Kỹ thuật và quản lý hệ thống nguồn nước ( Đại học Quốc gia Hà Nội ) - Chương 5 ppt

CHƯƠNG 5 Phân tích tính bất định và độ tin cậy của hệ thống nguồn nước Điều đầu tiên trong thảo luận rủi ro và độ tin cậy cho thiết kế hệ thống nguồn nước là nhận dạng tính bất định

CHƯƠNG

5

Phân tích tính bất định

và độ tin cậy của

hệ thống nguồn nước

Điều đầu tiên trong thảo luận rủi ro và độ tin cậy cho thiết kế hệ thống nguồn nước là nhận dạng tính bất định và các thành phần liên quan khác như xác suất và tính ngẫu nhiên Tính bất định có thể được định nghĩa một cách

đơn giản là sự xuất hiện của các biến cố nằm ngoài sự kiểm soát của chúng ta Tính bất định của một hệ thống nguồn nước là một đặc trưng không thể xác

định và nằm ngoài những kiểm soát của chúng ta Trong việc thiết kế các hệ thống nguồn nước, các quyết định phải được đưa ra đồng thời với sự tồn tại của nhiều loại bất định khác nhau

5.1 Tổng quan về lý thuyết xác suất

Trong mục này chúng tôi trình bày tóm tắt về một số nguyên lý và lý thuyết cơ bản trong xác suất thống kê có ích cho đánh giá độ tin cậy của các

hệ thống nguồn nước Các ước lượng bằng số về độ tin cậy cho các hệ thống nguồn nước đòi hỏi sử dụng các mô hình xác suất thống kê

5.1.1 Các thuật ngữ

Trong lý thuyết xác suất, một phép thử nói chung biểu thị quá trình quan trắc Toàn bộ các kết quả có thể của một phép thử được gọi là không gian mẫu Một biến cố là một tập hợp con nào đó của các kết quả nằm trong không

gian mẫu Do đó, một biến cố có thể là một tập rỗng , hoặc tập con của không gian mẫu, hoặc chính bằng không gian mẫu Vì các biến cố là các tập

hợp, các toán tử thích hợp được sử dụng như phép hợp, phép giao và phần

bù Sự xuất hiện của biến cố A hay biến cố B (nghĩa là hợp của A và B) được

ký hiệu là A  B còn sự cùng xuất hiện của biến cố A và B (nghĩa là phép giao của A và B) được ký hiệu là A  B hoặc (A, B) Trong chương này, phần bù của biến cố A được ký hiệu là A’ Nếu hai biến cố A và B không có các phần tử

chung thì chúng được gọi là xung khắc từng đôi hay rời nhau và được biểu

thị bằng (A, B) = Nếu biến cố A mà sự xuất hiện của nó phụ thuộc vào sự

xuất hiện của biến cố B thì đây là một biến cố có điều kiện ký hiệu là A B Xác suất là một đại lương số đo khả năng có thể xảy ra của sự xuất hiện

một biến cố Nói chung, xác suất xuất hiện một biến cố A có thể được đánh

giá theo hai cách: (1) các xác suất khách quan hay xác suất sau dựa trên các quan trắc sự xảy ra của biến cố; (2) các xác suất chủ quan hay xác suất trước dựa trên cơ sở của kinh nghiệm và sự phán đoán

5.1.2 Các quy tắc tính xác suất

Ba tiên đề cơ bản của xác suất có thể hiểu bằng trực giác là: (i) P(A)0 (tính không âm); (ii) P(S) =1 (tính toàn phần) với S là không gian mẫu; (iii) nếu A và B xung khắc nhau thì P( A  B )=P(A) + P(B) Từ hai tiên đề đầu tiên,

giá trị của xác suất phải nằm giữa 0 và 1 Mở rộng tiên đề thứ 3 cho một số các biến cố xung khắc từng đôi bất kỳ là:

1 1

i i

1

1 2

, , ,

Nếu hai biến cố được coi là độc lập nhau, sự xuất hiện của một biến cố

này không ảnh hưởng đến sự xuất hiện của biến cố kia Do đó, các biến cố A

và B là độc lập khi và chỉ khi P(A, B) = P(A)P(B) Để tổng quát hóa nguyên lý

này, xác suất xuất hiện đồng thời k biến cố độc lập, cũng được xem như là xác suất đồng thời, là

 

1 1

i i

Cần chú ý rằng tính xung khắc từng đôi của hai biến cố nói chung không

đồng nghĩa với tính độc lập và ngược lại

Xét lại biến cố có điều kiện được đề cập trước đó, xác suất mà một biến cố

có điều kiện xuất hiện được gọi là xác suất có điều kiện Xác suất có điều kiện

xác suất của sự xảy ra đồng thời k biến cố độc lập có thể được tính bằng:

niệm hợp của tất cả các biến cố sơ cấp trong một một không gian mẫu Xác

suất xảy ra biến cố A, không quan tâm tới nguyên nhân của các đặc trưng, có

Định lý xác suất toàn phần , phát biểu rằng sự xuất hiện của biến cố A có thể bị ảnh hưởng bởi một số các đặc trưng C i , i = 1,2, k Trong một số trường

hợp P( A C i ) được biết và ta muốn xác định xác suất mà một đặc trưng riêng C i

có trách nhiệm cho sự xảy ra của biến cố A, đó là, P( C A i ) được yêu cầu Dựa

vào định nghĩa của xác suất có điều kiện, Phương trình (5.1.5), và định lý xác

thể được sử dụng để cập nhật và sửa lại xác suất đã tính khi có thêm thông tin

5.1.3 Các biến ngẫu nhiên và các phân phối của chúng

Trong phân tích các đặc trưng thống kê hoạt động của hệ thống nguồn nước, nhiều biến cố quan tâm có thể được xác định bằng các biến ngẫu nhiên

có liên quan Một biến ngẫu nhiên là một hàm giá trị thực xác định trong không gian mẫu Một quy ước khá chuẩn trong tài liệu thống kê là biến ngẫu nhiên được biểu thị bằng một ký tự viết hoa còn ký tự viết thường biểu thị giá

trị thực của biến ngẫu nhiên tương ứng Theo quy ước này, ví dụ, Q có thể

được sử dụng để biểu thị cường độ dòng chảy, một biến ngẫu nhiên, còn q

biểu thị giá trị có thể của Q Một biến ngẫu nhiên có thể là liên tục hoặc rời

rạc Có nhiều ví dụ về các biến ngẫu nhiên rời rạc trong kỹ thuật hệ thống nguồn nước Mục này chỉ xét các biến ngẫu nhiên đơn chiều Các trường hợp biến ngẫu nhiên đa chiều có thể xem ở các tài liệu khác (Blank, 1980; Devore, 1987)

