Mô hình hóa toán học sóng gió trong đại dương bất đồng nhất không gian ( Đại học quốc gia Hà Nội ) - Chương 1 pptx

ở đây cố gắng giải đáp một loạt những câu hỏi đặt ra trước đây về quan điểm tổng hợp trong việc mô tả sóng gió trên Đại dương Thế giới trong điều kiện bất đồng nhất không gian của nó, ở

21 22

tác ba sóng vμ tiêu tán năng lượng sóng liên quan tới sự đổ

nhμo sóng ở nước nông

Cuốn chuyên khảo nμy lμ sự tiếp tục lôgic những công trình

đã nêu trên đây ở đây cố gắng giải đáp một loạt những câu hỏi

đặt ra trước đây về quan điểm tổng hợp trong việc mô tả sóng

gió trên Đại dương Thế giới trong điều kiện bất đồng nhất

không gian của nó, ở đây ngụ ý về các dòng chảy quy mô lớn, bất

đồng nhất độ sâu đại dương, ảnh hưởng của tính mặt cầu của

mặt Trái Đất Tác giả muốn nhấn mạnh rằng trong chuyên

khảo nμy sóng gió được xét trong khuôn khổ một cách phát biểu

bμi toán tổng quát duy nhất như lμ một quá trình thủy động xác

xuất với tính biến thiên không gian từ những quy mô toμn cầu,

như các đại dương với kích thước sánh với bán kính Trái Đất,

đến những quy mô khu vực  tiêu biểu lμ các biển vμ quy mô địa

phương tiêu biểu lμ các thủy vực hẹp hơn, nhưng có gradient

vận tốc dòng chảy hay độ sâu đáng kể trong đới ven bờ, tại đó

sóng đại dương sau khi du ngoạn hμng nghìn kilômét sẽ kết

thúc sự tồn tại

phần 1 - dẫn lập bμi toán tổng quát, Những vấn đề vμ kết quả nghiên cứu

sóng gió trong biển sâu

Chương 1 bμi toán về sự tiến triển phổ sóng gió

1.1 Bμi toán thủy động lực về sự phát sinh chuyển

động sóng trong chất lỏng bởi dòng không khí

Ta xét sự tiến triển của sóng gió dưới dạng giải bμi toán về chuyển động cùng nhau trong hệ thống nước  không khí với những điều kiện động lực học vμ động học tương ứng ở biên phân cách hai môi trường được cho trước Giả thiết rằng chuyển

động trong các môi trường tuân theo những định luật bảo toμn khối lượng vμ động lượng Định luật thứ nhất (định luật bảo toμn khối lượng) viết dưới dạng

0







) ( i

i

dt

, (1.1) trong đó i  mật độ không khí (i 1) hoặc nước (i 2), Ui  vận tốc di chuyển của môi trường

Nếu mật độ chất lỏng không đổi, phương trình (1.1) sẽ đơn giản hơn vμ có dạng

23 24

0 ) ( divUi 

(1.2) Phương trình bảo toμn động lượng viết cho các trục tọa độ

gắn chặt với Trái Đất quay có dạng

i

i

dt

U















 grad( ) (1.3)

Thμnh phần thứ nhất lμ lực quán tính, liên quan tới gia tốc

của khối lượng Thμnh phần thứ hai chứa vectơ quay  hay hai

lần tốc độ góc quay Trái Đất  lực Coriolis Giá trị tuyệt đối của

vectơ nμy  2/12 giờ  ,146104s1 Trong thμnh phần mô

tả hiệu ứng của trọng lực, vectơ g  0 ,0 , g} đặc trưng cho gia

tốc trọng trường g  9,81m/s2 Hướng của vectơ g quyết định

phương thẳng đứng địa phương

Thμnh phần Fi

ở vế phải phương trình (1.3) lμ tổng của tất cả các lực tác dụng lên thể tích đơn vị của chất lỏng, một trong

những lực đó lμ do nhớt phân tử Hầu như trong tất cả các

trường hợp khi có hiệu ứng nhớt, ta có thể xem nước lμ chất lỏng

không nén đẳng hướng, còn tenxơ ứng suất có thể được viết dưới

dạng

ij ij

P   2 , (1.4) trong đó ij  tenxơ đơn vị (ij 1 khi i  , nếu không thì j

0



ij ),  hệ số nhớt của chất lỏng 





























i

j j

i ij

x

U x

U e

2

1

, (1.5)

trong đó e ij tenxơ các tốc độ biến dạng Do đó, nếu thoả mãn điều

kiện không nén (1.2) thì lực ma sát trên một đơn vị thể tích bằng

ij

ij ij

ij

U x

e















 (1.6)

