Kỹ thuật và quản lý hệ thống nguồn nước ( Đại học Quốc gia Hà Nội ) - Chương 3 pot

Các điều kiện này vẫn tồn tại ở dạng bất phương trình; 2 Tất cả các hệ số vế phải của các phương trình ràng buộc là không âm, nghĩa là b i  0; 3 tất cả các biến quyết định là không âm;

3.1 Quy hoạch tuyến tính

Mô hình quy hoạch tuyến tính (QHTT) đã và đang được áp dụng rộng rãi trong các bài toán phân bổ tối ưu tài nguyên Như tên của nó gợi ý, mô hình QHTT có hai tính chất cơ bản là cả hàm mục tiêu và các ràng buộc là các hàm tuyến tính của các biến quyết định Dạng tổng quát của một mô hình QHTT có dạng:

n

j

j x c



 1

Với các biểu thức ràng buộc:

i j n 1 j

Trong đó, c j là hệ số của hàm mục tiêu, a ij là hệ số công nghệ và b i là hệ số

vế phải của phương trình ràng buộc (Right Hand Side - RHS) ở dạng đại số, mô hình QHTT này có thể khai triển như sau:

Max (hoặc Min) x 0 = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n (3.1.2a)

Với các ràng buộc:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b1

a 12 x 2 + a 22 x 2 + + a 2n x n b2

Với C là véc tơ cột (n x 1) của các hệ số hàm mục tiêu, x là vec tơ cột (n

x 1) của các biến quyết định, A là ma trận (m x n) của các hệ số công nghệ,

b là véc tơ cột (m x 1) các hệ số các vế bên phải hàm ràng buộc Chỉ số trên

T ký hiệu chuyển vị của ma trận hay vectơ Các sách hay có liên quan đến

QHTT bao gồm Gass (1985), Taha (1987), Vinston (1987) và Hillien và Lieberman (1990)

Ví dụ 3.1.1 Xét một hệ thống bao gồm một nhà máy sản xuất và một nhà máy xử lí chất thải

(Fiering và các cộng sự, 1971) Nhà máy sản xuất tạo ra các thành phẩm với giá bán ra cho mỗi thành phẩm là 10 nghìn đô la Tuy nhiên, giá sản xuất cho mỗi thành phần là 3 nghìn đô la Trong quá trình sản xuất hai đơn vị chất thải được tạo ra từ mỗi thành phẩm Ngoài việc quyết định số lượng các thành phẩm nên sản xuất, người quản lý nhà máy cũng cần quyết định lượng chất thải được thải ra không qua xử lí để làm sao lợi nhuận thực (net-benefit) của nhà máy là tối đa mà yêu cầu về chất lượng nước của sông không bị vượt quá mức cho phép Công suất tối đa của nhà máy xử lí chất thải là

10 đơn vị chất thải với hiệu suất sử lý là 80%, và giá thành cho mỗi đơn vị chất thải là 0,6 nghìn đô

la Đồng thời nhà máy cũng phải trả thuế ảnh hưởng cho lượng chất thải thải ra sông (2 nghìn đô la cho mỗi một đơn vị chất thải ra) Đơn vị quản lý kiểm soát ô nhiễm nước đưa ra tiêu chuẩn tối đa là 4

đơn vị chất thải của mỗi nhà máy thải ra Hãy thiết lập mô hình QHTT cho bài toán này

Lời giải Bước đầu tiên của việc xây dựng mô hình là xác định các thành phần hệ thống và các mối

quan hệ tương tác của chúng Trong ví dụ này, các thành phần của hệ thống là: nhà máy sản xuất, nhà máy xử lí chất thải, và con sông nhận lượng chất thải Từ định nghĩa của bài toán, ta thấy có 2 biến

quyết định là: (1) số lượng các đơn vị thành phẩm nên sản xuất, x 1, và (2) lượng chất thải đổ trực tiếp

vào sông không qua xử lí, x 2 Từ sự mô tả mối quan hệ qua lại giữa thành phẩm, lượng chất thải được tạo ra, hiệu suất nhà máy xử lí, một sơ đồ minh họa hệ thống nghiên cứu có thể được thiết lập và thể hiện trên hình 3.1.1 Lượng chất thải ở mỗi nhánh có thể được xác định bằng nguyên lý cân bằng khối lượng

Vấn đề cốt lõi cần làm trước khi xây dựng mô hình là xác định mục tiêu và các ràng buộc của bài toán Trong ví dụ này, mục tiêu của bài toán tối đa lợi nhuận thực Các ràng buộc gây ra bởi các hạn chế về công suất nhà máy xử lí chất thải và lượng chất thải cho phép đổ vào sông được quy định với các nhà kiểm soát ô nhiễm nước Khi đã xác định được mục tiêu và các ràng buộc của bài toán, bước xây dựng mô hình tiếp theo về cơ sở liên quan đến việc chuyển hóa các mô tả các mục tiêu và ràng buộc bằng ngôn ngữ sang sự diễn tả bằng toán học thông qua các biến quyết định và các thông số Lãi thực của nhà máy sản xuất được xác định dựa trên 4 yếu tố: (a) số lượng bán ra các thành phẩm

(tính bằng nghìn đô la) giá thành sản xuất của các thành phẩm (tính bằng nghìn đô la), 3x 1; (c) chi

phí cho việc xử lí chất thải (nghìn đô la) tạo ra từ quá trình sản xuất, 0,6(2 x1 -x 2 ) và (d) thuế ảnh hưởng

(nghìn đô la) đánh vào lượng chất thải không qua xử lí, 2{x 2 +0,2(2x 1 -x 2 )} Lợi nhuận thực của nhà

máy bằng tổng lượng tiền thu được trừ đi tổng các chi phí Hàm mục tiêu của bài toán là tối đa hóa

lợi nhuận thực (lãi ròng), và bằng: 10x 1 -{3x 1 +0,6(2x 1 -x 2 )+2x 2 +0,2(2x 1 -x 2 )} Hàm mục tiêu có thể

Sơ đồ mô tả hệ thống sản xuất xử lí chất thải

Ràng buộc này cho thấy lượng chất thải được xử lí, 2x 1 - x 2, không thể vượt quá công suất của nhà máy, bằng 10 đơn vị chất thải Tương tự, ràng buộc liên quan đến tổng lượng chất thải có thể đổ vào sông được diễn giải là:

x 2 + 0,2(2 x1 - x 2 )  4

ở đó, vế trái (LHS) của điều kiện ràng buộc này là tổng lượng chất thải đổ vào sông (xem hình 3.1.1)

và vế phải (RHS) của nó là tổng lượng đơn vị chất thải cho phép đổ ra sông quy định bởi cơ quan kiểm soát ô nhiễm nước

Ngoài hai ràng buộc dễ nhận thấy ở đây, tồn tại một ràng buộc khá nhỏ để nhận biến được, và cần

được đưa vào trong mô hình Một ràng buộc cần thiết để chắc chắn rằng một khối lượng nước được

xử lí là dương Nói một cách khác, mô hình nên bao gồm một ràng buộc làm cho lượng chất thải qua

xử lí này không âm, (2x 1 - 2) Nó có thể được diễn giải bằng công thức toán học như sau:

2x 1 -x 2 0

Cuối cùng, hai biến quyết định không thể âm, xét về ý nghĩa vật lý Do đó, ràng buộc không âm của

hai biến quyết đinh, x 1 0 và x 2 0, phải được đưa vào hướng ràng buộc Phiên bản cuối cùng của

mô hình quy hoạch tuyến tính được viết dưới dạng toán học, sau một vài biến đổi, có thể tóm tắt lại thành:

Max x 0 = 5x 1 - x 2

Với các ràng buộc:

