Mô hình hóa toán học sóng gió trong đại dương bất đồng nhất không gian ( Đại học quốc gia Hà Nội ) - Chương 5 pps

Ta sẽ biểu diễn sự phụ thuộc của  vμo  dưới dạng Đối với những tốc độ dòng chảy điển hình tồn tại thực trên Đại dương thế giới, phần đóng góp tương đối của các sóng ngược chu kỳ của ch

201 202

phần 2 Biến dạng sóng gió trên các bất

đồng nhất quy mô lớn

Chương 5 tiến triển của sóng trên nền dòng

bất đồng nhất phương ngang

vμ trong điều kiện nước sâu

5.1 Đặt bμi toán trong hệ tọa độ địa phương

Trong chương 1 đã nêu ra sự thiết lập tổng quát nhất về bμi

toán mô hình hóa toán học sóng gió trong đại dương dưới tác

động của các nhân tố khác nhau hình thμnh phổ sóng gió Vì

giải bμi toán tổng quát phức tạp, nên ở đây ta sẽ xét một trường

hợp riêng vμ khảo sát những hiệu ứng liên quan tới sự biến

thiên phổ sóng trên các dòng bất đồng nhất phương ngang

M S Longuet-Higgins vμ R Stewart đã nhận được những

kết quả lý thuyết cơ sở đầu tiên trong việc giải bμi toán nμy vμo

những năm 1961-1964 [311-314] Từ các công trình của các tác

giả đó rút ra rằng giữa sóng vμ dòng chảy bất đồng nhất phương

ngang có sự tương tác, kết quả lμ sóng có thể cho hoặc nhận

năng lượng từ dòng chảy Lý thuyết của họ có thể giải thích

nhiều vấn đề động lực học các quá trình sóng, tuy nhiên, phạm

vi sử dụng lý thuyết đó khá hạn hẹp Thí dụ, khi truyền sóng

ngược dòng, mμ tốc độ dòng tăng dần dọc theo trục của nó, thì năng lượng sóng tăng dần, vμ tại điểm nơi tốc độ nhóm sóng bằng về độ lớn vμ ngược hướng so với tốc độ dòng thì biên độ sóng nhận giá trị lớn vô hạn Còn trên thực tế, tại lân cận điểm

đặc biệt nμy (điểm tụ tia) không thể áp dụng các kết quả của M

S Longuet-Higgins vμ R Stewart Phép tiếp cận phổ trình bμy trong công trình nμy sẽ cho phép khắc phục những dị thường xuất hiện ở lân cận các điểm tụ tia vμ mô tả đúng hμnh vi của sóng trên dòng chảy

Như đã nhận xét trước đây, trong phần lớn trường hợp điển hình, ảnh hưởng của dòng vμ nước nông lên sóng mang tính địa phương Do đó, trong khi sử dụng trường hợp riêng của bμi toán tổng quát (1.84)–(1.90), ta nên xét bμi toán trong hệ tọa độ địa phương vμ viết phương trình cân bằng mật độ phổ tác động sóng trong hệ tọa độ phẳng vuông góc

G dt

d N dt

k d k

N dt

r d r

N t

t

R dt

d r

R dt

k d k

R dt

r d

203 204



V ( t r, )

trọng lực có thể viết 2 g th k (kH), H H (r) độ sâu thủy

vực Những phương trình trên đây có thể xem lμ đúng trong

trường hợp tốc độ dòng chảy không biến đổi trên phương thẳng

đứng Nhưng trong thực tế giả thiết nμy ít khi hiện thực Như

đã chỉ ra trong chương 1, khi hiện diện chênh lệch tốc độ dòng

trên phương thẳng đứng, thì việc giải bμi toán cũng không có gì

phức tạp về nguyên tắc, mặc dù khối lượng tính toán tăng rất

nhiều Đại đa số các trường hợp thực tế trắc diện thẳng đứng

vận tốc dòng thường không được biết chính xác, còn các trị số

trung bình của vận tốc được cho trước Vì vậy trong mục nμy ta

sẽ xem rằng giá trị tốc độ dòng chảy được xác định bằng trị số

trung bình theo toμn độ sâu xâm nhập chuyển động sóng Các

trường hợp ảnh hưởng của dòng chảy bất đồng nhất phương

Qua mỗi điểm của không gian chỉ có thể có một quỹ

đạo pha đi qua, tức các quỹ đạo pha không giao nhau Thực chất

tính chất nμy lμ hệ quả của định lý duy nhất nghiệm của hệ

phương trình vi phân thường với những điều kiện ban đầu cho

trước Mô tả các quỹ đạo truyền các chùm sóng trong không

gian pha có một loạt các tính chất lý thú [5, 18, 135]

Thí dụ, trường hợp vắng mặt hμm nguồn (G0) từ phương

0,,,,



dt

t k k y x N

Có nghĩa rằng mật độ phổ năng lượng tác động sóng giữ không đổi dọc theo tia

* Không gian nμy còn được gọi lμ không gian tọa độ - xung Hμnh vi của các hệ

Hamilton trong không gian như vậy được khảo sát trong hình học hiện đại [5].

),,,(),,,,(x y k x k y t N0 x0 y0 k x0 k y0

Khác với mô tả sóng trong không gian vật lý (xem mục 1.3),

ở đây vắng mặt Jacobien chuyển tiếp từ các trị số ban đầu sang các trị số hiện tại Người ta lý giải như sau: trường hợp mô tả sóng trong không gian pha chúng ta sử dụng các biến chuẩn Sự bảo tồn giá trị tác động sóng trong một đơn vị thể tích pha có thể viết bằng Nxyk xky N0 x0y0k x0ky0 Vì chuyển

động của hệ trong không gian pha diễn ra tương ứng với các phương trình Hamilton, nên từ định lý Luiville [121] suy ra sự bảo tồn thể tích phần tử không gian pha Trong điều kiện đó Jacobien chuyển tiếp từ phần tử thể tích pha ban đầu sang

),

(

),

y x k , k y, x

k , k , y x

Vậy tương quan (5.3) thoả mãn Những điểm kỳ dị - tụ tia liên quan tới việc Jacobien tiến tới 0 sẽ không xuất hiện như trong trường hợp mô tả sóng trong không gian vật lý (xem mục 1.3)

Điều kiện (5.3) có nghĩa rằng khi không có tác động của các nguồn vμ các dòng năng lượng sẽ bảo toμn mật độ phổ tác

động sóng dọc theo quỹ đạo truyền các chùm sóng Nhận thấy rằng tính chất nμy đối với trường hợp biến tính phổ sóng trên nước nông đã được M S Longuet-Higgins [310] chứng minh lần đầu tiên

5.2 Tiến triển của phổ tần số  góc trên dòng chảy

Biểu thức tổng quát mô tả sự tán xạ của phổ tần số 

góc của sóng Xét trường hợp đơn giản nhất của phương trình

động học (5.1), khi có thể bỏ qua các hμm nguồn ở vế trái phương trình nμy vμ mật độ phổ N giữ nguyên không đổi dọc

205 206

theo quỹ đạo truyền chùm sóng Bμi toán tìm N theo các điều

kiện ban đầu N0(k0,r0,t) quy về việc tích phân các phương trình

Hamilton (5.2) vμ xác định các mối phụ thuộc k0k0(k,r,t),

(k y k x

arctg



sang mối phụ thuộc có thể dễ thực hiện trong trường hợp giữa

k x y

,

,

Trị số phổ S tuỳ thuộc vμo các điều kiện ban đầu có thể viết

dưới dạng

 r t k k S  r t

1 0 0

2 0 2

,,,,

Biểu thức (5.4) nhận được với những giả thiết khá tổng quát

vμ nó có thể mô tả sự tán xạ sóng khi có mặt bất đồng nhất độ

sâu vμ khi sóng truyền trên nền dòng chảy Khác với nước nông,

dòng chảy không chỉ dẫn đến sự tán xạ sóng ở đây xuất hiện

những hiệu ứng bổ sung, liên quan tới sự bất đồng nhất tốc độ

dòng trong thời gian vμ không gian Sự biến thiên thời gian dẫn

tới sự dịch chuyển Dopler về tần số, bất đồng nhất không gian -

tới sự tương tác giữa sóng vμ dòng Chúng ta sẽ xét kỹ hơn về

hiệu ứng thứ nhất

Dịch chuyển Dopler phổ tần số - góc Khi truyền sóng

trên dòng chảy không dừng đồng nhất vectơ sóng theo phương trình (5.2) giữ nguyên không đổi, tức d/dtkV/t

Sử dụng biểu thức của phổ (5.4), trong trường hợp nμy có thể viết

trong đó  góc giữa hướng trục Ox vμ tốc độ V 

Đặc điểm của quan hệ nμy lμ ở chỗ  không phải lμ hμm đơn trị của  Ta sẽ biểu diễn sự phụ thuộc của  vμo  dưới dạng

Đối với những tốc độ dòng chảy điển hình tồn tại thực trên Đại dương thế giới, phần đóng góp tương đối của các sóng ngược (chu kỳ của chúng  4 V/g) vμo dải phổ mang năng lượng của các sóng gió tương đối nhỏ, vì vậy đôi khi có thể chỉ giới hạn xét các sóng tới Khi đó quan hệ (5.5) viết lại dưới dạng

207 208

 ,  S0,/ 1V~cos

Nhờ các quan hệ (5.7) hay (5.8) có thể chỉ ra rằng dịch

chuyển Dopler sẽ dẫn tới xê dịch những hợp phần phổ, đặc biệt

những tần số lớn Trong đó, dĩ nhiên, cả độ cao sóng trung bình

lẫn phổ không gian của chúng không thay đổi Trên dòng chảy

cùng hướng cực đại phổ xê dịch về phía những tần số lớn hơn,

còn phần cao tần của mật độ phổ trở nên thoải hơn Trên dòng

chảy ngược hướng diễn ra sự xê dịch ngược lại

Biến dạng phổ tần - góc của sóng trên dòng chảy bất

đồng nhất Sự biến dạng phổ sóng trên dòng chảy bất đồng

nhất phương ngang diễn ra theo cách khác Ta sử dụng quan hệ

(5.4) để nhận biểu thức tiến triển phổ sóng khi truyền trên nước

sâu (2  gk

) trong điều kiện tồn tại dòng chảy dừng bất đồng

nhất phương ngang V (r)

Trong trường hợp nμy, tần số  giữ

nguyên dọc theo các tia vμ có thể nhận được nghiệm cuối cùng

dưới dạng tường minh

Xét sự truyền sóng từ vùng không có dòng chảy (V0

) tới vùng với tốc dòng hướng dọc theo trục Ox VV(x, y);0 Giả sử

rμng thoạt đầu (tức khi V 0) phổ sóng lμ đồng nhất vμ dừng

theo quan hệ (5.4) có thể biểu diễn dưới dạng

~

,,

,

V V

S V

S

111

, (5.9)

trong đó V~4V/g tốc độ dòng chảy không thứ nguyên Dấu

( ) trong biểu thức nμy chứng tỏ tính không đơn trị xác định

phổ sóng trên dòng chảy tuỳ thuộc vμo tần số  , góc  vμ tốc độ

,

V g

V

Để xác định giá trị của phổ trong biểu thức (5.9) cần tìm 0,

nó có thể được xác định tương đối dễ trong các trường hợp khi tốc độ V phụ thuộc chỉ vμo một trong hai tọa độ Khi V V ( y)tọa độ x lμ tọa độ trụ, vμ theo phương trình (5.2) hợp phần k x

giữ nguyên trong khi truyền chùm sóng, khi đó

4cos

~

cosarccos

4cos

~

sinarcsin

V

(5.12)

Trường hợp thứ nhất (5.11) ứng với tình huống truyền sóng trên dòng bất đồng nhất ngang có tính đứt đoạn vμ sẽ được xét sau nμy

Ta khảo sát trường hợp thứ hai một cách tỉ mỉ hơn Vậy góc

 biến đổi như thế nμo phụ thuộc vμo tốc độ không thứ nguyên

V~ khi truyền chùm sóng tới vùng dòng chảy có tốc độ V (x) tăng dần Xuất phát từ điều kiện bảo toμn tần số  vμ hợp phần vectơ sóng k dọc quỹ đạo, ta viết tích phân động lượng chùm y

sóng trong các biến V~ vμ  dưới dạng

209 210

quỹ đạo Đối với những chùm sóng đi ra từ vùng không có dòng

chảy (V0 0) giá trị của tham số  nhỏ hơn đơn vị vμ bằng



sin Trong trường hợp khi các sóng thoạt đầu được sinh ra trên

dòng chảy,  có thể lớn hơn đơn vị

Hình 5.1 Biến dạng các tham số phổ trên dòng chảy tăng dần tốc độ (a)

vμ chi tiết hơn tại lân cận điểm phong toả (b)

I - đường cong trên đó thoả mãn quan hệ (kCg)  0

; II - quỹ đạo truyền chùm sóng trong các biến V~,  (mũi tên chỉ hướng truyền); III - đường cong trên đó

(hay đường cong IIb

với 1



 ) Phụ thuộc (V~) không phải lμ phụ thuộc đơn trị, tức ứng với cùng một giá trị V~ khi  1 có hai giá trị góc  (khi 1



 ứng với một V~ có thể tồn tại ba giá trị  ) Nếu chùm sóng truyền từ vùng không có dòng chảy (V0 0) tới vùng dòng chảy tăng dần về độ lớn V , thì trên mặt phẳng  V~, sẽ tương ứng diễn ra sự chuyển động về bên phải dọc theo phần trên của

