Phân tích thống kê trong thủy văn ( ĐH Quốc Gia HN ) - Chương 4 pdf

Hình 4.2: Quan hệ độc lập giữa các đại lượng Hình 4.3: Quan hệ tương quan giữa các đại lượng Thực tế trong thuỷ văn thường sử dụng mối quan hệ tương quan, đó là quan hệ giữa giá trị của

Chương 4 Phân tích tương quan

4.1 Khái niệm

Các hiện tượng thuỷ văn chịu sự tác động của nhiều nhân tố, trong thực tế không thể xem xét đầy đủ Nhiều trường hợp cũng không cần xem xét tất cả mà chỉ xét những nhân tố chính ảnh hưởng đến hiện tượng cần phân tích

Quan hệ giữa hiện tượng thuỷ văn với các nhân tố ảnh hưởng chỉ đưa ra được dạng chung nhất, mang tính tất định, còn sự phân tán do tác động của các nhân tố chưa

được xét đến, mang tính ngẫu nhiên

Tuy nhiên khái niệm chung hơn là quan hệ ngẫu nhiên, tương ứng với tập hợp thống kê đầy đủ khi dung lượng tiến tới vô cùng Mối quan hệ ngẫu nhiên được mô tả

đầy đủ nhất bằng hàm mật độ nhiều chiều, giữa hai biến là hàm mật độ 2 chiều Nhưng như vậy lại cần lượng thông tin rất lớn, nhiều khi không thực hiện được

Trong thực tế chúng ta chỉ có một số mẫu hữu hạn các số liệu, do đó mối quan hệ này chỉ là quan hệ thống kê Ví dụ quan hệ giữa mưa-dòng chảy, giữa mực nước tuyến trên và tuyến dưới Khả năng ứng dụng các mối quan hệ này dựa vào lý thuyết ước lượng thông số và đánh giá dao động ngẫu nhiên của chúng

Mối quan hệ giữa các biến lượng biểu hiện trong 3 dạng sau:

1) Quan hệ hàm số (hình 4.1) Một giá trị của biến lượng này sẽ xác định giá trị tương ứng của biến lượng kia Đó là đối tượng nghiên cứu của toán học

Hình 4.1: Quan hệ hàm số giữa các đại lượng

2) Quan hệ độc lập hay không quan hệ (hình 4.2), biểu hiện sự tản mạn rời rạc, sự thay đổi của biến lượng này không ảnh hưởng đến biến lượng kia

3) Quan hệ tương quan (hình 4.3) Với mỗi giá trị của biến lượng x thì biến số y là không xác định vì y không chỉ phụ thuộc x mà còn bị chi phối của nhiều biến lượng khác Tuy nhiên qua nhiều quan trắc có thể tìm thấy giữa chúng tồn tại một quan hệ nhất định, có tính trung bình, đó chính là quan hệ tương quan

Hình 4.2: Quan hệ độc lập giữa các đại lượng

Hình 4.3: Quan hệ tương quan giữa các đại lượng

Thực tế trong thuỷ văn thường sử dụng mối quan hệ tương quan, đó là quan hệ giữa giá trị của đại lượng x (đối số) với trung bình có điều kiện của đại lượng y (hàm

chất của đại lượng này tuỳ thuộc vào đại lượng kia và số đo sự phụ thuộc đó Thông qua phân tích tương quan có thể đánh giá vai trò của các nhân tố ảnh hưởng, xác định xem chúng cần xem xét hay có thể bỏ qua Trên cơ sở đánh giá mức độ tương quan giữa các biến lượng mà ta có thể bổ sung kéo dài tài liệu cho các khu vực thiếu số liệu quan trắc dựa vào các nhân tố ảnh hưởng

Mối quan hệ tương quan được biểu diễn bằng các phương trình tương quan hoặc hồi quy, nó có thể là tuyến tính hoặc phi tuyến Để thuận lợi trong nhiều trường hợp có thể biến đổi biến số để đưa về dạng tuyến tính Khi đó dạng phân bố gốc được chuyển

về dạng chuẩn

Tương quan có thể chia thành tương quan đơn và tương quan bội Tương quan đơn

là tương quan giữa 2 biến Tương quan bội là tương quan của nhiều biến

4.2 Tương quan tuyến tính 2 biến

4.2.1 Khái niệm

Đây là mối tương quan thường hay sử dụng khi một nhân tố có vai trò quyết định

đối với hiện tượng cần nghiên cứu

Khi chấm các điểm quan hệ lên đồ thị, ta thấy hình thành các nhóm điểm có xu thế đường thẳng như hình (4.3a) Tương quan tuyến tính có thể biểu thị bằng đường hồi quy (phương pháp giải tích) hay đường tương quan (phương pháp đồ giải)