Hàm phân phối lũy tích (CDF-Cumulative Distribution Function), F(x), hay đơn giản là hàm phân phối (DF) của một biến ngẫu nhiên X được định

nghĩa là:

F(x)=P(X x) (5.1.9) F(x) là lũy tích vì đối số hay giá trị thực của nó, x, tăng dần Hơn nữa, khi

x dần tới biên dưới của biến ngẫu nhiên X giá trị của F(x) tiến tới 0; mặt khác, giá trị của F(x) tiến tới 1 khi đối số của nó dần tới biên trên của biến ngẫu nhiên X

Với một biến ngẫu nhiên rời rạc X, hàm khối lượng xác suất Probability Mass Function) của X được định nghĩa là:

(PMF-p(x) = P(X=x) (5.1.10) trong đó p(x) là khối lượng xác suất, là xác suất tại một điểm rời rạc X = x

điều kiện: (1) p(x i )0 với tất cả xi và (2) tất cả ip( x ) 1 i  Hàm khối lượng xác

suất của một biến ngẫu nhiên rời rạc và hàm phân phối lũy tích của nó được chỉ ra trong hình 5.1.2a và b Hàm phân phối lũy tích của một biến ngẫu nhiên

f  (5.1.11)

trong đó F(x) là hàm phân phối lũy tích của X như đã được xác định trong Phương trình 5.1.9 Hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tuc f(x)

là độ dốc của hàm phân phối lũy tích Biểu diễn bằng đồ thị của một hàm mật

độ xác suất và hàm phân phối lũy tích cho các biến ngẫu nhiên liên tục được chỉ ra trong hình 5.1.2c và d Tương tự như trường hợp rời rạc, hàm mật độ của

một biến ngẫu nhiên liên tục phải thỏa mãn hai điều kiện: (1) f(x)  0 và (2)

Cho trước hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục X, hay

hàm khối lượng xác suất của một biến ngẫu nhiên rời rạc, hàm phân phối lũy tích của nó có thể tính được sử dụng:

i

x p x

F

1

) ( )

Hình 5.1.2

Hàm khối lượng xác suất và phân phối lũy tích của các biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục

Xác suất cho một biến ngẫu nhiên liên tục để lấy một giá trị riêng biệt là bằng 0 còn trong trường hợp biến ngẫu nhiên rời rạc thì không như vậy

5.1.4 Các đặc trưng thống kê của các biến ngẫu nhiên

Trong thống kế thuật ngữ tổng thể biểu thị sự tập hợp đầy đủ tất cả các giá trị đại diện cho một quá trình ngẫu nhiên cụ thể Một mẫu là một tập con bất

kỳ của tổng thể

Các ký hiệu thường được sử dụng để mô tả các đặc trưng thống kê của một biến ngẫu nhiên có thể được phân thành 3 loại: (1) các ký hiệu biểu thị xu hướng trung tâm; (2) các ký hiệu biểu thị sự phân tán quanh một giá trị trung tâm; và (3) các ký hiệu biểu thị tính bất đối xứng của một phân phối Các ký hiệu thường được sử dụng trong ba loại này có liên quan đến các momen

thống kê của biến ngẫu nhiên Giá trị kỳ vọng của (X-x0)r là momen thứ r của biến ngẫu nhiên X xung quanh điểm X = x 0, Về mặt toán học, giá trị kỳ vọng, E[(X-x0)r], trong trường hợp liên tục được xác định bằng:

i r

i x p x x

x X E

1

0

Trong đó E[ ] là toán tử kỳ vọng thống kê Trong thực tế ba momen đầu

tiên được sử dụng để diễn tả xu hướng trung tâm, tính biến thiên, và tính bất

đối xứng của sự phân phối một biến ngẫu nhiên Không mất tính tổng quát từ nay về sau chỉ xét các biến ngẫu nhiên liên tục

Với sự đánh giá xu hướng trung tâm, kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên X thường được định nghĩa là

 X  xf x dx

E  ( ) (5.1.14)

Kỳ vọng này được xem là giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên Các

ký hiệu hay các đặc trưng thống kê khác cho xu hướng trung tâm của một biến ngẫu nhiên được liệt kê trong Bảng 5.1.1

Một số đặc trưng toán tử hữu ích của kỳ vọng:

1 Kỳ vọng của tổng các biến ngẫu nhiên bằng tổng kỳ vọng của các biến ngẫu nhiên riêng lẻ

i i

a E

1 1

i

X E

1 1

momen trung tâm và momen gốc bậc r bất kỳ là

i r i i r i

i r i i r

 là trung bình cho lũy thừa thứ i,

'

i

r 

 là momen gốc bậc r-i Phương trình (5.1.16a) được sử dụng để tính các

momen trung tâm từ momen gốc, còn phương trình (5.1.16b) được sử dụng để tính momen gốc từ các momen trung tâm

X n

1 1

1

2 1

i X X n

S

X S

3

2

1 n S n

X X n G

Y Y X

X

Y Y X X R

i i

i i

Với việc đo lường tính biến động, phương sai của một biến ngẫu nhiên liên tục được định nghĩa là:

 X  E X  x   f x dx

là một momen trung tâm bậc hai Căn bậc hai của phương sai  2 được gọi là

độ lệch chuẩn, , thường được sử dụng khi đánh giá mức độ của tính bất định gắn liền với một biến ngẫu nhiên Một độ lệch chuẩn nhỏ hơn biểu thị một biến ngẫu nhiên với tính bất định nhỏ hơn Độ lệch chuẩn có đơn vị giống như

đơn vị của biến ngẫu nhiên Để so sánh mức độ của tính bất định của hai biến ngẫu nhiên đơn vị khác nhau, một đại lượng đo lường vô hướng    / ,

được gọi là hệ số biến thiên, là hữu dụng Sau đây là một số đặc trưng quan trọng của phương sai:

Var[aX] = a 2 Var[X] (5.1.18c) Nếu tất cả các biến ngẫu nhiên , X, là độc lập thì

i i

a Var

1

2 2 1

trong đó ai là một hằng số và i là độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X i