đường cong bên trái II đến điểm A (đường cong IIa

trên hình

5.1a hay một cách chi tiết hơn trên hình 5.1 b) Trong khi đó

hình chiếu của tốc độ nhóm trên trục Ox dương, tức

)(

Tại điểm A đạt giá trị lớn nhất của tốc độ dòng chảy trên quỹ

đạo vμ quan hệ (5.13) như một hμm V~ ( ) có giá trị cực đại Điểm

A lμ điểm ngoặt, sau khi đi qua nó C trở thμnh âm Trên mặt gx

phẳng  V~, bắt đầu sự chuyển động dọc theo phần dưới của

đường cong II từ điểm A về bên trái (xem hình 5.1a, đường cong

σ

II ), tức về phía vùng giảm dần giá trị tốc độ dòng chảy Tại điểm

ngoặt A sẽ bắt đầu mất đi sự không đơn trị xác định góc  , vμ giá

trị của nó có thể tìm từ biểu thức (5.13) bằng cách giải phương trình đại số bậc bốn tương ứng, nghiệm thực của nó lμ biểu thức:

3 3

11

1312111

24

1

v v

v v

v

A arcsin

(5.14)

211 212

trong đó  116/272

Trong biểu thức nμy cần lấy (–) nếu 1 Đối với các sóng

với  1 tồn tại hai điểm ngoặt – A vμ A (xem hình 5.1a) Tốc

độ dòng chảy tại đó diễn ra sự phong toả sóng, phụ thuộc vμo trị

số của tham số  (với 1, V A1,038g/4, A0,096π) Khi

4

3



Trong công trình [10] dẫn định nghĩa về các sóng tới vμ

nμy âm Khi truyền sóng trên dòng chảy bất đồng nhất sự

chuyển từ các sóng tới sang các sóng ngược diễn ra khi

0

)

(kCg 

Có thể dễ dμng chỉ ra rằng điều nμy xảy ra không

phải tại điểm phong toả như trước đây người ta tưởng [10], mμ

tại một điểm của quỹ đạo nơi đó thoả mãn điều kiện

0

1 cosV~  Để minh hoạ điều vừa nói, quan hệ trên dưới

dạng đường cong I được dẫn trên mặt phẳng  V~, (xem hình

5.1a, b) Đường cong I tiếp giáp với đường cong II tại điểm B ở

41





B

quỹ đạo tương ứng với những trị số khác nhau của tham số 

Sự trùng hợp của điểm phong toả A với điểm chuyển tiếp từ các

sóng tới sang sóng ngược B chỉ xảy ra trong điều kiện một

chiều, khi  sin 0 Hiệu ứng cách biệt điểm A với điểm B trở

nên thể hiện cμng rõ nét hơn khi tham số  tăng dần

Một thực tế lý thú lμ trên đoạn quỹ đạo từ điểm phong toả

A đến điểm B các sóng tới bị dồn ngược trở lại xuôi theo dòng

chảy (C gx0), vμ chỉ sau đó tại điểm B nơi tốc độ dòng bằng

1 2

414

sau điểm B chúng bị cuốn xuôi theo dòng Đối với các sóng đó

luôn thoả mãn bất đẳng thức C gx0 Sóng cμng truyền vμo vùng với giá trị tốc độ dòng nhỏ dần thì góc  giảm dần tới không Như đã nhận xét, hợp phần vận tốc nhóm C của các sóng gx

tới có thể dương, có thể âm Điều kiện C gx0 có thể viết thμnh dạng 0V~cos32cos Đường cong III tương ứng với quan hệ nμy cũng được dẫn trên hình 5.1a,b Nó chia mặt phẳng  V~,thμnh hai vùng ứng các trị số khác nhau C Bên trái đường gx

cong III, trong các sóng tới C gx 0 Những sóng mμ  1 có những trị số C dương trên đoạn quỹ đạo II giữa hai điểm gx

phong toả A vμ A Cực đại của hμm V~

đạt được tại )

/(



không thứ nguyên V~ lớn hơn 4/3 2/3 các sóng với C gx 0hoμn toμn không tồn tại, mặc dù trong khi đó các sóng tới có thể tồn tại với V~ 1

Điểm B có tính chất lμ tại đó tính không đơn trị trong các

quan hệ (5.9), (5.10) vμ (5.12) mất đi Dấu (+) tương ứng với các sóng tới trong các biểu thức nμy, còn dấu (–) - các sóng ngược Trị số của số sóng k tại điểm B bằng 42/g, tức lμ nó không phụ thuộc vμo tốc độ dòng chảy vμ góc 

Trong biểu thức phổ sóng (5.9) xuất hiện điểm kỳ dị khi

0

1 cosV~  Tại lân cận điểm B độ lớn của phổ tần - góc tiến

tới vô cùng Đặc điểm nμy đã xuất hiện do sử dụng phép thay thế các biến trong biểu thức (5.4) Biểu thức có mặt trong

 g 4 V có điểm kỳ dị tại g 4 / Vcos

Như vậy đối với hợp phần đã cho độ lớn của phổ thời gian

)

,

(



như không dùng phổ thời gian, mμ dùng phổ không gian, thì

điểm kỳ dị nμy đã không xuất hiện Kỳ dị phổ (5.9) tại điểm B

lμ khả tích

Trị số phổ của các sóng ngược S(,) cũng tăng cùng với

sự giảm tốc độ dòng chảy, vμ về giưói hạn khi V 0 xuất hiện

kỳ dị không khả tích, chứng tỏ về sự sự tăng vô hạn biên độ các

sóng trọng lực Theo (5.9) bước sóng của các sóng nμy giảm cùng

với sự giảm vận tốc Độ dốc các sóng bị dòng chảy mang xuôi

dòng tăng mạnh vμ có thể vượt quá giá trị tới hạn cho phép,

điều nμy chắc chắn dẫn tới đổ nhμo sóng

Ta xét trường hợp phân bố góc của phổ ban đầu khi không

có dòng chảy lμ khá hẹp vμ nó có thể biểu diễn dưới dạng tích

   00

ở đây (0) hμm-delta của Dirak Trong trường hợp nμy nhờ

tương quan (5.9) phổ tần số một chiều được dẫn tới dạng

0

111

S d

V S

S

~

~

)()

~,(

Biểu thức của phổ S() trùng với một tương quan đã nhận

được trong một công trình trước đây [281] Đối với các sóng đều )

(



S chuyển thμnh một biểu thức quen thuộc về diễn biến biên

độ sóng trên dòng chảy do M S Longuet-Higgins vμ R Stewart

đã nhận được [314]

Trên dòng chảy đối mặt tăng dần, phổ toμn phần của sóng

được quan nệm tạo thμnh từ các phổ sóng tới vμ sóng ngược Sóng ngược, như đã chỉ ra trước đây, xuất hiện do phản xạ các sóng tới từ dòng chảy bất đồng nhất phương ngang vμ bị cuốn trôi xuôi theo dòng chảy Nếu tốc độ dòng V() đơn điệu tăng

đến một giá trị nμo đó, sau đó trở nên không đổi, thì trên đoạn nơi tốc độ không đổi phổ sóng được mô tả chỉ bằng phổ của các sóng tới

Ta sẽ xét sự biến dạng phổ tần - góc của sóng trong trường hợp nμy Giả sử rằng giá trị ban đầu của phổ sóng được mô tả bởi biểu thức xấp xỉ

n

n

n m

n Q

trong đó m0  mômen không của phổ; Q( )0  phân bố góc ban

đầu, được xấp xỉ bằng hμm côsin luỹ thừa bốn Ta cho trị số tần

số cực đại phổ max bằng 0,86 rad/s, n4 Trên dòng chảy đối mặt, theo những điều đã nói ở trên, phân bố góc được xác định bằng quan hệ

4 2

11

161

11

161

~

sin)

~,(

V V

V Q

2coscos3V~



o; 2 15 ; 3 30 ; 4 60 0

1    

Đường chấm - gạch nối chỉ các giá trị tương ứng của khoảng cân bằng, đường

gạch nối - phổ ban đầu khi V  0 m/s ,   0o

Trên hình 5.2a, b dẫn giá trị phổ biến dạng trên dòng chảy với các tốc độ dòng V 1,0 vμ 3,0 m/s, tính theo các công thức (5.9), (5.16) Dòng chảy ngược dẫn tới tăng mạnh độ lớn phổ, trên dòng xuôi thấy phổ giảm, trong khi đó tần số cực đại phổ hầu như không biến đổi

Hình 5.3 Hμm phân bố năng lượng theo góc trên dòng chảy ngược V   1 m/s (a)

vμ trên dòng cùng hướng V 3m/s (b) đối với các tần số  :

rad/s 5 1 3 rad/s;

65 0 2 rad/s;

85 0

Đường chấm - gạch nối chỉ phân bố năng lượng theo góc ban đầu Trên hình 5.3a,b dẫn hình dải quạt định hướng phổ cho các tần số khác nhau Hình nμy quy chuẩn về giá trị phổ cực đại tại tốc độ dòng đã cho Từ các hình vẽ thấy rằng dòng chảy ngược

217 218

lμm hẹp dải quạt hướng, hơn nữa tại các tần số cao mức độ hẹp

lại cμng tăng Trên dòng chảy cùng chiều diễn ra điều ngược lại

Nếu sóng đi vμo vùng mμ tại đó hướng sóng ngược hướng

dòng chảy, thì năng lượng sóng trên một đơn vị diện tích sẽ

tăng do tương tác với dòng chảy ngược Tăng trưởng năng lượng

có thể bị hạn chế bởi sự tiêu tán liên quan với đổ sóng Trong

phổ xuất hiện khoảng cân bằng, tức một dải các tần số  vμ các

góc  , tại đó dòng năng lượng nhận từ dòng chảy cân bằng với

mất năng lượng do đổ sóng

Nói chung, không có căn cứ nμo để cho rằng khoảng cân

bằng phổ tần số của sóng trên dòng chảy có dạng như biểu thức

quen biết của O M Phillips [190] S() ~  5

 Nếu sử dụng giả

thiết về tính vạn năng của phổ không gian trong khoảng cân

bằng [301], thì điều đó cho phép tìm phổ tần số - góc của

khoảng trên dòng chảy bằng cách tính thêm tương quan tản

mạn tương ứng Như vậy, phổ tần số - góc của khoảng cân bằng

~

V

V S

132

11

5 2 5

(5.18)

ở đây ~ hằng số Phillips;  (V~,) phân bố góc tương ứng

Khoảng cân bằng (5.18) được biểu diễn bằng đường chấm - gạch

nối trên hình 5.2a, b Sự giao nhau của đường cong khoảng cân

bằng với phụ thuộc phổ đã xây dựng trước đây có nghĩa rằng ở

lân cận khoảng cân bằng vμ phía phải khoảng đó xấp xỉ phổ (5.9)

có thể lμ không đúng Nếu sự biến dạng sóng trên dòng chảy

ngược diễn ra khá chậm so với thời gian hình thμnh phổ sóng

dưới tác động của đổ sóng, thì phần đi xuống của phổ sẽ đi qua

không cao hơn khoảng cân bằng, còn cực đại phổ xê dịch về vùng các tần số thấp hơn, vμ bản thân phổ trở nên hẹp hơn Điều nμy

được khẳng định bằng dữ liệu quan trắc thực địa [332]

Trong vùng với dòng chảy đồng hướng sẽ quan sát thấy bức tranh ngược lại ở đây một phần năng lượng sóng bị dòng chảy hấp phụ, còn biên độ các hợp phần sóng trở nên thấp hơn giới hạn ổn định Sự đổ sóng chấm dứt, còn phụ thuộc phổ đi thấp hơn so với khoảng cân bằng

5.3 Mô hình phổ về sóng cồn

Mô tả hiện tượng, số liệu thực nghiêm Những năm gần

đây các nhμ nghiên cứu sóng gió chú ý nhiều tới sóng cồn Loại sóng biển không đều, xuất hiện ở một số nơi có dòng chảy vòng qua những nơi nước nông, đáy mấp mô hoặc khi sóng truyền vμo nơi gặp dòng chảy ngược hướng thường được gọi lμ sóng cồn Sóng cồn cũng có thể do những nguyên nhân tương tự khác Trong các công trình [8,125] đã mô tả tỉ mỉ về hiện tượng sóng cồn do các cộng tác viên Viện Hải dương, Viện Hμn lâm Nga quan trắc được Trong các công trình nμy đã thực hiện đo sóng

vμ dòng chảy trong eo biển nối vịnh Onhega với Bạch Hải Sơ đồ xuất hiện sóng cồn biểu diễn trên hình 5.4 Các sóng cồn luôn quan trắc được trong thời gian dòng triều lên (hoặc triều xuống)

ổn định, vμo lúc tốc độ chảy cực đại vμ hay gặp nhất trong trường hợp gió vμ dòng chảy ngược hướng nhau Trong gió mạnh, sóng gió lμm lu mờ sóng cồn Sóng cồn lμ sóng ngắn vμ dốc hơn so với sóng gió vμ sóng lừng thông thường, ngoμi ra, nó bất đối xứng hơn, đỉnh sóng nhọn, còn đáy sóng thoải hơn

Những phổ sóng cồn dựng theo các băng ghi sóng đo trong hệ quy chiếu di động gắn với dòng chảy có tính biến động lớn Đa

 vμ 0,5 Hz Tại vùng tần cao sau đỉnh thứ hai, mật

độ phổ S() giảm nhanh vμ tại một khoảng tần nμo đó có thể xấp

xỉ bằng phổ cân bằng của Phillips S  g 25[8] (hình 5.5)

Về giải thích lý thuyết hiện tượng sóng cồn, người ta cho

rằng nó có thể liên quan tới sự biến dạng sóng gió trên dòng

chảy bất đồng nhất, hoặc liên quan tới sự hình thμnh sóng trên

mặt tự do khi dòng chảy lượn quanh bãi cản ngầm [8]