4.2.2 Đường hồi quy

Đường thể hiện tốt nhất, phù hợp nhất với sự phân bố nhóm điểm gọi là đường hồi quy (mỗi giá trị của đại lượng này tương ứng với giá trị trung bình của các giá trị của

đại lượng kia) Nói cách khác ứng với mỗi giá trị biến lượng x ta có một tập hợp các giá trị của biến lượng y, và các giá trị này tuân theo một hàm phân bố nào đó (thường cho

là có phân bố chuẩn) Đường hồi quy sẽ đi qua giá trị trung bình hay kỳ vọng của phân

bố này, chúng ta gọi đó là trung bình có điều kiện Nếu đường hồi quy có dạng đường thẳng thì hồi quy là tuyến tính

Đường hồi quy mà y là hàm số (biến phụ thuộc) còn x là đối số (biến độc lập) gọi là hồi quy y theo x và ký hiệu là y = f1(x), còn ngược lại là đường hồi quy của x theo y, tức

là x = f2(y) Nói chung 2 đường này không trùng nhau (hình 4.4)

Hình 4.4: Đường hồi quy tuyến tính

a.Phương trình đường thẳng hồi quy

Phương trình chung của đường thẳng hồi quy thường có dạng như hình 4.5:

trong đó: a là hệ số góc của đường hồi quy, a=tg, với  là góc nghiêng của đường hồi

quy với trụ x; b là hệ số tự do, là giá trị điểm cắt của đường hồi quy với trục y

Hình 4.5 Đường hồi quy tuyến tính giữa 2 biến (Qnam KonTum-Trung Nghĩa)

Như chỉ ra trên hình 4.5, giữa điểm thực đo với điểm lấy trên đường hồi quy có một khoảng chênh lệch:

Y=f(X)

X=f(Y)

'

b ax y y y

y i  i  i  i  i 

trong đó: '

i

y là giá trị tính theo đường hồi quy; yi là giá trị thực đo

Đường thẳng được coi là phù hợp nhất khi tổng bình phương độ lệch giữa thực đo

và tính toán theo đường hồi quy là nhỏ nhất



i i i

y S

1

2 1

)

Phương pháp để xác định 2 thông số a và b theo nguyên tắc trên gọi là phương

pháp bình phương tối thiểu (hay bình phương nhỏ nhất) Đây cũng là phương pháp thường dùng cho các quan hệ tương quan

b Xác định các thông số của đường hồi quy

Muốn có S nhỏ nhất thì phải có đạo hàm S theo từng thông số bằng 0, tức là:

- Đạo hàm theo a

02

1

2 1

i n

i

i i

n

i

i i n

i

i i

x b ax y a

b ax y a

y y a

S

1

02

x n

y n

y

1

1

(4.8) Giải phương trình (4.5) và (4.7) đối với a và b nhận được:

x n x

y n y x a

i

n

i i

i )(

n

i

n

i i i i

x n x

y x x x y x a y b

1

2 2

2

(4.10)

Thay a, b vào phương trình (4.1) ta được:

))(

(

x x x

x

y y x x y

i

i n

Ví dụ 4.1: Cho số liệu mưa năm 2 trạm Đồng Hới và Tám Lu (Quảng Bình) từ

1989-1998 Tính các hệ số và viết phương trình hồi quy

Chấm các điểm quan hệ tương ứng giữa 2 trạm ta được hình 4.6

Hình 4.6: Tương quan mưa năm Đồng Hới-Tám Lu

x n x

y x n y x a

2

4221410650932712

6250842214106758076704

,

,.,.,

1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 2800 3000

x(mm) y(mm)