Để đo đạc độ bất đối xứng của hàm phân phối xác suất của một biến ngẫu

Hệ số lệch là vô hướng và liên hệ với momen trung tâm bậc 3 Dấu của hệ

số lệch ngầm chỉ phạm vi của sự đối xứng của phân phối xác suất quanh giá trị trung bình Nếu   0, phân phối là đối xứng qua giá trị trung bình;   0, phân phối lệch về phía bên phải;   0, phân phối lệch về bên trái hình 5.1.3

được dùng để minh họa về một phân phối xác suất với các hệ số lệch khác nhau và vị trí tương đối của giá trị trung bình , trung vị xmd, và đỉnh xmo

được chỉ ra trong hình 5.1.3 Đỉnh, xmo, là giá trị của biến ngẫu nhiên tại đỉnh của hàm mật độ xác suất

Các momen thống kê bậc cao hơn 3 ít khi được sử dụng trong ứng dụng thực tế bởi vì độ chính xác của chúng giảm nhanh khi được đánh giá từ một kích thước mẫu giới hạn Các phương trình được sử dụng để tính ước lượng mẫu của các momen thống kê trên được cho trong Bảng 5.1.1

Khi xét hai biến ngẫu nhiên phụ thuộc, mức độ phụ thuộc tuyến tính giữa chúng có thể được đánh giá bằng hệ số tương quan (X, Y) được tính bằng:

X Y CovX Y XY

 ,  , / (5.1.20)

trong đó Cov[X, Y] là hiệp phương sai giữa các biến ngẫu nhiên X và Y Như

một ví dụ hệ số tương quan xác định tính hợp lý của giả thiết rằng các giá trị

của x và y vẽ nên một đường thẳng Hiệp phương sai được định nghĩa là giá trị

i

x N Y X Cov

1

1

Với N cặp số liệu Hiệp phương sai là một đại lượng đo lường về xu thế

cho hai biến cùng thay đổi với nhau Đại lượng đo lường này có thể bằng 0,

âm, hay dương tùy vào các biến không tương quan, các biến tương quan âm, hay các biến tương quan dương tương ứng

Hệ số tương quan phải lớn hơn hoặc bằng -1 và nhỏ hơn hoặc bằng +1, tức

là,  1 X,Y  1 Trường hợp mà X,Y  1 có nghĩa là có một quan hệ dương hoàn toàn giữa hai biến (tức là tất cả các điểm đều nằm trên một đường thẳng) còn X,Y  1 là tương quan hoàn toàn nghịch biến (tức là một biến tăng còn một biến giảm) Khi X,Y 0 là không có tương quan tuyến tính

hình 5.1.4 minh họa các giá trị của sự tương quan Nếu hai biến ngẫu nhiên X

và Y là độc lập, thì X,YCovX,Y 0 Tuy nhiên điều ngược lại không

đúng (Xem hình 5.1.4d) Xét sự tương quan giữa nhiều biến ngẫu nhiên liên qua, Phương trình 5.1.18d có thể được tổng quát chuyển thành

j i j i i

i k

i i

Một số ví dụ về hệ số tương quan (trích từ Harr, 1987)

Ví dụ 5.1.1 Xét cân bằng khối lượng của một hồ chứa nước mặt qua một thời đoạn một tháng trong đó

ST m+1 = ST m + PP m + QF m - EV m - R m

trong đó ST m = thể tích lượng trữ ban đầu trong tháng m, PP m = lượng giáng thủy trên mặt hồ trong

tháng m QF m = dòng chảy tới hồ trong tháng m EV m = tổng lượng bốc hơi tháng trong tháng m và R m =

lượng xả ra hàng tháng từ hồ được điều chỉnh cho các mục đích khác nhau Tại thời điểm bắt đầu của tháng, thể tích lượng trữ ban đầu và lượng xả ra được biết trước Hơn nữa, tổng lượng giáng thủy hàng tháng, dòng mặt chảy vào, và lượng bốc hơi là bất định và được giả thiết là các biến ngẫu nhiên độc lập

Các độ lệch chuẩn và độ lệch trung bình của PP m , QF m và EV m từ số liệu lịch sử của tháng m được đánh giá băng:

E(PP m ) = 1 KAF, E(QF m ) = 8 KAF, E(EV m ) = 3KAF,

(PP m ) = 0,5 KAF ,  (QF m ) = 2 KAF ,  (EV m ) = 1 KAF

trong đó KAF là 1000 mẫu feet Xác định độ lệch chuẩn và độ lệch trung bình của thể tích lượng trữ trong hồ vào cuối tháng nếu thể tích lượng trữ ban đầu là 20 KAF và lượng xả thiết kế cho tháng đó là 10 KAF

Lời giải. Từ Phương trình (5.1.15a), giá trị trung bình của thể tích lượng trữ cuối tháng trong hồ có thể

được xác định bằng:

E(ST m+1 ) = ST m + E(PP m ) +E(QF m ) - R m

= 20 +1 + 8 -3 - 10 =16 KAF

từ phương trình 5.1.18c, có thể nhận được phương sai của thể tích lượng trữ cuối tháng trong hồ bằng:

Var(ST m+1 ) = Var(PP m ) + Var(QF m ) + Var(EV m )

Lời giải. Theo Phương trình 5.1.22, phương sai của thể tích lượng trữ trong hồ chứa tại thời điểm cuối

tháng có thể được tính bằng:

Var(ST m+1 ) = Var(PP m ) + Var(QF m ) + Var(EV m ) + 2 Cov(PP m , QF m )

2 Cov(PPm, EVm) - 2 Cov(QFm, EVm)

=Var(PPm) + Var(QFm) + Var(EVm) +2(PPm, QFm) (PPm)(QFm)

- 2(PPm, EVm) (PPm) (EVm) - 2(QFm, EVm)(QFm)(EVm)

5.2 Những phân phối xác suất thường gặp

Trong phân tích độ tin cậy của các hệ thống nguồn nước, một số phân phối xác suất thường được sử dụng Dựa trên đặc tính của biến ngẫu nhiên, các phân phối xác suất có thể được phân loại thành phân phối rời rạc và phân phối

liên tục Hai loại phân phối rời rạc thường được sử dụng trong phân tích độ tin cậy là: phân phối nhị thức và phân phối Poisson Với các biến ngẫu nhiên liên tục, có một số hàm mật độ phân phối thường được sử dụng trong phân tích độ tin cậy Đó là các phân phối chuẩn, lô ga rít chuẩn, Gamma, Weibull, và phân phối hàm mũ Các phân phối khác như phân phối beta và các phân phối cực hạn đôi khi cũng được sử dụng