Hình 5.4 Sơ đồ sóng cồn loại giáp ranh:

1 – vùng nước lặng; 2 – đới chuyển tiếp; 3 – dải đỏ nhμo; 4 – sóng đỉnh

nhọn; 5 – sóng nền; 6 – bãi ngầm; x m – điểm cực đại vận tốc dòng chảy

Trong mục nμy xét sự phát triển một trong những giả thiết

đã nêu Một trong các mô hình sóng cồn có thể lμ sự biến dạng

sóng trên nền dòng chảy bất đồng nhất phương ngang cỡ lớn

trong phép xấp xỉ quang hình hoc Ngoμi ra cũng không loại trừ

vai trò gián tiếp của những bãi cản ngầm mμ khi các dòng chảy

nhanh lượn quanh chúng tạo ra sự bất đồng nhất dòng rất

mạnh có ảnh hưởng đặc biệt tới các sóng mặt

Hình 5.5 Phổ sóng mặt trong sóng cồn loại giáp ranh (số liệu thực nghiệm [8]):

1 – vùng nước lặng; 2 – đới chuyển tiếp; 3 – dải đỏ nhμo; 4 – phổ cân bằng của Phillips

Thiết lập bμi toán Xét bμi toán trong phép xấp xỉ quang

hình trên cơ sở phương trình cân bằng mật độ tác động sóng dưới dạng phổ (5.1) Khó khăn chủ yếu của bμi toán lμ ở chỗ chúng ta chưa nghiên cứu đầy đủ về hμm nguồn G Nếu như về

221 222

cơ chế phát sinh G vμ quá trình tái phân bố phi tuyến năng in

lượng G người ta đã nhận được các quan hệ lý thuyết, nhưng nl

về quá trình tiêu tán sóng G cho đến nay chưa có một biểu ds

thức nμo được thừa nhận Để hạn chế sự phát triển phổ sóng

người ta thường dùng cách nhân hμm nguồn trong phương trình

cân bằng năng lượng với một thμnh phần 1 f(S/S) Hμm

hiệu chỉnh 1 f(S/S) thiết lập giá trị tới hạn khả dĩ của mật

độ phổ S vμ bằng cách đó nó gián tiếp tính tới sự tiêu tán năng 

lượng sóng Để tính sóng trên nước sâu, khi không có dòng chảy,

với tư cách lμm phổ tới hạn S hình thμnh bởi tác dụng liên tục 

của gió người ta sử dụng phổ Pierson-Moskovitz Còn trường

hợp có mặt dòng chảy bất đồng nhất phương ngang thì người ta

chưa biết phải xấp xỉ bằng phổ tới hạn nμo Vì vậy, trong trường

hợp nμy người ta sử dụng những lập luận còn tuỳ tiện hơn Thí

dụ, trong công trình [11], hμm nguồn trong phương trình cân

bằng mật độ tác động sóng đã lấy bằng GU N(1N/N0), ở

đây N0  mật độ tác động khi không có dòng chảy; U  gia số

tăng trưởng sóng Tuy nhiên, dạng hμm nguồn như thế chưa đủ

hạn chế sự tăng trưởng phổ sóng Thí dụ, trong trường hợp có

thể bỏ qua tác động gió (U 0) mật độ phổ năng lượng SN

sẽ biến thiên rất nhiều vμ có thể lμm tăng đáng kể phổ của

khoảng cân bằng [301,337] nếu như nó được mô tả bằng kiểu

xấp xỉ hμm nguồn như trên

Bây giờ ta thử xác định các thμnh phần sao cho chúng có

thể hạn chế sự tăng trưởng phổ mật độ tác động sóng trong

phương trình động học (5.1) khi sóng truyền vμo gặp vùng dòng

chảy bất đồng nhất phương ngang vμ có gió Muốn vậy, ta lợi

dụng giả thiết về sự tồn tại khoảng cân bằng như một trạng

thái tới hạn của phổ năng lượng không gian [301] Cho rằng

khoảng cân bằng lμ bất biến vμ xấp xỉ của nó có thể viết bằng

)()

có sử dụng hμm hiệu chỉnh dưới dạng 11(S/S)q, thì nó

có dạng

dt

d N

N N N

N N

y g

gy x

g

dt

dy V

C C dt

k dt

d y x

dt

dk

cossin

sin

t dt

; C g  môđun giá trị tốc độ nhóm

Nghiệm bμi toán một chiều Ta sử dụng các quan hệ

(5.19) – (5.22) để mô tả diễn biến của phổ sóng cồn Theo sơ đồ

đề xuất trong công trình [8], ta sẽ xem rằng (xem hình 5.4) sóng

từ vùng không có dòng chảy (V0 0) truyền vμo vùng có dòng

223 224

chảy tốc độ VV( x),0 hướng đối mặt với sóng Tốc độ dòng

chảy V (x) đơn điệu tăng đến một giá trị cực đại nμo đó Vmax (tại

m

x

x ), sau đó nó đơn điệu giảm đến không Trong công trình

[8] sóng không đều không có nguồn gốc từ gió được gọi lμ sóng

cồn Không nên hoμn toμn nhất trí với ý kiến nμy ít ra thì ở đây

vấn đề về sự phát sinh sóng bởi gió lμ vấn đề còn bỏ ngỏ Tuy

nhiên, nếu thừa nhận vai trò gió trong sự hình thμnh sóng cồn

không đáng kể, thì có thể bỏ qua thμnh phần thứ nhất ở vế phải

phương trình (5.19)

Trường hợp bμi toán một chiều, khi S(k,)S(k)(),

phương trình (5.19) dễ dμng tích phân, vμ nghiệm của nó có thể

biểu diễn dưới dạng giải tích

 q q q

N N

N

1 0

0 0

9

11

ở đây N vμ 0 N0  tuần tự lμ những giá trị ban đầu của mật độ

tác động sóng vμ khoảng cân bằng, được cho tại t Các đối số t0

N0 vμ N ~ 0 N mật độ tác động giữ nguyên không đổi 

dọc theo các quỹ đạo truyền chùm sóng, tức N(k,r,t)~

hưởng đến đặc điểm diễn biến của nghiệm N vμ trong giới hạn



N

N0 , N  q9 N Như sau đây sẽ thấy, tình huống nμy có

thể xảy ra khi truyền sóng tới gặp dòng chảy ngược có tốc độ

tăng dần, sự tăng trưởng phổ bị giới hạn bởi sự đổ nhμo sóng Trên nền dòng chảy cùng hướng sẽ xảy ra điều ngược lại – mật

độ năng lượng sóng giảm đi do sự tương tác với dòng chảy, vμ sự hiện diện của khoảng cân bằng trong (5.23) không ảnh hưởng

đến đặc điểm diễn biến của nghiệm

Ta sẽ chuyển từ phổ mật độ tác động N (k) tới phổ tần số năng lượng S() được đo trong hệ quy chiếu gắn liền với dòng chảy S()  kk/N()kk() Lưu ý rằng chính lμ trong hệ tọa độ nμy người ta đã đo phổ sóng trên nền dòng chảy trong công trình [8] Như dưới đây sẽ cho thấy, phổ nμy khác về căn bản với phổ được đo trong hệ tọa độ cố định S() đã mô tả trong mục 5.2 Xuất phát từ quan hệ (5.23), ta viết nghiệm cho phổ )

k k

k S

S

1 9

0 5

0 2 0 0 1

0 0 0

0 0

9

11

ở đây S0( )0  phổ ban đầu của sóng khi không có dòng chảy

Ta sử dụng biểu thức của phổ tần ban đầu, lấy trong trường hợp không dòng chảy () có dạng (5.16), trong đó n tham 

225 226

dòng chảy dừng V tần số  giữ nguyên không đổi dọc theo quỹ

đạo truyền chùm sóng Trong trường hợp một chiều điều nμy có

thể viết thμnh  Vk 0 Quan hệ nμy xác định giá trị của số

sóng k phụ thuộc vμo k vμ tốc độ dòng chảy V Tuy nhiên 0

cùng một giá trị tốc độ V có thể tương ứng với hai số sóng khác

nhau Trên dòng chảy ngược tại cùng một điểm (khi xx m) có

thể tồn tại cả các sóng tới (C gx 0) vμ sóng ngược (C gx 0) sinh

ra do sự phản xạ các sóng tới từ dòng chảy bất đồng nhất

phương ngang Sau khi các sóng đi qua vị trí cực đại tốc độ dòng

chảy (trên đoạn x x m) có thể chỉ tồn tại các sóng tới Vì

nguyên nhân đó tích phân chuyển động đã nêu không đủ để giải

đơn trị bμi toán ở đây còn phải chú ý tới những lập luận động

học

Vậy nếu chùm sóng trong khi truyền tới gặp dòng chảy

ngược có tốc độ tăng dần mμ đạt tới điểm V V*, tại đó thoả

mãn điều kiện phong toả C gx C g V*0, thì nó bị phản xạ từ

dòng chảy vμ bị mang xuôi dòng Muốn như vậy cần phải lμm

sao để V * V max Nếu không thì chùm sóng sẽ đi qua "rμo cản" –

vùng giá trị cực đại tốc độ dòng chảy Khi V * V max tại vùng

(xx m) sẽ tồn tại cả các sóng tới lẫn các sóng ngược Nếu

max

* V

V  sẽ không có các sóng ngược Tại vùng khác (x  x m) có

thể chỉ tồn tại những sóng tới đã đi qua "rμo cản" Nhờ những

lập luận nμy, vμ cùng với mối tương quan (5.24), ta biểu diễn

q

F g

S S

S

1 7

5 5

2

0 0

1

19

11

11

41

1

ở đây V /Vmax; ~y V/g tần số không thứ nguyên;  )( y~ hμm Hevisaide

Một biểu thức tương tự được viết cho các sóng đã vượt qua

điểm có tốc độ dòng chảy cực đại (x x m)

q

F g

S S

S

1 7

5 5

2

0 0

1

19

11

12

1

~

~14

~

~1

q bằng 2, đó lμ giá trị thường được nhiều tác giả chấp nhận khi

tính sóng theo trường gió [331]

Ta biến đổi các biểu thức phổ (5.25), (5.26) thμnh dạng tổng quát hơn Muốn vậy, ta tiến hμnh chuẩn hóa các phổ S vμ 1 S 2

theo giá trị cực đại của phổ ban đầu

 max   exp /max

n

Biểu diễn các giá trị phổ chuẩn hóa ~1

S vμ S như lμ hμm của ~2

tần số không thứ nguyên y~ Khi đó trong các biểu thức phổ

xuất hiện một số tham số không thứ nguyên, cần phải cho giá trị Những tham số đó lμ: Vmax/g tốc độ dòng chảy không

227 228

thứ nguyên vμ v mVmaxmax/g – "mức hiệu quả" của trắc diện

dòng chảy đã chọn ảnh hưởng tới các hợp phần mang năng

lượng của phổ Có thể chỉ ra rằng khi m0,1 ảnh hưởng của

dòng chảy lên phổ sóng không đáng kể Mặt khác, khi m0,5

dòng chảy hoμn toμn phong toả sóng (S2 0), vì vậy việc xem

xét trường hợp m lớn hơn trị số đã nêu sẽ không có nghĩa, vì

đạc điểm diễn biến phổ sẽ không khác gì

Trước hết xét trường hợp phong toả sóng khi m0,5 Để

xác định đại lượng phổ ban đầu phải cho phương sai m Nó có 0

mặt trong (5.25) vμ (5.26) dưới dạng một tích không thứ nguyên

0 2 4

0 n1  g 

trung bình của sóng h0/02,722102 0 (ở đây h vμ 0  0

tuần tự lμ độ cao vμ bước sóng trung bình ban đầu)

Ta khảo sát ảnh hưởng của tham số  lên đặc điểm diễn 0

biến của nghiệm Trên hình 5.6 trong ảy lệ loga thể hiện phổ

S với những trị số khác nhau 0 tại điểm nơi tốc độ dòng

chảy 0,175 Đường cong 1 biểu diễn phổ ~1

S khi 00, tức ứng với các sóng biên độ vô cùng nhỏ Nét chính của phổ lμm nó

khác với phổ ban đầu (5.16) lμ sự hiện diện hai cực đại trên các

tần số ~y10,240 vμ ~y2 0,787 Mặc dù cực đại phổ thứ hai lớn

hơn cực đại thứ nhất rất nhiều, nhưng nhìn chung phổ trông

giống một cấu trúc đối xứng Sự phân đôi phổ như thế nμy liên

quan với việc các đối số phổ chuyển một cách hình thức từ 

sang ~y(1~y); về ý nghĩa vật lý của điều nμy sẽ được tìm hiểu

sau Khi tốc độ  giảm dần, các cực đại phổ cμng tách ra xa

nhau, giá trị của đỉnh phổ thứ nhất tiến dần tới đơn vị, còn đỉnh

thứ hai – tăng mạnh hơn vμ về giới hạn sẽ tiến tới vô cùng

Hình 5.6 Đặc điểm diễn biến nghiệm S~1(~y) trong tỷ lệ loga với m0 , 5 ,   0 , 175 vμ một số trị số  : 0

1 - 0,0; 2 - 0,001; 3 - 0,01; 4 - 0,1; 5 - 10,0 Các đường cong 2–6 trên cùng hình vẽ thể hiện các phổ đối với một số trị số của tham số  Khi tăng tham số nμy, cực đại 0phổ thứ hai giảm vμ khi 00,05 thì mất hẳn Như vậy  0

