Các nguyên lý của dòng chảy chất lỏng và sóng mặt trong sông, cửa sông, biển và đại dương - Chương 4 pdf

Có thể nghiên cứu những chuyển động chất lỏng bằng cách quan sát những hạt chất lỏng đã cho khi chúng di chuyển trong không gian phương pháp Lagrange hoặc bằng cách quan sát chuyển động

Lực nổi là hợp lực của các lực áp suất hướng thẳng đứng lên một vật thể chìm và bằng trọng lượng của chất lỏng bị chiếm chỗ (định luật Acsimet)

Trong hình 3.4, lực thẳng đứng lên mặt trên 2 – 1 – 4 bằng trọng lượng của chất lỏng ở trên bề mặt đó, và lên mặt đáy 2 – 3 – 4 bằng chất lỏng ở trên bề mặt đó, thậm chí dù chất lỏng không chiếm toàn bộ thể tích đó

Hình 3.4 Lực nổi tác động lên một thể tích chìm trong nước

Như vậy lực thẳng đứng thực tế thể hiện trọng lượng của chất lỏng trong thể tích 1

- 2- 3- 4 (thể tích chiếm chỗ) Lực được đặt ở trọng tâm của thể tích bị chiếm chỗ Như vậy,

4.1 Mở đầu

Động học là hình học của chuyển động Như vậy động học chất lỏng mô tả những chuyển động chất lỏng mà không xét đến những lực gây ra chuyển động đó Động học rất quan trọng bởi vì nó có thể giải thích nhiều hiện tượng chất lỏng theo một cách đơn giản

Có thể nghiên cứu những chuyển động chất lỏng bằng cách quan sát những hạt chất lỏng đã cho khi chúng di chuyển trong không gian (phương pháp Lagrange) hoặc bằng cách quan sát chuyển động của những hạt chất lỏng khác nhau khi chúng đi qua những điểm cố định trong không gian (phương pháp Euler) Trong phương pháp Lagrange, đường đi của hạt chất lỏng hoặc quỹ đạo là đường cong có tầm quan trọng cơ bản Trong phương pháp Euler, đường dòng là đường cong có tầm quan trọng cơ bản Phương pháp Euler nói chung tiện lợi hơn và được sử dụng ở đây

4 2 Đường dòng và dòng nguyên tố

Đường dòng là một đường cong mà tiếp tuyến của nó ở bất kỳ điểm nào đều trùng với vectơ vận tốc chất lỏng tại điểm đó (xem hình 4.1) Do đó, có thể không có vận chuyển của khối lượng chất lỏng ngang qua một đường dòng

Từ những xem xét động học (hình 4.1) thấy rằng dy/dx = V/U Tương tự, dz /dy = W/V và dx/dz = U/W

Như vậy:

W

dz V

dy U

dx



Hình 4.1 Đường dòng

Giả sử, lấy ví dụ một dòng chảy 2 chiều với U = kx, V = - ky và k = const Điều đó dẫn tới: dx /x = - dy/y hoặc ln(x) = - ln(y) + C1, tương đương với xy = C2, trong đó C là hằng số tích phân Điều này thể hiện một trạng thái dòng chảy với những đường dòng hyperbol dạng góc vuông (dòng chảy tại góc), như trong hình 4.2

Hình 4.2 Đường dòng tại một góc

Đường dòng đặc biệt là đường dòng phân chia, tách ra hai miền dòng chảy (ví dụ, dòng chính và dòng hoàn lưu nghịch)

Dòng nguyên tố là một phần tử dòng chảy được bao bọc bởi những đường dòng và như vậy chất lỏng không thể đi qua những biên của dòng nguyên tố (xem hình 4.3)

Hình 4.3 Dòng nguyên tố

4.3 Hàm dòng

Trong dòng chảy hai chiều những phương trình của đường dòng có thể mô tả bằng những hàm dòng  Giá trị  không đổi dọc theo một đường dòng Những giá trị  khác nhau chỉ định những đường dòng khác nhau U và V là những thành phần vận tốc liên quan đến hàm dòng như sau:

dy y

dx x

d

















Vì  = (x,y), vi phân toàn phần của  dẫn đến:

Hàm dòng  không đổi khi d = 0, kết quả là V dx - Udy = 0 Biểu thức này thể hiện phương trình đường dòng (phương trình 4.2.1) Như vậy, hàm dòng  không đổi

đối với một đường dòng

Giả sử, ví dụ hàm dòng  = - kxy Điều này dẫn tới U = kx và V = - ky Những

đường dòng là những đường cong  = const, nghĩa là những đường hypebol dạng góc vuông xy = const (xem hình 4.2)

4.4 Gia tốc

Vận tốc chất lỏng có thể thay đổi theo vị trí và theo thời gian Nó có thể được mô tả như sau:

dt

r d t r f

trong đó:

V = vectơ vận tốc chất lỏng với các thành phần U, V, W

r = vectơ vị trí với những thành phần x, y, z

Ba thành phần vận tốc được xác định như sau:

U = dx/dt = U(x,y,z,t)