5.2.1 Phân phối nhị thức

Phân phối nhị thức có thể áp dụng cho các quá trình ngẫu nhiên chỉ có hai kết quả có thể Trạng thái của các thành phần hay các hệ thống con trong nhiều hệ thống nguồn nước có thể được phân loại hoặc là đang hoạt động hoặc

là không hoạt động là một ví dụ điển hình của các kết quả nhị phân Xét một

hệ thống gồm tất cả n thành phần độc lập mà mỗi thành phần có hai kết quả

có thể, là hoạt động hoặc không Với mỗi thành phần, xác suất hoạt động là p

Do đó xác suất của việc có x thành phần hoạt động trong hệ thống có thể được tính bằng

p n x x nx,  0 , 1 , 2 , , (5.2.1)

trong đó q = 1 - p và n C x là một hệ số nhị phân Một biến ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức với các thông số n và p có kỳ vọng E(X) = np và phương sai Var(X) = npq Dạng của hàm khối lượng xác suất của một biến ngẫu nhiên nhị thức phụ thuộc vào các giá trị của p và q Hàm khối lượng xác suất bị lệch dương nếu p < q; đối xứng nếu p = q = 0,5; và bị lệch âm nếu p > q

Ví dụ 5.2.1. Một người vận hành cảng tầu thuỷ quyết định xây dựng thiết bị vận hành mới dọc sông

Theo một phân tích kinh tế thì anh ta quyết định chọn thiết bị chịu được lũ lớn với lưu lượng 7500 ft 3 /s Ngoài ra anh ta xác định rằng nếu một trận lũ lớn hơn vậy xảy ra trong giai đoạn 5 năm tới thì anh ta sẽ

có thể sửa chữa và thu lại được lợi nhuận trong giai đoạn 5 năm này Nếu xảy ra nhiều hơn một trận lũ lớn hơn 7500 ft3/s, anh ta sẽ mất tiền Nếu xác suất lưu lượng lớn hơn 7500 ft 3 /s hàng năm là 0,15 thì xác suất mất tiền của người vận hành sẽ là bao nhiêu?

Lời giải Ký hiệu X là một biến ngẫu nhiên đặc trưng cho số lần xảy ra của các trận lũ vượt 7500 ft3 /s trong giai đoạn 5 năm Mỗi năm có thể được xét như một phép thử mà ở đó trận lũ lớn hơn 7500 ft 3 /s có thể xảy ra hoặc không Do đó, kết quả các phép thử là nhị phân Giai doận 5 năm được coi như là có 5

phép thử Biến ngẫu nhiên X trong bài toán này có phân phối nhị thức với các thông số p = 0,15 và n =

5 Người vận hành sẽ không mất tiền nếu nhiều nhất là một trận lũ lớn hơn 7500 ft3 /s xảy ra trong vòng

5 năm Xác suất để có nhiều nhất một trận lũ như vậy trong 5 năm là

P(Có nhiều nhất một trận lũ lớn hơn 7500 ft 3 /s trong 5 năm)

8352 , 0 3915 , 0 4437 , 0

) 15 , 0 1 ( ) 15 , 0 ( ) 15 , 0 1 ( ) 15 , 0 (

) 1 ( ) 0 (

) 1 (

4 1

1 5 5 0

0 5

X P X

P

X P

5.2.2 Phân phối Poisson

Khi n  và p 0 còn np = const, phân phối nhị thức trở thành một

 x e /x! ,x 0 , 1 , 2 ,

p x (5.2.2) trong đó tham số >0 là trung bình của biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân

phối Poisson Phân phối Poisson đã được áp dụng rộng rãi trong việc mô hình hóa số sự xuất hiện của các biến cố trong một khoảng thời gian hay không gian xác định Phương trình 5.2.2 có thể được chỉnh lại

 x e  vt /x! ,x 0 , 1 , 2 ,

trong đó tham số  có thể được hiểu là tốc độ trung bình của sự xuất hiện một

biến cố trong khoảng thời gian (0, t)

Ví dụ 5.2.2 Đánh giá lại xác suất ở ví dụ 5.2.1 sử dụng phân bô Poisson

Lời giải Trong ví dụ 5.2.1 gải thiết rằng trận lũ lớn hơn 7500 ft3 /s không thể xảy ra quá một lần trong năm Nếu bở điều kiện này đi và cho giả thiết là có thể có nhiều hơn một trận lũ xảy ra trong 1 năm mà

không quan tâm đến xác suất nhỏ bao nhiêu Biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với các thông số v

= np = 5(0,15) = 0,75 Giá trị 0,75 thể hiện kỳ vọng (hay trung bình) của số lần xuất hiện của trận lũ lớn

hơn 7500 ft 3 /s trong vòng 5 năm Do đó xác suất để có nhiều nhất một trận lũ như vậy trong 5 năm được tính như sau

8266 , 0 3543 , 0 4724 , 0

! 1 / ) 75 , 0 (

! 0 / ) 75 , 0 (

) 1 ( ) 0 ( ) 1 (

1 75 , 0 0

75 , 0

X P X

P X

P

So sánh giá trị này với giá trị 0,8352 thu được từ ví dụ trước độ chênh lệch giữa hai giá trị này nhỏ hơn một phần trăm Sự khác biệt về xác suất thu được từ hai ví dụ là bỏ qua được nếu giá trị của p nhỏ Tuy nhiêm với giả thiết ẩn chứa trong phân phối nhị thức rằng chỉ có duy nhất một trận lũ trong mỗi n có thể làm cho ta thích sử dụng hàm phân phối Poisson trong đánh giá rủi ro đối với hầu hết các bài toán nguồn nước

5.2.3 Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn là một phân phối rất phổ biến, còn gọi là phân phối Gauss Hai tham số liên quan trong phân phối chuẩn là trung bình và phương sai Một biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn có giá trị trung bình  và phương sai 2

 trong tài liệu này được ký hiệu là X ~ N( 2

Một phân phối chuẩn có dạng hình chuông và đối xứng qua điểm x =

Do đó, hệ số lệch của một biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn là bằng 0, Một biến ngẫu nhiên Y là một hàm tuyến tính của biến ngẫu nhiên phân phối

chuẩn X thì cũng có phân phối chuẩn Nghĩa là, nếu X ~ N( 2

,

thì Y ~ N( a  b,a2  2) Một sự mở rộng của định lý này là tổng của các biến

ngẫu nhiên phân phối chuẩn (độc lập hay phụ thuộc) cũng là một biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với giá trị trung bình và phương sai có thể được tính bằng các phương trình (5.1.15a) và (5.1.22) tương ứng