Ta chuyển sang xét mô hình hai lớp có gián đoạn mật độ  vμ

hệ số nhớt động học  tại mặt phân cách di động ( t r, )

















; / ,

; /

,

3

3 3

cm g 0 1

cm g 10 2 1

w a





























,

; ,

z

z

w

a

khi /s cm 10 0 1

khi /s cm 10 5 1

2 2

2 1

(1.7)

Để xác định ta sẽ xem chất lỏng phía dưới lμ bất động tại thời điểm ban đầu

, 0 ) 0 , , (r z t  

U 

0

0 



( t r, ) (1.8)

ở đây hệ tọa độ Đecac  r, t được chọn sao cho trục

3

x

z hướng thẳng đứng lên trên, còn mặt phẳng z0 trùng với mặt phân cách không nhiễu động (r{x,y})

Do các đại lượng  ,a a vμ  ,w w rất khác nhau, các phép

đơn giản hóa thông thường trong các phương trình (1.1)(1.3) khi z  vμ khi z sẽ khác nhau Vì ww / aa 100, nên

có thể cho rằng tại giai đoạn phát triển đầu tiên dòng không khí giống với lớp biên rối bình thường bên trên mặt tường cứng vμ

do đó dòng nμy lμ chuyển động có xoáy Đối với lớp biên nμy, những giả thiết thông thường của lý thuyết lớp biên logarit bên tường sẽ được coi lμ thoả mãn, vậy lμ ở cách xa mặt đệm di động

có thể gán cho lớp nμy một tốc độ ma sát xác định U* Với lớp chất lỏng phía dưới (nước) vấn đề sẽ khác Do có sự khác biệt lớn về các hệ số nhớt động lực học của nước vμ không khí, sự truyền xung bởi các ứng suất nhớt qua mặt phân cách 

tỏ ra tương đối kém hiệu quả

25 26

Ta biểu diễn trường vận tốc dưới dạng U V





grad , trong

đó  thế của vận tốc,  Vrot A()

hợp phần solenoit (xoáy)

rot(U) (A)





Khi đó div(U)()0

vμ (U) (V)





 , tức lực nhớt được xác định chỉ bởi hợp phần xoáy Thông thường nó chỉ có vai trò

trong các lớp biên mỏng gần mặt nước vμ gần đáy vμ có thể được

tính đến nhờ những hiệu chỉnh nhỏ thêm vμo xấp xỉ thế

)

(

grad

U

Trong phép xấp xỉ nμy chuyển động của nước có

thể xem lμ chuyển động thế vμ các phương trình động lực học

tại z có dạng

2





















































z z

g

P

0 2

2

























z , (1.10)

trong đó  vμ  các toán tử vi phân ngang

ở đây thế vận tốc  trong phương trình (1.10) được xác

định bằng cách giải bμi toán biên đối với phương trình Laplace

(1.10) với những điều kiện biên tại mặt tự do z(x,y,t):

 

1 2 1





















t

n (1.11)

vμ tại đáy zH ( y x, ):

0







n , (1.12)

trong đó /n đạo hμm theo phương pháp tuyến với mặt 

hoặc với đáy H

Tuy nhiên, ta lưu ý rằng quan niệm thông thường về tính có

thế của chuyển động trong lý thuyết sóng mặt cổ điển khi ứng dụng vμo mô tả sóng gió chỉ lμ một cách xấp xỉ khá thô Khác với mô tả chuyển động của nước, trong các phương trình chuyển

động của lớp biên khí quyển những thμnh phần nhớt vμ độ xoáy của dòng tỏ ra có giá trị rất đáng kể vμ không nên bỏ qua chúng Trong trường hợp nμy phải giải phương trình xuất phát (1.3), trong đó đối với bμi toán lớp biên người ta bỏ qua lực Coriolis Tốc độ dòng không khí U

được biểu diễn thμnh ba số hạng:

3 2

1 U U U





trong đó U1

giá trị tốc độ dòng trung bình, U2

độ chênh lệch với U1

gây bởi sóng trên mặt nước, U3 

những thăng giáng rối ngẫu nhiên của tốc độ, để xác định chúng phải sử dụng các phương trình khép kín [190]

