:

Vấn đề trong tính toán những đường cong mặt nước là tìm được độ sâu nước thích hợp, hoặc hạ lưu trong trường hợp dòng dưói phân giới (Fr < 1) hoặc thượng lưu trong trường hợp dòng trên phân giới (Fr > 1)

1 Lối ra tự do hoặc chảy tràn tự do

Trong trường hợp đáy dốc vừa phải, có nghĩa là ib < ic với ic = g/C2 và độ sâu nước h0

tại đầu cuối lòng dẫn bằng độ sâu phân giới, như vậy là h0 = hc (xem hình 7.7.1) Đó là quy luật tự nhiên mà mặt nước tìm được vị trí thấp nhất có thể của nó ứng với độ cao năng lượng nhỏ nhất Hemin, như đã cho trong mục 6.6.2 Vì dòng chảy là phân giới, cần

sử dụng độ sâu hạ lưu h0 = hc = (q2/g)1/3 làm điều kiện biên Đường mặt nước là một

đường cong loại M2 Nếu mực nước hA trong thuỷ vực tại hạ lưu lòng dẫn lớn hơn hc

nh-ưng nhỏ hơn he (trạng thái 2), sẽ nhận được đường cong M2 khác Nếu mực nước hA lớn hơn he (trạng thái 3), sẽ được nhận được đường cong M1

Trong trường hợp đáy rất dốc, có nghĩa là ib > ic và hc > he, độ sâu nước tại đầu cuối lòng dẫn sẽ bằng độ sâu cân bằng he = (q/Cib0,5)2/3 khi lòng dẫn đủ dài Vì dòng chảy trên phân giới (Fr > 1), độ sâu nước trong lòng dẫn phụ thuộc vào điều kiện biên thượng lưu

(xem hình 7.7.2) Nếu lòng dẫn ngắn, thì có thể không đạt đến độ sâu cân bằng, và độ sâu h0 có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn he phụ thuộc vào độ sâu nước thượng lưu

Hình 7.7.2 Lối ra tự do trong trường hợp rất dốc (Fr > 1)

Nếu độ sâu hA lớn hơn hc, nước nhảy thủy lực sẽ phát sinh ở giao điểm của đường cong S1 và độ sâu h2 (phương trình 7.4.11)

2

2 0

Vì dòng chảy dưới phân giới, sẽ hình thành một bậc nước

Trong trường hợp rất dốc độ sâu h0 ở lối vào bằng độ sâu phân giới hc Vì dòng chảy trên phân giới (Fr > 1), điều kiện biên áp dụng ở thượng lưu phát sinh đường cong S2

(hình 7.7 4)

Hình 7.7.1 Lối ra tự do trong trường hợp độ dốc vừa phải (Fr < 1)

Hình 7.7.3 Lối vào tự do trong trường hợp độ dốc vừa phải (Fr < 1)

Hình 7.7.4 Lối vào tự do trong trường hợp rất dốc (Fr > 1)

3 Đập tràn chảy trên mặt

Hình 7.7.5 Đập tràn trong trường hợp độ dốc vừa phải (Fr < 1)

Thông thường, những đập tràn được sử dụng để làm tăng độ sâu nước thượng lưu

đập cho mục đích giao thông thuỷ Hình 7.7.5 cho thấy một đập tràn tràn trong trường hợp độ dốc vừa phải (ib < ic) Độ sâu nước hạ lưu đập tràn sẽ bằng độ sâu cân bằng Độ sâu nước ở trên đập tràn sẽ xấp xỉ bằng độ sâu phân giới hc Độ sâu nước ngay tại thượng lưu đập tràn sẽ bằng h0 = d + H, trong đó d là chiều cao đập tràn và H là mực nước thượng lưu đập tràn Mực nước H dẫn xuất từ công thức lưu lượng cho đập tràn (xem mục 7.4.7) là H = q2/3 với  là hệ số liên quan đến loại đập tràn và q là lưu lượng

trên đơn vị bề rộng cần biết

Vì dòng chảy dưới phân giới, điều kiện biên để tính toán mặt nước cho tại hạ lưu

h0 = d + H, đường mặt nước là đường cong M1

4 Đập chảy dưới sâu

Có thể phân biệt hai trạng thái: dòng dưới phân giới (hình 7.7.6) hoặc dòng trên phân giới (hình 7.7.7) ở hạ lưu đập tràn trong trường hợp độ dốc vừa phải