2x 1 - x 2 10 4x 1 + 0,8 x 2 4 2x 1 - x 2 0

x 1 0 và x 2 0

Xem xét kỹ việc thiết lập mô hình tối ưu hóa này, người ta có thể nhận thấy rằng mô hình này là một mô hình quy hoạch tuyến tính, Linear

Programming - LP Tuy nhiên, nếu nói một cách chặt chẽ, mô hình trên có

thể không được công nhận là mô hình QHTT nếu các biến quyết định, đặc

biệt là biến x 1, chỉ có thể mang giá trị nguyên Nếu xảy ra trường hợp này, mô hình là mô hình quy hoạch hỗn hợp và yêu cầu một thuật giải đặc biệt

để giải nó Thực tế là có một số các giả thiết cần được đưa vào trong việc thiết lập mô hình QHTT Các giả thiết này được mô tả một cách chi tiết ở các mục tiếp theo

3.1.1 Các giả thiết của các mô hình quy hoạch tuyến tính

Có bốn giả thiết ẩn cơ bản được đưa vào mô hình QHTT

của biến quyết định thứ j vào giá trị hiệu quả, cjxj, và việc nó sử

dụng các tài nguyên khác nhau, a ij x j, tỷ lệ trực tiếp với giá trị của biến quyết định tương ứng

cấp độ hoạt động cho trước (x 1 , x 2 , x n ), tổng lượng sử dụng các

tài nguyên và sự đóng góp vào giá trị hiệu quả tổng hợp bằng tổng các giá trị tương ứng được tạo ra bởi các hoạt động tiến hành riêng biệt

thể được chia ra làm nhiều cấp độ phân chia, do đó giá trị không nguyên của các biến quyết định là chấp nhận được

giả thiết là không đổi và không có tính bất định ảnh hưởng của tính bất định của các thông số tới kết quả có thể được điều tra bằng việc tiến hành phân tích độ nhậy

3.1.2 Các dạng của bài toán QHTT

Do các mô hình QHTT có thể được thể hiện dưới nhiều dạng khác nhau

(tối đa hóa, cực tiểu hóa, , , ), việc cần thiết là phải thay đổi các dạng này cho phù hợp với một quy trình giải cụ thể Về cơ bản có 2 dạng mô tả

mô hình QHTT được sử dụng: dạng chính tắc và dạng chuẩn

Dạng chính tắc được sử dụng cho việc giải các mô hình QHTT theo phương pháp đại số Các đặc điểm cơ bản của nó có liên quan đến: (1) tất cả các ràng buộc viết dưới dạng phương trình ngoại trừ ràng buộc không âm của các biến quyết định Các điều kiện này vẫn tồn tại ở dạng bất phương trình; (2) Tất cả các hệ số vế phải của các phương trình ràng buộc là không

âm, nghĩa là b i  0; (3) tất cả các biến quyết định là không âm; và (4) Hàm

mục tiêu có thể là cực đại hóa hay cực tiểu hóa Một mô hình QHTT có dạng chính tắc được thể hiện là:

1

n

j j j

Lời giải Vì hàm mục tiêu có dạng chính tắc có thể là cực đại hóa hay cực tiểu hóa nên không cần

thiết phải biến đổi hàm mục tiêu này Tuy nhiên, dạng chính tắc của mô hình QHTT đòi hỏi tất cả cá ràng buộc phải ở dạng phương trình Điều này không thỏa mãn với cả 3 ràng buộc của mô hình ta

đang xét Do vậy cách biến đổi là điều kiện cần thiết Chú ý rằng vì ràng buộc đầu tiên có dạng ,

một biến ảo (slack variables) không âm s 1 có thể được cộng vào vế trái của ràng buộc, trở thành:

Max x 0 = 5x 1 - x 2 + 0s 1 + 0s 2 + 0s 3

Với ràng buộc:

2x 1 - x 2 + s 1 = 10 0,4 x 1 + 0,8x 2 + s 2 = 4 2x 1 - x 2 - x 3 = 0

Tất cả x và s là không âm

Dạng chuẩn, mặt khác, rất có ích trong việc thể hiện lý thuyết đối ngẫu

(duality theory) của mô hình QHTT Nó sở hữu ba đặc tính sau trong việc thiết lập mô hình: (1) tất cả các biến quyết định là không âm; (2) tất cả các ràng buộc có dạng ; và (3) hàm mục tiêu có dạng tối đa hóa Một mô hình QHTT có dạng chuẩn là:

Max x 0 =

1

n

j j j

c x



Ràng buộc bởi:

Cần chú ý rằng các hệ số ở vế phải của ràng buộc có thể mang giá trị âm

Ví dụ 3.1.3 Chuyển đổi mô hình QHTT gốc cho ví dụ sản xuất, xử lí nước thải sang dạng chuẩn Lời giải: Vì hàm mục tiêu nguyên bản đã có dạng tối đa hóa như yêu cầu nên không cần có sự biến

đổi thêm đối với nó Đối với các ràng buộc, hai ràng buộc ban đầu có dạng  nên thỏa mãn yêu cầu của dạng chuẩn Tuy nhiên, ràng buộc thứ 3 có dạng , để chuyển nó sang dạng  ta nhân cả hai vế ràng buộc này với -1 và có kết quả như sau:

2 Các ràng buộc có dạng  có thể chuyển đổi sang dạng  bằng cách

nhân hai vế của bất phương trình với -1

3 Một phương trình có thể được thay thế bằng hai bất phương trình

trái dấu nhau Ví dụ, phương trình g(x) = b có thể được thay thế bằng g(x)  b và g(x)  b

4 Một bất phương trình có dấu giá trị tuyệt đối có thể thay thế bằng hai bất phương trình không có dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ, g x( ) b

không thể thay thế bằng g(x) b và g(x)  -b

5 Nếu một biến quyết định x không có ràng buộc về dấu (có thể

dương, bằng không, hoặc âm), nó có thể thay bằng hai biến quyết

3.2.1 Phương pháp đồ giải

Một cách đơn giản để giải bài toán QHTT là sử dụng phương pháp đồ giải (hình học) Tuy nhiên, phương pháp này chỉ áp dụng được cho các bài toán QHTT có nhiều nhất là hai biến quyết định (không kể các biến ảo) Để

đặt cơ sở cho việc diễn giải hình học cho thuật giải đại số được mô tả sau này, phương pháp đồ giải sẽ được sử dụng để giải bài toán sản xuất, xử lí chất thải ở ví dụ sau đây

Ví dụ 3.2.1 Giải bài toán sản xuất – xử lí chất thải để tìm số lượng đơn vị thành phẩm tối ưu cần sản

xuất x 1 và lựơng chất thải được sản sinh và đổ trực tiếp vào sông không qua xử lí x 2 để lãi thực của nhà sản xuất là lớn nhất

Lời giải Xét mô hình QHTT xây dựng cho bài toán ở ví dự 3.1.1, nó liên quan đến hai biến quyết

định và ba ràng buộc (ngoại trừ các yêu cầu không âm của các biến quyết định) Miền nghiệm

(feasible space) được xác định bởi tất cả các ràng buộc của mô hình, bao gồm cả ràng buộc không âm của các biến quyết định Do hai biến quyết định không thể âm, miền nghiệm phải nằm trong góc phần tư thứ nhất (Đông Bắc) Miền nghiệm (vùng gạch chéo) cho bài toán ví dụ này được thể hiện trên hình 3.2.1 Mỗi đường liền nét trên hình 3.2.1 được xác định từ mỗi ràng buộc tương ứng ở

phương trình, và hai trục thể hiện hai điều kiện không âm của hai biến quyết định x 1 và x 2 Mũi tên trên mỗi đường chỉ ra nửa mặt phẳng mà trên đó tất cả các điểm thỏa mãn ràng buộc này Miền nghiệm do đó là miền giao của tất cả các nửa mặt phẳng khả thi và tất cả các điểm trên miền nghiệm thỏa mãn đồng thời tất cả các ràng buộc Mỗi điểm thuộc miền này là một nghiệm khả thi cho mô hình tối ưu.