Tính toán xác suất cho các biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn được làm

bằng cách đầu tiên chuyển sang dạng chuẩn hóa Z của nó là

Z = (X - ) /  (5.2.5)

trong đó Z có giá trị trung bình bằng 0 và phương sai bằng 1 Vì Z là một hàm tuyến tính của biến ngẫu nhiên X, nên Z cũng là một phân phối chuẩn Hàm mật độ xác suất của Z, gọi là phân phối chuẩn chính tắc, có thể được biểu thị

z



Các bảng của các hàm phân phối của Z như bảng 5.2.1, có thể tìm thấy

trong các sách thống kê (Haan, 1977; Blank, 1980 ; Devore, 1987) Những

tính toán xác suất cho X ~ N( 2

,

 ) có thể được thực hiện sử dụng

Z z  z P

x X

P x X P

là phân phối lô ga rít chuẩn nếu dạng chuyển lô ga ríta của nó Y = ln(X) có

một phân phối chuẩn với giá trị trung bình lnXvà phương sai 2

ln ln

X X

X X

X f

có thể được tính từ các đặc trưng của biến được chuyển sang dạng lô ga ríta

Để tính các momen thống kê của X từ các momen của ln X, các công thức sau

X  3  3 

 (5.2.10d)

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879

0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,9315 0,8340 0,8365 0,8389

1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9278 0,9292 0,9306 0,9319

1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,929 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767

2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9916 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9936 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9

2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986

3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998

Từ Phương trình (5.2.10d) rõ ràng là các phân phối lô ga rít chuẩn luôn lệch dương vì X  0 Ngược lại, các momen thống kê của ln X có thể được

tính từ các momen của X bởi:

1

ln 2 1

X

X X

1 Nếu X là một biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn và Y = ã b thì, Y có

phân phối lô ga rít chuẩn với giá trị trung bình lnY  lnablnX và phương sai2lnY b22lnX

2 Nếu X và Y là phân phối lô ga rít chuẩn độc lập, W=XY có phân phối

lô ga rít chuẩn với giá trị trung bình lnW lnX lnYvà phương sai

2 ln 2 ln 2

lnW  X  Y

3 Nếu X và Y là độc lập và phân phối lô ga rít chuẩn thi R = X/Y là

phân phối lô ga rít chuẩn với giá trị trung bình lnR  lnX  lnYvà

ln 2 ln 2

lnR  X  Y

Ví dụ 5.2.3 Chuỗi số liệu cường độ lũ cực đại hàng năm ở một sông có phân phối lô ga rít chuẩn với

giá trị trung bình bằng 6000 ft 3 /s và độ lệch chuẩn bằng 4000 ft 3 /s (a) Xác suất trong năm mà cường độ

lũ lớn hơn 7000 ft 3 /s là bao nhiêu? (b) Xác định cường độ lũ với thời kỳ lặp lại là 100 năm

Lời giải (a) Gọi Q là biến ngẫu nhiên biểu thị cường độ lũ lớn nhất hàng năm Vì Q được giả thiết là

tuân theo luật phân phối lô ga rít chuẩn, ln(Q) là phân phối chuẩn với giá trị trung bình và phương sai có

(b) Một biến cố 100 năm trong thủy văn biểu thị biến cố xảy ra trung bình 100 năm 1 lần Do đó xác

suất trong mỗi năm mà biến cố 100 năm được cân bằng hay vượt quá, là 0,01, tức là, P(Qq 100 ) = 0,01

trong đó q100 là lưu lượng của lũ 100 năm Phần này của bài toán là xác định q100, là phần đảo của phần (a)

P(Qq 100 ) = 1- P(Qq 100 ) = 0,99 vì vậy

q z

Trong phân tích và thiết kế các hệ thống nguồn nước có nhiều số lượng cần quan tâm có liên quan về mặt chức năng với một số các biến mà trong đó một

số giả thiết là bất định Ví dụ các công trình thủy lực thường áp dụng các

phương trình dòng chảy qua đập là Q = CLH 1.5 để tính công suất đập tràn

trong đó hệ số C và cột nước H được giả thiết là bất định Như một hệ quả, lưu

lượng qua đập tràn là không tất định Một kỹ thuật khá rõ ràng và hữu dụng

cho mục đích xấp xỉ này là phân tích đạo hàm bậc nhất về tính bất định hay đôi khi được gọi là phương pháp delta

Việc sử dụng phân tích đạo hàm bậc nhất về tính bất định là khá phổ biến trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật Tính phổ biến như vậy nhờ có sự không ràng buộc tương đối của nó trong ứng dụng cho một phạm vi rộng các bài toán Các phân tích đạo hàm bậc nhất được sử dụng để đánh giá tính bất định trong việc thiết lập mô hình tất định gồm có các thông số bất định (không biết chắc chắn) Cụ thể hơn, phân tích đạo hàm bậc nhất cho ta khả năng đánh giá giá trị trung bình và phương sai của một biến ngẫu nhiên có liên quan bằng quan hệ hàm số với một số biến khác, một số trong đó là ngẫu nhiên Bằng việc sử dụng phân tích đạo hàm bậc nhất, ảnh hưởng kết hợp của tính bất định trong một thiết lập mô hình, cũng như việc sử dụng các tham số bất định, có thể

được đánh giá Phân tích đạo hàm bậc nhất cho các bài toán kỹ thuật dân sự đã

được trình bày bởi Benjamin and Cornell (1970), Ang and Tang (1979) và Harr (1987) Phương pháp này đã được áp dụng cho nhiều bài toán khác nhau trong các lĩnh vực thủy lực, thủy văn và chất lượng nước (Burges and Lettenmaier, 1975; Tang et al., 1975; Tung and Mays, 1980, 1981; Brown and Barnwell, 1987; Virjling, 1987; Chow et al., 1988 ; Tung and Hathhorn, 1988)

Xét một biến ngẫu nhiên Y, là một hàm của k biến ngẫu nhiên (trường hợp nhiều biến) Về mặt toán học, Y có thể được biểu diễn bằng