Hình 7.7.6 Đập chảy dưới sâu (dốc vừa phải)

Hình 7.7.6 cho thấy dòng dưới phân giới ở hạ lưu đập tràn Những độ sâu nước hạ lưu và thượng lưu đập tràn liên quan với nhau qua công thức tính lưu lượng như sau:

q = a[2g(h0 - he)]0,5 trong đó  là hệ số liên quan đến loại đập tràn và a là chiều cao mở (xem mục 7.4.7) Độ sâu nước h0 có thể tính toán khi biết q, , a và he Vì dòng chảy dưới phân giới, có thể tính toán đường cong mặt nước M1 bằng việc áp dụng h0 làm điều kiện biên hạ lưu

Hình 7.7.7 Đập chảy dưới sâu (dốc vừa phải)

Hình 7.7.7 cho thấy dòng trên phân giới hạ lưu đập tràn áp dụng phương trình Bernoulli và phương trình cân bằng động lượng, lưu lượng có thể biểu thị như sau:

0 0

2

h a

g ah

trong đó a là chiều cao mở và  là hệ số co hẹp (h1 = a,  = 0,6) Độ sâu nước h0 có thể tính toán khi q,  và a được biết

Mặt nước giữa đập tràn và nước nhảy thủy lực là đường cong M3 Vị trí của nước nhảy thủy lực đã cho trong mục 7.4.3

5 Sự quá độ từ đáy trơn đến đáy nhám

Hình 7.7.11

7 Sự quá độ từ dốc vừa phải đến rất dốc

Hình 7.7.12

8 Sự quá độ từ rất dốc đến dốc vừa phải

Nước nhảy sẽ phát sinh trong lòng dẫn rất dốc khi độ sâu he2 lớn hơn độ sâu h2 của nước nhảy (phương trình 7.1.1.1) Nếu không, nước nhảy sẽ phát sinh trong lòng dẫn dốc vừa phải

Hình 7.7.13

9 Sự quá độ trong bề rộng dòng chảy

Hình 7.7.16 (Henderson, 1970)

7.3.4 Tính toán giải tích những đường cong mặt nước

Có thể thực hiện tính toán giải tích cho những trạng thái đặc biệt, như dòng chảy trên một đáy nằm ngang (ib = 0) Phương trình (7.3.12) có thể biểu thị như sau:

2

2 3

c

b

h h C

q i h dx

c

h h C q dx

0 0

0

3 3 2

2

dh h dh h q

C x d

h

h c h

h x

)]

( 4

1 ) (

0 4 1 0

1 3 2 2 0

q

C x

)]

( 4

1 ) (

2

2 0

q

C x

trong đó:

x0 = vị trí nơi điều kiện biên h = h0 được biết (hình 7.8)

x1 = vị trí nơi độ sâu nước h bằng h1 (hình 7.8)

Hệ số Chezy giả thiết không đổi, nhưng cũng có thể tính theo C = 18log(12 h/ks) với

h =1/2(h0 + h1) = độ sâu nước trung bình trên khoảng cách x1 – x0

Độ sâu nước được biểu thị như sau: h = he.