Do giá trị của lợi nhuận thực tối đa là chưa biết, một quá trình thử sai cần được tiến hành Đầu tiên, ta

vẽ một đường thẳng x 0 = 0 để cho hàm mục tiêu tương ứng đi qua gốc tọa độ Về mặt toán học mà

nói, tất cả các điểm (x 1 , x 2) nằm trên đường

5x 1 - x 2 = 0 sẽ cho giá trị tổng lợi nhuận thật bằng 0, Tất nhiên, ta chỉ quan tâm đến những điểm nằm

trên vùng kẻ chéo thể hiện miền nghiệm

Để biết được tổng lợi nhuận thực có thể được cải thiện hay không, đường thẳng hàm mục tiêu có thể

được dịch chuyển tiến hoặc lùi song song với đường cũ để xem giá trị hàm mục tiêu biến đổi ra sao

Đường thẳng thể hiện hàm mục tiêu được dịch chuyển sang trái và các giá trị x 1 , x 2 chọn bất kỳ trên

đường này được dùng để tính toán giá trị hàm mục tiêu Ta có thể thấy rằng giá trị x 0 tương ứng với

bất cứ đường thẳng nào dịch chuyển sang trái đường 5x 1 - x 2 =0 và song song với nó đều có giá trị

âm Khi càng dịch chuyển đường này sang trái, giá trị x 0 càng trở nên âm nhiều hơn Điều này chỉ ra

rằng sự tìm kiếm nghiệm được tiến hành sai hướng vì bài toán đặt ra là loại tối đa hóa; giá trị x 0 càng lớn càng tốt Như vậy, hướng tìm kiếm nên được thay đổi bằng cách chuyển dịch đường thẳng hàm

mục tiêu về bên phải của đường 5x 1 - x 2 =0, Ngay lập tức, giá trị của lợi nhuận thực chuyển sang

dương và tăng liên tục khi đường này được chuyển xa về phía phải Tuy nhiên, đường này không thể dịch chuyển sang phải một cách vô hạn kể cả khi nó liên tục làm tăng lợi nhuận thực Như có thể

nhận thấy, sau khi vượt qua điểm C, đường thẳng hàm mục tiêu không chứa một nghiệm khả thi nào Trong ví dụ này, có thể kết luận rằng, cặp x 1 , x 2 tại điểm C, (6,2), là nghiệm tối ưu của bài toán Lợi nhuận thực có thể đạt được của nhà xuất là 5 (6) - 1 (2) = 28 nghìn đô la

Phương pháp đồ giải chỉ áp dụng được cho những bài toán có chứa hai biến quyết định Đối với các bài toán có nhiều hơn hai biến quyết định, hình dạng của các hàm mục tiêu và các phương trình ràng buộc có dạng các

mặt đa diện lồi trong không gian n-chiều

3.2.2 Các điểm cực trị (điểm góc) khả thi

Trong ví dụ minh họa vừa rồi, nghiệm tối ưu của bài toán QHTT tìm

được khi sử dụng phương pháp đồ nằm tại một điểm góc của miền nghiệm

(gọi là điểm khả thi cực trị) Cần nhấn mạnh rằng, không có gì là đặc biệt

và trùng hợp về ví dụ này và dẫn đến một kết quả như vậy Thực tế, đối với tất cả các bài toán QHTT nghiệm tối ưu luôn rơi vào biên của miền nghiệm Các điểm cực trị khả thi trong một bài toán QHTT có ba tính chất quan trọng ý nghĩa của nó đối với kỹ thuật giải đại số sẽ được mô tả ở phần sau Những tính chất sau đây được đưa ra không kèm với chứng minh toán học Những chứng minh này có thể tìm thấy ở các sách QHTT hay sách quy hoạch toán (Dantzig, 1963, Bradley, Hax và Magrati, 1977; và Taha, 1987)

Tính chất 1a: Nếu mô hình QHTT chỉ có duy nhất một nghiệm tối ưu, nghiệm này phải nằm tại một điểm cực trị khả thi Tính chất 1b Nếu bài toán có nhiều nghiệm tối ưu, ít nhất hai trong số các nghiệm tối ưu nằm tại hai điểm cực trị khả thi cạnh nhau

Như đã được minh hoạ trong hướng tiếp cận đồ giải, mỗi bài toán chỉ có một nghiệm tối ưu duy nhất, chúng ta luôn có thể nâng lên hay hạ xuống

đường hàm mục tiêu (hay mặt đa diện) cho đến khi nó tiếp xúc với điểm đó,

điểm tối ưu, tại một góc của miền nghiệm Có thể tưởng tượng ra rằng các nghiệm tối ưu đa nghiệm xảy ra khi đường thẳng hàm mục tiêu (hay mặt đa diện) song song với một trong số các biên của miền nghiệm Đối với bài toán hai chiều, nếu đa nghiệm xảy ra, hai điểm cực trị khả thi tối ưu nằm cạnh nhau Đối với các bài toán nhiều chiều hơn, có nhiều hơn hai điểm cực trị khả thi tối ưu nằm cạnh nhau ý nghĩa của tính chất này là, trong khi đi tìm nghiệm tối ưu cho một bài toán QHTT, sự chú ý có thể tập trung vào các điểm cực trị khả thi, chứ không phải là vùng bên trong của miền nghiệm

Hình 3.2

Một miền nghiệm của ví dụ sản xuất – xử lí nước thải

Tính chất 2: Chỉ có một số hữu hạn các điểm khả thi cực trị

Xét một mô hình QHTT có dạng chính tắc với m phương trình và n biến

quyết định chưa biết (n>m) Đối với hệ các phương trình trên, số các

nCm = n!(n-m)! và là hữu hạn Tuy nhiên, số nghiệm này cung cấp giới hạn

trên của số các điểm khả thi cực trị bởi vì rất nhiều trong số các nghiệm này

là không khả thi hay không tồn tại Tính chất này có thể gợi ý rằng nghiệm tối ưu có thể thu được bằng cách liệt kê và xem xét tất cả các điểm cực trị khả thi Tuy nhiên, điều này thường là không khả thi vì số các điểm khả thi

có thể rất lớn để có thể liệt kê và xem xét một cách hiệu quả Hơn thế nữa, nghiệm tối ưu không thể xác định được trước khi tất cả các điểm cực trị khả thi được liệt kê và xem xét

Tính chất 3: Nếu một điểm cực trị khả thi tốt hơn (đánh giá với x 0 ) tất cả các điểm khả thi bên cạnh nó thì nó cũng tốt hơn tất cả các điểm cực trị khả thi còn lại (có nghĩa là nó là một điểm tối ưu toàn cục.)

