Quá trình Phát tán vật chất trong các cửa sông và vùng nước ven bờ ( ĐH khoa học tự nhiên ) - Chương 2 pot

Biến đổi vận tốc và áp suất trong một dòng nguyên tố chất lỏng Lực do áp suất p1 tác động lên một đầu, thực hiện công trên thể tích V của nước đi vào dòng nguyên tố với giá trị là p1a1u

được cường độ và hướng của dòng chảy Dòng chảy trong các cửa sông và vùng ven bờ bị thủy triều chế ngự và nói chung, vận tốc dòng chảy tăng lên và hạ xuống theo chu kỳ Hơn nữa, dòng chảy bị ảnh hưởng bởi ma sát với đáy và đường bờ, các hiệu ứng phát sinh xoáy của các vật cản như các mũi đất và các đảo, và tác động tiếp tuyến của gió trên mặt nước Như vậy nhiệm vụ định lượng nồng độ chất phải xét đến nhiều khía cạnh có ảnh hưởng đến phân bố vận tốc

Để cung cấp một cơ sở nhằm hiểu biết sự phức tạp và sự biến thiên dòng chảy trong các cửa sông hoặc vùng ven bờ, chương này giới hạn những thảo luận ban đâù đối với dòng chảy trong ống hoặc lòng dẫn, trong đó những điều kiện ở trạng thái xấp xỉ ổn

định Những dòng chảy như vậy thể hiện một số đặc tính đã quan trắc được trong sông và kênh, và trong các ví dụ ma sát đóng vai trò trong việc điều khiển chuyển động Những khía cạnh của ma sát được thảo luận chi tiết hơn trong chương này về sau, đặc biệt lưu ý

đến tầm quan trọng của hiệu ứng biên

Trong mục cuối chương thảo luận về dòng chảy không ổn định; trong dòng chảy này vận tốc, và do đó độ sâu tại bất kỳ vị trí nào đều thay đổi theo thời gian Điều này nói lên ảnh hưởng của sóng trong việc mang năng lượng từ khu vực này đến khu vực khác của dòng chảy và phát sinh vận tốc mà theo đó những sóng như vậy có thể lan truyền Thậm chí trong một dòng chảy ổn định sóng có thể hình thành, và với vận tốc dòng chảy phân giới, chuyển năng lượng của chúng thành rối Vận tốc sóng phụ thuộc vào độ sâu và dòng triều, ví dụ có thể lệch pha so với sự thay đổi độ sâu, do đó ảnh hưởng lên dòng triều trung bình tại một điểm cố định; khía cạnh này rất quan trọng bởi vì các đo đạc dòng chảy tại một vị trí cố định có thể dẫn đến một chỉ định sai lạc về mức độ mà một chất bị loại ra khỏi một khu vực Nhưng từ quan điểm phát tán, có mối quan tâm thực tế là bằng cách nào năng lượng sóng trở nên biến đổi thành rối và cuối cùng bị tiêu tán - điều này một lần nữa dẫn đến vấn đề đánh giá ma sát tại những biên với dòng chảy Các quan trắc

về biến đổi thủy triều do sức cản ma sát sau đó được sử dụng để chỉ ra những hiệu ứng biến dạng của các biến đổi không gian (hướng thẳng đứng trong ví dụ này) trong trường vận tốc bị ảnh hưởng như thế nào

2.2 Dòng chảy ổn định

2.2.1 Dòng đều

Dòng chảy ổn định đều trong một lòng dẫn có hai thành đứng song song, với độ dốc nhỏ là một trong những tình huống đơn giản nhất có thể xem xét để minh họa những đặc tính chuyển động của nước Một dòng chảy ổn định là không biến đổi theo thời gian và một dòng chảy đều là dòng chảy trong đó vận tốc không đổi từ chỗ này đến chỗ khác Khi nước chảy trong lòng dẫn, tổn thất về chiều cao so với mức tham chiếu nằm ngang (tức là tổn thất thế năng) được chuyển thành vận tốc (tức là nhận được động năng) Tuy nhiên,

sự chuyển đổi này không phải là hoàn toàn và một ít năng lượng bị tổn thất do ma sát tại những biên của lòng dẫn Vì ma sát tăng theo vận tốc dòng chảy, vận tốc dòng chảy bị khống chế và một trạng thái cân bằng được thiết lập, trong đó năng lượng truyền đến dòng chảy do tổn thất độ cao cân bằng một cách chính xác với năng lượng sử dụng bởi ma sát, và dòng chảy ổn định phát sinh Khi đạt đến trạng thái này, mặt nước trở nên song song với đáy lòng dẫn Sự cân bằng giữa sức cản trọng lực lên khối nước trong lòng dẫn và lực ma sát lên thành lòng dẫn có thể sử dụng để đưa ra một biểu thức cho hệ số cản

Để thể hiện điều này hãy xét một đoạn lòng dẫn có độ dài L và diện tích mặt cắt ngang A, qua đó nước chảy với vận tốc trung bình mặt cắt ngang u (hình 2.1) ứng suất trượt  lên đáy và thành ướt có thể liên hệ với vận tốc bằng biểu thức

và những thành lòng dẫn, bằng tích số của  và diện tích ướt, có thể biểu thị như sau

PL u C

trong đó l là một đoạn ngắn của lòng dẫn và i là tổn thất năng lượng do ma sát trên đơn

u 2

trong đó R là bán kính thủy lực, xác định bằng tỷ số A/ P, và có thứ nguyên độ dài; gọi là 'bán kính' bởi vì nó là một số đo chính xác của nửa bán kính trong lòng dẫn có mặt cắt ngang nửa hình tròn Để duy trì một dòng chảy đều, giả thiết cơ bản là ma sát với thành lòng dẫn làm giảm gia tốc của nước do tổn thất của thế năng Hiển nhiên rằng, thậm chí một dòng sông chuyển động chậm có thể không có dấu hiệu nổi bật của nhiễu động, cũng phụ thuộc vào sức cản ma sát trong đó những xoáy rối liên tục được tạo ra và dần dần tiêu tán