Bμi toán về chuyển động cùng nhau của môi trường hai lớp nước – không khí được giải nhờ điều kiện biên động học vμ điều kiện liên tục của các ứng suất pháp tuyến tại z

 

1 2

  











t U

U a ; (1.13)

 



































1 2 1

w

trong đó ~10 cm3/s2  hệ số ứng suất mặt tại biên nước  không khí chuẩn hóa theo  Trong phương trình (1.14) giá trị P (tại a





z ) phải được xác định nhờ giải các phương trình đối với các trường thuỷ động lực ngẫu nhiên U vμ a P của lớp khí quyển a

sát mặt nước, còn P (tại w z ) có thể trực tiếp biểu diễn qua các đạo hμm của thế vận tốc (1.9)

27 28

Hệ phương trình đầy đủ (1.3), (1.9)(1.14) để xác định sự

tiến triển của mặt  với những điều kiện ban đầu của phương

trình (1.8) rất phức tạp cho việc phân tích Khác với lý thuyết

sóng thế cổ điển bình thường ở đó cho trước phân bố áp suất P a

trên mặt cần tìm  , trong lý thuyết sóng gió bản thân mặt  vμ

áp suất P lμ các hμm chưa biết vμ do đó bμi toán xác định mặt a

đòi hỏi giải đồng thời các phương trình (1.9) (1.12) đối với

những nhiễu động sóng khi z  vμ những phương trình khá

phức tạp của dòng chảy xoáy bên trên biên dao động sóng

1.2 Phép xấp xỉ quang hình học

Vấn đề mô tả toán học sóng gió còn bị phức tạp do đại

dương thực có những bất đồng nhất theo phương ngang vμ

phương thẳng đứng khác nhau, ảnh hưởng nhiều đến sự phân

bố vμ phát sinh các sóng trọng lực tại mặt Những bất đồng

nhất đặc trưng nhất trong số đó lμ: sự biến thiên không gian vμ

thời gian của các dòng chảy trung bình, chuyển động rối, còn đối

với những vùng đại dương với độ sâu nhỏ hơn kích thước ngang

đặc trưng của sóng thì địa hình đáy biến thiên cũng lại lμ một

bất đồng nhất nữa Vì vậy, việc xem xét ảnh hưởng của những

bất đồng nhất tới sự phân bố vμ phát sinh sóng đáng được quan

tâm

Trong cách dẫn lập tổng quát, bμi toán nμy rất phức tạp Vì

vậy, trước hết nên xét sự lan truyền các sóng gió tương đối

ngắn, bước sóng vμ chu kỳ nhỏ hơn nhiều so với quy mô biến

thiên không gian vμ thời gian đặc trưng của môi trường Nếu coi

các đại lượng nμy có giá trị cỡ 1100 km vμ 110 giờ, điều nμy

đặc trưng cho nhiều chuyển động ở đại dương, thì ta có thể xét

bμi toán nμy bằng phương pháp của quang hình học

Phương pháp quang hình học dựa trên giả thiết về sự tồn tại các sóng phẳng Các sóng phẳng có tính chất lμ hướng truyền, bước sóng vμ biên độ như nhau ở mọi nơi Dĩ nhiên, những sóng bất kỳ không có những tính chất nμy, nhưng chúng

có thể được xem lμ sóng phẳng trên từng khoảng không gian nhỏ Muốn vậy, cần sao cho biên độ sóng a , vectơ sóng k

vμ tần

số  gần như không đổi trên đoạn dμi cỡ bước sóng vμ trong khoảng thời gian cỡ chu kỳ sóng Những biến thiên của các tham số nμy liên quan với biến đổi của nền mμ trên đó sóng lan truyền Từ đó rút ra đòi hỏi về tính rất bé của những biến thiên các tham số trong phạm vi biến đổi nền Nền ở đây được hiểu lμ những dòng chảy quy mô lớn vμ những bất đồng nhất địa hình

đáy Thí dụ, nếu quy mô ngang đặc trưng biến thiên địa hình

đáy M1, quy mô không gian dòng chảy M2 vμ T quy mô  thời gian của dòng chảy, thì điều kiện cần để áp dụng các phương pháp quang hình học lμ phải thoả mãn các điều kiện:

M1k1 1 M2k11  T11 (1.15) Nếu thoả mãn những điều kiện nμy, có thể đưa ra một khái niệm gọi lμ các mặt sóng, tại mọi điểm trên đó pha của sóng tại thời điểm đang xét lμ như nhau Trên mỗi vùng không gian không lớn có thể coi hướng truyền sóng vuông góc với mặt sóng