Phương trình Belanger biểu thị như sau:

b

e c e

h

h h h h h

dx dh

3 3 3 3 3

g

i C dx

i C i

h dx

i C i

h dx

3

2 3

g

i C i

h dx

1 ) 1

1

0

3 0

1 0

đáy ib = 10-4 Tính toán độ sâu nước theo hàm số của x

Bảng 7.1 Những giá trị  theo phương pháp Bresse

q h

q

hc 1 3 0 69

2

, )



2,

2 1

Như vậy, bây giờ độ sâu nước sẽ là 2,75 m ở cách thượng lưu đập tràn 2199 m

7.3.5 Tính toán đường cong mặt nước bằng phương pháp số

Với một lòng dẫn rộng, đường cong mặt nước có thể biểu thị như sau:

b c

e i h h

h h dx

dh

3 3

3 3

i gA

Q b gR i

dx dh

Q b

AR C

Q i dx dh

3 2 2 2

1 





Độ sâu nước có thể tính toán bằng việc áp dụng phương pháp dự tính - hiệu chỉnh

Hệ số Chezy có thể lấy không đổi (khi những biến đổi độ sâu nhỏ) hoặc bằng C = 18 log(12R/ks)

Giả thiết độ sâu nước hk ở điểm xk được biết (điều kiện biên) Độ sâu nước h’k+1 ở

điểm xk+1 có thể tính toán như sau (xem hình 7.10):

dx

dh x x h

h'1   ( 1 )( ) , phương trình dự tính (7.3.25) Phương trình (7.3.25) cho ta giá trị dự tính Một giá trị chính xác hơn của độ sâu nước tại điểm xk+1 có thể tính toán bằng việc áp dụng phương trình hiệu chỉnh:

] ) ( ) [(

2

1 )

dh x

x h

Hình 7.10 Phương pháp dự tính - hiệu chỉnh

Ví dụ

Ví dụ của hình 7.9 được áp dụng: q = 1,8 m2/s, C = 45 m0,5/s, ib = 10-4, he = 2,52 m,

hc = 0,69 m, hx=0 = 3,02 m Bước không gian x = xk+1 - xk giả sử là -3000 m (dấu âm

ngư-ợc hướng dòng chảy)

Dự tính 1: x'3000m  x0  (   )( )x0

dx

dh x h

h

, ,

,

, ,

, ,

,

m

893 2 127 0 02 3

10 69 0 02 3

52 2 02 3 3000 02

3 3

3 3

dh x

h h

.,,,

),,(,

],,

,,

,,

,,[,

m

x x

x x

9052150023

10343042402

13000023

106908932

5228932690023

5220232

13000023

4

4 3 3

3 3 3

3

3 3

dh x

h h

 2 , 905  0 , 094  2 , 811 m Phương trình hiệu chỉnh chỉ đưa ra đánh giá hơi tốt hơn về độ sâu nước Những kết quả chính xác hơn có thể nhận được bằng việc áp dụng bước x nhỏ hơn Về cơ bản, giá trị x cần phải nhỏ trong khu vực gần đập tràn, do những biến đổi độ sâu lớn trong khu vực đó Xa hơn về thượng lưu đập tràn, giá trị x có thể tăng

7.4 Dòng chảy rối biến đổi nhanh

7.4.1 Mở đầu

Trong trường hợp dòng biến đổi nhanh (ổn định), độ sâu nước thay đổi rất nhanh dọc lòng dẫn Những đường dòng cong rất mạnh, nên áp suất chất lỏng là phi thuỷ tĩnh Thông thường, ma sát đáy có thể bỏ qua vì dòng biến đổi nhanh là một hiện tượng cục

bộ trên một khoảng cách tương đối ngắn

Dòng biến đổi nhanh có thể chia thành:

1 dòng chảy giảm tốc nhanh (mở rộng đột ngột, nước nhảy thủy lực),

7.4.2 Phương trình Carnot cho dòng chảy giảm tốc

Phương trình Carnot biểu thị tổn thất năng lượng do sự mở rộng đột ngột dòng chảy, như trong hình 7.12

Phương trình Bernoulli từ mặt cắt 1 đến mặt cắt 2 dẫn đến:

L

H h g

u z h

2

1

2