Hình 2.1 Mặt cắt dọc của một lòng dẫn nghiêng với dòng chảy ổn định

Ví dụ

Sử dụng phương trình (2.3), đánh giá vận tốc trung bình mặt cắt ngang u khi đã biết tỷ số A/P, độ dốc đáy trung bình và hệ số cản C d Nói chung, C d có giá trị khoảng 0,0025 trong lòng dẫn hoặc những sông có trầm tích đáy là bùn hoặc cát Đối với sông có mặt cắt hình chữ nhật, rộng 20 m và sâu 2 m, và độ dốc đáy là 0,05 m km -1

, phương trình (2.3) cho dòng chảy dự đoán song song với đáy là

.57

,0]

0025,0

)1005,0sin(

81,9204

cả mọi yếu tố đối với cơ chế của một vật rắn, đó là áp suất Trong hai mục tiếp theo, những hiệu ứng của ma sát được bỏ qua để lưu tâm nhấn mạnh đến tầm quan trọng của

áp suất trong dòng chảy chất lỏng

Nhà toán học người Thuỵ Sỹ Daniel Bernoulli (1700-82) đưa ra một phương trình

để mô tả khi trong dòng chảy không có ma sát, sự thay đổi vận tốc từ điểm này sang điểm khác phải liên quan đến những thay đổi áp suất chất lỏng như thế nào Trong dòng chảy tầng ổn định, đường đi của dòng chảy theo các hạt riêng biệt gọi là “những đường dòng”, trong dòng chảy rối thuật ngữ đường dòng vẫn được sử dụng như một cách thể hiện tiện lợi hướng của dòng chảy chính, mặc dù chúng không tương ứng với đường đi của các hạt

đặc trưng như chúng thường làm trong dòng chảy ổn định tầng

Phương trình Bernoulli có thể dẫn xuất bằng việc xem xét một dòng nguyên tố nằm trong một dòng chảy mà mặt cắt ngang của nó biến đổi theo hình dạng các đường dòng (hình 2.2) Giả thiết rằng dòng nguyên tố này không làm nhiễu chuyển động và rằng chất lỏng là không nén được, do vậy nó có mật độ không đổi Dòng chảy cũng được giả thiết là ổn định Hơn nữa, giả thiết rằng các hạt có vận tốc ur1 tại một đầu của dòng nguyên tố nơi có mặt cắt a1 và đạt vận tốc ur2 khi chúng đi đến đầu kia của dòng nguyên

tố sau thời gian t Vì diện tích mặt cắt thay đổi thành a2, tính liên tục thể tích đòi hỏi rằng

Hình 2.2 Biến đổi vận tốc và áp suất trong một dòng nguyên tố chất lỏng

Lực do áp suất p1 tác động lên một đầu, thực hiện công trên thể tích V của nước đi vào dòng nguyên tố với giá trị là p1a1u1, ứng với toàn bộ công trong khoảng thời gian t là

p1a1u1t = p1V áp suất hỗ trợ các hạt đi qua dòng nguyên tố, nhưng chuyển động của chúng bị cản trở bởi áp suất p tác động lên đầu phía kia, do vậy toàn bộ công thực hiện

WPR = (p1 – p2)V (2.7) Biến đổi động năng WKE của thể tích các hạt chuyển động qua dòng nguyên tố bằng

WPE = Vg(z’2 – z’1) (2.9) Công thực hiện bởi áp suất cân bằng với năng lượng thực tế nhận được cho nên

PE KE

Sử dụng những phương trình trên đối với các số hạng này

)(

)(

2

1)

1 ' 2 2

1 2 2 2

p    r  r   (2.11)

và giản ước cho ta

' 2 2

2 2

' 1 2

1 1

2

12

1

gz u

p gz u

Khi không có ngoại lực, tại bất kỳ điểm nào dọc đường dòng cần tuân thủ

const gz

Số hạng đầu tiên trong phương trình (2.13) thể hiện động năng trên đơn vị thể tích chất lỏng, và số hạng thứ ba là công thực hiện để nâng một thể tích đơn vị từ một mực chuẩn lên đến chiều cao z' Số hạng thứ hai trong phương trình (2.13) thể hiện công thực hiện bởi chất lỏng để chuyển dịch một thể tích đơn vị có mật độ  từ một điểm có áp suất

p đến một điểm có áp suất bằng không Đó là công thực hiện do chất lỏng chuyển động và không phải là 'năng lượng do áp suất’, như đôi khi vẫn nhầm lẫn

Phương trình Bernoulli mô tả quan hệ giữa những số hạng truyền toàn bộ cơ năng của một thể tích đơn vị chất lỏng; những số hạng trong phương trình không tương ứng với năng lượng được trữ Phương trình này liên kết vận tốc, áp suất và cao độ mực nước dọc theo một đường dòng trong một chất lỏng và có nhiều ứng dụng trong dòng chảy của nước

Phương trình Bernoulli thể hiện sự cân bằng năng lượng đối với dòng chảy chất lỏng không có ma sát Vì năng lượng là công thực hiện khi dịch chuyển một khoảng cách dưới một lực, biến thiên năng lượng trên khoảng cách đơn vị là số đo của lực tác động Trong một vài trường hợp, như khi dẫn xuất phương trình Bernoulli, tốt nhất là xác định tọa độ z’ thẳng đứng trên một mực chuẩn, trong đó z’ được đo thẳng lên trên Tuy nhiên,

mặt biển thể hiện mức tham chiếu tiện lợi đối với nhiều vấn đề phát tán, và trong suốt quyển sách này, các tọa độ được xác định với z hướng thẳng đứng, chiều dương hướng xuống dưới Trục x lấy theo hướng dọc dòng chảy chính và trục y lấy hướng vuông góc với trục x trong mặt nằm ngang

Với hệ thống tọa độ này, phương trình đối với cân bằng lực trên thể tích đơn vị có thể dẫn xuất từ biểu thức Bernoulli nên ta có

0)2

u u

p z

w w

bỏ qua gia tốc thẳng đứng và bởi vậy có thể thích hợp hơn trong một vài tình huống

2.2.3 Năng lượng đặc trưng của dòng chảy

Dưới những hoàn cảnh nhất định, dòng chảy chất lỏng có thể chịu sự biến đổi gấp của phân bố năng lượng Khi điều này xảy ra, phân bố vận tốc có thể thay đổi đột ngột, phát sinh chuyển động rối và như sẽ thấy trong chương tiếp theo, hiện tượng này có thể xuất hiện trong môi trường biển dưới những điều kiện đặc trưng của dòng chảy Trước khi xét nguyên nhân cơ bản của những thay đổi như vậy ở trạng thái năng lượng, đòi hỏi có một phương trình năng lượng đối với chất lỏng có mật độ không đổi Phương trình này bây giờ sẽ được dẫn xuất