Vậy phương trình hồi quy là:

y=1,33.x-436,6

c Hệ số tương quan

Đường hồi quy có thể biểu thị quan hệ tương quan giữa 2 biến nhưng không thể

đánh giá mức độ chặt chẽ của quan hệ tương quan Để biểu thị mức độ chặt chẽ của quan hệ này ta dùng hệ số tương quan r:

trong đó: a là hệ số hồi quy của y theo x; a 1 là hệ số hồi quy của x theo y

Điều đó có nghĩa là hệ số tương quan là trung bình nhân của 2 hệ số hồi quy của y

chặt chẽ, khi  giảm tới 0 thì ta có quan hệ hàm số

Khi r >0, ta có tương quan dương, tức là quan hệ có xu thế đồng biến Đường thẳng hồi quy đi qua tâm phân bố M(x,y)tạo thành một góc nhọn so với trục x Đại lượng y tăng theo sự tăng của đại lượng x

Khi r <0, ta có tương quan âm, tức là quan hệ có xu thế nghịch biến Đường thẳng hồi quy đi qua tâm phân bố M(x,y)tạo thành một góc tù so với trục x Đại lượng y giảm khi đại lượng x tăng

Khi r = 0, không có tương quan., hai biến lượng x và y là độc lập

Khi r = 1, ta có quan hệ hàm số, 2 đường hồi quy trùng vào làm một

n

i

i i

y y x x

y y x x r

2 2

1

)()(

))(

(

(4.13)

Ví dụ 4.2: Từ số liệu cho trong bảng (4.1) Tính hệ số tương quan Ta lập bảng tính

tiếp theo của ví dụ (4.1)(bảng 4.2)

Bảng 4.2: Tính các hệ số tương quan mưa năm 2 trạm Đồng Hới và Tám Lu

) ( x  x ( y  y )2 (yi-y)( xi-x)

i

i i

y y x

x

y y x x r

2 2

1

)()(

))(

(

35189571025

4687947

012526178

,







trong đó: x, y là khoảng lệch chuẩn của các biến lượng x và y

Như vậy, phương trình hồi quy của y theo x là:

)()

a y y

a x x

Hai phương trình trên sẽ cho 2 giá trị khác nhau, nên khi sử dụng để kéo dài số liệu cần lưu ý

đâu là biến số, đâu là hàm số Sự khác nhau giữa 2 phương trình này là đặc tính vốn có của các liên

hệ thống kê, không liên quan đến độ dài hữu hạn của chuỗi quan trắc

Trong thống kê thuỷ văn còn biểu thị hệ số tương quan r dưới dạng:

y x

y x r





),cov(

 , (4.18)

trong đó: cov(x,y) là covarian (mômen tương quan hay hiệp phương sai) của x và y

n

y y x x y

),

)(

x x

y x xy a





2 2 1

)(

y y

y x xy a

y x xy r

Lưu ý rằng: r = 0 chỉ biểu thị không có tương quan tuyến tính, nhưng có thể có tương quan phi tuyến, thậm chí là hàm không tuyến tính

Trong thực tế thường coi là tương quan chặt và sử dụng để tính toán nếu r ≥0,8 Tuy nhiên khi r 0,80 cũng có thể coi là quan hệ chặt nếu nó có thể giải thích bằng nguyên nhân vật lý

Ví dụ 4.3: Từ ví dụ (4.1) và (4.2) ở trên tính lại các hệ số hồi quy và tương quan

y x xy a





42214265093271

62508422146555550526

,,

,.,,





y x

y x xy r

62508422146555550526

,.,

,.,

Phương trình hồi quy viết theo (4.16):

),(

Sai số phân tích tương quan được đánh giá bằng sai số phương trình hồi quy và sai

số hệ số tương quan cũng như hệ số hồi quy

- Sai số phương trình hồi quy

Sai số của phương trình hồi quy biểu thị bằng giá trị trung bình khoảng lệch quân phương giữa các điểm thực đo và các điểm tính theo phương trình hồi quy, và được gọi

là sai số chuẩn Vì đường hồi quy có 2 thông số là a và b nên số ràng buộc là 2 và số bậc

tự do là =n-2

Sai số chuẩn của hồi quy y theo x sẽ là:

22

2 2

2 1

y y

i n

i

i i

x y

)()()

()

2 2

2 1

x x

i n

i

i i

y x

)()()

()