đóng vai một tham số điều chỉnh trạng thái phần phổ cao tần Giá trị đỉnh thứ hai còn phụ thuộc vμo tham số n trong biểu

thức xấp xỉ phổ (5.16) ở đây n chấp nhận bằng 5,5, với n tăng

lên, sự tách đôi hai cực đại trên phổ cμng rõ nét hơn

Ta sẽ xem nghiệm (5.25) vμ (5.26) mô tả sự tiến triển phổ sóng như thế nμo khi chúng truyền tới nơi gặp dòng chảy ngược bất đồng nhất phương ngang Trong tính toán ta chấp nhận

229 230

01

0

0 ,

dạng sóng lừng thoải Trên hình 5.7a thể hiện các phổ ~1

Tại giai đoạn đầu truyền sóng (khi 0,1), quan sát thấy

tăng cực đại ban đầu của phổ ~1

S nằm ở tần số ~y10,12 vμ xuất hiện cực đại thứ hai ở tần số ~ y 0,64 Cự đại thứ hai đã xuất

hiện tại những tần số lớn hơn 0,5 Các giá trị tần số nμy chứng

tỏ về các sóng ngược, xuất hiện do phản xạ các sóng ban đầu từ

dòng chảy bất đồng nhất phương ngang

Trên hình 5.7a cũng dẫn ra những giai đoạn tiến triển của

phổ ~1

S diễn ra tại các điểm nơi tốc độ dòng  tuần tự bằng bằng

0,15, 0,175 vμ 0,2 ở đây nhận thấy sự tăng trưởng tiếp theo

của phổ ~1

S , đặc biệt ở lân cận đỉnh thứ hai vμ sự xích lại gần

nhau của các cực đại phổ Giá trị cực đại thứ hai trở nên lớn hơn

đáng kể so với cực đại thứ nhất Sự tiến triển tiếp theo của phổ

với những trị số  đã nêu khá phù hợp với dữ liệu quan trắc

(xem hình 5.5) Đặc điểm diễn biến chứng tỏ sự ổn định tương

đối của tần số thứ nguyên của cực đại đỉnh phổ thứ nhất

m







1 (1,20 1,45) vμ sự bất ổn định của giá trị mật độ phổ

Các tác giả công trình [8] cũng đã đi đến kết luận tương tự trên

cơ sở phân tích dữ liệu thực nghiệm Tuy nhiên, nhận thấy rằng

trong thực nghiệm tốc độ cực đại  không vượt quá 0,2 m

Khi tăng dần tốc độ dòng chảy  (xem hình 5.7 a, đường

cong 5) đến giá trị cực đại của nó cả hai đỉnh phổ tiếp tục xích

lại gần nhau vμ chập thμnh một Đỉnh thứ hai trở nên lớn hơn

nhiều so với đỉnh thứ nhất vμ hình như nó "nuốt mất" cực đại thứ nhất Khi m cực đại phổ ~1

S có độ lớn  3,9 tại tần số không thứ nguyên ~y10,5, tức tương ứng với tần số 12m Nhận thấy rằng tần số của cực đại thứ hai 2 của phổ ~1

m , , q vμ 0  0 , 01 với một số giá trị tốc độ  :

1 - 0,1; 2 - 0,15; 3 - 0,175; 4 - 0,20; 5 - 0,225

Đường liền chỉ phổ ~1

S , đường chấm - gạch nối chỉ S , ~2

đường gạch nối - khoảng cân bằng

231 232

Hình 5.7b Tiến triển các phổ sóng trên dòng chảy ngược khi

10 25

– 5') chỉ phổ ~2

S của các sóng đã đi quan vùng cực đại tốc độ

dòng chảy ("rμo cản") vμ đang nằm trong vùng nơi tốc độ dòng

chảy có cùng trị số như đối với các sóng của phổ ~1

S Khác với S , ~1

phổ ~2

S có một đỉnh Tại vùng các tần số nhỏ nó hoμn toμn trùng

với phổ ~1

S , sau đó cắt giảm nhanh tới không Sự cắt giảm nμy lμ

do những điều kiện động học đối với các sóng bị phong toả bởi tốc độ dòng chảy vμ không thể vượt qua "rμo cản" Trên thực tế

sự đứt đoạn đột ngột như vậy chắc gì đã có thật Nó đã xuất hiện trong nghiệm vì chúng ta đã bỏ qua hiệu ứng tái phân bố phi tuyến năng lượng trong phổ sóng vμ sự tác động của gió Sự hiện diện của gió nhất thiết phải dẫn tới sự phát sinh bổ sung những hợp phần cao tần trên dòng chảy vμ tương ứng với điều

đó lμ sự giảm đều đều hơn của phổ trong vùng tần đã nêu Tuy nhiên trong thực nghiệm mô tả trong công trình [8] thực sự quan sát thấy sự giảm khá nhanh của phổ ở dải tần đã nêu (xem hình 5.5, đường cong 1), điều nμy khẳng định về chất đặc

điểm của nghiệm mμ chúng ta đã nhận được

Nhận thấy rằng nếu như đối với các phổ ~1

S các đường cong

1 – 5 tương ứng với những giai đoạn liên tiếp tiến triển phổ sóng khi truyền theo hướng tăng tốc độ dòng chảy ngược, thì đối với các phổ ~2

S các đường cong 1' – 5' phản ánh tình huống

ngược lại, tức phổ được ký hiệu 5' xảy ra trước phổ ký hiệu 1' ở

đây các sóng chuyển động trong vùng nơi tốc độ dòng chảy ngược giảm Kết quả lμ năng lượng sóng bị hấp thụ bới ứng suất tia, vμ phổ ~2

S giảm đi Cường độ sóng sau rμo cản (khi xx m)

đột ngột giảm, vμ sóng có đặc điểm đều đặn hơn Sóng trở nên dμi vμ thoải

Điểm A trên phổ S ký hiệu vị trí đứt đoạn phổ liên quan ~1

tới sự phong toả các hợp phần cao tần, điều nμy suy ra từ nghiệm (5.25) Diễn biến như vậy của phổ liên quan tới những giả thiết xuất phát vμ đã được mô tả ở trên đối với phổ ~2

S Tuy

nhiên, khác với ~2

S , sự phát sinh các hợp phần cao tần S phải ~1

mang đặc điểm mạnh mẽ hơn, vì đây lμ sự phát sính sóng trên

233 234

dòng chảy ngược tăng tốc độ, vμ mật độ phổ ở đây thực tế phải

lớn hơn đáng kể Với sự tăng dần tốc độ cực đại của dòng chảy

m

 điểm A dịch về vùng các tần số cao, tức diễn ra sự "lấp đầy"

phổ bằng những hợp phần chưa bị phong toả tại các giá trị m

v

đường gạch nối trên hình 5.7a (các đường cong 1'' – 5'') Như đã

thấy, cực đại phổ thứ hai vμ phổ các tần số cao hơn vượt quá 2–

3 lần giá trị khoảng cân bằng Sự vượt trội của phổ các tần số

cao có thể liên quan tới tình huống sau Khái niệm khoảng cân

bằng đã được O M Phillips [190] đưa ra với tư cách lμ một

trạng thái phổ tới hạn nμo đó, hình thμnh dưới tác động của gió

lên mặt nước vμ sự tiêu tán sóng Vì vậy không có đủ căn cứ để

cho rằng nếu cơ chế phát sinh sóng liên quan không phải với tác

động của gió, mμ với sự tương tác của sóng vμ dòng chảy bất

đồng nhất phương ngang, thì trạng thái tới hạn của phổ sẽ

trùng khớp với khoảng cân bằng Phillips Trong khuôn khổ mô

hình đã chấp nhận, có thể lμm hạ thấp đáng kể mức của các hợp

phần phổ tần số cao Để lam điều nμy cần thay vì chấp nhận q

bằng không liên quan tới luật tiêu tán năng lượng bình phương

vẫn thường dùng trong các bμi toán tính sóng theo trường gió

[331], hãy lấy giá trị q lớn hơn một cách đáng kể Thí dụ, với

10



hợp nμy ảnh hưởng của tiêu tán trong mô hình trở nên mạnh

hơn Độ vượt trội của phổ trên khoảng cân bằng không quá 25%,

trong đó cực đại thứ hai giảm so với trường hợp trước, còn tần số

của nó dịch chuyển một ít về vùng tần thấp Tuy hình dạng phổ

nhìn chung không bị biến đổi nhiều, phần tần cao của nó trở

nên giống hơn so với quan trắc thực

Lý giải vật lý về sóng cồn Sau những điều trình bμy

trên đây, ta có thể đi tới giải thích sự xuất hiện của sóng cồn như sau Các sóng khi truyền tới gặp dòng chảy bất đồng nhất phương ngang sẽ tăng độ cao vμ giảm bước sóng Những sóng ngắn nhất, sau đó cả những sóng dμi hơn bắt đầu bị phong toả Trong lúc đó xuất hiện các sóng ngược, chúng bị mang ngược trở lại theo dòng chảy Mặt tự do lμ tổng hợp của hai hệ thống: các sóng tới vμ các sóng ngược Độ cao các sóng ngược tăng mạnh, còn bước sóng giảm Trước khi sự tiêu tán bắt đầu có vai trò, mật độ tác động giữ nguyên không đổi, còn năng lượng vμ tần số

 tăng, tức diễn ra "sự dịch chuyển" hμi đang xét trong phổ Sau khi độ dốc sóng đạt tới một giá trị tới hạn nμo đó sóng sẽ đổ nhμo Trong đó phần phía trên của đỉnh bị "cắt đứt", tức biên độ sóng giảm đột ngột, còn bản thân sóng tiếp tục bị dòng chảy mang đi, độ cao của nó tăng, bước sóng giảm cho đến lần đổ nhμo sau

Do ảnh hưởng hữu hiệu của dòng chảy lên sóng, sự cân bằng trong phổ có thể xảy ra tại những giá trị mật độ phổ lớn hơn so với trong sóng gió bình thường Chúng tôi nhắc lại rằng

độ dốc trung bình của sóng gió bằng 1/36, trong khi độ dốc tới hạn của sóng có thể vượt quá 1/7 Trong phổ sóng cồn, các sóng với độ dốc gần với độ dốc tới hạn nhiều hơn rất nhiều, điều nμy dẫn đến sự bất ổn định rất lớn của mặt dậy sóng ở đây mặt tự

do trở thμnh vùng sóng đỉnh nhọn – có rất nhiều sóng tương đối ngắn, dốc, sự đổ nhμo sóng diễn ra mạnh mẽ

Tổng kết những gì đã nói ở trên, ta thấy rằng rằng đặc điểm tiến triển chủ yếu của phổ ~1

S xảy ra khi truyền sóng tới gặp

dòng chảy tăng tốc độ lμ sự xuất hiện cực đại phổ thứ hai, sự tăng trưởng nhanh của nó vμ sự xê dịchtần số cực đại vμo vùng

235 236

tần thấp Cực đại thứ hai nμy gây nên bởi sự hiện diện của các

sóng ngược xuất hiện do kết quả phong toả các sóng tới trên

dòng chảy Sự gia tăng cường độ tác động gió chắc sẽ dẫn tới

lμm lu mờ những hiệu ứng đã mô tả, điều nμy gây bởi hai

nguyên nhân: do giảm tần số cực đại phổ max, tức giảm tốc độ

không thứ nguyên của dòng chảy  , vμ do mức cao hơn của m

phổ ban đầu trong vùng cực đại phổ vμ ở bên phải nó, tức tăng

tham số  (xem hình 5.6) 0

Hình 5.8 Tiến triển các phổ sóng (trong tỷ lệ loga) tại m 0 , 5 vμ một số giá

trị tốc độ  : 1 - 0,225; 2 - 0,25; 3 - 0,30; 4 - 0,35

So sánh nghiệm nhận được trong khuôn khổ mô hình lý

thuyết đề xuất ở đây với dữ liệu quan trắc thực địa về phổ sóng

cồn [8,125] cho thấy sự phù hợp không chỉ về mặt định tính, mμ

trong nhiều trường hợp cả mặt định lượng Hơn nữa, mô hình

cho phép ít ra mô tả định tính một số tình huống diễn biến sóng

trên các dòng chảy chưa được thấy trong công trình [8] vì lý do giá trị tốc độ cực đại của dòng chảy tương đối bé Trước hết đó lμ hiện tượng hợp nhất hai cực đại phổ, theo tính toán của mô hình diễn ra tại m 0,2 vμ đã được minh hoạ ở trên với 225

đại m0,5 Thấy rằng bây giờ phổ sóng có dạng đối xứng qua 5

,0

~ 

y , giảm về độ rộng vμ đặc biệt về độ lớn (khoảng hai bậc) Các hợp phần phổ thấp tần xâm nhập vμo vùng với giá trị tốc độ dòng lớn hơn so với những hợp phần phổ ở lân cận cực đại phổ

có thể Điều nμy tương tự như hiện tượng "thấm dưới cản" quen thuộc trong cơ lượng tử [120]