Đối với dòng chảy ổn định của nước trong một lòng dẫn mà các đường dòng thẳng

và song song một cách rõ rệt, áp suất tại bất kỳ điểm nào chỉ phụ thuộc vào độ sâu của nó dưới mặt tự do Từ phương trình (2.13) thấy rằng nếu độ cao của mặt nước ở trên mặt

chuẩn là zs’ (hình 2.3), thì áp suất p lên một đường dòng định vị tại chiều cao z' trên mặt chuẩn bằng p = g(zs’ - z') và cân bằng năng lượng được mô tả bằng

độ sâu, thì phương trình (2.19) có cùng hằng số tại mỗi độ sâu và biểu thức áp dụng cho

toàn bộ độ sâu của dòng chảy; trong thực tế tất cả các dòng chảy thể hiện sự trượt vận tốc

theo độ sâu do ma sát với các biên Phương trình (2.19) là một xấp xỉ hữu ích đối với cân bằng năng lượng trong lòng dẫn thẳng và trơn vì phân bố vận tốc phải sao cho động năng thực tế phải không khác nhiều so với giá trị trung bình độ sâu

Hình 2.3 Chiều cao của đường dòng trong một lòng dẫn nghiêng với dòng chảy ổn định

Trượt vận tốc trong lòng dẫn nhám có thể gây ra biến đổi thẳng đứng đáng kể của phân bố động năng và điều này cho phép thay thế số hạng đầu tiên trong phương trình (2.19) bằng 1/2 ur

2, trong đó  là hệ số có thể dao động trong phạm vi từ 1,03 đến 1,60 Nếu lựa chọn được một vị trí đặc trưng dọc theo lòng dẫn sao cho mực chuẩn trùng với

ra rằng Es không bao gồm sự thay đổi về thế trọng lực dọc theo đường dòng, được áp dụng trong phương trình Bernoulli đầy đủ

2.2.4 Nước nhảy thủy lực

Phương trình năng lượng đặc trưng có thể sử dụng để giải thích sự thay đổi đột

ngột của trạng thái năng lượng, nhất là sự thay đổi thể hiện bằng nước nhảy thủy lực Nước nhảy thủy lực được đặc trưng bởi sự tăng đột ngột về độ sâu và sự giảm tương ứng

về vận tốc Ví dụ, một tia nước thả vào trong một thuỷ vực cỡ gang tay hình thành một dòng chảy mỏng hướng vào điểm ảnh hưởng và có vận tốc tương đối lớn (hình 2.4) Dòng chảy mỏng được bao vây bởi một khu vực nước sâu hơn chuyển động chậm hơn nhiều; theo độ sâu, mặt nước được xáo trộn và không ổn định Nước nhảy thuỷ lực cũng quan trắc được trong những lòng dẫn và dòng chảy sông Thông thường các đường tràn, qua đó nước chảy nhanh hơn khi băng qua một đập ngăn hoặc đập dâng, được thiết kế để bảo

đảm rằng dòng chảy vượt qua nước nhảy thuỷ lực tới mực nước có vận tốc thấp hơn để làm giảm xói

Hình 2.4 Dòng chảy hướng tâm chảy êm và chảy xiết phát sinh bởi tác động của một tia nước lên mặt

Giai đoạn động năng lớn này ứng với dòng chảy hướng tâm nhanh được chỉ ra trên hình 2.4 Phương trình (2.21) suy luận rằng khi h trở nên rất lớn, số hạng động năng trở thành rất nhỏ và năng lượng đặc trưng biến đổi gần như tuyến tính với độ sâu; như vậy đường cong cũng tiệm cận với đường Es, bằng h Hình 2.5 chỉ ra rằng có một giá trị nhỏ nhất của

Es nằm giữa những trạng thái, trong đó h hoặc là nhỏ hoặc là lớn hơn, và độ sâu mà tại đó hiện tượng này xuất hiện được gọi là độ sâu phân giới hc Đối với một năng lượng đặc trưng cố định, trừ cực tiểu, có thể có hai giá trị đối với h, ứng với vận tốc dòng chảy thấp

và cao Với lý do này, những dòng chảy tại những độ sâu ở dưới và ở trên độ sâu phân giới

được gọi là những khu vực chảy 'xiết' và 'êm' tương ứng Những điều kiện dòng chảy trước khi quá độ, ứng với giai đoạn dòng chảy xiết có thể coi là ‘trên phân giới’ và những điều kiện dòng chảy sau khi quá độ, ứng với giai đoạn êm, có thể gọi là 'dưới phân giới’

Hình 2.5 Thay đổi độ sâu và thay đổi liên quan đến năng lượng đặc trưng phát sinh bởi nước nhảy thuỷ

lực (Theo Massey, 1989, được sự đồng ý của Chapman và Hall)

Sự thay đổi dần dần từ dòng chảy xiết đến dòng chảy êm không thể xảy ra Ma sát làm cho dòng chảy lớp mỏng vận tốc cao sẽ bị dày lên để khi theo đường cong gần nhất với trục x trong hình 2.5 thì năng lượng đặc trưng giảm Nếu độ sâu tiếp tục tăng đến độ sâu phân giới và hơn nữa, thì năng lượng đặc trưng cũng phải bắt đầu tăng lên Vì không có sẵn có năng lượng bổ sung, hệ thống không thể làm được điều này Thay vào đó dòng chảy

đột biến nhảy đến một trạng thái năng lượng khác mà khi không có tổn thất năng lượng

do rối, thì cân bằng với năng lượng đặc trưng của dòng chảy xiết Một khi nước nhảy đã xuất hiện, một loạt các xoáy lăn hình thành khi những lớp nằm trên chuyển động ngược lại với dòng chảy xiết gần đáy Năng lượng bị tổn thất do rối của những xoáy lăn làm cho

độ sâu cuối cùng không lớn như có thể suy luận từ năng lượng đặc trưng ban đầu Điều quan trọng cần chú ý là tiêu tán năng lượng bởi rối phát sinh do nước nhảy thuỷ lực sẽ lớn nhiều hơn bất kỳ tổn thất nào do ma sát tại đáy