Từ tính chất này ta không phải đi liệt kê và xem xét tất cả các điểm cực trị khả thi để tìm được nghiệm tối ưu của bài toán Thay vào đó, vị trí của một điểm cực trị khả thi đang xem xét có thể được khẳng định đơn giản bằng việc so sánh nó với các điểm cạnh nó Nếu tính chất 3 được thỏa mãn,

điểm cực trị khả thi mà ta đang xét là nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán

QHTT

Nên nhấn mạnh rằng yêu cầu cơ bản cho tính chất này tồn tại là miền nghiệm là lồi Nếu không, nghiệm tối ưu thu được sẽ không được đảm bảo

là nghiệm tối ưu toàn cục mà chỉ là nghiệm tối ưu cục bộ Hiện tượng này

đặc biệt thường xuyên xảy ra trong các bài toán quy hoach phi tuyết tính May mắn là miền nghiệm của các bài toán QHTT hầu như là luôn luôn lồi

3.2.3 Thuật giải cho các bài toán quy hoạch tuyến tính

ở mục này ba tính chất quan trọng của điểm cực trị khả thi thảo luận trước đây sẽ được ứng dụng vào một bài toán QHTT và một thuật giải sẽ

được thiết kế để giải bài toán QHTT này Chúng ta quay lại bài toán sản xuất, xử lí chất thải trước đây Như được mô tả ở hình 3.2.1, mô hình QHTT

có bốn điểm cực trị khả thi Đầu tiên, ta phải xác định điểm xuất phát cho việc tìm kiếm nghiệm tối ưu Hiển nhiên là nếu điểm xuất phát gần với

điểm tối ưu, ta có thể hy vọng việc tìm kiếm nghiệm sẽ nhanh hơn Tuy nhiên, nhìn chung là rất khó có thể xác định ngay từ đầu một điểm xuất phát tốt, đặc biệt là cho các bài toán nhiều chiều Do vậy, sẽ là hợp lý nếu

bắt đầu việc tìm kiếm từ điểm ở gốc tọa độ (x 1 , x 2 ) = (0,0) vì điểm gốc là

một điểm cực trị khả thi, chú ý rằng trong công việc tìm kiếm nghiệm tối

ưu, luôn cần thiết bắt đầu với một nghiệm khả thi

Khi đã xác định được điểm xuất phát cực trị khả thi, giá trị của hàm mục

tiêu tương ứng x 0 sẽ được tính để làm cơ sở cho các bước so sánh tiếp theo

Trong trường hợp này, tại điểm (0,0), giá trị x 0 tương ứng bằng 0, Bước tiếp theo là tìm một nghiệm tốt hơn bằng cách so sánh các giá trị của các hàm mục tiêu tại các điểm cực trị khả thi bên cạnh Hai điểm cực trị khả thi bên

cạnh điểm (0, 6) là B (2, 4) và D (5, 0) với các giá trị tương ứng của hàm

mục tiêu lần lượt là 6 và 25 Kết quả này chỉ ra rằng sự dịch chuyển từ điểm

A đến D đạt được sự cải thiệt tốt hơn so với từ A đến B Do vậy, điểm D trở

thành điểm cực trị khả thi cơ sở

Tại điểm D, quá trình so sánh được lập lại bằng cách xác định các điểm cực trị khả thi nằm bên cạnh điểm D Trong trường hợp này, hai điểm A và

C là hai điểm tiếp giáp Tuy nhiên từ so sánh trước đây, giá trị hàm mục

tiêu tại A không tốt hơn giá trị tại điểm hiện tại D Do vậy điểm C là điểm cực trị khả thi cần được so sánh với điểm D Tại điểm C (6, 2) giá trị x 0 bằng 5(6) - 1(2)=28 Do giá trị này lớn hơn 25 tại điểm D, điểm cực trị khả thi cơ sở được thay bằng điểm C Tại điểm cực trị khả thi cơ sở C, không còn điểm cực trị khả thi tiếp giáp nào để so sánh (điểm B đã được so sánh

và loại bỏ bởi điểm D trong bước trước đây) Giá trị của x 0 tại điểm C là tốt hơn so với tất cả các điểm CTKT bên cạnh (điểm B và D) Từ tính chất thứ

ba của các điểm CTKT thảo luận trước đây, ta có thể kết luận rằng nghiệm

tối ưu của ví dụ sản xuất, xử lí chất thải là sản xuất 6 đơn vị thành phẩm và

đổ trược tiếp hai đơn vị chất thải ra sông mà không qua xử lí Điều đó cũng

có nghĩa là có 2(6) - 2=10 đơn vị chất thải đi qua nhà máy xử lí Giá trị lãi

ròng tương ứng là 28 nghìn đô la

Các bước được mô tả trên đây (sử dụng 3 tính chất của các điểm CTKT

để giải một mô hình QHTT) hình thành khái niệm về một thuật giả nổi tiếng được gọi là Phương pháp đơn hình (Simplex method) Phương pháp này là một quy trình tổng quát để giải các bài toán QHTT Nó là một phương pháp rất hiệu quả đã được áp dụng để giải các bài toán lớn hơn liên quan đến hàng trăm các biến quyết định và ràng buộc trên máy tính điện tử Các chương trình máy tính dựa trên phương pháp đơn hình có mặt rộng rãi

để sử dụng

Ví dụ 3.2.2 Giải bằng phương pháp đại số bài toán sản xuất, xử lí chất thải của ví dụ 3.2.1

Lời giải Hàm mục tiêu và các ràng buộc có thể được viết như sau:

Bước lặp bắt đầu bằng việc lựa chọn hoặc biến x 1 hoặc biến x2 nên tăng giá từ giá trị 0, Do x 1 có hệ số

âm lớn nhất (-5) nên nó sẽ có tác động lớn nhất cho việc làm tăng hàm mục tiêu Quyết định tiếp theo

là cần tăng x 1 lên bao nhiêu Cần nhớ rằng các biến ảo không bao giờ có giá trị âm Đầu tiên kiểm tra

ràng buộc 1 bằng cách tìm giá trị x 1 với s 1 = 0 và x 2 = 0,

2 1 1

Đối với ràng buộc 1, x1 = 10 là quá lớn vì biến ảo s1 mang giá trị âm (s 1 = -10) Tiếp theo, xét ràng

buộc 2 và tìm giá trị x 1 với x 2 = 0 và s 3 = 0,

Ràng buộc 3: -2x 1 + 0s 1 + 0s 2 + 0 = 0

x 1 = 0

Điều này nói lên rằng nó không di chuyển khỏi vị trí xuất phát

Kết quả của sự phân tích trên cho ta thấy giá trị lớn nhất của x1 có thể tăng được là x1 = 5, với x2 = 0,

s 2 = 2, s3 = 10, Nhìn lại hình 3.2.2, điểm này chính là điểm D Giá trị hàm mục tiêu x0 tương ứng với nghiệm khả thi tại điểm D là:

Bước lặp thứ 2 này bắt đầu bằng việc định nghĩa xem biến nào nên được tăng lên từ giá trị 0, Hàm mục tiêu từ trên có dạng:

Hệ số âm lớn nhất là -3/2 của x2 Do đó x2nên tăng từ 0 để làm tăng giá trị hàm mục tiêu

Câu hỏi tiếp theo là cần tăng x2bao nhiêu

Ràng buộc 1: x2= 2x1-10 Nếu x1và x2>0 thì s1=0

Ràng buộc 2: x2

= 2 + 0,2s1-s2 Nếu x1và x2>0 thì s2=0 2

x

= 2 Ràng buộc 3: 0x1+ 0x2+ 0 +0s2 + s3 = 10, do đó

Cả x1và x2có hệ số 0, do vậy không thể thay đổi giá trị x1và x2 thêm nữa để tăng giá trị hàm mục tiêu

3.2.4 Thuật toán cơ bản để giải các bài toán QHTT

Như được minh họa ở ví dụ trên, ba bước chính liên quan đến giải một bài toán QHTT:

1 Bước khởi động: Bắt đầu với một nghiệm cực trị khả thi

so với các điểm bên cạnh nó

3.3 Phương pháp đơn hình

3.3.1 Các khái niệm đại số và thiết lập cơ bản

Như đã được minh hoạ từ trước, mô hình QHTT sử dụng phương pháp

đồ giải cũng như hướng tiếp cận tìm kiếm có thể được thực hiện dễ dàng khi bài toán chỉ bao gồm hai biến quyết định Mục đích của ví dụ trên chỉ là để minh hoạ các khái niệm hình học của phương pháp đơn hình và thuật toán cơ bản của nó Để giải các bài toán có quy mô lớn hơn, xét về số lượng các biến quyết định và các ràng buộc, các phương pháp được đề cập trước đây không thể áp dụng được Hơn nữa, để thực hiện các thuật toán giải trên máy tính, các vấn đề phải được diễn giải đại số