Ta đưa ra khái niệm các đường tia sóng mμ các tiếp tuyến với chúng tại mỗi điểm trùng với hướng truyền sóng*

Trong quang hình học sự truyền sóng được xem như sự truyền các tia sóng, người ta bỏ qua bản chất sóng Phép xấp xỉ

hướng [86] Các sóng trọng lực mặt trên các dòng chảy bất đồng nhất thuộc loại những sóng tản mạn trong các môi trường bất đẳng hướng Sau nμy sẽ

đưa ra định nghĩa chính xác hơn về tia sóng cho trường hợp đó.

29 30

của quang hình học ứng với trường hợp tham số  rất bé (ở đây

} ) ( , ) ( , )

2 1 1







Ta sẽ dẫn ra những phương trình cơ bản của quang hình

học  đó lμ những phương trình mô tả sự truyền các tia sóng

Giả sử ( t r, ) lμ lượng lệch của mặt tự do khỏi mặt cân bằng

Trong sóng phẳng đơn sắc  có dạng

ψ i t r k

e



 (     )

(1.16) Trong trường hợp sóng không phải lμ sóng phẳng, nhưng

quang hình học vẫn được áp dụng, thì biên độ a lμ hμm của

tọa độ vμ thời gian aa ( t r, ) vμ pha có dạng phức tạp hơn so

với trong (1.16) Tuy nhiên, điều quan trọng lμ: pha lμ đại

lượng đủ lớn 1 do nó biến đổi một lượng 2 trên khoảng

một bước sóng

Biểu thức (1.16) mô tả những sóng hình sin cục bộ Trên

những khoảng không gian vμ thời gian nhỏ, pha  có thể khai

triển thμnh chuỗi tới số hạng bậc nhất

























t

t r

r

0   (1.17) Như vậy, pha  lμ hμm liên hệ với vectơ sóng cục bộ k vμ

tần số cục bộ :

) (









 grad

r

k  ; (1.18)

t











 (1.19)

Từ quan hệ (1.18) trực tiếp suy ra rằng

0 ) (k  rot , (1.20) tức trường các vectơ sóng cục bộ lμ không xoáy Từ (1.19) có thể

thu được

0 ) ( grad  







t

k

(1.21) Biểu thức nμy lμ phương trình động học bảo tồn mật độ sóng [190]

Trong môi trường sóng có thể tồn tại các sóng tự do không phải với giá trị tần số  vμ số sóng bất kỳ, mμ chỉ những sóng nμo có các tham số thoả mãn những điều kiện nhất định Trong trường hợp nμy, tần số lμ hμm của vectơ sóng F (k)



hμm tuỳ thuộc vμo kiểu chuyển động sóng đang xét vμ sự cân bằng các lực ứng với kiểu đó Tuy nhiên, trong môi trường bất

đồng nhất vμ không dừng, tần số  phụ thuộc không chỉ vμo vectơ k

mμ vμo tọa độ r vμ thời gian t Quan hệ tản mạn trong trường hợp các tham số môi trường biến đổi chậm sẽ mang tính chất cục bộ vμ được viết dưới dạng [86]

) , , (k r t

F  



 , kk( t r, ) (1.22) Nếu sử dụng các phương trình (1.18) vμ (1.19), quan hệ tản mạn cục bộ nμy có thể viết lại thμnh

0























r

F

t  , , (1.23) Tuy nhiên, về nội dung phương trình xác định pha (1.23) rất khác với quan hệ tản mạn (1.22), vì nó không đơn giản lμ tương quan đại số giữa tần số vμ vectơ sóng, mμ lμ phương trình

vi phân đạo hμm riêng đối với hμm chưa biết 

Từ phương trình (1.23) suy ra sự tương tự lý thú giữa quang hình học vμ cơ học phần tử chất Phương trình pha (1.23)

về hình dạng lμ phương trình Hamilton–Jacobi [121] mμ trong cơ học được giải so với tác động của phần tử D Tác động D liên

hệ với xung của phần tử P

vμ hμm Hamilton H

31 32

) grad(D

P  ,

t

D H







So sánh các công thức nμy với những biểu thức (1.18) vμ

(1.19), có thể thấy rằng: tác động của phần tử chất D trong cơ

học đóng vai trò pha  trong quang hình học, xung phần tử P

trong cơ học đóng vai trò vectơ sóng k

, còn hμm Hamilton H  vai trò tần số  Điều khẳng định ngược lại cũng đúng [121]