Có thể chỉ ra rằng (Massey, 1989: tr.373) tổn thất cơ năng do nước nhảy thuỷ lực bằng tổn thất cột nước hj với

2 1

1 2

4

) (

h h

h h

hj   (2.22) trong đó h1, h2 là độ sâu dòng chảy tương ứng với trước và sau nước nhảy Biểu thức này cho thấy rõ ràng là h2 phải lớn hơn h1 vì có tổn thất của năng lượng; năng lượng có được phải phù hợp với Định luật thứ Hai của Nhiệt động lực Như vậy, dòng chảy chỉ có thể thay đổi từ xiết đến êm thông qua nước nhảy mà không phải là ngược lại Cũng có thể biểu thị (Massey, 1989: tr 374) tỷ số các độ sâu bằng

2 / 1 2 2

/ 1

1

2 1

1

2

) 2 4

1 ( 2

1 )

2 4

1 ( 2

1

Fr gh

u h

(1810-Ông nhận thấy rằng nếu giá trị Fr trong mô hình bằng giá trị nguyên mẫu, thì kết quả thực nghiệm về sức cản có thể lấy theo tỷ lệ để xác định sức cản lên con tàu có kích thước thật

Fr thể hiện tỷ lệ của số hạng quán tính đối với số hạng trọng lực trong phương trình chuyển động, và tương đương với tỷ lệ của vận tốc dòng chảy trong lòng dẫn đối với vận tốc sóng dài trên mặt nước Trong mục 2.4.3 sẽ thấy rằng trong lòng dẫn có độ sâu

đồng nhất h, vận tốc c của sóng dài là c = (gh)1/2 Khi vận tốc dòng chảy trong lòng dẫn vừa bằng vận tốc sóng, Fr = 1,0 và phương trình (2.23) nói rằng độ sâu h2  h1 Dưới những hoàn cảnh như vậy, độ sâu thay đổi rất ít trong nước nhảy thuỷ lực Khi vận tốc dòng chảy trong lòng dẫn ứng với Fr nhỏ hơn 1,7, ứng với h1/h2 nhỏ hơn 2,0, mặt nước không thể tăng đột biến nhưng hình thành một đợt những sóng gợn dần dần giảm kích thước; tình huống nước nhảy ‘gợn sóng’ này được minh họa trong hình 2.6 Với vận tốc trong lòng dẫn cao hơn, ứng với Fr > 1,7, mặt nước có thể tăng lên đột biến và nước nhảy thuỷ lực chuyển từ yếu đến mạnh, phụ thuộc vào độ lớn của Fr Những lớp trên của sóng

cố gắng lan truyền lên thượng lưu ngược với dòng chảy vận tốc cao của lớp có độ sâu h1, nhưng chuyển động này bị ngăn chặn bởi sự truyền động lượng từ lớp thấp hơn vào trong lớp cao hơn Đối với những dòng chảy trong đó h1/h2 nằm giữa 3,0 và 5,5, những nhiễu

động tại nước nhảy có thể hình thành những sóng mặt không đều phát triển xuống hạ lưu Hơn nữa, với những giá trị h1/h2 nằm giữa 5,5 và 12, chuyển động của lớp trên ngược với dòng chảy bị ngăn lại và tạo ra nước nhảy ổn định, trong đó có thể nhận thấy sự tạo thành rối Cần thấy rằng những giá trị được trích dẫn cho Fr chỉ hợp lý đối với dòng chảy trong lòng dẫn có mặt cắt hình chữ nhật

Hiện tượng nước nhảy thuỷ lực là mối quan tâm đặc biệt bởi vì rối do nó phát sinh không phải do ma sát của biên với dòng chảy; đó là một thuộc tính của sóng dài, sự lan truyền của nó bị hạn chế bởi dòng chảy bên dưới Vận tốc của sóng dài trên mặt trong nước có độ sâu 10 m là khoảng 10 m s-1, nhưng thông thường Fr nhỏ hơn 1,0 nhiều lần

trong những dòng chảy tiêu biểu ở các cửa sông và vùng ven bờ, và do đó nước nhảy thuỷ lực trong những hệ thống như vậy có lẽ tương đối hiếm Tuy nhiên, như sẽ thấy trong mục 3.3.1, những sóng lan truyền dọc theo mặt phân cách mật độ chuyển động với những vận tốc chậm hơn nhiều so với những sóng mặt, và điều kiện trong đó Fr vượt quá 1,0 có thể tương đối phổ biến Dưới những điều kiện này 'những nước nhảy thủy lực nội' có thể xuất hiện, phát sinh rối tại mặt phân cách và 'làm trơn' chênh lệch mật độ giữa những lớp

kề nhau (mục 3.3.3)

2.2.5 Dòng chảy biến đổi dần dần

Mục trước đã mô tả những tình huống theo đó vận tốc dòng chảy có thể thay đổi

đột ngột Tuy nhiên, những điều kiện trong các cửa sông và vùng ven bờ nói chung thích hợp với sự biến đổi dần dần của vận tốc theo khoảng cách dọc theo hướng dòng chảy, và

được gọi những dòng chảy 'không đều' Bây giờ ta xét một phương pháp để đánh giá mức

độ thay đổi vận tốc theo khoảng cách trong dòng chảy không đều Những trạng thái trong

đó sự thay đổi vận tốc và độ sâu theo khoảng cách diễn ra chậm, dòng chảy được mô tả như 'biến đổi dần dần' và những hiệu ứng của gia tốc theo thời gian có thể giả thiết là không đáng kể

Hình 2.6 Hiệu ứng của việc tăng số Froude lên mặt nước tự do và rối trong nước nhảy thủy lực (Theo

Massey, 1989, được sự đồng ý của Chapman và Hall)

tính liên tục làm chu vi ướt tăng lên Bằng cách này ma sát tiêu thụ năng lượng chỉ ở mức

đòi hỏi để cân bằng với tổn thất năng lượng trọng lực do độ dốc đáy Thậm chí dưới những

điều kiện lý tưởng của dòng chảy, dòng chảy đều là xấp xỉ tiệm cận và do đó không bao giờ thật sự xuất hiện

Trong một lòng dẫn mở rộng hoặc thu hẹp dần dần, thậm chí không thể có dòng chảy xấp xỉ đều Khi xét dòng chảy trong ống ở Mục 2.2.2, tính liên tục của thể tích nước