Hình 3.2.2

Minh họa thuật giải đại số bài toán QHTT

Trong việc giải bài toán sử dụng các quy trình đại số thì việc dùng các phương trình nhìn chung thuận tiện hơn so với dùng bất phương trình Do

đó, để giải một mô hình QHTT sử dụng phương pháp đại số đơn hình, đầu tiên, mô hình phải chuyển thành dạng chính tắc (như trong ví dụ 3.1.2) Bài

toán QHTT bao gồm 5 biến quyết định (x 1 , x 2 , s 1 , s 2 , s 3 ) và 3 phương trình

Trong đại số tuyến tính, hệ phương trình được gọi là bất định nếu số ẩn

lớn hơn số phương trình Đối với các bài toán có n ẩn và m phương trình trong đó n > m thì không có lời giải duy nhất Biện pháp khả thi cho việc giải hệ bất định là đặt (n-m) biến bằng 0 và giải cho m ẩn còn lại Các

nghiệm tìm được được gọi là các nghiệm cơ sở Về mặt lý thuyết, chúng ta

sẽ có tổng số nghiệm là n C m nghiệm cơ sở cho bài toán nếu tất cả đều tồn tại Cho ví dụ ta đang xét, bài toán có nhiều nhất 5C 3 = 5! / (3! 2!) = 10

nghiệm cơ sở Về mặt hình học, mỗi nghiệm cơ sở diễn tả giao điểm của 2 phương trình ràng buộc, một điểm cực trị, bao gồm cả điều kiện dương của

x 1 và x 2 Ví dụ chỉ ra trong hình 3.2.1 có 6 nghiệm cơ sở Hơn nữa, trong số

6 nghiệm cơ sở tồn tại, chỉ có 4 điểm khả thi Những điểm này được diễn tả bởi 4 điểm cực trị khả thi Bây giờ chúng ta cùng kiểm tra các nghiệm cơ sở liên quan tới 4 điểm cực trị khả thi như trong bảng 3.2.1 Mỗi một điểm cực trị khả thi có đúng hai biến (trong 5 biến) được đặt bằng 0, Một số 0 khác

liên quan tới các điểm cực trị khả thi A và B có được từ ràng buộc thứ 3,

trong đó các hệ số bên vế phải của nó bằng 0,

Trong bài tập vừa rồi, (n-m) biến quyết định đặt bằng 0 được gọi là các

biến không cơ sở trong khi m biến quyết định còn lại mà các giá trị của

chúng tìm được bằng cách giải hệ phương trình gồm m phương trình và m

ẩn, được gọi là các biến cơ sở Nghiệm của các biến cơ sở là không âm

được gọi là nghiệm cơ sở khả thi và nó xác định điểm cực trị khả thi tương

ứng nằm trong miền nghiệm Do vậy, trong việc giải đại số mô hình QHTT, chỉ cần đi xem xét từng nghiệm khả thi cơ sở của mô hình có dạng QHTT chuẩn

3.3.2 Dạng đại số của phương pháp đơn hình

Phương pháp đơn hình giải một mô hình QHTT bằng cách lợi dụng 3 tính chất của điểm cực trị khả thi đã được thảo luận trước đó Thuật toán tìm kiếm sự tối ưu của một mô hình QHTT luôn tuân theo 2 điều kiện cơ

bản: (1) Điều kiện tối ưu và (2) Điều kiện khả thi

Điều kiện tối ưu đảm bảo rằng không gặp các điểm suy giảm (đối với

điểm nghiệm đang xét) Điều kiện khả thi đảm bảo rằng, bắt đầu với một nghiệm khả thi cơ sở, chỉ có các nghiệm khả thi cơ sở được xem xét trong suốt quá trình tính toán

Để giải đại số mô hình QHTT, dạng chính tắc của mô hình có thể được

đặt vào dạng bảng như trong bảng 3.3.2, trong đó hàm mục tiêu được diễn tả như sau:

x 0 - 5x 1 + x 2 - 0s 1 - 0s 2 -0s 3 = 0

Bây giờ bài toán QHTT có thể được giải theo 3 bước của thuật giải đã

được trình bầy trong Mục 3.2.4

Bước khởi động- phương pháp đơn hình bắt đầu từ một nghiệm khả thi

cơ sở bất kỳ Các biến ảo cho ta một nghiệm xuất phát khả thi bởi vì từ bảng 3.3.2 ta thấy (a) các hệ số ràng buộc của chúng tạo nên một ma trận

đơn vị; và (b) toàn bộ các hệ số vế phải đều không âm (tính chất của dạng chính tắc)

Bước lặp- bước này liên quan đến hai quy trình tính toán dựa trên điều

kiện tối ưu và điều kiện khả thi Quy trình thứ nhất xác định ra một biến khả thi cơ sở mới làm cho giá trị hàm mục tiêu được cải thiện Phương pháp

đơn hình thực hiện điều này bằng cách lựa chọn một trong số các biến không cơ sở hiện thời để tăng lên trên giá trị 0, biết trước rằng hệ số của nó

trong hàm mục tiêu có khả năng cải thiện giá trị hiện thời của x 0, Do một

điểm cực trị khả thi trong mô hình QHTT phải có (n-m) các biến không cơ

sở bằng 0, một biến cơ sở hiện thời phải được biến đổi thành không cơ sở, biết trước nghiệm là khả thi Biến không cơ sở hiện thời bị biến đổi thành

cơ sở được gọi là biến vào trong khi biến cơ sở hiện thời bị biến đổi thành không cơ sở được gọi là biến ra

Đối với một bài toán tối đa hoá, biến vào được lựa chọn dựa trên điều kiện tối ưu, vì biến không cơ sở có hệ số âm lớn nhất trong phương trình x0

ở bảng đơn hình Điều này là tương đương với việc lựa chọn một biến với hệ

số dương lớn nhất trong hàm mục tiêu gốc bởi vì độ lớn của hệ số hàm mục tiêu diễn tả tốc độ thay đổi của hàm mục tiêu do thay đổi một đơn vị giá trị của biến quyết định

Hệ số có giá trị âm lớn nhất được chọn bởi vì nó có tiềm năng lớn nhất trong việc cải thiện giá trị hàm mục tiêu Mặt khác, việc lựa chọn biến vào cho bài toán cực tiểu hoá tuân theo quy luật ngược lại Đó là, lựa chọn biến không cơ sở với hệ số dương lớn nhất trong hàng của hàm mục tiêu trong bảng đơn hình như là biến vào Khi mà biến vào đã được xác định, một trong số các biến cơ sở hiện thời phải được chọn để trở thành biến không cơ

sở Sự lựa chọn biến đi ra được thực hiện bằng điều kiện khả thi để chắc chắn rằng chỉ có các nghiệm khả thi được liệt kễ xem xét trong suốt các bước lặp Biến ra được lựa chọn sử dụng tiêu chuẩn sau:

i i ik

b a

  với mọi a ik >0

với a ik là các hệ số của các ràng buộc liên quan đến các biến vào x k

Biến cơ sở hiện thời nằm trong hàng hàng có θ = min (i ) được lựa chọn

như là biến ra

Ví dụ 3.3.1 Dựa trên bảng 3.3.1 lựa chọn biến vào, biến ra cho bước lặp đầu tiên

Lời giải Xem xét bảng đơn hình 3.3.2, biến quyết định x 1 có thể được lựa chọn như là biến vào Hướng liên quan tới biến vào chỉ ra hướng mà theo đó nghiệm tốt hơn có thể tìm được Xem hình

3.2.1, nó diễn tả sự di chuyển từ nghiệm khả thi cơ sở hiện thời tại điểm A dọc theo chiều dương của trục x 1 Di chuyển dọc theo chiều dương của trục x1, có thể tìm thấy hai điểm cực trị D(5,0) và