V = dy/dt = V(x,y,z,t)

W = dz/dt = W(x,y,z,t) (4.4.2)

và cũng là những hàm của vị trí và thời gian

Một khi vận tốc của một phần tử hoặc hạt chất lỏng là một hàm của cả vị trí lẫn thời gian, chúng ta có thể viết cho thành phần x, ví dụ

dt t

U dz z

U dy y

U dx x

U dU























cùng những biểu thức tương tự cho dV và dW Gia tốc trong hướng x là:

t

U z

U W y

U V x

U U t

U dt

dz z

U dt

dy y

U dt

dx x

U dt

dU

ax

















































trong đó

t z

W y

V x

U dt

d























được gọi là đạo hàm vật chất, hoặc thể chất, hoặc hạt Ba số hạng đầu tiên liên quan

đến chuyển động của các hạt chất lỏng và là những gia tốc đối lưu, và số hạng cuối cùng liên quan đến sự thay đổi thuộc tính tại một điểm cố định theo thời gian, là gia tốc địa phương

Trong dạng vectơ, gia tốc của một hạt chất lỏng là

V V

t

V z

V W y

V V x

V U dt

V d a



































Trong tọa độ Đecacto

t

U z

U W y

U V x

U U

ax























t

V z

V W y

V V x

V U

ay























t

U z

W W y

W V x

W U

aw























Điều quan trọng phải chú ý là nếu một hạt thay đổi vận tốc khi di chuyển từ một

điểm này đến điểm khác trong không gian thì có một gia tốc đối lưu Nếu gia tốc đối lưu bằng không, thì dòng chảy được gọi là dòng đều Nếu vận tốc của những hạt chất lỏng liên tiếp đi qua một điểm đã cho trong không gian thay đổi theo thời gian, thì có một gia tốc địa phương Nếu gia tốc địa phương bằng không, thì dòng chảy được gọi là dòng

ổn định

4.5 Biến dạng

Về cơ bản, có thể phân biệt bốn loại biến dạng cho một khối lập phương nguyên tố với những cạnh x, y và z Những biến dạng này là hệ quả của những biến đổi không gian của vận tốc Bốn loại biến dạng là:

- a dịch chuyển,

- b quay,

- c1 biến dạng tuyến tính,

- c2 biến dạng góc

Dịch chuyển và quay bao gồm những biến dạng mà không có sự thay đổi về hình dạng của phần tử chất lỏng Tuy nhiên, biến dạng tuyến tính và biến dạng góc bao gồm

sự thay đổi hình dạng Chỉ thông qua hai biến dạng này mới phát sinh nhiệt và cơ năng

được tiêu tán như kết quả của tác động nhớt trong chất lỏng Hình 4.4 cho thấy bốn loại biến dạng trong mặt phẳng x - y của khối lập phương

Dịch chyển:

Dịch chuyển theo hướng x : Udt

hướng y: Vdt

hướng z : Wdt

Độ quay trong mặt phẳng x - y là trung bình độ quay của những cạnh x và y, là 1/2(tan + tan):

dt y

U x

V y

ydt y U x

xdt x

V

) (

2

1 ) (

2

1































Tốc độ quay trong mặt phẳng x - y là vận tốc góc:

dt y

U x

V

2

1













Hình 4.4 Các loại biến dạng

Tương tự,

z

V y

W

2

1













x

W z

U

2

1













Có ba thành phần của vectơ vận tốc góc :  curl V   x V

2

1 2

1

Biến dạng tuyến tính:

Biến dạng tuyến tính theo hướng x: (U/x)xdt;

theo hướng y: (V/y) ydt

theo hướng z : (W/z) z dt

Thay đổi chiều dài của mỗi cạnh gây ra thay đổi tương ứng của thể tích khối lập phương là:

V V div z

W y

V x

U

















Đối với chất lỏng không nén được nó bằng không (e = 0) và biểu thị phương trình liên tục (xem thêm Chương 5)

Biến dạng góc:

Biến dạng góc trong mặt phẳng x - y là trung bình các biến dạng góc của những cạnh riêng lẻ x và y:

dt y

U x

V

) (

2

1











Mức biến dạng trong mặt phẳng x – y là:

) (

2

1

y

U x

V

xy yx













 

Tương tự,

) (

2

1

y

W z

V

zy yz













 

2

1

z

U x

W

xz zx













 

4.6 Xoáy

Vectơ xoáy được xác định như sau (xem phương trình 4.5.1 4.5.3):

V x V curl  





 2  (4.6 1)

và bằng hai lần vectơ vận tốc góc Vectơ xoáy là hàm của cả vị trí lẫn thời gian Một

đường xoáy là một đường cong dọc theo đó vectơ xoáy là tiếp tuyến Một xoáy nguyên tố

được giới hạn bởi những đường xoáy Những xoáy có thể tồn tại trong dòng chảy nhớt và dòng chảy không nhớt Nếu xoáy bằng không trong một chất lỏng đang chuyển động, thì dòng chảy được gọi là không quay Như vậy  V x  0 và:

U





và V  W





và W  U





(4.6.2)