5.4 ước lượng tương tác phi tuyến yếu trong phổ sóng cồn

Tổng quan vấn đề Mặc dù trong mục trước đã chỉ ra ảnh

hưởng áp đảo của dòng chảy bất đồng nhất phương ngang lên sự hình thμnh phổ sóng, nhưng vấn đề về vai trò của các hiệu ứng phi tuyến trong quá trình nμy còn bỏ ngỏ Hμm nguồn bán thực nghiệm sử dụng trong mô hình chưa tính đến hiệu ứng tương tác phi tuyến yếu của sóng trong phổ sóng cồn Đồng thời cũng tồn tại giả thiết [125] rằng hệ thống "hoμ khí", tức hệ thống gồm các hoμ âm với hướng chuyển động vμ biên độ khác nhau không tương tác, mμ đơn thuần cộng với nhau, có thể lμ mô hình phù hợp cho trường sóng như vậy Mặt khác, các tác giả công trình [125] cho rằng dữ liệu thực nghiệm chứa đựng bằng chứng ửng

hộ xấp xỉ phổ bằng phổ Kolmagorov S  g4/311/3 Điều nμy đã

237 238

cho phép họ nêu ra giả thiết về sự kích động sóng cồn quy mô

nhỏ vμ nó tăng trưởng tiếp nhờ kết quả vận chuyển phi tuyến

tác động sóng về phía các tần số thấp tới các giới hạn đổ nhμo

của Phillips Tuy nhiên, giải thích hình thμnh sóng cồn như vậy

gây nghi ngờ, vì phổ Kolmagorov vμ tất cả những hệ quả rút ra

từ đó đã nhận được trong các công trình [66–68] đối với khoảng

trong suốt trong phổ sóng gió Những giả thiết về tồn tại

khoảng trong suốt trong phổ sóng cồn chắc gì được thoả mãn

trong thực tế, bởi vì ít ra thì sự tương tác các sóng với dòng chảy

bất đồng nhất phương ngang diễn ra trong toμn dải tần

Ngoμi ra, hình dạng bất đối xứng của sóng ("đỉnh nhọn vμ

chân thoải", như những nhμ nghiên cứu mô tả) vμ sự đổ nhμo

mạnh mẽ của sóng ("nước sôi") chứng tỏ về sự tiêu tán vμ vai trò

của các hiệu ứng phi tuyến mạnh trong một khoảng tần rộng

của phổ Từ nghiệm nhận được (5.25) cũng có một phần nμo đó

khẳng định điều vừa nói; đặc điểm diễn biến của nghiệm trong

vùng phổ tần cao được quy định bởi tham số q Ta nhớ lại rằng

q mô tả mức độ phi tuyến của phương trình xuất phát (5.19), lμ

cơ sở của mô hình đang xét Thực tế rằng khi tăng tham số q

đặc điểm diễn biến của nghiệm ở vùng phổ tần cao ~1

S trở nên

giống với phổ thực quan trắc, chứng tỏ về ý nghĩa của các hiệu

ứng phi tuyến mạnh trong sự hình thμnh vùng phổ cao tần Còn

về vấn đề vai trò của tương tác phi tuyến yếu trong sự hình

thμnh phổ sóng cồn thì còn bỏ ngỏ

Xây dựng phổ hai chiều sóng cồn Có thể nghĩ rằng ở

đây để tính sự tương tác phi tuyến yếu có thể sử dụng xấp xỉ

phổ tần đã nhận được trong mục trước Tuy nhiên, muốn vậy

cần biết không phải lμ phổ một chiều - phổ tần, mμ lμ phổ

không gian hay phổ tần số - góc S(,), phổ nμy chưa nhận

được trong thí nghiệm [8] Nghiệm giải tích của nó có thể nhận

được từ (5.19)–(5.22) nếu tham số q tiến tới vô cùng Điều nμy

về thực tế có nghĩa rằng trong vùng tần cao giá trị mật độ phổ

được chấp nhận bằng giá trị mật độ phổ trong khoảng cân bằng Phillips

Như vậy, nhờ phương trình mật độ phổ tác động sóng N (k)(5.19) trong trường hợp N  N dọc theo đường đặc trưng có thể dễ dμng tìm mật độ phổ năng lượng S phụ thuộc vμo tần số

 vμ góc arctg(k y/k x)

0 0 0

0 0 0 0

độ phổ năng lượng ban đầu trong vùng nơi dòng chảy vắng mặt Giả sử rằng hμm phân bố góc của năng lượng của phổ tỷ lệ với bình phương côsin

Khi truyền sóng trên nước sâu từ vùng không có dòng chảy tới gặp dòng chảy dừng bất đồng nhất có tốc độ biến đổi dọc hướng của nó, tần số  vμ hợp phần vectơ sóng k giữ y

nguyên dọc tia Trong trường hợp nμy nghiệm (5.27) có thể viết dưới dạng

2 0

239 240

Hình 5.9 Những quỹ đạo chùm sóng trên dòng chảy ngược:

a – trắc diện tốc độ dòng chảy; B – điểm tới hạn, tại đó V Vmax;

b – những quỹ đạo truyền chùm sóng đi tới điểm A; C – điểm ngoặt

Để xây dựng phổ toμn phần phải "thu thập" tất cả các tia đi

tới điểm tính Nhưng không phải tất cả các chùm sóng xuất

phát có khả năng đi tới đó Trên hình 5.9 b thể hiện các quỹ đạo

của các chùm sóng trên nền tốc độ dòng chảy ngược (xem hình

5.9 a) ở đây có thể tách ra hai loại tia Loại thứ nhất đi ra từ

biên giưói xuất phát, đi tới điểm tính với trị số dương của hợp

phần tốc độ nhóm

05

tức đó lμ các sóng tới, truyền lên trên theo dòng chảy Ngoμi ra,

đi tới điểm nμy còn có các chùm sóng ngược (C gx0) Vùng hai

chiều biến thiên của các biến  ~y , đối với trường hợp dòng

chảy ngược lại (V 0) thể hiện trên hình 5.10 Đường cong II

ứng với điều kiện C gx0 chia miền tích phân thμnh hai phần,

trong các phần đó C gx 0 hay C gx 0 Vì tốc độ cực đại của trắc diện dòng chảy đã chọn (xem hình 5.9a) có giới hạn Vmax , nên không phải tất cả các sóng tới đi qua điểm tính sẽ phản xạ

từ dòng chảy đối mặt Vì vậy, những sóng tới nμo có thể phản xạ tại các tốc độ lớn hơn Vmax thì trên dòng chảy đã cho không phản xạ, vμ từ chúng không sinh ra các sóng ngược Điều kiện vắng mặt các sóng ngược đó tại điểm, theo kết quả mục 5.2, có thể viết dưới dạng:

05

m v g

V V S

cos

~

~exp

,,

1

11

1

0 1

A

A

sin/sin

241 242

ở điểm phong toả

Nhờ khoảng cân bằng Phillips, ta tính tới sự đổ nhμo sóng

có thể xảy ra trên dòng chảy ngược Chấp nhận rằng nếu mật độ

phổ vượt quá giá trị của khoảng cân bằng với tư cách lμ giá trị

tới hạn, giá trị phổ sẽ được san bằng giá trị khoảng cân bằng

Tuy nhiên, khoảng cân bằng được xác định với độ chính xác tới

phân bố góc Cách tự nhiên nhất lμ chấp nhận nó như lμ trong

trường hợp sóng gió bình thường Giả sử rằng trong vùng cân

bằng diễn ra sự giãn rộng phân bố góc do xu thế đẳng hướng

hóa phổ liên quan với đổ nhμo sóng Vậy theo công trình [45] ta

sẽ xem rằng khoảng cân bằng được xấp xỉ bằng công thức côsin

bình phương (cos2) Như vậy, ta chấp nhận rằng phổ hai

chiều của sóng trên dòng chảy được mô tả bằng tương quan

khi 0

2

khi

5 2

/

/cos

/

Trên hình 5.11 thể hiện sự tiến triển của phổ tần số - góc

được tích phân theo các hướng S(,) vμ được chuẩn hóa theo

cực đại giá trị xuất phát của nó khi không có dòng chảy

Các trị số của những tham số quyết định trong công thức

(5.35) được lấy giống như trong mục trước Những đồ thị phổ

trên hình 5.11 được dẫn dọc theo dòng tại các điểm tốc độ dòng

chảy  khác nhau (trong miền xx m, xem hình 5.4)

Hình 5.10 Miền tích phân giới hạn bởi đường cong I tương ứng với sự biến

dạng hμm phân bố góc (5.29); II - đường cong trên đó tốc độ nhóm bằng không 0



gx

C Các đường gạch nối chỉ các biên phía phải của miền tích phân ứng với   0, 995 (1);   0, 95 (2);   0, 67 (3)

Trên trục ngang không đặt tần số không thứ nguyên y~ , mμ

lμ trị số tương đối /max ~ rất hay được dùng khi thể hiện phổ Trong các biến nμy phổ không còn có dạng đối xứng qua một tần số trung tâm nμo đó ~ y 0,5 (xem hình 5.7 a), vì điểm 1

~ 

y rời xa về vô cùng, còn bản thân phổ S~ (~) có thể so sánh với giá trị thực nghiệm trên hình 5.5 Từ hình 5.11 thấy rằng phổ S~ (~) có cấu trúc hai đỉnh Theo mức độ truyền sóng tới vùng có tốc độ dòng chảy ngược lớn hơn sẽ diễn ra sự tăng mật

độ phổ năng lượng sóng, ngoμi ra mật độ phổ ở lân cận cực đại tần cao sẽ tăng mạnh hơn Cực đại nμy xe dịch về phía vùng tần thấp, trong khi đó cực đại tần thấp xe dịch về phía tần cao, tuy với mức độ nhỏ hơn Khi 0,2 hai cực đại hợp nhất lμm một

Ta nhận thấy rằng diễn biến phổ sóng được mô tả bằng nghiệm của phổ hai chiều thực tế trùng với diễn biến của nghiệm cho phổ một chiều đã dẫn trong mục trước

243 244

Hình 5.11 Tiến triển các phổ sóng trên dòng chảy ngược tại m  0, 25 ở các

điểm giá trị tốc độ khác nhau  :

Hμm G~nl có dạng điển hình đối với các hμm vận chuyển phi tuyến trong phổ sóng gió Tại các tần số nhỏ hơn tần số cực đại phổ thứ hai chủ yếu thấy vận chuyển dương Tại các tần số lớn hơn tần số cực đại có dòng năng lượng âm, dòng nμy tại các tần

số lớn của dòng năng lượng lại trở thμnh dương Đặc điểm diễn biến như vậy của hμm chứng tỏ rằng tính phi tuyến tạo nên xu thế xê dịch cực đại thứ hai về vùng tần thấp do hệ quả dòng năng lượng mất đi từ phổ ở các tần cao Cùng với quá trình phát triển sóng, giá trị G~nl tăng lên Các giá trị cực đại vμ cực tiểu của nó xe dịch về vùng tần thấp đồng thời với cực đại thứ hai

Điều lý thú lμ nếu ta tiến hμnh chuẩn hóa lại G theo đại lượng nl

g

S3(max)max11 / , trong đó max tần số của cực đại phổ tần cao thứ hai, thì giá trị nμy tỏ ra khá ổn định, tức phụ thuộc rất yếu vμo giai đoạn phát triển sóng

245 246

Hình 5.12 Hμm một chiều vận chuyển phi tuyến trong phổ sóng tại các điểm

với tốc độ khác nhau:

1 - 0,10; 2 - 0,15; 3 - 0,175; 4 - 0,20; 5 - 0,225

Phải nhận thấy rằng đối với giai đoạn ban đầu 0,175 giá

trị tại lân cận cực đại tần thấp thứ nhất nhỏ hơn 3–4 bậc so với

giá trị tại lân cận cực đại thứ hai Điều nμy chứng tỏ rằng cơ chế

phi tuyến yếu thực tế không có ảnh hưởng lên sự hình thμnh

phổ tại lân cận cực đại thứ nhất

Cùng với sự phát triển tiếp của sóng 0,200,225 các cực

đại phổ tiếp tục xích lại gần nhau Trên các tần số nhỏ hơn tần

số cực đại thứ hai, tại 0,20 xuất hiện một vùng (~ 1,75) nơi

đây vận chuyển phi tuyến trở nên âm Hμnh vi bất thường nμy của hμm G~nl chứng tỏ rằng từ vùng nμy năng lượng bị dồn sang phía cực đại phổ thứ hai, tức "về phía ngược lại", điều nμy liên quan tới ảnh hưởng của cực đại tần thứ nhất lên cơ chế vận chuyển năng lượng phi tuyến ở đây sự phi tuyến "hướng tới" lμm cho phổ có dạng phẳng phiu hơn Khi các cực đại phổ tiếp tục xích lại gần nhau (0,225) vμ hợp nhất lμm một, thì vùng

âm nói trên biến mất Để phân tích tỉ mỉ hơn về vùng âm tần thấp G~nl, trên hình 5.13 dẫn hμm hai chiều G~nl(~ ,) đối với một

số hướng ( 0; 15; 30; 45; 60 Từ hình vẽ thấy rằng vùng âm vận chuyển phi tuyến trên các tần số thấp chỉ đặc trưng cho các hướng gần với hướng tổng quát 0 Còn trên các hướng khác, trong vùng vừa nêu chỉ thấy các giá trị dương của hμm

),

~(

~





nl

đầu (khi ~ 1,5) hμm G~nl(~,0) đổi dấu, vμ tại tần số ~ 1,3 có cực đại dương nằm về bên trái một ít so với cực đại tần của phổ Những tính toán tương tự thực hiện với phân bố góc hẹp hơn  cos4 của mật độ phổ trong vùng cân bằng đã cho thấy rằng dòng năng lượng âm mất đi tại các tần số thấp trở nên mạnh mẽ vμ tồn tại không chỉ trên hướng tổng quát 0, mμ trên cả hướng 15, mặc dù mức độ yếu hơn Như vậy, luận

điểm [125] rằng: phổ sóng cồn được hình thμnh do kết quả nhiễu động sóng quy mô nhỏ vμ sau đó tăng trưởng dần nhờ vận chuyển phi tuyến yếu tác động sóng về phía các tần số thấp, không được khẳng định thậm chí ngay với vùng cực đại tần số thứ hai Như ta thấy, vận chuyển phi tuyến yếu có đặc điểm phức tạp hơn vμ trên một khoảng tần nμo đó có thể "vận hμnh theo hướng ngược lại"

247 248

Hình 5.13 Giá trị của hμm hai chiều vận chuyển phi tuyến tại điểm   0, 20

với một số giá trị góc  :