Như vậy, ta đã lμm sáng tỏ sự tương tự giữa diễn biến của

phần tử chất vμ chùm sóng, tức sóng gồm tập các sóng đơn sắc

với những tần số nằm trong khoảng bé nμo đó vμ chiếm vùng

không gian hữu hạn Xung của phần tử tương ứng vectơ sóng,

còn năng lượng  tần số của chùm sóng

Các đặc trưng của phương trình (1.9) được cho bởi hệ các

phương trình vi phân thường

k

F dt

r

d









 ;

r

F dt

k d











 ;

t

F dt

d









(1.24)

Các phương trình (1.24) lμ những phương trình Hamilton

Nghiệm {r(t),t} của các phương trình (1.24) quyết định các tia

sóng không gian  thời gian trong không gian ba chiều {x,y,t}

Các tia r r(t) lμ những hình chiếu của các tia không gian 

thời gian lên không gian tọa độ r{ y x, }

Từ phương trình (1.24) trực tiếp suy ra rằng chùm sóng lan

truyền với tốc độ nhóm

g

C k d

 



(1.25) Phương trình thứ hai trong (1.24) đặc trưng cho sự biến đổi

của vectơ sóng dọc theo tia, còn phương trình thứ ba trong

(1.24) mô tả sự biến đổi tần số, từ đó suy ra rằng trong môi

trường dừng, tức khi quan hệ tản mạn (1.22) hoμn toμn không phụ thuộc thời gian, thì tần số giữ nguyên không đổi dọc theo tia, tức const

Tiếp tục áp dụng phép tương tự có thể nhận được biểu thức cho pha sóng  dọc theo đường đặc trưng, sử dụng định nghĩa tác động D như lμ tích phân của hμm Lagrange L

Hdt P

H P D dt L D D

t

t

t

t













0

0   (1.26)

Như vậy đối với pha sóng ta có biểu thức

k C d t

t

t g

0

0  





  , (1.27) trong đó 0 giá trị ban đầu của pha

Trong môi trường không tản mạn, khi tốc độ nhóm Cg trùng với tốc độ pha C k/ k2 số hạng thứ hai trong biểu thức (1.27) bằng không Trong trường hợp nμy trên các tia không gian  thời gian pha lμ đại lượng không đổi 0 Trong môi trường tản mạn, xuất hiện một hiện tượng gọi lμ sự trễ nhóm [86] do số hạng thứ hai trong biểu thức (1.27) quyết định Trễ nhóm có nghĩa sự dịch chuyển tốc độ truyền chùm sóng so với tốc độ pha

Nếu bản thân môi trường truyền sóng chuyển động với tốc

độ V nμo đó, vμ tốc độ biến đổi đủ chậm, thì tất cả những nhận xét trên đây vẫn đúng Có thể tách ra giá trị của tốc độ V

trong các phương trình như sau Giả sử r vectơ không gian trong hệ  quy chiếu, trong đó môi trường chuyển động, r1 vectơ cục bộ trong hệ tọa độ chuyển động cùng với môi trường, khi đó

t V r

r1  



33 34

Chuyển sang biến mới r phương trình Hamilton1  Jacobi để

xác định pha (1.23) được viết dưới dạng

1   







 / t F / r ,r ,t ,

trong đó hμm Hamilton F liên hệ với hμm F (1.22) bởi quan hệ 1

r V F

1  / Tốc độ nhóm trong hệ tọa độ di động c được biểu diễn qua g

tốc độ nhóm của hệ tọa độ không di động bằng biểu thức

V

C

cg g 



Như vậy để chuyển từ hệ tọa độ di động sang hệ không di động

vμ ngược lại chỉ cần sử dụng những công thức đã dẫn trên đây

1.3 Nguyên tắc bảo tồn tác động sóng

Những phương trình động học nhận được ở mục trước trên

cơ sở phương pháp quang hình học, cùng với những điều kiện

ban đầu vμ điều kiện biên tương ứng quy định trường không

xoáy của vectơ sóng k

trong không gian vμ thời gian Để tìm sự phân bố của những đặc trưng động lực học của sóng, như mật