Nếu sai số phân tích tương quan có phân bố chuẩn thì các điểm nằm trong phạm

vi y0,674y/xhoặc x0,674x/ysẽ chiếm 1/2 (50%) tổng số điểm Còn trong phạm vi

x

y

y3 / hoặc x3x/y thì có tới 97,3% số điểm nằm trong đó

- Sai số của giá trị trung bình có điều kiện y x

Sai số chuẩn của giá trị y xcho bởi biểu thức:

n

x y y

- Sai số hệ số tương quan và hệ số hồi quy

Sai số hệ số hồi quy a được tính:

n

r

x

y a

n

i

i i

x

x y a

x x n

y y

y y b

x y b

x x

x n

2

13752

1111

1

n

r n

r n

phương sai chung của 2 biến lượng Trong hồi quy 2 biến, nó tỷ lệ với phương sai của y’

được giải thích (xác định) theo phương trình hồi quy Nó cũng là độ đo sự phù hợp của

đường hồi quy với số liệu kinh nghiệm Hệ số xác định được tính theo công thức [24]:

n

i

i i

y y

y y R

1

2 1

2 2

1

)(

Ví dụ 4.4: Xác định sai số phân tích tương quan theo số liệu ví dụ (4.1)

Sai số đường hồi quy tính theo (4.26):

y x

847017

2

13752

1111

1

n

r n

r n

2

102

1384707510

2

8470111110

84701

,

,

y y b

n

i

i i

y y

y y R

1

2 1

2 2

1

)(

)

254687947

7413216351

f ước lượng khoảng tin cậy

- Khoảng tin cậy của các hệ số

Khoảng tin cậy đối với hệ số hồi quy bj với độ tin cậy (1-) là:

j j j n b b

hệ số tương quan tính theo mẫu là ước lượng vững nhưng chệch của hệ số tương quan lý thuyết với

độ chệch là :

)/(

)

- Khoảng tin cậy của đường hồi quy

Khoảng tin cậy của đường hồi quy được xác định từ biểu thức:

,)(

)

*()

*(/)(

)

*()

x y n n

i i

x y n

x x

x x n t

b ax x y x x

x x n t

2 1

2

2 2

2

11





(4.36)

trong đó: x* là giá trị tại một điểm cụ thể của biến x=x*; y/x là trung bình có điều kiện

đúng của y theo x; ax*+b là giá trị tính theo phương trình hồi quy; y/x là khoảng lệch

chuẩn của y theo x

Phân tích khoảng tin cậy ta thấy rằng khi x=xthì khoảng tin cậy hẹp nhất, còn

cậy cũng co lại và tiến dần tới 0

g Kiểm định các hệ số

Để kiểm định ý nghĩa thống kê của các hệ số trên, sử dụng tiêu chuẩn Student

- Kiểm định hệ số hồi quy

Kiểm định hệ số a

a a

Ví dụ 4.5: Kiểm định các hệ số tương quan và hồi quy theo số liệu ví dụ (4.1)

Kiểm định hệ số a Chỉ tiêu Student theo (4.37):

x y a

x x s

1

2

1)(

/



351895710

16

383

,,

a a

s

a

t 

276 0

33 1 ,

,

vậy ta=4,81> tth=1,96 Do đó hệ số hồi quy a có ý nghĩa thống kê

Kiểm định hệ số tương quan theo (4.39):

2108470

h Kiểm định tính chất tuyến tính của đường hồi quy

Về lý thuyết thì đường thẳng hồi quy của y theo x theo phương pháp bình phương

tối thiểu là xấp xỉ tuyến tính tốt nhất.Nhưng nói chung chưa thể cho rằng mọi giá trị

trung bình có điều kiện y x ứng với mỗi x nằm trên một đường thẳng

Để kiểm định giả thiết này, ta chia toàn bộ phạm vi biến thiên của x thành l khoảng (l8-10) Với mỗi khoảng thứ j có tâm tại điểm x j,tínhgiá trị trung bình có điều kiện yxj và phương sai thực nghiệm y/x theo các công thức sau:







i j

m

i ij

m

i

x ij x

2 2

1

1

)(

l

j

j x

y x

i

j

j

m n

x x r y y m l

F

1

2 1

2

11

121

/

)(

)(







(4.42)

So sánh với Fth tra từ bảng Fisher (phụ lục 3.3) với mức tin cậy =1-, số bậc tự do

1=l-1 và 2=n-1 Nếu FFth thì giả thiết tuyến tính được chấp nhận Ngược lại tính tuyến tính bị bác bỏ

Có thể dùng chỉ tiêu F sau đây để biểu thị sự phù hợp của đường hồi quy tuyến tính:

1

2 2

1

2 1

k n

y y k

y y

i i

n

i i

*)