1 – 0 o ; 2 – 15 o ; 3 – 30 o ; 4 – 45 o ; 5 – 60 o

Để kết luận, chúng tôi nhận xét rằng nếu tính tới đặc điểm

vận chuyển phi tuyến yếu, phổ sóng cồn có thể quy ước chia thμnh hai vùng – lân cận các cực đại thứ nhất vμ thứ hai Cường

độ vận chuyển phi tuyến yếu ở vùng các tần số mang năng lượng lân cận cực đại thứ hai lớn hơn so với ở lân cận cực đại tần thấp Vì nguyên nhân nμy, vận chuyển phi tuyến yếu có thể

lμ một trong những cơ chế hiệu quả nhất hình thμnh phổ ở lân cận cực đại thứ hai Nó thực tế không có ảnh hưởng gì tới phổ của vùng tần thấp ở đây s tiến triển của phổ có thể xem như thuần tuý tổng hợp các hμi độc lập chịu ảnh hưởng của dòng chảy bất đồng nhất phương ngang Để mô tả sóng cồn trong vùng tần số nμy có thể tiếp cận, sử dụng quan niệm "hoμ khí" Tuỳ mức độ xích lại gần nhau của hai đỉnh phổ mμ đặc điểm vận chuyển phi tuyến sẽ biến đổi Mặc dù vẫn như trước, nó không đáng kể ở vùng tần số thấp, nhưng ở vùng tần số giữa các

đỉnh phổ có thể quan sát thấy dòng năng lượng âm, chứng tỏ rằng năng lượng được bơm dồn theo hướng ngược lại, từ những tần số thấp hơn đến những tần số cao hơn

5.5 Sự biến dạng các tham số trung bình của sóng trọng lực trên dòng chảy biến đổi dọc theo hướng chảy

Hiện nay thực tế chưa có những chỉ dẫn thực tế đủ căn cứ

về tính các tham số sóng trên dòng chảy, còn để ước lượng ảnh hưởng của dòng chảy lên sóng cho đến nay vẫn dùng những kết quả của M S Longuet-Higgins vμ R Stewart nhận được từ đầu những năm sáu mươi [311–314] Chúng tôi nhắc lại rằng trong các công trình của các tác giả nμy đã đưa ra phương trình cân bằng năng lượng sóng tính tới ảnh hưởng cửa ứng suất tia gây bởi ảnh hưởng của bất đồng nhất dòng chảy Trong cách phát

249 250

biểu một chiều bμi toán truyền sóng đều trên nước sâu từ vùng

không dòng chảy (V0 0) sang vùng có dòng chảy ngược (V 0)

hay dòng chảy thuận chiều (V 0) biến đổi độ cao sóng được mô

tả bằng tương quan [313]

c V

c

c h

h

2

0

0   , (5.37) trong đó h0 độ cao sóng ban đầu; h độ cao sóng trên dòng 

chảy V ; c vμ c0 các tốc độ pha tương ứng Dùng các điều kiện

bảo toμn không đổi tần số thoả mãn đối với tốc độ dòng chảy

dừng, giá trị tốc độ pha c có thể nhận dưới dạng

0

4112

1

c V c

Dấu ( ) trong quan hệ nμy chứng tỏ về tính không đơn trị xác

định các tham số sóng trên dòng chảy V Đặc điểm biến đổi độ

cao tương đối h / h0 vμ bước sóng tương đối /0 chỉ ra trên hình

5.14 Biến đổi các tham số sóng tương ứng với dấu + được ký

hiệu bằng J , còn dấu – 1 J Đường cong 2 J mô tả tiến triển 1

sóng tới, độ cao của nó h đơn điệu tăng theo sự tăng của tốc ()

độ dòng chảy ngược vμ tại một điểm đặc biệt (tại V/c0 1/4)

nhận trị số lớn vô cùng Bước của sóng tới trên dòng chảy ngược

giảm dần Tại điểm đặc biệt nó 4 lần nhỏ hơn trị số ban đầu 0

Biến đổi các tham số sóng tương ứng với dấu – trong biểu thức

(5.38), tức của sóng ngược, mô tả bằng đường cong J cũng có 2

đặc thù tại điểm V/c0 1/4

Khi giảm tốc độ dòng chảy ngược, ở sóng ngược xuất hiện

điểm đặc thù thứ hai trong tương quan h / h0, còn bước sóng

tiến tới không (nhưng trong thực tế sự hiện diện của tính mao

251 252

cứu đã lấy biểu thức (5.38) với dấu +, tức không xét các sóng

ngược trên dòng chảy ngược Người ta cho rằng sự không đơn trị

của biểu thức nμy mang tính hình thức thuần tuý., còn dấu –

không có ý nghĩa vật lý Tuy nhiên, như các nghiên cứu thực

nghiệm [156] vμ lý thuyết [9,101,332] đã cho thấy, các sóng

ngược tồn tại thực sự Về bản chất, chúng lμ những sóng phản

xạ lại từ dòng chảy bất đồng nhất Sau khi phản xạ, chúng đi

ngược lại, xuôi theodòng Sử dụng quan hệ (5.37) ở lân cận điểm

đặc biệt (tụ tia) vô tình dẫn tới kết quả không đúng, vì ở đây

phá vỡ tính hữu dụng của lý thuyết của Longuet-Higgins vμ

Stewart Trong công trình nμy đề xuất sử dụng cách tiếp cận

phổ giải bμi toán, nó có khả năng khắc phục đặc thù đã nêu trên

đây vμ mô tả đúng đắn trường sóng

Sóng đơn đều mμ từ trước đến nay đề cập lμ một lý tưởng

hóa không gặp trong thực tế Sóng gió thực chứa một số hợp

phần phổ khác nhau với các hợp phân tương ứng của vectơ sóng

k x k y

k , Vì vậy đối với mỗi cặp giá trị k , sẽ tồn tại điểm x k y

tụ tia của mình Như vậy toμn bộ mặt phẳng ngang r x ,y sẽ

bị phủ bởi các điểm tụ tia Việc lấy trung bình thống kê các sóng

khác nhau sẽ dẫn đến chỗ ngay trong phép gần đúng quang

hình không cần bất kỳ những hiệu chỉnh nμo để tính phổ trong

khi hiện diện các điểm tụ tia tương ứng với từng hợp phần phổ

[87] Do đó, đương nhiên phải xem xét bμi toán theo quan điểm

phổ

Như trước đây, để mô tả hμnh vi của sóng trên dòng chảy

chúng ta sử dụng phương trình động học (5.1) biểu diễn dưới

dạng (5.19) Khác với trong mục 5.2, chúng ta không lấy các

biến  vμ  , vì phụ thuộc của số sóng k (hay tần số  ) vμo

chúng không phải lμ đơn trị, mμ lấy chính số sóng k (hay tần số

 ) vμ góc  Sử dụng các biến nμy sẽ khắc phục nhược điểm

nêu trên Mật độ phổ năng lượng S(k,) trong khi đó sẽ không

có các điểm kỳ dị đã xuất hiện trong (5.9) Ngoμi ra, các biến k

vμ  cho phép dễ dùng ý tưởng của O M Phillips về tính bất biến của khoảng cân bằng [301] trong các tính toán

Như vậy, xuất phát từ phương trình mật độ phổ tác động sóng N (k)

viết dưới dạng (5.19), ta xét sự truyền sóng trên nước sâu từ vùng không dòng chảy đến gặp dòng chảy dừng bất đồng nhất Tốc độ của dòng chảy biến đổi dọc theo hướng của nó (tốc

độ dòng chảy hướng dọc trục Ox vμ đơn điệu tăng đến một giá

trị cực đại Vmax nμo đó) Khi đó, như có thể suy ra từ (5.2), tần

số  vμ hợp phần vectơ sóng k giữ nguyên dọc tia Theo mục x

5.4 có thể tìm nghiệm của mật độ phổ năng lượng S phụ thuộc

vμo tần số  vμ góc arctg(k y/k x) dưới dạng (5.32)

Nghiệm (5.32) cho phép dễ dμng nhận được các tham số thống kê trung bình của sóng phụ thuộc vμo tốc độ dòng chảy

V Thí dụ, để tìm mômen thống kê m chỉ cần lấy tích phân pq

giá trị phổ S(k,) trong khoảng biến thiên tương ứng của các

k S

,,

phụ thuộc vμo các tham số ,,n Phổ F(~y,) cho phép biểu diễn kết quả tính dưới dạng tổng quát nhất

Nhờ phổ (5.32) đầu tiên ta tính biến đổi của các yếu tố trung bình của sóng trên dòng chảy trong trường hợp vắng mặt các sóng ngược Tình huống nμy xảy ra trong các trường hợp: thứ nhất - trên dòng chảy cùng hướng, thứ hai - trên dòng chảy

253 254

ngược hướng tại đoạn mμ tốc độ không biến đổi nữa (1) (xem

hình 5.9a) Sự tiến triển các tham số sóng trên đoạn chuyển tiếp

của dòng chảy ngược hướng (01) sẽ được xem xét sau

Giá trị tương đối của độ cao trung bình của sóng trên dòng

chảy có thể xác định nếu sử dụng giá trị mômen bậc không của

(5.39), vμ biểu diễn dưới dạng

1

0 0 0

,

~ (5.40) Tương tự, có thể viết bước sóng trung bình như sau:

1

4 2

2

0

411

0

2 4

0 2

1

0

1

211

y

dy d y F n

n

n

),

~()cos

~(

),

~(

độ rộng phổ vμ tuần tự bằng 5, 8, 10, 15 Toán đồ chứng tỏ rằng

độ cao sóng trên dòng chảy ngược đơn điệu tăng đến một giá trị cực đại nμo đó do giá trị tham số n quy định Thí dụ, với n5, tăng độ cao cực đại của sóng trên dòng chảy ngược bằng 2,13, khi 210, , sau đó độ cao bắt đầu giảm Khi 0,37 các sóng thực tế vắng mặt vì chúng không đi vμo vùng có giá trị tốc độ lớn của dòng chảy ngược chiều

Đối với các giá trị tham số n8 ,10 sự tăng độ cao sóng tại các giá trị nhỏ của  diễn ra chậm hơn so với trường hợp n5 Tuy nhiên, khi tăng tiếp tham số  thì độ cao sóng tăng mạnh hơn so với khi n5 Cực đại giá trị độ cao đạt được tại những giá trị  lớn hơn, sau đó thì độ cao sóng giảm đột ngột Tại 15



các phương trình (5.37) vμ (5.38) nhận được cho sóng đơn Khi tăng tốc độ dòng chảy, lúc đầu bước sóng giảm đến một giá trị nμo đó Thí dụ, với n5 giá trị cực tiểu của bước sóng tương đối

0



 / bằng 0,42 tại 0,12, sau đó nó bắt đầu đơn điệu tăng

Ta nhớ lại rằng, đối với sóng đơn (xem hình 5.4) trên dòng chảy ngược chỉ có thể lμ giảm bước sóng Sự tăng đơn điệu mμ chúng

ta nhận được qua tính toán diễn ra do tính chất phổ của trường sóng Trên dòng chảy ngược đã diễn ra một quá trình lọc đặc biệt lμm cho các sóng ngắn bị tiêu tán, chỉ còn các sóng dμi xâm nhập được vμo vùng các tốc độ lớn Còn về biến thiên của chu kỳ

255 256

sóng, thì tại các  nhỏ giá trị của chu kỳ giảm một ít, sau đó

bắt đầu tăng Thí dụ, với n5 tại  0,35 /01,8 Với các

sóng đơn chu kỳ giữ nguyên không đổi

Như vậy, tính chất phổ của sóng lμm biến đổi về căn bản sự

biến dạng của những tham số trung bình của sóng trên dòng

chảy Nếu phổ cμng hẹp, tức tham số n tăng, thì sự biến đổi các

yếu tố trung bình của sóng trở nên giống hơn với nghiệm cổ điển

(5.37), (5.38) Đối với sóng thực, với chúng có thể đặc trưng bởi

các giá trị n48, thì sự biến đổi các tham số trung bình của

sóng khác căn bản với sự biến đổi các tham số của sóng đều

Trên dòng chảy cùng hướng (0) thì độ cao sóng giảm

một cách đều đặn, chu kỳ giữ nguyên, còn bước sóng tăng Dòng

chảy cùng hướng có ảnh hưởng ít hơn tới sự biến đổi các tham số

trung bình của sóng so với dòng chảy ngược ở đây tính chất

phổ của sóng không có giá trị quan trọng như trường hợp dòng

chảy ngược

Trên hình 5.15 dẫn số liệu quan trắc thực địa của Viện hải

dương học Scrips (Mỹ) vμ của V G Jevnovatưi nhận được năm

1968–1969 ở Bạch Hải [59] Khi so sánh dữ liệu quan trắc [59]

với kết quả tính, đã sử dụng một thực tế rằng nhờ biểu thức

(5.41)  dễ dμng biểu diễn qua các giá trị trung bình xuất phát

của các tham số vμ tốc độ dòng chảy tại điểm được xét

n n n g

2

Jevnovatưi [59]; 6 - số liệu của Viện Scripps theo [59]

Trong công trình [59] dẫn ra quan hệ h / h0 phụ thuộc vμo giá trị V / g0 Để so sánh các kết quả, tham số nμy đã được biểu diễn qua  Giá trị n khi đó được lấy bằng 5, tức tương ứng với

phổ của "sóng lừng chết" vμ khá gần với sóng gió Cũng nhận thấy rằng trường sóng ban đầu đã được đo không phải trong

điều kiện hoμn toμn vắng mặt dòng chảy, mμ với tốc độ dòng chảy nhỏ 0,03 Khi so sánh các dữ liệu cũng đã tính đến sự chênh lệch nμy Như đã thấy khi so sánh kết quả tính với dữ liệu thực địa, sự phù hợp giữa chúng hoμn toμn thoả mãn Sự vượt trội độ cao sóng thực đo so với tính toán tại 0,2 lμ do trong tính toán của chúng ta chưa tính tới tác động bổ sung của