đòi hỏi rằng

2 2 1

trong đó những chỉ số dưới tham chiếu đến hai mặt cắt tại hai đầu của một đoạn lòng dẫn Ví dụ nếu lòng dẫn co hẹp sao cho diện tích mặt cắt ngang A2 nhỏ hơn A1, dòng chảy buộc phải tăng tốc giữa hai mặt cắt Đối với một lưu lượng thể tích cố định, nước có thể chuyển động dọc theo một lòng dẫn có mặt cắt ngang biến đổi theo nhiều cách Khi vận tốc tăng lên hoặc giảm đi, độ sâu nước biến đổi tương đối so với đáy nên mặt nước có dạng một đường cong Những biến đổi độ sâu nước làm thay đổi áp suất, và vì những biến đổi

áp suất có những hệ quả quan trọng đối với dòng chảy, việc đánh giá hình dạng mặt nước theo khoảng cách là mối quan tâm đặc biệt

Hình 2.7 Thay đổi cao độ mặt nước trên một đáy nghiêng do (a) giảm tốc và (b) tăng tốc, nảy sinh do điều

kiện lòng dẫn biến đổi

Hình 2.7 cho thấy các dạng tiêu biểu của đường mặt nước trong dòng chảy chậm dần và nhanh dần Nếu sự giảm tốc phát sinh do lòng dẫn bị cản, độ sâu nước so với đáy

tăng lên trong một dòng chảy êm (Fr < l) (hình 2.7 (a)) Ngược lại, nếu lòng dẫn chảy tự

do, thì trong dòng chảy êm sự tăng tốc làm cho độ sâu tương đối giảm đi (hình 2.7 (b))

2.2.6 Phương trình của dòng chảy biến đổi dần dần

Phương trình Bernoulli có thể áp dụng đối với dòng chảy không đều ở những tình huống minh họa trong hình 2.8 Cân bằng năng lượng tại hai vị trí như trong dòng chảy không đều bằng

l gi h h g u u l gs gh

u        (   )  

2

) (

ma sát, nó có thứ nguyên độ dài và thường gọi là 'tổn thất cột nước'

Phương trình này có thể sắp xếp lại để thấy rằng h = (s - i)l - uu / g, số hạng (u)2 giả thiết không đáng kể Trong giới hạn khi l  0

dl

du g

u i s dl

u dl

du



 (2.29)

Hình 2.8 Biến đổi vận tốc và độ dốc mặt nước theo mặt cắt dọc của lòng dẫn có dòng chảy biến đổi dần

dần (Theo Massey, 1989, được sự đồng ý của Chapman và Hall)

Xét tình huống lý tưởng trong đó hình dạng và sự thẳng hàng của lòng dẫn không

đổi theo khoảng cách dọc theo chiều dài của nó, sao cho A là một hàm số chỉ của độ sâu h

Đặt A = c1h trong đó c1 là hằng số, và thay phương trình (2.29) vào phương trình (2.27), có thể thấy sự biến đổi h so với khoảng cách l đo dọc theo đáy lòng dẫn nhận được là

) / (

1 u2 gh

i s dl

dh





Phương trình (2.30) chỉ ra rằng khi vận tốc dòng chảy là êm (tức là dưới phân giới vì

u2 < gh), mẫu số là dương Nếu độ dốc của đáy lớn hơn độ dốc đòi hỏi để bù đắp cho tổn thất năng lượng do ma sát, s > i và tử số cũng là dương; do đó độ sâu tăng theo hướng dòng chảy Nói cách khác, nếu độ dốc đáy không đủ để tạo ra tiêu tán năng lượng bởi ma sát, s < i và tử số là âm để độ sâu giảm theo hướng của dòng chảy

Như vậy đối với một độ dốc đáy cho trước, độ cong mặt nước là chỉ số của tổn thất

ma sát trong dòng chảy (Massey, 1989: tr 408) Khi đáy dốc ngược hướng dòng chảy, s là

âm và độ sâu giảm theo hướng dòng chảy với lưu lượng phụ thuộc vào tổn thất ma sát Dòng chảy cùng hướng và ngược hướng với độ dốc đáy thường gặp trong các quan trắc tại một vị trí cố định trong dòng triều thuận nghịch

Khi độ sâu nhỏ và vận tốc lớn, số Froude tiến đến 1 (tức là u2 = gh) Những điều kiện phân giới như vậy của dòng chảy là không bền vững bởi vì dh/dl liên tục đổi dấu và dòng chảy trở thành không ổn định, tạo nên mặt nước có dao động sóng đặc trưng

Phương trình (2.30) mô tả sự biến đổi độ sâu dọc theo lòng dẫn trong dòng chảy

đồng nhất Vì tổn thất do ma sát là một hàm của u, không thể tích phân trực tiếp phương trình (2.30) Tuy nhiên, có thể được xác định vị trí l mà tại đó dòng chảy có độ sâu đặc trưng h từ phương trình (2.30), bằng cách giả thiết có cùng tổn thất ma sát i tại một đoạn

đặc trưng như khi đối với một dòng chảy đều Giả thiết này cho phép sử dụng phương trình (2.5) để đánh giá i Giả thiết tiếp theo là có một khu vực thượng lưu lòng dẫn mà tại

đó dòng chảy có thể giả thiết là đều bởi vì ma sát cân bằng với tổn thất cột nước do độ dốc

đáy (Massey, 1989: tr 389)

Ví dụ

Một đập tràn chắn ngang lòng dẫn mặt cắt chữ nhật có thành song song, làm mực nước tăng lên, độ sâu ngay tại phía thượng lưu là 1,72 m, và mặt nước giống như 'đường nước dâng' được minh họa trong hình 2.7 (a) Chiều rộng của lòng dẫn là 30 m, lưu lượng thể tích là 34,2 m 3 s -1 , và độ dốc đáy là 1 m trên 10 km Giả sử yêu cầu xác định khoảng cách lên phía thượng lưu của đập tràn phải xa bao nhiêu để độ sâu xấp xỉ với độ sâu dòng chảy đều Giả thiết hệ số cản C d là 0,0025 Sử dụng phương trình (2.5) để xác định vận tốc tại vị trí thượng lưu, tại đó dòng chảy là bình thường, thấy rằng