(

)( '

trong đó: k là số thông số (với tương quan 2 biến k=2); n là dung lượng mẫu

Tra bảng Fisher được giá trị tới hạn của Fth với mức ý nghĩa  =0,05 và số bậc tự

do 1=k-1 và 2=n-k

So sánh, nếu F>Fth thì đường hồi quy là thoả mãn tuyến tính, phù hợp với điểm thực nghiệm Còn ngược lại thì đường hồi quy là không tuyến tính

Một phương pháp khác của toán thống kê như sau:

Thay cho việc kiểm tra theo số điểm thực nghiệm ta cần kiểm tra giả thiết H0: a=0.Nếu giả thiết a=0 được chấp nhận thì ta coi phương trình hồi quy có dạng phi tuyến hoặc x và y là độc lập Ngược lại ta chấp nhận giả thiết chệch, tức là y và x có quan hệ tuyến tính Để kiểm tra giả thiết này ta sử dụng tiêu chuẩn phân tích phương sa:

trong đó: A gọi là tổng bình phương độ lệch so với trung bình mẫu

C gọi là tổng bình phương hồi quy:

n

i

i i

x x

y y x x C

1

2

2 1

)(

))(

(

(4.45)

B gọi là tổng bình phương các phần dư (sai số):

C A

Tiêu chuẩn này dựa trên việc so sánh C với B, tức là tỷ số:

B

n C

với n là số điểm tương quan

Tra bảng Fisher với mức ý nghĩa  và với số bậc tự do 1 và (n-2) được Fth Nếu F> Fth thì giả thiết H0 bị bác bỏ, tức là quan hệ giữa y và x là tuyến tính

Ví dụ 4.6: Từ ví dụ 4.1 Kiểm tra tính tuyến tính của hồi quy

Chỉ tiêu kiểm tra theo (4.45):

R

12

21071801

7180

Với mức ý nghĩa 5% và số bậc tự do 1=k-1=2-1=1; 2=10-2=8, tra bảng Fisher

được: Fth=5,32 Như vầy F=20,37> Fth=5,32, nghĩa là phương trình hồi quy phù hợp với dạng tuyến tính

i Xử lý điểm đột xuất

Nếu trong số các điểm thực nghiệm có những điểm “đột xuất” khả nghi, vượt ra khỏi xu thế chung thì cần phân tích để xem cần giữ hay bỏ điểm đó trong tính toán Ta dùng phương pháp so sánh sau [10]:

Tính phương sai và hệ số tương quan toàn bộ số điểm thực nghiệm x, y,  và cho các điểm thực nghiệm trừ điểm “đột xuất” ’x, ’y, ’ Sau đó so sánh tỷ số:

)(

)()

2 2 2 2

2 2 2 2

1

11

y x

4.2.3 Đường tương quan

Lập đường hồi quy theo phương pháp giải tích ở trên sẽ tồn tại 2 đường y theo x và

x theo y, làm cho kết quả tính không đồng nhất Mặt khác chúng ta không thể loại trừ

những điểm quá tản mạn thiếu hợp lý Vì vậy đôi khi sử dụng phương pháp đồ giải để xác lập đường quan hệ, thường gọi đó là đường tương quan Đó là đường duy nhất đi qua trọng tâm các nhóm điểm, là đường trung bình giữa 2 đường hồi quy Các điểm

kinh nghiệm lập thành một băng điểm (thẳng), có hệ số góc a= tg Khi đó phương trình tương quan là y=ax+b, nếu đi qua gốc toạ độ thì có phương trình y=ax

Xác định phương trình của đường tương quan là xác định các thông số a và b Ta

có thể dùng 3 cách sau:

1) Phương pháp đường chỉ căng

Căng sợi chỉ qua các điểm và di động nó sao cho các điểm kinh nghiệm cách đều về

2 phía của sợi chỉ Đường tương quan trùng với đường chỉ đó và các thông số a, b xác

định trực tiếp trên hình vẽ

2) Phương pháp trọng tâm

Chia tập hợp điểm thành các nhóm điểm bằng các đường thẳng song song với trục

x hoặc y, tìm trọng tâm từng nhóm điểm Đường tương quan sẽ đi qua trọng tâm các

nhóm điểm Để kiểm tra có thể tính trị số trung bình toàn bộ y, x và nó phải nằm trên

y  ( , ) , khi Csy0, (4.49)

x sx

x  ( , ) , khi Csx0, (4.50)

x sx

x  ( , ) khi Csx0 (4.51) Khi Csy0 và Csx0 ta có quan hệ thuận (đồng biến) và có:

)(),(

),(

x x C

p

C p y

x sx

y sy

)(

),(

),(

x x C

p

C p y

x sx

y sy

Khi C sx C sy thì quan hệ tương quan đối ứng tần suất là đường thẳng:

)(x x y

(x x y

x y

p

p

x x

y y tg

p

p

x x

y y tg

)(x x y

Để đánh giá mức độ chặt chẽ của đường tương quan có thể có thể dùng các công thức đơn giản tính hệ số tương quan như sau:

- Công thức 1

0 0

180180

n

m n

m r

'' '

trong đó: n là số điểm quan hệ; m là số điểm tách rời số giữa (x' 50,y50) cùng dấu; m là số điểm ''

tách rời số giữa (x50,y50) khác dấu

- Công thức 2

Nếu x, y đồng biến:

2 1

p n

p n

quan trắc Hướng thứ hai là dựa vào quan hệ này để kéo dài các đặc trưng thống kê (trị trung bình xvà khoảng lệch chuẩn ) từ số năm có quan trắc ra thời kỳ nhiều năm

a Hướng thứ nhất

Theo quan hệ tương quan của 2 biến lượng trên cơ sở số liệu quan trắc đồng bộ (chuỗi ngắn) xác lập được phương trình hồi quy Sau đó theo phương trình hồi quy bổ sung số liệu cho đại lượng còn thiếu khi đại lượng kia có số liệu Từ chuỗi đã bổ sung (chuỗi dài) có thể tính các đặc trưng thống kê Phương pháp này cho ta các đặc trưng thống kê ứng với chuỗi dài, đồng thời cho thấy cả thông tin về sự dao động của đại lượng nghiên cứu Tuy nhiên các giá trị bổ sung tính theo đường hồi quy là những trị

 cũng bị lệch Kritski và Menkel cho rằng hệ số biến đổi Cv thực của đại lượng nghiên cứu bằng C’v/r, trong đó C’v là của chuỗi đã bổ sung số liệu , còn r là hệ số tương

quan Tương tự, để giữ được hệ số biến đổi Cv như giá trị thực cần tăng khoảng lệch

y-y, tính theo đường hồi quy, lên 1/r lần

b Hường thứ 2

Kéo dài trực tiếp các đặc trưng thống kê nghiên cứu ra thời kỳ nhiều năm theo chuỗi tương tự,

mà không cần bổ sung từng số hạng Việc này được thực hiện theo phương trình của Menkel:

Kritski-)

xN

yn n

2 2

11

xN xn

yn yN

trong đó: y , N x N là giá trị trung bình trong thời kỳ dài nhiều năm N; y , n x n là giá trị

xn yn xN

 , , , là phương sai tương ứng

Ví dụ 4.6: Cho số liệu dòng chảy năm quan trắc đồng bộ giữa 2 trạm Sơn Tây và

Hà Nội (sông Hồng) trong các năm 1961-1971 và 1989-2002 (bảng 4.1) Lập quan hệ tương quan và bổ sung số liệu cho trạm Sơn Tây các năm còn thiếu (1972-1988)

Hình 4.7: Tương quan dòng chảy năm Sơn Tây-Hà Nội

n

i

i i

y y x x

y y x x r

2 2

1

)()(

))(

Phương trình hồi quy viết theo dạng (4.16), khi thay các giá trị vừa tính được như sau:

)(

,

,

8385

0548920

x n x

y n y x a

i

n

i i

i )(

n

i

n

i i i i

x n x

y x x x y x a y b

1

2 2

2

=132

Phương trình hồi quy theo dạng (4.1) là: y=1,307x+132

- Đánh giá các hệ số hồi quy

Sai số hệ số tương quan theo (4.32):

y y b

1

2

,)

x y a

x x

a a

s

a

t 

110

3071,

n

i

i i

y y

y y R

1

2 1

2 2

1

)(

tức là 85,3% phương sai được giải thích bằng phương trình hồi quy, còn 14,7% do phân tán ngẫu nhiên Như vậy đường hồi quy phù hợp tốt với điểm thực nghiệm

548920

2 2

11

xN xn

yn yN

2

8324

838519201

0548

,

,,