257 258

gió trong lúc thực hiện quan trắc

Ta chuyển sang xem xét hμnh vi của sóng trên đoạn chuyển

tiếp (01) , nơi građien tốc độ dòng chảy khác không, tức

0

/ 

chỉ có các sóng tới (C gx0), mμ cả các sóng với giá trị hình chiếu

vận tốc nhóm âm (C gx 0) Những sóng nμy, như đã nói, xuất

hiện do sự phản xạ các sóng tới từ dòng chảy bất đồng nhất

Trong khi các sóng ngược bị mang xuôi theo dòng, độ cao sóng

tăng, còn bước sóng giảm

Khi V 0 trong nghiệm bμi toán xuất hiện kì dị thứ hai,

tại đó độ cao các sóng ngược nhận giá trị lớn vô cùng, còn bước

sóng tiến tới không Vì ở tất cả các sóng ngược kì dị nμy xuất

hiện tại một điểm, tại V 0, nên cách tiếp cận phổ giải bμi toán

không loại trừ kì dị nμy Độ cao sóng trên dòng chảy không thể

tăng đến vô cùng, các sóng cần phải đổ nhμo Có thể tính tới sự

đổ nhμo một cách gián tiếp nếu giả thiết rằng phổ sóng không

vượt trội giá trị của khoảng cân bằng của phổ sóng Điều kiện

nμy cần phải thoả mãn nếu sự biến dạng sóng trên dòng chảy

diễn ra đủ chậm so với thời gian thiết lập phổ sóng dưới tác

động của sự đổ nhμo Như đã chỉ ra trong các mục 5.3–5.4,

nghiệm (5.33) mô tả sự đổ nhμo sóng trong khuôn khổ giả thiết

về sự tồn tại khoảng cân bằng Nếu dùng các biến mới, biểu

thức của khoảng cân bằng có thể viết

v y

4 max

4 4

0

2 4

n v m

h

độ dốc ban

đầu trung bình của sóng Bây giờ phổ sóng trên dòng chảy còn

phụ thuộc vμo tham số  , tức độ dốc trung bình của các sóng

ban đầu

Hình 5.16 Biến đổi độ cao vμ bước sóng trên dòng chảy ngược có tính tới các

sóng ngược, với n 5 ,   0 , 67 vμ một số độ dốc sóng ban đầu  : 0

;

3

10 75 , 0

1    2  7 , 52  103; 3  20 , 8  103; 4  40 , 5  103;

;

3

10 7 , 62

5    6  200 , 3  103 Đường liền chỉ độ cao trung bình h / h0,

đường gạch nối – bước sóng  / 0

259 260

Khi tích phân phổ trong mặt phẳng các biến  ~y cho ,

trường hợp có tính đến các sóng ngược, tức 1, miền tích

phân biến đổi tuỳ thuộc vμo giá trị tham số  Trong khi tham

số  giảm từ 1 tới các trị số nhỏ hơn, miền tích phân tăng lên

(xem hình 5.10) Vì lý do đó các tham số trung bình của sóng

biến đổi Các tính toán số cho thấy rằng sự biến đổi thực tế

chấm dứt khi 0,67, tức lμ, nếu tại điểm tính dòng chảy có

tốc độ sao cho V 0,67Vmax, thì sự hiện diện của điểm Vmax trên

trắc diện tốc độ dòng chảy không ảnh hưởng tới các tham số

sóng trung bình Khi  tăng dần từ 0,667 đến 1,00 sự đóng góp

tương đối của các song ngược giảm theo, còn biến đổi của các

tham số trung bình h / h0,  /0 vμ / xấp xỉ dần tới như đã 0

mô tả trước đây cho trường hợp 1

Kết quả tính biến dạng độ cao vμ bước sóng trung bình trên

dòng chảy ngược tốc độ tăng dần, với giá trị tham số 0,67 vμ

5



n thể hiện trên hình 5.16 Những toán đồ biến đổi các tham

số được dẫn cho một số giá trị độ dốc sóng ban đầu trung bình

Từ hình vẽ thấy rằng giống như trong trường hợp trước (xem

hình 5.15) độ cao sóng tăng dần tới giá trị cực đại, rồi sau đó bắt

đầu giảm Khi độ dốc  giảm thì độ cao sóng cực đại tăng lên,

tức lμ: độ dốc ban đầu cμng nhỏ thì xác suất đổ nhμo sóng cμng

nhỏ vμ ta quan sát thấy độ cao tương đối tăng nhiều hơn Phải

nhận thấy rằng: vì có các sóng ngược, độ cao trung bình trên

đoạn chuyển tiếp dòng chảy (01) có thể vượt trội đáng kể

độ cao sóng trên đoạn tốc độ dòng chảy cực đại (1) Cùng với

giá trị tham số tăng dần, bước sóng trung bình lúc đầu giảm, rồi

sau đó bắt đầu tăng Bước sóng nhỏ nhất quan sát thấy với các

sóng có độ dốc ban đầu nhỏ Điều nμy lμ do có mặt các sóng

ngược, chúng ảnh hưởng mạnh nhất tại các giá trị độ dốc ban

Tồn tại một quan điểm [190] theo đó sóng đơn bị phá huỷ trước khi đạt tới điểm phong toả Tuy nhiên không hoμn toμn như vậy Sóng có bị phá hỷ hay không phụ thuộc vμo độ dốc của

nó, trong thực tế độ dốc có thể không đến lỗi lớn để sự phá huỷ xảy ra trước hoặc vμo thời điểm phong toả Như đã thấy sóng phản xạ cũng có thể bị phá hủy nếu chúng bị cuốn theo dòng

đến điểm với giá trị tốc độ đủ nhỏ Một mặt, những giá trị biên

độ vμ độ dốc sóng lớn đòi hỏi áp dụng lý thuyết phi tuyến, mặt khác thậm chí đối với các giá trị độ dốc sóng khá nhỏ cần phải

sử dụng các phương pháp tính chính xác hơn tại lân cận điểm ngoặt (hay điểm phong toả sóng), vì đối với những sóngđó nghiệm của sóng đơn (5.37) cho những giá trị lớn phi hiện thực Các phương pháp mô tả hμnh vi sóng trên nước đã nói tới cho đến nay dựa trên giả thiết rằng sóng lμ sóng phẳng địa phương Song giả thiết nμy không phải luôn thoả mãn Đôi khi

có thể xuất hiện những tình huống trong đó những biến đổi của trường sóng nhỏ so với bước sóng được tích luỹ dần Điều nμy dẫn tới chỗ trường sóng trên một đoạn nμo đó có thể khác biệt căn bản với sóng phẳng địa phương Những biến đổi trường sóng tương tự như vậy xảy ra ở lân cận điểm tụ tia Điểm tụ tia

lμ biên giới giữa vùng có bức tranh sóng phức tạp – lμ kết quả

261 262

giao thoa hai nhóm sóng, vμ vùng bên cạnh không chứa những

sóng đó Các điểm tụ tia lμ những điểm đặc thù địa phương của

nhiều hình thái sóng khác nhau trong chất lỏng

Trong tư liệu khoa học đã chú ý nhiều tới những vấn đề về

diễn biến các sóng với bản chất khác nhau ở lân cận điểm tụ tia

Thí dụ, chuyên khảo [86] có một danh mục tμi liệu khá lớn về

vấn đề nμy, hoặc các công trình của V I Arnold về "Lý thuyết

tai biến" [5] đã phân loại các kiểu điểm tụ tia Về những ấn

phẩm liên quan tới sóng trên nước, có thể nêu ra công trình của

S Iu Đobrokhotov vμ P N Jevanđrov [48,49] nói tới sử dụng

các phép khai triển tiệm cận vμ toán tử chuẩn Maxlov trong lý

thuyết các sóng trọng lực trên nước Tuy nhiên, ở các công trình

nμy vấn đề về diễn biến sóng trên dòng chảy bất đồng nhất

chưa được chú ý thích đáng

Nếu tuân thủ tuần tự lịch sử nghiên cứu vấn đề diễn biến

sóng ở lân cận các điểm tụ tia, ta phải nhắc tới phương trình

Helmholts mô tả sự truyền ánh sáng Dưới dạng một chiều

phương trình viết như sau:

  0

2 2 0 2

a

, (5.45)

trong đó k /C số sóng;  tần số;  C tốc độ ánh sáng

trong chân không; n (z) hệ số khúc xạ đặc trưng cho tính chất

của môi trường truyền sóng; a biên độ sóng Phương trình 

Helmholts (5.45) mô tả sự truyền sóng điện từ đơn sắc với hμm

sóng ae t Khi thay đổi cách ký hiệu các tham số k vμ n 0

phương trình nμy cũng có thể mô tả sự truyền các sóng loại

điểm ngoặt zz* tại đó hệ số n (z) trở nên bằng không Tên gọi

"điểm ngoặt" tương ứng với trường hợp n0, khi động năng của phần tử so sánh được với thế năng vμ phần tử thay đổi hướng chuyển động Khi đó quỹ đạo các tia trong không gian toạ độ cũng có điểm ngoặt (hình 5.17)

Hình 5.17 Sự quay ngoặt các tia owr lân cận tụ tia

Các mặt tụ tia bằng phẳng, không có những điểm kỳ dị,

được gọi lμ các mặt đơn giản ở lân cận điểm tụ tia đơn giản có hai tia giao nhau, tiếp tuyến với điểm tụ tia đó (xem hình 5.17)

263 264

Sự hiện diện của các điểm kỳ dị trên tụ tia (các điểm đỉnh nhọn,

vòng nút ) gắn liền với sự xuất hiện của nhiều tia giao nhau

tại một điểm Sự phân loại các kiểu tụ tia trong trường hợp tổng

quát hơn dựa trên lý thuyết các kỳ dị của ánh xạ khả vi, cũng

còn gọi lμ "lý thuyết tai biến" phát triển trong thời gian gần đây

[5] Theo thuật ngữ của thuyết nμy thì tụ tia đơn giản được gọi

lμ tụ tia phẳng

Vai trò quan trọng của các tụ tia trong các bμi toán về sóng

được quy định bởi chúng đặc trưng cho một họ tia nói chung vμ

cho phép lập nên bức tranh diễn biến trường trong toμn không

gian Nếu trên mặt tụ tia cho trước hướng của các tia, thì theo

hình dạng của tụ tia có thể khôi phục họ tia Những vùng mμ các

tia không xâm nhập vμo gọi lμ dải tối tụ tia Trong phép xấp xỉ

quang hình trường bằng không tương ứng với dải tối tụ tia Hiển

nhiên, trong thực tế trường ở đó khác không vμ có nguồn gốc

nhiễu xạ Trong trường hợp đơn giản nhất ở dải tối trường giảm

theo luật số mũ khi xa dần các tụ tia Trong một số điều kiện

nhất định để tính trường có thể sử dụng phép khái quát phức của

quang hình học [23,86] hay các phương pháp khác [85, 316]

Như đã nhận xét, do sự hội tụ các tia ở lân cận tụ tia, biên

độ sóng trong phép xấp xỉ quang hình sẽ trở thμnh vô cùng

Trong khi đó phương trình Helmholts (5.45) vμ các phương

trình xuất phát khác của lý thuyết sóng không cho phép các giá

trị vô cùng của trường ở bên ngoμi vùng chứa các nguồn Vì vậy

sự bất thường của biên độ trên các tụ tia chứng tỏ rằng giải

pháp hình học không áp dụng được trên bản thân các tụ tia vμ ở

lân cận chúng Tuy vậy, ta vẫn có thể có được ước lượng hợp lý

về trường trên các tụ tia ngay cả trên cơ sở sử dụng quang hình

học vμ lợi dụng những lập luận về sự bảo toμn dòng mật độ tác

động sóng Cách tiếp cận nμy được đề xuất trong các công trình

[86,150] cho trường hợp khi dòng năng lượng giữ nguyên không

đổi Đối với các sóng trên dòng chảy bất đồng nhất, thì giữ nguyên không đổi không phải lμ năng lượng, mμ lμ mật độ tác

động, nhưng cách tiếp cận nêu trên cũng cho phép khái quát cho cả trường hợp bảo toμn tác động sóng

Ta giả sử rằng độ rộng ống tia, tạo bởi hai tia ở xa tụ tia, bằng l(0) (xem hình 5.17) ở ngay lân cận tụ tia đại lượng nμy bằng  , tức độ dμi đường vuông góc tại điểm tia thứ nhất tiếp l*xúc tụ tia đến tia thứ hai đại lượng  bằng độ rộng dải tụ tia l*[86] Giả sử ( 0 ), ( 0 ),( 0 )

g C

tụ tia, còn a*,C g*,* các giá trị ở gần tụ tia Cho rằng a biến

thiên không nhiều trong dải tụ tia, sự bảo toμn dòng mật độ tác

) ( )

(

l C a l C

0

0 2 0

(5.46) Như đã chỉ ra trong công trình [150], trong trường hợp tụ tia đơn giản l(0)~( l*)1/2, biên độ a trên tụ tia được ước *lượng bằng

6 1 2 0

) (

* ) (

( M k tham số quang hình học giá trị nhỏ

Đối với sóng lừng bước sóng  ~50 m, kích thước ngang hướng đặc trưng của dòng chảy 100 km, thì độ tăng biên độ sóng khi  ~ bằng khoảng (0 ) a * a/ ( 0 )~102/3

ước lượng nhận

được như trên cung cấp một khái niệm hiện thực về sự tập trung năng lượng sóng lừng trên dòng chảy ở đại dương