4

10

10025,0

81,92

30

3030

2,34

n

n

h

h h

u







trong đó h n là độ sâu tại khu vực dòng chảy đều Lời giải bằng phép thế cho ta h n = 1,54 m

Để xác định xa lên thượng lưu đập đến đâu thì độ sâu giảm đến giá trị này, phương trình (2.30) được biểu thị lại là

gh u l

0

) / (

và được giải theo ba phần trung gian giữa đập tràn và đoạn dòng chảy đều; mỗi phần thể hiện một đoạn nhỏ bằng nhau trong phạm vi độ sâu giữa 1,54 m và 1,72 m

Dữ liệu trong bảng 2.1 là các bước thực hiện để đánh giá khoảng cách l, bắt đầu từ

đập tràn Những bước đầu tiên gồm tính toán vận tốc trung bình theo chiều rộng và độ sâu trung bình cho mỗi phần, và kết quả này được sử dụng để tính toán tử số trong biểu thức đối với l đã cho ở trên Sử dụng những giá trị vận tốc trung bình, tổn thất ma sát i trên đơn vị độ dài được xác định từ phương trình (2.5) và do đó là mẫu số trong biểu thức

đối với l đã tính toán

Cuối cùng, dl/dh được tính toán và, khi biết độ giảm mực nước từ đoạn hạ lưu đến

đoạn thượng lưu, khoảng cách toàn bộ cho khu vực dòng chảy đều được xác định Một tính toán như vậy sẽ tương đối dễ thực hiện khi sử dụng bảng biểu, nhưng trong những tình huống phức tạp hơn mô hình toán học được áp dụng, do đó cho phép xét đến nhiều biến hơn so với trường hợp tiếp cận đơn giản này

Một ưu điểm đặc biệt của phương trình (2.30) là nó minh họa độ dốc đáy và ma sát

có thể ảnh hưởng đến sự biến đổi độ sâu theo khoảng cách ra sao Trong dòng chảy biến

đổi dần dần, sự uốn cong của những đường dòng rất nhẹ và áp suất tại một điểm trong dòng chảy được kiểm soát bởi độ sâu của nó dưới mặt nước Như vậy mức độ biến đổi của

áp suất p theo khoảng cách có thể suy luận từ dh/dl, giả thiết mật độ biến đổi không đáng

kể theo chiều dọc ý nghĩa của sự biến đổi áp suất theo chiều dọc sẽ trở nên hiển nhiên trong mục sau về hiệu ứng lớp biên

2.3 Các hiệu ứng lớp biên

2.3.1 Trạng thái của những lớp biên

Khái niệm lớp biên được nhà động lực học chất lỏng người Đức Ludwig Prandtl (1875 - 1953) đề xuất, để liên kết khoa học lý thuyết của thủy động lực học cho một chất lỏng không nhớt, (tức là chất lỏng trong đó hiệu ứng của độ nhớt là không đáng kể) với khoa học thực hành của thủy lực học, trong đó dòng chảy liên hệ theo kinh nghiệm với những yếu tố điều khiển Ví dụ, thủy động lực học không thể sử dụng để giải thích lực cản hoặc những lực nâng tác động lên một vật thể bị kéo chìm Mặt khác, có các công thức

được sắp đặt bởi những kỹ sư thủy lực để định lượng hiện tượng này, nhưng 'những hằng số' thực nghiệm được trình bày lại thể hiện sự biến thiên không giải thích được Lý thuyết lớp biên bắc cầu qua chỗ trống, sử dụng những khái niệm của cả thủy lực học lẫn thủy

động lực học

Lớp biên trong dòng chảy chất lỏng là khu vực gần với bề mặt, trong đó vận tốc biến đổi nhanh theo khoảng cách kể từ bề mặt Ví dụ, một người nhìn vào thành của một con tàu đang chuyển động phải thấy rằng nước ở kề ngay sát vỏ tàu được kéo dọc theo tàu, nhưng kể từ thành tàu ra xa hơn nước không bị dao động bởi sự dịch chuyển của con tàu Khu vực bị ảnh hưởng bởi con tàu tạo nên lớp biên và được đặc trưng bởi nhiều xoáy rối Một lớp biên cũng phải hiển thị nếu con tàu thả neo trong một dòng chảy đang chảy

để cho nước gần vỏ tàu chuyển động chậm và càng ra xa hơn thì chảy nhanh hơn Trong

qua một bề mặt cố định Sự giảm vận tốc trong lớp biên thể hiện tổn thất động lượng và

điều này cho thấy tổn thất động lượng là do sức cản ma sát tại biên Sức cản này có thể do những ứng suất nhớt tác động theo phương tiếp tuyến với bề mặt trong trường hợp năng lượng bị mất đi do việc đốt nóng bề mặt Tuy nhiên, nếu bề mặt là nhám, sức cản có thể tăng lên do những nhiễu động áp suất tác động pháp tuyến lên bề mặt, tạo nên những xoáy bị đẩy ra khỏi những phần tử nhám trên bề mặt và do đó lấy năng lượng của dòng chảy trung bình; thông thường tổn thất động lượng do sự tạo thành các xoáy bởi độ nhám

bề mặt lớn hơn nhiều so với ứng suất nhớt Cuối cùng năng lượng trong các xoáy cũng bị tiêu tán do nhớt thành nhiệt năng Sức cản do ứng suất nhớt được dẫn ra như 'sức cản ma sát lớp đệm’ và sức cản phát sinh bởi áp suất pháp tuyến thường gọi là 'sức cản áp suất', hoặc đôi khi là 'sức cản hình dạng' Sức cản kết hợp bởi ma sát lớp đệm và sức cản áp suất

gọi 'sức cản lớp biên', hoặc đôi khi gọi là 'sức cản phân bố'

2.3.2 áp suất động lực

Hình dạng phân bố vận tốc đối với nước chảy trên bề mặt nhám phụ thuộc vào độ lớn của sức cản lớp biên, mà đến lượt nó phụ thuộc vào mức độ mà những xoáy bị đẩy ra khỏi những phần tử nhám Như vậy có hai khía cạnh then chốt ảnh hưởng đến phát tán: vận tốc tại một điểm và sự trượt vận tốc, phụ thuộc vào những quá trình trong lớp biên

Xu thế để những xoáy quay ra khỏi những phần tử nhám riêng lẻ là một tính năng thay