Y = g(X) (5.3.1) trong đó X = (X 1 , X 2 , , X k ) là một vector gồm k biến ngẫu nhiên X i Thông qua

sử dụng khai triển Taylor, về các giá trị trung bình của k biến ngẫu nhiên, xấp

xỉ bậc nhất của biến ngẫu nhiên Y có thể được biểu diễn bằng

j j i i x X

k

k i

i i x X i

x X x X X

X

X g

x X X

X g x

g Y

1 1 2 1

(5.3.2)

trong đó xx1 ,x2 , ,x k, một vector gồm các giá trị trung bình của k biến

ngẫu nhiên Xấp xỉ bậc nhất bỏ qua các số hạng bậc hai và bậc cao hơn và phương trình (5.3.2) có thể được rút gọn thành :

i i x i

x X X

g x

g Y

1

(5.3.3)

trong đó

x i

i i i

x X X

g Var

x g Var Y Var

i i

i X x a

Var Y

Var

1 0

trong đó

x i i

k i k j

j i j i i

i

1

2 2 2

, 2

1

2 2 2



 (5.3.6)

Phương trình (5.3.6) có thể được biểu thị dưới dạng hệ số biến thiên

bằng cách chia cả hai vế cho 2

X Y

i i

x a

1

2 2 2 2

 (5.3.7) Các phương trình (5.3.6) hay (5.3.7) chứa thành phần tương đối, 2 2

i i

a  , của

từng thành phần ngẫu nhiên với toàn bộ tính bất định của đầu ra mô hình Y

Thông tin như vậy có thể được vận dụng để thiết kế các đo đạc để giảm tính bất định hay để cực tiểu hóa các ảnh hưởng của tính bất định

Ví dụ 5.3.1. Thông thường người ta sử dụng công thức Manning để tính suất chuyển nước trong kênh hở

Suất chuyển nước sử dụng công thức Manning được mô ta là

1 1 / 2 5 / 3 2 / 3

Q 1.49n S A P



trong đó P là chu vi ướt Do tồn tại các độ bất định trong các ước lượng các giá trị của hệ số nhám, độ

dốc đáy kênh, mặt cắt ngang, và chu vi ướt, suất chuyển nước cũng liên quan đến độ bất định Giả thiết

là độ bất định trong ước lượng A và P có thể bỏ qua trong khi độ bất định của hệ số nhám và độ đốc kênh

là quan trọng áp dụng phân tích đạo hàm bậc nhất để diễn Lời giải ra công thức tính độ bất định của Q thông qua độ bất định của hệ số nhám Manning n và độ dốc kênh S

Lời giải Vì A và P được xem là tất định không có tính bất định, chúng có thể được kết hợp thành một số

hạng hằng số, K = 1,49A 5/3 P -2/3 để biểu diễn

Q = K n -1 S 1/2

Xấp xỉ bậc nhất của giá trị trung bình của Q sử dụng công thức Manning có thể được xác định sử dụng

phương trình (5.3.3)

) ( 5

0 ) (

) ( )

(

2 / 1 1 2

/ 1 2

) , ( )

, (

S S S n K n

n S n K Q

S S S

Q n n n

Q Q Q

S n S

2 ) , (

2

S S n

S Q

S

Q n

là các hệ số nhậy Bằng một cách khác, độ bất định của Q thông qua hệ số

biến thiên có thể được diễn Lời giải bằng việc sử dụng phương trình (5.3.7) với X 1 = n và X 2 = S như sau

 

2 2

Trong thực tế tất cả các hệ thống nguồn nước được thiết kế để được đặt

trong môi trường tự nhiên v đối mặt với các áp lực bên ngoài khác nhau Sức

tải hay sức bền của một hệ thống nguồn nước là khả năng của nó để hoàn thành nhiệm vụ đã định một cách xuất sắc mà không có sự cố khi chịu các áp lực hay các tải trọng bên ngoài Các tại trọng hay các áp lực có xu hướng gây

ra sự cố của hệ thống Khi sức bền của hệ thống bị vượt quá bởi áp lực, sự cố xảy ra Sức tải của một hệ thống nguồn nước có thể là suất chuyển nước còn tải trọng có thể là cường độ dòng chảy qua hệ thống Từ các thảo luận trước

đây về sự tồn tại của tính bất định trong thiết kế, phân tích và mô hình hóa các

hệ thống nguồn nước, sức tải hay độ bền của hệ thống và tải trọng hay áp lực

bắt buộc là ngẫu nhiên và giả thiết là bất định Độ tin cậy của hệ thống có thể

được ước lượng bằng việc nghiên cứu tương tác của tải trọng và sức tải

Độ tin cậy của một hệ thống nguồn nước được định nghĩa là xác suất mà khả năng của hệ thống (tức là sức tải) lớn hơn hoặc bằng tải trọng Mặt khác,

rủi ro là xác suất của tại trọng lớn hơn sức tải Xét các biến ngẫu nhiên L và R

tương ứng biểu thị tải trọng và sức tải Độ tin cậy của hệ thống có thể được biểu diễn toán học bằng

như một mô hình độ tin cậy tĩnh

5.4.1 Phương pháp tích phân trực tiếp

Từ các phương trình (5.4.1) và (5.4.2), việc tính toán rủi ro và độ tin cậy

đòi hỏi hiểu biết về các phân phối xác suất của tải trọng và sức tải Dưới dạng hàm mật độ xác suất đồng thời của tải trọng và sức tải, f L,R l,r , Phương trình (5.4.1) có thể được biểu diễn bằng:

 

r L,R

hình 5.4.1 Các bước tính toán gồm có xác định độ tin cậy sử dụng Phương trình (5.4.4) chỉ ra trong hình 5.4.1 Phương pháp tích phân trực tiếp nhìn chung thu được nghiêm Lời giải tích chỉ cho một số rất ít những sự kết hợp

đặc biệt của các phân phối xác suất Tích phân số được thực hiện riêng cho việc xác định độ tin cậy

5.4.2 Các phương pháp sử dụng biên an toàn và hệ số an toàn

Biên an toàn (SM – safety margin) được định nghĩa là sự chênh lệch giữa

sức tải và tải trọng biết trước, tức là, SM = R - L Từ phương trình (5.4.1), độ

tin cậy của một hệ thông có thể được biểu diễn dưới dạng biên an toàn là

   0   0

Sử dụng biên an toàn cho tính toán độ tin cậy đòi hỏi biết phân phối xác

suất của SM Nếu là trường hợp này, độ tin cậy có thể nhận được bởi

mà không có các biến đổi toán học Ví dụ, từ thảo luận về phân phối chuẩn

(Mục 5.2.3), phân phối của SM là chuẩn với giá trị trung bình SM và phương sai 2

SM

 nếu tải trọng và sức tải đều là các biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn

Có thể nhận được giá trị trung bình và phương sai của SM, dựa trên các

phương trình (5.1.15a) và (5.1.22), là bằng

L R

phân phối chuẩn, độ tin cậy của hệ thống có thể được xác định bằng cách trừ cả hai vế của bất đẳng thức trong phương trình ) đi SM và chia cả hai vế cho

SM

SM P

Ví dụ 5.4.1 Nhu cầu nước hàng năm của một thành phố được đánh giá bằng 3 đơn vị, với độ lệch chuẩn

bằng 1 đơn vị Cũng biết rằng hệ thống cấp nước của thành phố có một công suất trung bình được đánh giá là bằng 5 đơn vị với độ lệch chuẩn bằng 0,75 đơn vị Tính độ tin cậy hay xác suất của cung vượt quá cầu sử dụng biên an toàn là chỉ tiêu thực hiện Giả sử rằng cả cung và cầu là các biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn độc lập

Lời giải Từ phát biểu bài toán, nhu cầu là L và cung cấp là R với L  3 , L  1 ; R  5 ,

 Vì cả nhu cầu và cung

cấp đều là các biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn, do đó SM cũng là một biến ngẫu nhiên phân phối

chuẩn (xem Mục 5.2.3) Độ tin cậy của hệ thống cấp nước là xác suất của việc có thể đáp ứng nhu cầu

Mặc dù rất mong muốn tìm được các nghiệm chính xác cho tính toán độ tin cậy, có lẽ nó không hiện thực bởi vì không thể dễ dàng nhận được hàm mật

độ xác suất chính xác của biên an toàn Trong những trường hợp như vậy việc

sử dụng xấp xỉ phân phối chuẩn dựa trên giá trị trung bình và phương sai của biên an toàn có lẽ là một lựa chọn có thể Ang (1973) đã chỉ ra rằng, miễn là

99

,

0



 , độ tin cậy không bị ảnh hưởng lớn bởi việc lựa chọn phân phối cho L

và R và giả thiết về sự phân phối chuẩn cho SM là khá thích hợp Tuy nhiên,

với một độ tin cậy cao hơn (ví dụ,   0 , 999), dạng phần đuôi của phân phối trở nên rất quyết định trong trường hợp nào ta nên dùng một đánh giá chính xác

phân phối của SM hay tích phân trực tiếp để ước lượng độ tin cậy hay rủi ro

Hệ số an toàn (SF-Safety factor) được định nghĩa là tỷ số của sức tải trên

tải trọng, R/L Bởi vì hệ số an toàn SF là tỷ số của hai biến ngẫu nhiên, hệ quả

là nó cũng là một biến ngẫu nhiên Độ tin cậy có thể được viết thành P(SF -1)

Một số biến đo lường của hệ số an toàn và tính hữu dụng của nó trong phân tích và thiết kế kỹ thuật thủy lực được thảo luận bởi Yen (1979) Cũng tương

tự như biên an toàn, cần phải biết hàm mật độ xác suất của hệ số an toàn để các tính toán độ tin cậy sử dụng hệ số an toàn

Trường hợp đơn giản nhất là khi cả tải trọng L và sức tải R đều có phân phối lô ga rít chuẩn Phép lấy lô ga ríta chuyển SF thành hiệu của ln(R) và ln(L) mà cả hai đều là phân phối chuẩn Tính toán độ tin cậy có thể được tiếp

tục như trường hợp biên an toàn

L R

L R L

R

L R

Z P

L R P

L R P L

R P

SF P SF

P L

R P

ln ln

ln ln

2 ln 2 ln

ln ln 2

ln 2 ln

ln ln

/ /

0 ln

ln

0 ln ln 0

/ ln

0 ) ln(

1 1

lnSF  R  L

   , với lnR, lnL, lnR và lnL

được lấy bằng việc sử dụng các phương trình (5.2.11a) và (5.2.11b) Sau một

số biến đổi đại số, phương trình (5.4.9) cũng có thể được biểu thị dưới dạng

các đặc trưng thống kê của L và R trực tiếp (Chow, Maidment and Mays,

1988) như sau

2 2

1 1

ln

1

1 ln

1

R L

R L L

Minh hoạ bằng đồ thị các bước trong tính toán độ tin cậy bằng phương trình (5.4.4)

Ví dụ 5.4.2 Lời giải ví dụ 5.4.1 với giả thiết công suất (R) và nhu cầu (L) đều phân phối lô ga rít chuẩn

Lời giải Từ ví dụ 5.4.1 các hệ số biến thiên của cầu và cung là

333 , 0 3

333 , 0 1 15 , 0 1 ln

15 , 0 1

333 , 0 1 3

5 ln 1

2 2

2 2

5.4.3 Các phương pháp momen thứ hai bậc nhất

Độ tin cậy có thể được biểu diễn dưới dạng của một hàm vận hành, chẳng hạn như hệ số an toàn hay biên an toàn, diễn tả sự vận hành của hệ thống Một

sự vận hành hệ thống có thể được diễn tả thông quả tải trọng L = g(X) và sức tải R = h (Y) như W(X,Y) mà nó có thể là một trong các dạng sau:

W1(X,Y) = R - L = h(Y) - g(X) = SM (5.4.11)

W2(X,Y) = (R/L)- 1 = [h(Y)/g(X)] - 1 = SF - 1 (5.4.12) W3(X,Y) = ln(R/L) = ln[h(Y)] - ln[g(X)] = ln(SF) (5.4.13) trong đó X và Y là các vector của các tham số bất định trong định nghĩa tải

trọng và sức tải Phương trình (5.4.11) là đồng nhất với biên an toàn còn các phương trình (5.4.12) và (5.4.13) là dựa trên sự biểu thị hệ số an toàn Do đó,

độ tin cậy là xác suất mà hàm vận hành lớn hơn hoặc bằng 0

Phương pháp momen thứ hai bậc nhất giá trị trung bình (MFOSM) Đồng

nhất với phân tích đạo hàm bậc nhất của tính bất định được trình bày trong

Mục 5.3.2, phương pháp MFOSM ước lượng giá trị trung bình (ƯW) và độ lệch chuẩn (W ) của biến vận hành W bằng các phương trình (5.3.4) và (5.3.5) tương ứng Khi giá trị trung bình và phương sai của W được ước lượng, chỉ số

trong đó FW() là hàm phân phối của biến vận hành W, và W’ là biến vận hành

được chuẩn tắc hóa, xác định theo W = (W - W )/W Phân phối chuẩn thường

được sử dụng với W trong trường hợp mà độ tin cậy có thể được tính toán đơn

giản bằng

   

