Động lực học ứng dụng về sóng mặt đại dương ( Quyển 1 ) - Chương 6 pps

Sự phân tách dòng xung quanh một hình trụ nhỏ lμ một chủ đề quan trọng đối với các công trình ngoμi khơi vμ người ta đã nghiên cứu thực nghiệm nhiều với các cột trụ đơn độc có biên chu v

2

K

z i z z

z d

i

)(

Cực bây giờ nằm tại gốc của mặt z trong khi đó đường lấy

tích phân nằm ở trên trục z thực Theo định lý Cauchy, đường

lấy tích phân có thể được thay bằng trục z thực nghĩa lμ ở trên

0 0

2

2

K K

i K

z i

K

i e

z d K

i

2 2 2

2 1

2 22

K

K

i e

K K

/ / ư γ = π ư γ

=σπ

π

=γπ

=

0

2 0 2 1 4

2

1

2erf

2

K i

d e i

d e

ư

=+

J J

p

2erf12

2 / 4 (D.8)

Nếu γ<0, ta viết γ=ưγ , điều nμy có nghĩa lμ thay thế i

bằng ưi trong hμm bị tích của phương trình (D.1), tức thay đổi dấu

Chương 6 - Các hiệu ứng tổn thất cột nước tại

eo hẹp đối với sự phân tán sóng dμi: Lý thuyết

thuỷ lực

Trong lý thuyết lý tưởng về sóng phân tán trong chất lỏng không nhớt, người ta thường giả thiết chất lỏng chuyển động song song với biên cứng của tường hay của vật thể Tuy nhiên, trên thực tế gradient áp suất ngược vμ độ nhớt có thể lμm chậm chuyển động gần nơi dòng uốn lượn đột ngột, buộc dòng chảy bị phân tách vμ tạo ra các xoáy nước có độ xoáy cao, gây mất năng lượng đáng kể Khuynh hướng tự nhiên nμy giống như các tấm lưới lỗ trên tường nhμ hấp thụ năng lượng âm Jarlan (1965) đã

đưa ý tưởng nμy vμo kỹ thuật vùng bờ vμ sáng chế thiết kế đê chắn sóng với tấm dạng lưới khoét lỗ gắn phía trước tường cứng

Sự tiêu tán được tăng cường do các tia nước chui qua các lỗ khi mực nước bề mặt ở hai phía khác nhau Các đê chắn sóng dạng tương tự đã được xây dựng tại các cảng Baie Comeau vμ cảng Chandler ở Quebec, Canada vμ cảng Roscoff ở Pháp (Richey vμ Sollitt, 1969) Một thí dụ mới hơn vμ ấn tượng hơn lμ bể chứa dầu Ekofisk ở Bắc Hải: nó được bao bọc bởi một một đê chắn sóng dạng lưới lỗ vòng tròn đường kính xấp xỉ 90 m trên vùng

biển sâu 70 m (Gerwick vμ Hognestad, 1973) ở cảng Osaka

Nhật bản (Hayashi, Kano vμ Shirai, 1966) có một đê chắn sóng

gồm một dãy ống tròn đường kính 2 m đặt cách nhau 0,5 cm đã

được sử dụng

Trong tất cả các thiết kế nμy, sự phân tách dòng do sự co

hẹp vμ dãn ra đột ngột lμ đặc tính vật lý cơ bản Sự phân tách

dòng xung quanh một hình trụ nhỏ lμ một chủ đề quan trọng

đối với các công trình ngoμi khơi vμ người ta đã nghiên cứu thực

nghiệm nhiều với các cột trụ đơn độc có biên chu vi trơn hay sắc

cạnh (thí dụ, xem Sarpkaya vμ Issacson, 1981) Từ các thực

nghiệm thấy rằng số Strouhal U/ωa (hay tương đương lμ số

Keulegan–Carpenter UT / a trong công trình đầu tiên của G H

Keulegan vμ L H Carpenter, 1956 về các dòng dao động) lμ

một tham số quan trọng, ở đây U lμ biên độ vận tốc vμ a lμ

kích thước của vật Theo Graham (1980), có ít nhất lμ hai chế độ

phân biệt trong khoảng 2<UT / a<100 Với UT / a>20 (con số

nμy phụ thuộc vμo thiết diện ngang của trụ), thì vết rẽ nước giới

hạn gồm một số các xoáy sẽ toả rộng xuống phía xuôi dòng kể từ

điểm phân dòng Khi UT / tăng thì vết rẽ nước sẽ dμi ra vμ a

cμng giống với tình huống dòng ổn định của đường xoáy

Karman Tuy nhiên, với UT / a<20 thì các xoáy tản ra khỏi các

điểm phân dòng của trụ; từng xoáy một bị cuốn trở lại bởi dòng

chảy ngược đến phía bên kia của trụ để liên kết thμnh cặp với

một xoáy kế tiếp với dấu ngược lại Cặp xoáy nμy sau đó cuốn

trôi khỏi vật thể với một góc lớn (~45o

) so với dòng tới Công thức tổn thất do ma sát tỉ lệ với bình phương vận tốc địa

phương (xem phương trình (1.17) dưới đây) chỉ đúng với các giá

trị UT / a lớn Đáng tiếc, ta chưa có một chỉ tiêu tương tự áp

dụng cho các khe hay các lỗ hở Vì số Keulegan–Carpenter có

thể lμ lơn hơn trong trường hợp các kích thước của đê chắn sóng vμ chu kỳ sóng thông thường, nên công thức tổn thất bình phương ít ra cũng giúp ta có ước lượng thô một khi chưa có thêm các dữ liệu thực nghiệm Với các bμi toán phân tán một chiều, một lý thuyết bán kinh nghiệm kiểu đó đã được đề xướng bởi Hayashi, Kano vμ Shirai (1966), Terrett, Osorio vμ Lean (1968) Sau nμy lý luận của họ đã được Mei, Liu vμ Ippen (1974) hoμn thiện thêm vμ được trình bμy dưới đây