đổi theo không gian của áp suất trong dòng chảy Người ta định lượng áp suất trong dòng chảy bằng phương trình Bernoulli (mục 2.2.2) và biểu thức này có thể sử dụng để xác

định những tác nhân khác nhau đối với áp suất p

Có thể biểu thị những tác nhân đóng góp cho áp suất bằng việc xem xét nguyên lý của ống đo áp lực chất lỏng (hình 2.9) Thiết bị này gồm một cái ống, đủ rộng để những hiệu ứng mao dẫn là không đáng kể, với một chỗ uốn cong vuông góc tại một đầu đối diện với dòng chảy Khi đặt vào trong lòng dẫn đang chảy, nước dâng lên lên trên ống đến một mức cao hơn mặt nước của dòng chảy, và khi cân bằng, không còn chuyển động trong ống nữa

Tại mép phía hạ lưu ống, phương trình (2.13) có thể sử dụng để mô tả áp suất pftrong dòng chảy tại độ sâu của chỗ uốn trong ống Như vậy là

gz u

Thấy rằng chênh lệch áp suất giữa miệng ống và vị trí hạ lưu tại cùng độ sâu dưới mặt chuẩn, tức là trên một đường dòng, bằng cách trừ đi phương trình (2.31) từ phương trình (2.32), nên ta có

2

2

1

r f

Giả thiết xấp xỉ thuỷ tĩnh, áp suất tại vị trí mép hạ lưu của ống bằng áp suất do trọng lượng của nước cùng với áp lực không khí pa để có

gz p

Hình 2.9 ống đo áp lực chất lỏng trong lòng dẫn đang chảy

áp suất pm tại miệng ống bằng trọng lượng của nước trong ống cộng với áp suất không khí để cho

gz gl p

Như vậy nếu vận tốc ur tại một điểm đặc trưng trong dòng chảy giảm đến không,

áp suất tại vị trí đó tăng lên từ p đến p + pd, trong đó p d 1/2u r2

Một trình bày đơn giản của áp suất động lực được minh họa bởi thiết bị trong hình 2.10, trong đó nước chảy thông qua một ống nằm ngang co hẹp trước khi trở lại đường kính ban đầu áp suất p trong dòng chảy được chỉ ra bằng chiều cao của cột nước trong

thấp tại mặt cắt co hẹp và sau đó lại tăng lên khi chỗ co hẹp của cái ống trở lại với kích thước ban đầu của nó Từ phương trình Bernoulli, áp suất dọc theo một đường dòng được lấy theo phương trình (2.31), và xét một đường dọc theo trục trung tâm của ống, áp suất này giảm khi vận tốc tăng lên do đường kính ống giảm Mặc dù về lý thuyết, áp suất và

do đó chiều cao cột nước, cần phải như nhau trong những mặt cắt có cùng đường kính, ta lại thấy sự giảm chiều cao cột nước, vì ma sát đã làm giảm áp suất từ giá trị ban đầu của

nó Mặc dù có những tổn thất nhỏ như vậy của áp suất, sự hạ thấp cột nước từ những mặt cắt rộng đến những mặt cắt hẹp của cái ống thể hiện công thực hiện trong việc tăng tốc dòng chảy

Hình 2.10 Thay đổi áp suất trong một ống nằm ngang khi vận tốc dòng chảy tăng khi đi qua một mặt cắt

co hẹp và sau đó trở lại vận tốc ban đầu

Sự biến đổi theo không gian của áp suất có tầm quan trọng đáng kể trong dòng chảy tự nhiên áp suất do độ dốc mặt nước sẽ điều khiển dòng chảy theo hướng gradient giảm, nhưng nếu có sự giảm tốc theo khoảng cách dọc dòng chảy, ví dụ do tăng diện tích mặt cắt, thì áp suất động lực giảm và áp suất p trở nên lớn hơn, ngược với sự giảm áp suất dọc theo hướng dòng chảy do độ dốc mặt nước Như vậy những biến đổi không gian của áp suất động lực ảnh hưởng đến những biến đổi không gian của áp suất trong dòng chảy Trong mục 2.3.5 sẽ thấy rằng các hiệu ứng áp suất có thể đặc biệt quan trọng trong lớp biên bởi vì sức cản ma sát cản trở việc chảy về phía trước do độ dốc mặt nước, trong khi cho phép những thay đổi áp suất tương đối nhỏ dọc theo dòng chảy làm ảnh hưởng

đến phân bố vận tốc

2.3.3 Hệ số cản

Đã phát biểu rằng lớp biên là một khu vực trong đó dòng chảy trung bình bị chậm lại để cung cấp động lượng bị mất đi do sức cản ma sát tại biên Tổn thất động lượng này

là một quá trình liên tục đối với dòng chảy trên một đáy nhám, cho nên những tổn thất do

ma sát phải liên tục xảy ra bằng cách lấy nhiều động lượng hơn từ dòng chảy trung bình Như vậy, thậm chí nếu không có bất kỳ sự thay đổi nào về áp suất theo khoảng cách, những lớp biên vẫn dày lên Vận tốc tại đỉnh lớp biên tiệm cận với vận tốc của dòng chảy trung bình Mép trên thực tế của lớp biên không xác định một cách tuyệt đối và đối với

những mục đích thực hành có thể lấy, ví dụ tại điểm mà vận tốc trong lớp biên đạt 99 % vận tốc dòng chảy trung bình Lớp biên được phỏng đoán tăng lên từ đặc điểm khởi đầu nào đó mà tại đó sức cản của biên trở nên hiệu quả - trong thực tiễn, những đặc tính này

có thể là bất kỳ, không theo quy luật nào trên mặt biên

Mức độ tăng của một lớp biên riêng lẻ sẽ lớn khi vận tốc của dòng chảy trung bình nhỏ, bởi vì sẽ cần một tỉ lệ lớn hơn của năng lượng dòng chảy trung bình để tạo nên tổn thất động lượng do ma sát Nếu sức cản của đáy, thường biểu thị bằng ứng suất đáy blớn, thì lớp biên phát triển nhanh hơn để đáp ứng nhu cầu đối với động lượng từ dòng chảy trung bình Như vậy, mức độ mà theo đó bề dày lớp biên tăng theo khoảng cách dọc biên sẽ tỷ lệ thuận với độ lớn của ứng suất đáy và tỷ lệ nghịch với động năng của dòng chảy trung bình Hệ số cản Cd là tỷ lệ của hai biến này nên ta có