độ năng lượng, phải có những dữ liệu về động lực của sóng vμ

tương tác của sóng với môi trường sóng Cũng như trước đây,

nếu giả thiết rằng bước sóng vμ chu kỳ lμ nhỏ so với những quy

mô biến đổi của các tham số môi trường, thì có thể dùng phép

xấp xỉ quang hình học để xem xét sự tiến triển của biên độ các

sóng trọng lực lan truyền trên mặt đại dương trong bối cảnh tồn

tại các dòng chảy bất đồng nhất không gian vμ địa hình đáy

biến đổi Ta nhận thấy rằng bμi toán tương tự đã được xét đối

với những sóng nội vμ sóng mặt ngắn trong các công trình [25,

26, 283, 369], ở đấy xét tới cả bất đồng nhất của trường mật độ

Ta sẽ trình bμy nghiệm của bμi toán thủy động lực về sự lan

truyền các sóng mặt trong điều kiện dòng chảy vμ độ sâu bất

đồng nhất theo không gian Khác với cách phát biểu bμi toán tổng quát hơn như trong [25], ta sẽ không chú ý tới sự bất đồng nhất của trường mật độ

Giả sử đại dương lμ chất lỏng nặng đồng nhất không nén, các phương trình thủy động lực học được viết dưới dạng (1.1)(1.3) Bỏ qua tác dụng của lực Coriolis Vectơ vận tốc U biểu diễn thμnh các thμnh phần theo phương ngang V

vμ thẳng

đứng W Các điều kiện biên tại mặt tự do z( t r, ) có dạng

0



P a







t

, (1.28) trong đó P a  áp suất khí quyển

Điều kiện tại đáy zH ( t r, )

  0

(1.29)

Ta sẽ cho rằng tham số bé  đặc trưng cho sự biến thiên chậm của chuyển động nền theo các tọa độ ngang vμ thời gian, theo tọa độ thẳng đứng ta không đặt ra giả thiết về sự biến đổi chậm Ta biểu diễn tất cả các trường thủy động lực có mặt trong những phương trình thuỷ động dưới dạng

r,z,t r e,z,t e a r,z,t





trong đó ~ được hiểu lμ một hμm thủy động lực bất kỳ; 0  trường "nền" trung bình;  nhiễu động lan truyền trên nền; 

r

re  vμ t  t 

e các tọa độ ngang vμ thời gian biến đổi chậm;



a tham số biên độ bé Vì V0 V0(re,z,t e), nên từ phương trình liên tục (1.2) rút ra W0 V0

 Giả thiết rằng mặt đáy )

(r e H

H   cũng biến đổi chậm

Thế biểu thức (1.30) vμo các phương trình (1.1)(1.3), kết quả lμ ta có thể tách ra được những đại lượng liên quan với chuyển động "nền"

35 36

P V

V t

V

r e

























; (1.31) 0

0 

V ; (1.32)

z

P









 (1.33) Những điều kiện biên của hệ (1.31)(1.33) trùng lặp với các

biểu thức (1.28), (1.29) nếu gán chỉ số 0 cho tất cả các đại lượng

Nghiệm của các phương trình đối với nhiễu động  được tìm

dưới dạng khai triển

, , ,

i e

e e



















Thế biểu thức khai triển (1.34) vμo các phương trình nhiễu

động vμ cho các đại lượng bậc a trong khai triển (1.30) bằng

nhau, có thể nhận được các phương trình vμ điều kiện biên cho



1

W vận tốc thẳng đứng của nhiễu động bậc nhất (sau đây ta

bỏ qua không viết chỉ số (1)):

0

2 

















W ; (1.35)

W k g

W

3

2



















 khi z0; W 0 khi zH re , (1.36)

trong đó ( V k, )

tần số Dopler phụ thuộc vμo z Dấu

phảy trên chỉ đạo hμm theo z Bμi toán biên (1.35), (1.36) sẽ

cho một tập hợp những quan hệ tản mạn đối với những hμi dao

động (mode) khác nhau

k r t

F , e,



 (1.37)

vμ những hμm riêng WW(re,z,t) phụ thuộc tham số vμo

e

r vμ

e

t Những giá trị khác đặc trưng cho sóng được biểu thị qua W

bằng những công thức:

,

;



































































W i W

k

i P

z

V W i W k

k i V

2

0 2







(1.38)

Trong các phương trình cơ bản vμ các điều kiện biên nếu chú ý tới các biểu thức (1.30), (1.34) vμ tách các thμnh phần bậc



a , sau một số biến đổi khá phức tạp ta sẽ nhận được phương

trình vμ những điều kiện biên đối với W : 2

 W k W Q









 