Mô tả tiệm cận trường sóng trên tụ tia ước lượng sự

tăng biên độ sóng chỉ ra sự cần thiết phải thực hiện tính toán

265 266

chính xác hơn để mô tả diễn biến sóng trên nước ở lân cận tụ

tia Một quan niệm chính xác hơn về diễn biến sóng có thể có

được bằng cách biến đổi sơ đồ xấp xỉ VKB truyền thống Muốn

vậy có thể dùng phương pháp Maxlov [85, 135] mô tả tiệm cận

đều của trường sóng trong toμn không gian Phương pháp

Maxlov nhiều lần được dùng để nhận nghiệm phương trình

Helmholts Ta sẽ khái quát tóm tắt thực chất của phương pháp

Maxlov

Như đã nêu, sử dụng phương pháp quang hình cho giá trị

bất thường của biên độ trên tụ tia Tuy nhiên, nếu mô tả trường

sóng không phải bằng biểu diễn sóng thông thường (1.16), mμ

sử dụng biểu diễn tích phân, thì biên độ sóng trên tụ tia sẽ có

giá trị hữu hạn Với tư cách lμ một biểu diễn như vậy, người ta

đề xuất sử dụng tích phân Fourrier, trong đó phép lấy tích phân

thực hiện theo hợp phần vectơ sóng k

nμo mμ dọc theo nó các tính chất của môi trường sóng biến đổi (giả sử theo hướng trục

Ox ) Nói cách khác, khi mô tả trường sóng, từ các toạ độ không

gian x1x, x2 y chuyển sang biểu diễn hỗn hợp không gian -

xung k1k x, x2 y Nếu các tính chất môi trường biến đổi đồng

thời trong hai hướng, thì cần phải chuyển từ các toạ độ không

gian sang các toạ độ xung, tức tìm nghiệm dưới dạng tích phân

Fourrier hai lớp

Tuy nhiên, sử dụng một cách hình thức phương pháp nμy

cho các sóng trên dòng chảy bất đồng nhất lμ không đúng, vì

trong trường hợp đó các sóng được mô tả bằng một phương trình

phức tạp hơn phương trình Helmholts (5.45); các phương pháp

tiệm cận đã nêu được xây dựng đầu tiên chính lμ nhằm áp dụng

cho phương trình nμy ở đây mật độ tác động được bảo toμn,

chứ không phải lμ năng lượng Do đó ta hướng tới công trình

của A G Voronovich vμ V V Gontrarov [26], ở đây đã đề xuất

phương pháp khái quát phương pháp Maxlov cho trường hợp truyền sóng thủy động lực trên các dòng chảy bất đồng nhất Trong công trình nμy đã xét bμi toán về ảnh hưởng của chuyển

động đại dương quy mô lớn lên sự lan truyền các sóng nội ngắn Cách tiếp cận nμy cũng có thể khái quát cho trường hợp mô tả diễn biến sóng trên nước ở lân cận tụ tia cả khi có các dòng chảy bất đồng nhất lẫn địa hình đáy biến đổi

Giả thiết rằng các tính chất của môi trường sóng biến đổi trong hướng trục Ox vμ không phụ thuộc thời gian t Khi đó, từ

các quan hệ động học chung đã dẫn trong chương 1 suy ra rằng hợp phần vectơ sóng k

trong hướng trục Ox không đổi, tức

x

C

0 0 0

0

0

),,

y k a

t y

),(

),()

,,

(5.50)

ở đây: số sóng k x  biến tích phân, còn x~ hμm số của  k nhận x

267 268

được do kết quả giải phương trình (5.48) theo x ; (x,y,t) pha

thông thường của sóng, sao cho khi thế vμo tích phân (1.50) x

trong  phải được thay thế hình thức bởi x~ ; ,0 các tần số

sóng tương ứng nước bất động tại thời điểm tuỳ ý vμ thời điểm

đầu t t0

Jacobien trong (5.50) có thể viết dưới dạng

0 0

0 0

x x

k y x

y x x

k y x

),()

,(

),(

x x x

hệ:

}exp{

)

t y x

gx

gx

0 0

Trong quan hệ nμy đã bỏ qua nhân tử pha không đáng kể

Biểu thức (5.52) không phải lμ gì khác mμ chính lμ điều kiện

bảo toμn mật độ tác động sóng; ta dễ dμng khẳng định điều nμy

nếu so sánh các biểu thức (5.52), (5.46)

Xét điểm "ngoặt" xx*, ở đó tốc độ C đổi dấu vμ chuyển gx

động chùm sóng bắt đầu diễn ra trong hướng ngược lại Trong

trường hợp nμy 2/ 2  x*0

x x

k vμ khai triển pha (k x) ở điểm dừng k x*k x* bắt đầu từ số hạng bậc (k xk*x)3

*

*

gx x

x gx x

x

C x F x

F

C k

Nếu xét lân cận điểm ngoặt xx* tại đó điểm dừng k * x*

gần với k , thì trong biểu thức của *x (k x) có thể hạn chế bởi các

số hạng với độ chính xác đến bậc (k xk x*)3 Nhờ sử dụng khai triển như vậy đối với tích phân (5.50), nếu bỏ qua nhân tử pha không đáng kể, có thể nhận được biểu thức tiệm cận

2

0 0

x F

C a

t y

*

x x x k

F x F

2

12

1

Đặc điểm diễn biến của các hμm Airy Ai (X) được đánh giá

đối với các giá trị dương lớn (X 0) như sau:

22

269 270

hμm thứ hai – sóng phản xạ Hai sóng nμy có số sóng gần bằng

nhau, chúng chồng lên nhau, tạo thμnh bức tranh giao thoa

trong đó biên độ tổng cộng bị điều biến

x

)

( tuần tự ứng với sóng tới vμ sóng phản xạ ở sóng phản xạ

cũng còn xuất hiện sự dịch pha

2



 do tia sóng chạm vμo tụ tia [86] Nếu tính đến quan hệ nμy trong công thức (5.52), còn trong

công thức (5.54) sử dụng hμm tiệm cận Airy (với X 0), thì các

kết quả trùng nhau, điều đó chứng tỏ về tính đều chiều của

phép khai triển tiệm cận của nghiệm Đặc điểm diễn biến

nghiệm ở lân cận tụ tia biểu diễn trên hình 5.18

Hình 5.18 Đặc điểm diễn biến của hμm Airy (1) vμ các xấp xỉ tiệm cận (2)

(5.55 a) cho X  0 vμ (5.55 b) cho X  0Giá trị cực đại của biên độ a  đạt được khi *(x* x)

k

F x

F C a

69

Các biểu thức nhận được (5.52) – (5.56) ứng với trường hợp tổng quát truyền các sóng mặt trọng lực trên nước Với tư cách lμm một trường hợp riêng, ta xét các ước lượng yếu tố sóng đơn trên dòng chảy ngược trong điều kiện nước sâu, tức xét nghiệm bμi toán trong phép xấp xỉ tán xạ đã nhắc tới ở mục trước Vậy, tại điểm ngoặt, xuất phát từ (5.38) có thể nhận được các quan

hệ động học như sau:

2

kF

;2

;4

;2

0 k

2 x 2

0

* 0

V V

6 1 0 0 0

sự tăng trưởng sóng được ước lượng bằng

trong trường hợp nếu như giá trị ban đầu nhỏ tới mức độ dốc tại

điểm ngoặt không vượt quá giá trị tới hạn tại đó sóng đổ nhμo:

độ dốc ban đầu lớn hơn giá trị nμy, thì sóng bị phá huỷ trước khi

tới được điểm ngoặt

Những giá trị độ dốc lớn có thể xảy ra trên dòng chảy ngược

chứng tỏ về sự cần thiết phải tính tới các hiệu ứng phi tuyến Sự

phi tuyến có thể lμm thay đổi tốc độ phong toả sóng cũng như

ảnh hưởng tới đặc điểm của mặt biển dậy sóng Các kết quả

thực nghiệm [332] cho thấy tốc độ phong toả bị biến đổi khá

mạnh phụ thuộc vμo độ dốc sóng

Có thể dễ dμng nhận được hiệu chỉnh cho giá trị tốc độ

phong toả sóng nếu lợi dụng các phương trình động học, thí dụ

của J Uysem [188] Tốc độ vận chuyển năng lượng có thể ước

1

ak k

g V

Tại điểm phong toả sóng C g 0, khi đó giá trị tốc độ phong

toả đối với độ dốc tới hạn (ak)2 0,2 bằng V*0,298c0, ở đây



0

chảy V 0 Giá trị tốc độ chính xác hơn của dòng chảy lμm

phong toả các sóng độ dốc tới hạn có thể nhận được bằng cách

sử dụng công trình [332], theo đó rút ra V*0,298c0 Như vậy

nếu tính tới những giá trị độ dốc hữu hạn, thì thấy rằng ở các

sóng dốc hơn V*0,3c0 sự tăng giá trị tốc độ phong toả mạnh

hơn so với các sóng thoải hơn V*0,25c0

Các hiệu ứng phi tuyến trong diễn biến sóng ở lân cận tụ tia

đã được R Smith [354] xem xét Trong công trình nμy, trên cơ

sở tham số hóa hệ phương trình thủy động lực đầy đủ xuất phát, ông đã chỉ ra rằng diễn biến địa phương của biên độ sóng

a ở lân cận tụ tia được mô tả bằng phương trình Sredenger

a a b ra r

a t

định Sự phi tuyến thực tế không có ảnh hưởng lμm tăng trường sóng tại lân cận điểm tụ tia Do sự điều biến biên độ profil sóng bất đối xứng, nó gần giống với mặt mô tả bởi hμm Airy, nhưng tuỳ thuộc vμo dấu của các đạo hμm biên độ mμ sườn trước của sóng có thể có độ dốc lớn hơn sườn sau hoặc ngược lại

5.7 Biến dạng sóng gió trên nền dòng chảy có chênh lệch vận tốc ngang hướng

Nghiệm của phương trình phổ Xét bμi toán biến dạng

phổ sóng trên dòng chảy bất đồng nhất phương ngang dạng có chênh lệch vận tốc ngang hướng sóng Giống như trong mục trước, có thể tìm nghiệm của bμi toán dưới dạng giải tích Ta sẽ xem rằng tốc độ dòng chảy V

hướng dọc theo trục Oy , vμ biến

đổi theo toạ độ x : V 0;V y(x)} Dọc theo hướng nμy độ sâu

273 274

Với cách dẫn lập bμi toán như trên ta viết các phương trình

chuyển động chùm sóng (5.2) dưới dạng sau:

y g

gy g

dt

dy C

C dt

()

1th

V k dx

dH kH kH

gk dt

y

Như đã thấy từ điều kiện bμi roán, toạ độ y lμ toạ độ tuần

hoμn, còn hợp phần k của vectơ sóng y k

giữ nguyên không đổi dọc theo quỹ đạo truyền chùm sóng Vì vậy có thể viết

Tích phân chuyển động thứ hai lμ hằng của tần số , vậy

đối với dạng biến đổi dòng chảy vμ độ sâu đã cho có thể viết

Trong phương trình (5.1) ta chấp nhận G0 Điều nμy

tương ứng với trường hợp truyền sóng trong môi trường bất

đồng nhất không tính tới sự tương tác phi tuyến yếu của các

sóng vμ sự phát sinh sóng từ gió Chấp nhận một tình huống

xấp xỉ như vậy lμ do chúng tôi muốn trực tiếp so sánh các ước

lượng thời gian tác động đặc trưng của những cơ chế hình thμnh

phổ sóng gió ở đới front ứng với điều kiện của một cuộc thí

nghiệm mμ sau nμy sẽ nói tới

Trong trường hợp nμy mật độ phổ tác động sóng N được

bảo toμn dọc quỹ đạo truyền chùm sóng: N(k,r,t)N(k0,r0,t0), ở

đây vectơ sóng ban đầu k0

năng lượng sóng F(k,) phụ thuộc số sóng k vμ góc  , từ (5.27)

ta có

0 0 0 0

0( , ))

,(

k

k k

F k

k S

k F

275 276

các quan hệ (5.63) vμ (5.64):

0 0

trong đó V vμ 0 H0 tốc độ vμ độ sâu ở điểm ban đầu của tia Sử

dụng các kết quả của công trình [290], nghiệm của phương trình

siêu việt (5.66 b) với độ chính xác đến 10-6 có thể viết dưới dạng

1

n

n

n p d

p p

trong đó d : n

)(,666666 6

k

0 0

2

th

dưới dạng

2 2

0

1

11

m n

m

g k V k

kg V k

k n n k

k n m

Q

k

F

sin/

sinexp

)()

sinarcsin

g k V

1

Tuy nhiên, phải thấy rằng biểu thức (5.69) giống như phương trình thứ nhất trong hệ (5.66) xác định đối với trường hợp khi

Trong trường hợp ngược lại, như sau nμy sẽ thấy, các tham

số của chùm sóng sẽ không xác định ở một vùng nμo đó – dải tối

tụ tia Còn bản thân biên giới trên đó thoả mãn đẳng thức

điểm tính toán, mμ còn cả những chùm sóng mμ thoạt đầu đã có thể bị phản xạ từ dòng chảy bất đồng nhất ngang, sau đó mới đi tới điểm x 0, y0 Để giải chính xác bμi toán cần phải giải hệ các phương trình (5.61), (5.62), chuyện đó khá khó cho việc tìm nghiệm giải tích Tuy nhiên, có thể lợi dụng những lập luận

động học dưới đây

Xét các quỹ đạo chùm sóng được biểu diễn khái lược trên hình 5.20 ở đây dẫn cả những quỹ đạo sóng truyền từ biên xuất phát tới điểm cũng như những quỹ đạo của các chùm sóng