E (10,0) Thực tế, 5 và 10 là giao điểm của hai phương trình ràng buộc thứ nhất và thứ hai với trục

x 1 dương hình 3.2.1 cũng chỉ ra rằng điểm E(10,0) là không khả thi cho bài toán Do vậy, từ điều này thấy rằng di chuyển dọc theo chiều dương của trục x 1 từ điểm A chỉ có thể tới điểm D mà không

phá hoại các điều kiện khả thi Các giao điểm của các phương trình ràng buộc với trục chỉ ra hướng tìm kiếm có thể thu được từ bảng đơn hình bằng cách tính tỷ số của các phần tử trong cột nghiệm với các phần tử ràng buộc nằm trong cột tương ứng với biến vào Xem xét ví dụ được minh họa trong bảng 3.3.2, hai cột được sử dụng để tính toán giao điểm được chỉ ra bên dưới trong bảng 3.3.3

và theo:

1 1 11

2 2 21

10 5 2 4 10

0, 4

b a b a





Tỷ số nhỏ nhất là  = min (1 , 2 ) = min (5,10) = 5

Chú ý rằng tỷ số cho ràng buộc cuối cùng không được xác định bởi vì hệ số -2 của cột x 1 chỉ ra

hướng tìm kiếm theo chiều âm trên trục x 1, nó không khả thi bởi vì các biến quyết định yêu cầu không âm So sánh các giá trị của các giao điểm dương, biến cơ sở có liên quan tới giá trị giao điểm

nhỏ nhất, đó là min(5,10) =5, là s 1 s 1 này sẽ được chọn như là biến ra và trở thành biến không cơ sở

để cho điều kiện khả thi được thỏa mãn Cho mục đích thảo luận, nếu s2 được chọn là biến ra, sự

quyết định sẽ dẫn chúng ta đến điểm E nằm bên ngoài miền nghiệm và nghiệm trở nên không khả

thi

Khi mà biến vào đã được lựa chọn dựa trên điều kiện tối ưu và biến ra

được lựa chọn theo điều kiện khả thi, trạng thái của các biến trong danh sách biến cơ sở

Các giá trị của các phần tử trong bảng đơn hình liên quan tới các biến cơ

sở và không cơ sở mới có thể được tính toán theo các biến đổi hàng (hay phương pháp giải triệt tiêu Gauss-Jordan) Hàng ràng buộc có liên quan tới

biến ra được gọi là phương trình chính và làm cơ sở cho biến đổi hàng này

Các phần tử nằm tại điểm giao giữa cột đi vào và hàng chính được gọi là

phần tử chính Phương trình chính và phần tử chính đóng vai trò trung tâm

trong tính toán Trong biến đổi hàng, mục tiêu là biến đổi bảng sang dạng

có các phần tử chính bằng một và các phần tử khác bằng không tại bất kỳ

đâu trong cột liên quan tới biến cơ sở mới

Ví dụ 3.3.2 Xem bảng 3.3.2 thực hiện phép biến đổi chính để cập nhật bảng đơn hình sau khi x1 và

s1 được lựa chọn tương ứng là biến vào và biến ra

Lời giải Biết rằng x 1 là biến vào và s 1 là biến ra, phần tử chính trong bảng 3.3.4 là 2, nó được khoanh

tròn Hàng tương ứng với điểm chính này là hàng chính Biến đổi chính bằng phương pháp triệt tiêu

Gauss-Jordan, xem bảng 3.3.4, bao gồm 2 bước sau:

Chia toàn bộ các phần tử trong phương trình chính liên quan tới s2 bởi giá trị của phần tử chính

áp dụng các phép nhân thích hợp vào hàng chính vừa được sửa đổi ở bước (1) và các hàng khác trong

bảng này (xem bảng 3.3.4) sao cho toàn bộ các phần tử khác với phần tử chính trong cột đi vào có giá

trị bằng không

Bảng đơn hình mới thu được sau các biến đổi trên thể hiện trong Bảng

3.3.5 trong đó danh sách thành viên được cập nhật, s 1 được thay thế bởi

x 1 Các giá trị trong cột nghiệm liên quan tới ba ràng buộc là các giá trị

tương ứng với các biến ởc bản hiện thời Giá trị trong cột nghiệm ở hàng

x 0 là giá trị của hàm mục tiêu tại điểm nghiệm hiện thời Với bảng đơn

hình hiện thời, nghiệm mới là x 1 = 5 và x 2 = 0 (do trạng thái không cơ

sở của nó) với giá gị hàm mục tiêu tương ứng x 0 = 25 Các giá trị của

các biến ảo là không quan trọng trong hoàn cảnh hiện thời vì chúng

không có ảnh hưởng tới giá trị của hàm mục tiêu

Bảng 3.3.4

Minh hoạ các biến đổi hàng

x 0 x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 Nghiệm Biến đổi hàng

các biến cơ sở Thực ra không phải tất cả các phần tử trong bảng cần tính

toán ở mỗi bước lặp Biến đối hàng được mô tả ở phần trên có thể được sửa

đổi làm tăng tính mềm dẻo để có thể tính toán các giá trị của bất kỳ phần tử

nào trong bảng Giả thiết rằng trong bất kỳ vòng lặp nào của phương pháp

đơn hình, phần tử a ij ở hàng i cột j là phần tử chính Giá trị của phân tử tại

giao của hàng k cột l, a kl, có thể được tình toán theo:

A ’ kl = (a kl a ij - a kj a il )/ a ij (3.3.1)

trong đó a ’ kl là giá trị mới thay thê giá trị cũ a kl trong bảng đơn hình trước

Thông tìn cần được sử dụng trong phương trình (3.3.1) được thể hiện trên

hình 3.3.1

Khi một bảng đơn hình mới được tạo ra, cần phải xem xét xem nghiệm tối ưu đã có thể tìm được chưa Điều này được thực hiện bằng cách kiểm tra các giá trị của các biến không cơ sở hiện thời trong hàng của hàm mục tiêu trong bảng đơn hình Sử dụng lập luận giống như đã sử dụng ở bước lặp thứ nhất, chúng ra xem xem có các biến không cơ sở còn lại nào có tiềm năng

làm tăng thêm giá trị hiện thời của x 0, Đối với các bài toán tối đa hoá, bất kỳ một biến không cơ sở nào liên quan đến một hệ số âm trong hàng x0 của bảng đơn hình đều có thể là ứng cử cho biến vào trong vòng lặp tiếp sau Nếu trường hợp này xảy ra, bảng đơn hình hiện thời được tối ưu hoá lại sử dụng một quy trình giống như được mô tả ở trên Nếu tất cả các hệ số mục tiêu ở hàng x0 của bảng đơn hình là không âm, nghiệm tối ưu đã đạt được

bởi vì không còn biến nào có tiềm năng làm tăng thêm giá trị của x 0,

Xem xét bảng đơn hình hiện thời ta thấy rằng hệ số mục tiêu liên quan

tới x 2 (một biến không cở sở) trong hàng x 0 là -1,5 Điều này chỉ ra rằng nếu tăng giá trị của x2 từ mức không có thể tiếp tục làm tăng giá trị hiện thời

của x 0 = 25 Do đó x 2 được lựa chọn làm biến vào Để lựa chọn biến ra, các

tỷ số giữa các nghiệm của các biến cơ sở hiện thời (x 1 , s 2 , s 3 ) với các thành

phần trong bảng ở các cột đi vào được tính toán Biến cơ sở hiện thời liên quan tới tỷ số dương nhỏ nhất được lựa chọn làm biến ra Có nghĩa là, biến cơ sở hiện thời, tương ứng với min(-,2/1,10/0) = min(-,2,∞) = 2 là biến ra trong vòng lặp thứ hai của phương pháp đơn hình