2

2

2 



;

1 2

2

2 g k W Q z

W

























 khi z0; (1.39)

2 V H Q

W    khi zH, trong đó Q ,Q1 vμ Q2  những hμm được biểu diễn qua  vμ 0

1

 (dạng tường minh của những hμm nμy được cho trong công trình [25]) Để tồn tại nghiệm của bμi toán biên bất đồng nhất (1.39) cần sao cho các hμm Q,Q1 Q2 trực giao với những hμm riêng của bμi toán biên đồng nhất tương ứng (điều kiện giải

được) Điều nμy dẫn tới điều kiện



















0

0 2 2 1

2 2

H

H z

k

W i Q

k

iW dz k

iW

Nếu tính tới dạng tường minh của các hμm Q, , Q1 Q2 sau nhiều biến đổi phức tạp, điều kiện (1.40) có thể dẫn tới dạng

định luật bảo toμn bất biến đoạn nhiệt

0









 (C A)

t

A

g r



 , (1.41) trong đó

37 38

































 



 0

0

2 2 2 3 2

2 2

2 2

H

z

W k

g z d W k

0

0

2 2 2 2 0 2 2 2

2 3 0

2 2 2 0 2 2 2

2 0

2

1 2

2

1 2

















































 



































 



 

z

H g

W k

k g z

V k k

g V

z d W k

k z

V k k

V A

C















(1.43)

Từ các tính chất của bμi toán biên (1.35) có thể chỉ ra rằng

tỷ số của các biểu thức (1.42) vμ (1.43) thực sự lμ vận tốc nhóm

k

F

Cg 





 /

Lưu ý rằng định luật bảo toμn bất biến đoạn nhiệt (1.41)

đúng không phải đối với các trường vận tốc thủy động lực bất

kỳ, mμ chỉ đối với những trường được mô tả bởi các phương

trình thủy động lực học (1.1)(1.3)

Ta xét trường hợp riêng: khi tốc độ của dòng chảy trung

bình không phụ thuộc vμo tọa độ thẳng đứng z Từ những

tương quan (1.35)(1.36) dễ dμng nhận được )2 gkth(kH , khi

đó tốc độ di chuyển bất biến đoạn nhiệt Cg

sẽ bằng

 

 



































kH

kH k

kH g k

k V k V

C g

2 sh

2 1 th

2

1 0

0











(1.44)

Vμ từ những biểu thức (1.41)(1.44) rút ra



E

A , (1.45) trong đó E mật độ năng lượng sóng 

Biểu thức (1.45) được biết rộng rãi trong văn liệu với tư

cách lμ mật độ tác động sóng Định luật bảo toμn mật độ tác

động sóng (1.41) với (1.44) lμ biểu thức đơn giản vμ tổng quát

nhất trong động lực học sóng Lần đầu tiên định luật nμy được thiết lập dựa trên nguyên lý biến phân của J Wisem [188, 385]

vμ được phát triển trong các công trình của F Breterton vμ C Garrett [220, 221], A G Voronovich [25, 26] Lưu ý rằng phương trình bảo toμn bất biến đoạn nhiệt (1.41)(1.43) lμ định luật có tính chất tổng quát hơn so với nguyên lý bảo toμn tác

động sóng, vì nó tính tới sự bất đồng nhất thẳng đứng của vận tốc dòng chảy trung bình

Phương trình (1.41) xác nhận một thực tế rằng tốc độ biến

đổi cục bộ của tác động sóng cân bằng với phân kỳ của dòng tác

động  một đại lượng di chuyển với tốc độ nhóm Cg

của môi trường chuyển động tương đối Nếu tốc độ trung bình V

không giữ nguyên không đổi thì theo biểu thức (1.24) vectơ sóng k

vμ tần số riêng  có thể biến thiên trong không gian vμ thời gian, thμnh thử trong khi bảo toμn tác động sóng A mật độ năng

lượng sóng không được bảo tồn Giữa sóng vμ dòng chảy trung bình diễn ra sự trao đổi năng lượng

Hệ quả quan trọng rút ra từ nghiệm bμi toán lμ ở chỗ những đạc trưng của phương trình (1.41) trùng với các phương trình (1.24), mμ những phương trình nμy về phần mình lại lμ những đặc trưng của phương trình pha (1.23)