2

m

b d

m phía trên đáy thay cho um

Tầm quan trọng của số Reynolds đối với dòng chảy trong việc điều khiển độ lớn của hệ số cản đã được thể hiện bằng những thí nghiệm trong phòng Hình 2.11 cho thấy hình vẽ theo các kích thước khác nhau của phần tử nhám trên mặt biên Quá trình chuyển từ dòng chảy tầng đến dòng chảy rối vẫn chưa được hiểu rõ hoàn toàn Tuy nhiên,

được biết rằng một dòng chảy tầng hoàn toàn tại phía thượng lưu và chảy rối tại phía hạ lưu thể hiện sự thay đổi dần dần của các yếu tố dòng chảy Với việc tăng số Reynolds độ dài của khu vực quá độ này giảm đến một giá trị tới hạn, khu vực này đủ nhỏ để coi như một điểm Độ nhám bề mặt thúc đẩy sự quá độ bởi tác động của các xoáy, loại đi những

đặc tính này và tổn thất năng lượng thành rối thường làm tăng hệ số cản khi dòng chảy trở lại tầng, như hình vẽ đã cho thấy Những phần tử nhám lớn hơn gây sức cản nhiều hơn Với những số Reynolds lớn hơn, động năng của dòng chảy trung bình cao hơn và lớp biên có xu hướng mỏng đến một độ dày mà tại đó độ cao nhám trung bình ảnh hưởng đến sức cản Vì sức cản ma sát lớp đệm nhỏ so với sức cản áp suất gây ra bởi các phần tử nhám, những giá trị Cd trở nên chỉ phụ thuộc vào kích thước nhám trung bình và có xu hướng không đổi khi số Reynolds tăng lên Như vậy, với những số Reynolds lớn hơn, bề dày của lớp biên càng độc lập với vận tốc

2.3.4 Phân bố lôgarít của vận tốc

Trong mục 2.3.3 đã phát biểu rằng thậm chí nếu áp suất không đổi theo khoảng cách, lớp biên sẽ tăng lên cho đến khi vận tốc tại đỉnh của lớp biên xấp xỉ với vận tốc của dòng chảy trung bình, trong đó sức cản ma sát không quan trọng Một công thức lý thuyết hữu ích cho dạng phân bố vận tốc trong lớp biên của dòng chảy ổn định đều có thể dẫn

Hình 2.11 Sự biến đổi của hệ số cản theo số Reynolds trong dòng chảy tầng hoặc rối, cho thấy ảnh hưởng

của kích thước nhám đáy

Xét một dòng chảy của nước có mật độ không đổi trong lòng dẫn rộng vô hạn Vì giả thiết rằng không có gradient áp suất dọc theo hướng dòng chảy, có thể lập luận rằng

ứng suất mỗi lớp chất lỏng tác động lên những lớp kề bên là không đổi trên toàn bộ độ

sâu, tạo ra một 'lớp ứng suất không đổi' ( Sutton, 1953: tr 72) Trên cơ sở thứ nguyên, hệ

số nhớt rối Nz có thể biểu thị như sau

dz

du l

lm   (2.40) trong đó h là độ sâu lớp biên và k là hằng số Điều này nói rằng lm = kh tại đỉnh lớp biên (z = 0) và giảm đến không tại biên đáy (z = h) Trong phương trình (1.4), ứng suất trượt zx liên quan đến Nz, bằng biểu thức

m m

zx

l

u l

số tiện lợi để đặc trưng cho ứng suất đáy trong dòng chảy ở môi trường biển

Thay quãng đường xáo trộn cho trong phương trình (2.40) dẫn đến quan hệ

) (

*

z h k

u dz

h k

u

u  * ln(  ) (2.45) Giả thiết rằng biên được tạo nên do những phần tử nhám với quy mô quãng đường

đặc trưng, 'độ dài nhám' z0 đánh giá theo quan hệ z0 = h - h0, trong đó vận tốc là không tại

u

Phương trình (2.46) chỉ ra rằng phân bố vận tốc trong lớp biên đáy về mặt lý thuyết cần phải có dạng lôgarít Phát hiện này đã được sử dụng trong biển và cửa sông để phân tích dữ liệu dòng chảy đo bằng lưu tốc kế gần đáy Nếu những lưu tốc kế riêng lẻ

được sử dụng, thì chúng thường được định vị tại những độ cao khoảng 2 m ở trên đáy trên một khung đỡ vững chắc; những đồng hồ đo được để cách nhau để lấy được nhiều chi tiết hơn gần đáy, tại đó sự thay đổi vận tốc dòng chảy theo độ sâu là lớn nhất Bằng việc làm khớp những vận tốc thành phân bố lôgarít, phương trình (2.46) có thể sử dụng để xác

định vận tốc ma sát, và từ đó là ứng suất trượt tại đáy, và độ dài nhám z0 Dựa vào nghiên cứu thực nghiệm trong phòng, hằng số k (hằng số von Karman) cho thấy có giá trị trong phạm vi 0,36 < k < 0,41

2.3.5 Gradient áp suất thuận và nghịch

Phân bố lôgarit dẫn ra ở trên phụ thuộc vào việc có gradient áp suất bằng không Tuy nhiên, trong dòng chảy không đều những thay đổi của vận tốc theo khoảng cách phụ thuộc vào những gradient áp suất khác không Như vậy khi dòng chảy chậm lại, áp suất tăng lên theo hướng chuyển động và nó tác động thông qua lớp biên Gần biên, 'gradient

áp suất nghịch' này và sức cản do ma sát đáy kéo ngược dòng ở trên bằng tác động của nhớt Điều này làm cho dòng chảy gần biên nhất chảy chậm hơn dòng chảy ở xa hơn trong dòng nước và phân bố vận tốc trở nên ít uốn cong hơn Như vậy là hiệu ứng của gradient

áp suất nghịch là làm giảm gradient vận tốc du/dz tại biên (hình 2.12)

Khi gradient áp suất đủ lớn, gradient vận tốc này có thể giảm đến không cho nên nước gần nhất với bề mặt sẽ ở ngay tại điểm có chuyển động ngược hướng với phần dòng