Hàng chính là hàng s 2 và phần tử chính là 1 Sau các biến đổi hàng, bảng

đơn hình mới được cập nhật trên bảng 3.3.6 Điểm cực trị khả thi liên quan

tới bảng này là (x 1 , x 2 ) = (6, 2) và giá trị của hàm mục tiêu tương ứng, x 0, là

28, và lớn hơn giá trị trước đó bằng 25 Xem xét các hệ số mục tiêu ở hàng

x 0 của bảng ta thấy tất cả các hệ số là không âm Đối với bài toán cực đại hoá, là trường hợp bài toán sản xuất và xử lí chất thải, nó chỉ ra rằng không

có các biến không cơ sở (s 1 , s 2 ) nào tồn tại có tiềm năng làm tăng tiếp giá trị

của hàm mục tiêu

Hình 3.3.1

Các biến đổi hàng các phần tử

Với điều này chúng ra có thể kết luận rằng nghiệm hiện thời (x* 1 , x* 2 ) = (6, 2), là nghiệm tối ưu và lãi thực tối đa có thể thu được cho người sản xuất x* 0 = 28 nghìn đô la

3.3.3 Tóm tắt phương pháp đơn hình

Từ các mô tả của thuật toán đơn hình để giải các bài toàn QHTT, quy trình giải tuân theo hai điều kiện cơ bản, đó là, điều kiện tối ưu và điều kiện khả thi Cụ thể hơn cho các biến đổi đại số, hai điều kiện này có thể được mô tả bằng ngôn từ như sau

Điều kiện tối ưu làm cơ sở cho việc lựa chọn các biến vào có tiềm năng

làm tiếp tục tăng giá trị của hàm mục tiêu Nếu cho rằng hàng x 0 được thể

hiện lại chỉ theo các biến không cơ sở, ta đi lựa chọn các biến vào trong bài toán tối đa hoá (tối thiểu hoá) từ các biến không cơ sở có hệ số âm (dương)

nhất ở hàng x 0, Khi tất cả các hệ số vế trái của hàng x 0 trong bảng đơn hình

là không âm (không dương), ta đã đạt được nghiệm tối ưu của bài toán

Điều kiện khả thi làm cơ sở cho việc lựa chọn các biến ra để cho các nghiệm thu được từ các bước lặp đơn hình luôn khả thi Biến ra là các biến cơ sở tương ứng với các tỷ số dương nhỏ nhất của giá trị hiện thời của các biến cơ sở trên các hệ số ràng buộc dương của các biến vào, không phụ thuộc vào loại bài toán là cực đại hay cực tiểu hoá

Các bước sau đây tóm tắt phương pháp đơn hình cho bài toán cực đại hoá:

Bước 0: Biến đổi bài toán về dạng chính tắc với một nghiệm khả thi cơ

sở xuất phát và sau đó thiết lập dạng bảng Bảng ban đầu phải luôn chứa các nghiệm cơ sở khả thi (kiểm tra xem có một ma trận đơn vị)

lại; nghiệm tối ưu đã được tìm; nếu không, chuyển đến bước 2

chỉ ra cột chính hay cột chủ chốt

Bước 3: Lướt qua các hệ số cột định vị (chủ chốt); nếu tất cả chúng là

không âm, dừng lại; nghiệm không xác định (xem mục 3.6) Nếu ít nhất một phần tử là dương, chuyển tới bước 4

Bước 4: Tính

i = b i /a ik với mọi a ik > 0

ở đây, a ik là phần tử thứ i của cột chính Sau đó tìm  = min (i ) Biến mà

được định nghĩa ở bước 2 thay thế biến của hàng chính trong vòng lặp tiếp theo

Bước 5: Để thu được bảng tiếp theo chia hàng chính cho phần tử chính

Bây giờ sử dụng hàng này để thực hiện việc biến đổi hàng (phép cộng của hàng này sau khi được nhân) với các hàng khác để thu được tất cả các số

không cho các giá trị còn lại trong cột chính (bao gồm cả hàng x 0) Quay lại bước 1

3.4 Phương pháp biến nhân tạo

Thuật toán đơn hình được trình bày trong mục trước có thể áp dụng trực tiếp cho các bài toán mà các biến cơ sở ban đầu có sẵn ngay sau bước khởi tạo Đây là trường hợp nếu tất cả các ràng buộc trong mô hình là , các biến ảo có thể được thêm vào để làm cho chúng trở thành đẳng thức Ma trận các hệ số công nghệ của các biến ảo tại bước khởi tạo ban đầu có dạng một ma trận đơn vị Tuy nhiên, sẽ cần đến một số sự hiệu chỉnh công thức mô hình cho các bài toán mà không thể dễ dàng tìm thấy nghiệm khả thi cơ

sở bắt đầu Điều này thường xảy ra với những mô hình có các các ràng buộc thuộc loại  hoặc = Bằng việc đơn giản là trừ đi biến ảo, s 3, từ vế trái của dạng chính tắc của các ràng buộc, dẫn tới

âm của dạng chính tắc

Phương pháp biến nhân tạo đơn giản là một thủ thuật toán học mà

thông qua sự bổ xung các biến (gọi là biến nhân tạo) để có thể giải một mô hình quy hoạch tuyến tính sử dụng thuật toán đơn hình chính tắc được trình bày ở trên Về cơ bản, các biến nhân tạo được sử dụng trong hai trường hợp: (a) với các ràng buộc thuộc loại , các ràng buộc được viết thành:

1

n

ij j i i i j

Chú ý rằng hệ số đi kèm với các biến nhân tạo trong các ràng buộc luôn luôn bằng +1 Mục đích chính của việc đưa ra các biến nhân tạo là để sử dụng chúng như các biến khả thi cơ sở ban đầu để áp ụng thuật toán đơn hình chính tắc Một lý do khác đưa ra các biến nhân tạo là những sự bổ xung của các biến này có thể gây nên một sự vi phạm của ràng buộc tương ứng, trừ khi chúng bằng 0, Các biến nhân tạo có thể được sử dụng như những chỉ số để nói lên liệu mô hình đã xây dựng có một nghiệm khả thi hay không Nếu tất cả các biến nhân tạo trong bài toán được chuyển tới không cơ sở tại mực 0 khi thuật toán đơn hình kết thúc, bài toán có ít nhất một nghiệm khả thi Mặt khác, nếu ít nhất một biến nhân tạo vẫn còn trong các biến cơ sở khi đạt tới tối ưu, thì không gian nghiệm của bài toán không tồn tại và bài toán là vô nghiệm

Sử dụng các biến nhân tạo như nghiệm cơ sở ban đầu trong bước lặp đơn hình, ta cần nhận rõ rằng nghiệm bắt đầu là không khả thi cho các ràng buộc gốc của bài toán Để tìm nghiệm khả thi tối ưu cho bài toán gốc, tất các các biến nhân tạo phải được chuyển về 0, nếu có thể Có nhiều cách để làm như vậy Các mục con sau trình bày hai phương pháp được sử dụng phổ biến trong việc giải một mô hình quy hoạch phi tuyến khi các biến nhân tạo

được đưa ra Sẽ vẫn sử dụng ví dụ sản xuất, xử lí rác thải để minh họa những phương pháp luận này

Bằng biểu hiện tương tự, nếu bài toán thuộc loại cực tiểu hóa, một hệ số

dương lớn (+M) sẽ được chỉ định cho mỗi biến nhân tạo trong hàm mục

Số M lớn này có thể được xem như bất lợi đơn vị cho bất kỳ sự vi phạm

nào của các ràng buộc mô hình Hàm mục tiêu cho ví dụ này có thể được thành tạo là

Max x05x1x20s10s20s3Mr3

Có hai hạn chế cơ bản của phương pháp số lớn M Đó là:

Bước cuối cùng phải được tiến hành trước khi phát hiện ra rằng bài toán không có nghiệm khả thi, tức là, một số biến nhân tạo là dương

Trong việc thực thi tính toán của phương pháp số lớn M, ta phải giả sử

một giá trị số của M Làm như vậy, các lỗi tính toán và tính bất ổn định có

thể xuất hiện trong tiến trình lặp chủ yếu do một bài toán xác định tỷ lệ

Do đó, phương pháp thứ hai, là phương pháp hai pha, phá vỡ hai trở ngại

của phương pháp số lớn M được sử dụng trong các gói phần mềm tính toán

quy hoạch tuyến tính

3.4.2 Phương pháp hai pha

Phương pháp này lấy tên từ thực tế rằng những tính toán đi theo hai pha Pha thứ nhất của tính toán đơn giản là cố điều chỉnh các biến nhân tạo trong nghiệm sử dụng phương pháp đơn hình vì vậy tạo nên một nghiệm bắt đầu, không có các biến nhân tạo, cho pha thứ hai Pha thứ hai đơn thuần chỉ chuyển dịch tới nghiệm tối ưu sử dụng thuật toán đơn hình

Trong tính toán Pha I, mô hình được giải có một hàm mục tiêu được diễn tả bằng:

Min 0

1

K k k



 (3.4.3)

trong đó K là tổng số biến nhân tạo trong mô hình, với giả thiết là các ràng

buộc ở dạng chính tắc sau khi thêm các biến nhân tạo cần thiết Hàm mục tiêu của pha này là như nhau cho cả bài toán cực đại hóa và cực tiểu hóa Vì

tất các các biến nhân tạo là không âm, rõ ràng là r 0 có thể đạt được nhỏ nhất

là bằng 0 mà chỉ xảy ra khi tất các biến nhân tạo đều bằng 0, Trong trường

hợp mà giá trị của r 0 khác 0 khi sự tối ưu được đạt tới, bài toán không có miền nghiệm

Dựa trên sự hoàn thành Pha I, sự tối ưu hóa Pha II tiếp tục, miễn là tất cả các biến nhân tạo đều trở thành các biến không cơ sở ở mức 0, Trong các

tính toán Pha II, bảng tính toán cuối cùng của Pha I được hiệu chỉnh bằng

việc hạ thấp các cột gắn liền với các biến nhân tạo Hơn nữa, dòng r 0 của

bảng được thay thế bằng dòng x 0 của hàm mục tiêu gốc Trước khi kiểm tra

điều kiện tối ưu, ta phải kiểm tra bảng đó thỏa mãn yêu cầu rằng dòng x 0

chỉ có thể là một hàm của các biến không cơ sở hay chưa Nếu điều kiện này không thỏa mãn, các phép tính dòng phải được thực hiện để thỏa mãn yêu cầu Khi điều kiện này được thỏa mãn, thuật toán đơn hình được áp dụng để giải tối ưu hóa bài toán

Ví dụ 3.4.1 Giải bài toán sản xuất, xử lí rác thải sử dụng phương pháp hai pha

Lời giải Việc thiết lập Pha I của bài toán sản xuất, xử lí rác thải có thể được biểu diễn là:

chỉ bằng một hàm của các biến không cơ sở x 1 , x 2 và s 3 Điều này có thể được hoàn thành bằng việc

thêm dòng r 3 cho dòng r 0, Bảng kết quả được trình bày trong bảng 3.4.1(b)

Mô hình pha I bây giờ có thể được tối ưu hóa bằng việc chọn x 1 làm biến vào theo điều kiện tối ưu cho các bài toán cực tiểu hóa Việc lựa chọn một biến ra cũng giống như trước đây theo điều kiện khả thi Sau một bước lặp, nghiệm tối ưu cho pha I của ví dụ này được đạt tới dựa trên bảng 3.4.1(c) Dựa vào bảng cuối cùng của thủ tục pha I, bảng bắt đầu của pha II được trình bày trong bảng 3.4.1(d) Chú ý rằng bài toán cực đại hóa gốc được xem xét trong các tính toán pha II.

Chú ý rằng bảng 3.4.1(d) không thỏa mãn yêu cầu rằng dòng x 0 chỉ có thể là một hàm của các biến

không cơ sở Biến cơ sở x 1 có hệ số khác 0 trong dòng x 0, Một lần nữa, các phép tính toán dòng lại

được áp dụng để khử hệ số -5 của x 1 trong dòng x 0, Sau các phép tính dòng này, bảng đơn hình kết quả có thể được viết lại như bảng 3.4.1(e) Rõ ràng là điều kiện tối ưu không được thỏa mãn bởi vì

các hệ số trong hàm mục tiêu của các biến không cơ sở x 2 và s 3 là âm Sau một bước lặp nữa, thì đạt

được nghiệm tối ưu với bảng cuối cùng được chỉ ra trong bảng 3.4.1(g)

3.5 Giải thích thuật toán bảng đơn hình

Từ bảng đơn hình cuối cùng ta có thể nhận được thông tin liên quan tới nghiệm tối ưu và giá trị hàm mục tiêu tương ứng Có thông tin nào khác

được cung cấp bởi bảng đơn hình này không? Câu trả lời là có Sẽ rất quan trọng để có thể giải thích thông tin chứa trong bảng đơn hình bởi vì, trong thực tế, mặt tính toán của một thuật toán đơn hình được thực hiện bằng các máy tính Ta nên biết giải thích nghiệm cuối cùng như thế nào và có thể thực hiện phân tích độ nhạy như thế nào Xét bảng cuối cùng, đó là, Bảng 3.4.1(g), của bài toán sản xuất, xử lí rác thải được giải bằng phương pháp hai pha trong ví dụ 3.4.1 Như được trình bày trong các mục con sau đây, ta

có thể nhận được nhiều thông tin hữu ích từ bảng này

3.5.1 Nghiệm tối ưu

Các biến cơ sở tối ưu được liệt kê trong cột đầu tiên của bảng cuối cùng

và các giá trị biến tương ứng được đưa trong cột cuối cùng của bảng Giá trị hàm mục tiêu tối ưu được đưa trong cột nghiệm cùng với dòng hàm mục tiêu Ví dụ, nghiệm tối ưu từ bảng 3.4.1(g) là

3.5.2 Trạng thái của các tài nguyên

Trong nhiều mô hình quy hoạch phi tuyến, các hệ số RHS đặc trưng cho

sự giới hạn về các tài nguyên hay có thể được xem như vậy, đặc biệt là với các ràng buộc loại  Mặc dù các giá trị của các biến ảo không mang ý nghĩa trực tiếp về mức tối ưu của các hoạt động cho bài toán, trạng thái của chúng thực sự biểu lộ trạng thái của tài nguyên hay các ràng buộc tại nghiệm tối ưu hiện thời

Nếu một biến ảo nằm trong tập hợp nghiệm khả thi cơ sở, ràng buộc

tương ứng là không chặt và tài nguyên tương ứng là dồi dào Nói cách khác, ràng buộc là chặt và tài nguyên là khan hiếm Xem bảng 3.4.1(g)

trong Ví dụ 3.4.1, chú ý rằng s 1 và s 2 là không cơ sở còn s 3 là cơ sở Điều này ám chỉ rằng các ràng buộc 1 và 2 là chặt và “tài nguyên” sẵn có tương ứng được sử dụng hết Để đặt sự thể hiện này trong nội dung bài toán, khả năng tổng cộng của nhà máy xử lí và sự hạn chế của khả năng cho phép không xử lí rác thải đều tận dụng hết mức ở quyết dịnh tối ưu Vì LHS của ràng buộc thứ 3 biểu thị lượng rác thải được xử lí, biến ảo s3*  10 thực sự là lượng rác thải tối ưu để được xử lí