Ta xét bμi toán với những điều kiện ban đầu Để giải bμi toán nμy phải xác định mặt xuất phát Q~ trên đó cho trước những giá trị ban đầu Ta viết các phương trình của mặt Q~ dưới dạng tham số rr0(,), trong đó  vμ  những tọa độ cong trên mặt Q~ Giả sử tại mặt Q~ khi  0 (đại lượng  lμ tham số biến đổi dọc theo tia, thí dụ: thời gian, tức  t) cho trước trường sóng 0(,)

xác định bởi giá trị ban đầu của pha sóng

39 40

)

,

(

~   

Q vμ biên độ a ~ a0(,)

Q Nếu sự truyền sóng xảy

ra dọc theo tia thì điểm phát sinh tia r(0)r0(,) trên mặt Q~

sẽ lμ điều kiện ban đầu tự nhiên đối với quỹ đạo tia sóng

)

(

 r

r  Nghiệm của các phương trình vi phân của tia (1.24)

thoả mãn những điều kiện ban đầu có thể biểu diễn dưới dạng

)

,

,

(  

 r

r  , k  k(,,) ở đây các tham số , "đánh số" các 

tia sóng đi khỏi mặt Q~, tham số  chỉ vị trí của điểm trên tia

xác định Tập hợp các đại lượng  ,,  gọi lμ những tọa độ tia

Trong trường hợp tổng quát những tọa độ đó không trực giao

Phương trình r r(,,) xác định một họ tia sinh ra bởi

phân bố cho trước của trường trên mặt xuất phát r(0)r0(,)

Phương trình họ tia mô tả sự liên hệ của các tọa độ tia với các

tọa độ Đêcac Nếu Jacobian

) , , (

) , , (











 x y z

miền đang xét, thì phương trình r r(,,) có thể giải đơn trị

đối với các tọa độ tia  ,,  tương ứng với điểm quan trắc đang

xét (r), (r), (r)

Những kết quả dẫn trong chương nμy cho phép viết nghiệm

bμi toán với những điều kiện ban đầu về sự truyền sóng trên

mặt nước trong khi có dòng chảy bất đồng nhất phương ngang

vμ đáy không bằng phẳng dưới dạng như sau:

    

r t a J J 1 2e i

2 2 1 1 0

/ /

,

 , (1.46) trong đó pha sóng  theo (1.26) được xác định theo các điều

kiện ban đầu:

r t r t k C g d t

0 0







Khác với trường hợp cổ điển [86], trong biểu thức (1.46)

xuất hiện thừa số bổ sung J2 0/ liên quan với ảnh hưởng của các dòng chảy bất đồng nhất không gian, vì ta đã nhận được nghiệm của phương trình bảo toμn mật độ tác động sóng (1.41) chứ không phải năng lượng

Một hệ quả quan trọng của nghiệm nhận được (1.46) lμ dọc theo các đường đặc trưng thoả mãn đẳng thức [86]

const

dl

A

Cg

, (1.47) trong đó dl khoảng cách giữa hai hình chiếu vô cùng gần nhau của các đặc trưng trên không gian tọa độ {x,y} Từ phương trình (1.24) suy ra rằng tương quan (1.47) thiết lập định luật về sự không đổi của dòng tác động sóng dọc theo ống tia sóng Ta cũng lưu ý một hệ quả đơn giản nữa rút ra từ (1.24) vμ (1.47) Nếu các tính chất của môi trường không phụ thuộc thời gian t , thì tần số  giữ nguyên Ngoμi ra, trong trường hợp

"không gian hình trụ", tức khi các tính chất của môi trường sóng chỉ phụ thuộc vμo một tọa độ, giả sử phụ thuộc vμo y , thì

dọc theo đường đặc trưng cũng giữ nguyên độ lớn của thμnh phần vectơ sóng k bản thân các đường đặc trưng lμ những x

đường song song (hình 1.1) Tương quan (1.47) có thể viết dưới dạng rất đơn giản: C g y Aconst Những hệ thức kiểu nμy được

sử dụng khi giải quyết rất nhiều bμi toán, thí dụ, khi mô tả sự truyền sóng trên nước nông, khi độ sâu chỉ biến đổi dọc theo một hướng, tức khi các đường đẳng sâu song song hay khi có mặt các dòng chảy gián đoạn phương ngang Về sau sẽ xét một loạt các bμi toán tương tự như vậy

Những kết quả đã dẫn trong chương nμy cho phép xem xét một cách thống nhất sự truyền sóng trong đại dương với những