  1      (5.4.16) trong đó   là hàm phân phối chuẩn tắc (xem Bảng 5.2.1)

Ví dụ 5.4.3 Xét một mặt cắt kênh dẫn hở nhân tạo với hà bờ bê tông và đáy là cuội sỏi Giả thiết độ bất

định của diện tích mặt cắt ngang (A) và chu vi ướt (P) có thể bỏ qua Giá trị của diện tích mặt cắt ngang

(A) và chu vi ướt (P) tương ứng bằng 90 ft2 và 35 ft Tuy vậy, hệ số nhám Manning (n) và độ dốc trong kênh (S) là bất định Giá trị trung bình của hệ số nhám (n) và độ dốc tương ứng bằng 0,017 và 0,0016

ft/ft Hệ số biến thiên của n và S là 20 và 30% Xác định độ tin cậy mà kênh có sức chuyển nước bằng

350 ft 3 /s

Lời giải Dựa vào phương trình Manning, lưu lượng dòng chảy của kênh dẫn hở là

2 / 1 1

2 / 1 1 3 / 2 3 / 5

2 / 1 1 3 / 2 3 / 5

7 , 251

) 35 ( ) 90 )(

49 , 1 (

49 , 1

S n

S n P A Q

Độ bất định của suất chuyển nước, thông qua hệ số biến đổi, có thể được tính bằng phương trình (5.3.7), hay xem lại ví dụ 5.3.2 như sau

0625 , 0 ) 3 , 0 ( 25 , 0 ) 2 , 0 ( 25 ,

2 2

0625 , 0 ( 3 ,

) 636 , 1 ( 1

] 636 , 1 [

] 1 , 148 / ) 3 , 592 350 ( [ ) 350 (

Z P Q

P



Mặc dù phương pháp MFOSM đơn giản và dễ sử dụng, tuy nhiên nó có

một số nhược điểm là: (1) không có khả năng vận dụng các phân phối với hệ

số lệch lớn; (2) sự ước lượng của giá trị trung bình và phương sai của các hàm phi tuyến thiếu chính xác; và (3) sự nhạy cảm của rủi ro được tính ra đối với

sự thiết lập các biến vận hành (Ang and Tang, 1984; Yen và et al., 1986) Một cách để giảm ảnh hưởng của tính phi tuyến là tính đến các số hạng bậc hai trong khai triển Taylor Điều này sẽ làm tăng gánh nặng của việc phân tích bởi vì phải tính toán các đạo hàm thành phần bậc hai và các momen thống kê bậc cao hơn, mà các đạo hàm và momen nay khó có thể tìm được một cách dễ dàng và đáng tin cậy

5.4.4 Mô hình độ tin cậy động (phụ thuộc vào thời gian)

Trong một số trường hợp, việc ước lượng độ tin cậy của các hệ thống nguồn nước được tiến hành với một khung thời gian lý thuyết Ví dụ, ta có thể quan tâm đến rủi ro của dòng chảy tràn của một lưu vực trữ nước lũ đô thị vào mùa hè khi thịnh hành các trận mưa lũ đối lưu Các tải trọng tác động vào hầu hết các hệ thống nguồn nước gây ra bởi các biến cố thuỷ văn như lũ, bão, hoặc hạn hán và các yế tố này là ngẫu nhiên Phân tích độ tin cậy động xem xét sự lập lại của các tải trọng và cũng đồng thời xem xét sự thay đổi của hàm phân phối sức tải theo thời gian Mục tiêu của các tính toán độ tin cậy cho các mô hình động là để xác định độ tin cậy của hệ thống trong một bước thời gian xác

định mà trong khoảng này sự xuất hiện của tải trọng cũng là một biến ngẫu nhiên

Các tải trọng lặp lên một hệ thống nguồn nước được đặc trưng bởi thời

điểm mà tải trọng tác động lên hệ thống và hành vi của các bước thời gian giữa các lần tải trọng tác động lên hệ thống Từ quan điểm lý thuyết về độ tin cậy, các bất định của các biến tải trọng và biến sức tải có thể được phân ra thành ba loại: tất định, cố định-ngẫu nhiên và độc lập-ngẫu nhiên (Kapur and Lamberson, 1977) Đối với loại tất định, tải trọng được giả thiết có giá trị chính xác là biết trước Đối với trường hợp cố định-ngẫu nhiên, quy huật biến

đổi ngẫu nhiên của các tải trọng theo thời gian được biết trước Đối với trường hợp độc lập-ngẫu nhiên, tải trọng không chỉ ngẫu nhiên mà các giá trị tiếp theo của tải trọng là độc lập theo thống kê

Các tính toán cho các mô hình động có thể được tiến hành cho các chu kỳ

là ngẫu nhiên và tất định Sự thiết lập một mô hình cho các chu kỳ tất định

được đưa ra dưới đây mà nó tự nhiên dẫn tới một mô hình cho các chu kỳ ngẫu

nhiên Xem xét một hệ thống nguồn nước với sức tải R = r có thể chịu các tại trọng L 1 , L 2 , , L n Khi sức tải của hệ thống được cố định, độ tin cậy của hệ thống sau n tải trọng,  (n,r) là

L r

P

r L r

L r L P r

2

( ) ,

( , ) ( )

1

r F r

n

i

L n i

định Độ tin cậy cỷa một hệ thống chịu các tải trọng nẫu nhiên trong một bước

thưòi gian xác định [0, t] có thể được mô ta như sau







 0

) ( )

| ( ) (

n

n n t

trong đó ( n t| ) là xác suất của n tải trọng xảy ra trong một bước thời gian 0 ,t

Có thể sử dụng một hàm phân phối Poisson để diễn tả xác suất của một số các biến cố xảy ra trong một khoảng thời gian cho trước Thực tế là hàm phân phối Poisson được chứng minh là rất phù hợp cho số các xuất hiện của các biến cố thuỷ văn (Todorovic and Yevjevich, 1969; Zelenhasic, 1970;

Rousselle, 1972; Fogel and Duckstein, 1982) Từ phương trình (5.2.3), ( n t| )

có thể được tính

!

) ( )

| (

n

vt e n t

n vt

r f

dr r F r f n

vt e t

r F vt R

n L R n

n vt

1

0

0 0

) (

) ( ) (

!

) ( )

hình 5.4.2 minh họa các đường hệ số rủi ro - an toàn cho thiết kế đê trên sông

Guadalupe gần Victoria, Texas được làm bởi Lee và Mays (1984)