6.1 Sự phân tán một chiều bởi đê chắn sóng dạng sẻ rãnh hoặc dạng lưới lỗ

6.1.1 Các phương trình mô tả

Ta giới hạn nghiên cứu với các sóng biên độ nhỏ trên nước nông Vì tốc độ địa phương ở lân cận điểm thu hẹp đột ngột có thể lớn, ta nên kể đến sự phi tuyến vμ bắt đầu bằng các phương trình Airy – các phương trình (5.11) vμ (5.12) đã thấy trong

chương 3:

0

=+ζ

⋅

∇+

đường xuyên tâm của hai cột đứng kề cận như trên hình 1.1 Giả

* Với sóng thần truyền qua một đê chắn sóng, ta có thể lấy U= 1 m/s, s

thiết độ sâu h không đổi Sóng tới dμi, biên độ thấp vμ truyền tới

thẳng góc Vậy phải thoả mãn các phương trình:

0

=

∂

∂+

∂

∂

x

g t

u

, (1.4) hai phương trình nμy lμ giới hạn của các phương trình (1.1) vμ

(1.2) khi A / h<<1 Một cách tường minh hơn, sóng tới có thể viết

ở đây đã giả định sóng tới không chỉ lμ sóng dμi so với độ

sâu mμ thậm chí dμi hơn so với độ rộng kênh, do đó ka<<1

Căn cứ trên hình 1.1, gọi vùng cách vùng thắt một đoạn

)

(kư 1

O lμ vùng xa Vì ka<<1 nên dòng chảy lμ một chiều vμ mô

tả bằng các phương trình (1.3) vμ (1.4) ở cả hai phía của bức

cản Nghiệm của chúng phải được liên kết lại tại bức cản nhờ

vμo những điều kiện ghép nhất định tuỳ thuộc vùng gần – tức

lân cận O (a) quanh bức cản

6.1.2 Các điều kiện ghép vμ vùng gần

Với vùng thắt đủ hẹp vμ biên độ vừa phải, dòng bị chia ra ở

phía sau bức chắn Một tia nước hình thμnh, nó mở rộng ra vμ

đụng phải các tia xuất phát từ các cột chắn bên cạnh để tạo

thμnh hai dải xoáy ở xa hơn về phía xuôi, dòng lại trở nên gần

như dòng một chiều Ta ký hiệu giới hạn ngoμi của vùng gần lμ

ζ so với h Hơn hữa giữa xư vμ x kích thước ngang lμ a , +

động không nhớt Vì vận tốc qua các cột chắn có thể lớn, ta giữ lại số hạng đối lưu quán tính, tức toμn bộ phương trình (1.2), phương trình nμy đúng ở bên ngoμi dải xoáy

Bây giờ ta áp dụng quan điểm thuỷ lực bằng cách khảo sát các trị số trung bình thiết diện ngang gữa xư vμ x Sau khi tích +

phân phương trình (1.7), thấy rằng

S u S u S

u_ = c c = + , (1.8)

ở đây S lμ tổng diện tích kênh, S lμ diện tích tại đoạn thắt c tĩnh mạch vμ có quan hệ với diện tích biên mở ròng S bằng 0

một hệ số thoát nước thực nghiệm c :

cS

S c = ; (1.9)

c

u lμ vận tốc trung bình tại đoạn thắt tĩnh mạch

Bên ngoμi vùng xoáy, để nhất quán với phương trình (1.2)

ta xem u lμ không xoáy, tức u=∇Φ Khi đó phương trình

Becnoulli có dạng

const2

2

=ζ++

+Φ

ưΦ

Phía xuôi dòng của bức chắn, ta áp dụng sự bảo toμn động

lượng chung cho thể tích EBCF trên hình 1.1 Trong vùng chia

dòng của bức chắn cứng vận tốc trung bình chất lỏng có thể bỏ

qua vμ độ cao mặt tự do, do đó áp suất động, thực chất đồng

nhất theo y , vμ bằng so với trong vùng tia nước xiết Như vậy,

c c

c

x d u S t p S u S u p

∂

∂+

ư

x

x J x

c

x d S

S u x d u t g cS

S u g

112

0

2

, (1.13) trong đó tích phân thứ nhất suy ra từ định nghĩa Φ Nếu ta

=

+

x

x J x

dx S

S u dx u

Lu , (1.15) thì phương trình (1.13) có thể được viết thμnh

t

u g

L u g

∂+

=ζ

ư

+ +

ư , u+ >0 (1.16) Nếu đối số được lặp lại cho u+ <0, một dấu âm sẽ xuất hiện phía trước số hạng thứ nhất ở vế phải phương trình (1.16) Tính

đến cả hai hướng của dòng, ta có

t

u g

L u u g

f

∂++

=ζ

ư

+ +

Khi các hệ số f vμ L được xác định (bằng thực nghiệm) thì

các phương trình (1.8) vμ (1.17) cung cấp các điều kiện biên cho các nghiệm vùng xa trên hai phía của vật chắn Do kích thước dμi của vùng xa lμ O(kư 1), một cách xấp xỉ, các điều kiện ghép

có thể được áp dụng cho các nghiệm vùng xa bằng cách cho

0

±

→

Nếu có một tường cứng tại x=l, như trong trường hợp một

đê chắn với tường dạng lưới lỗ, ta phải thêm điều kiện biên

lý thuyết

Hiển nhiên, có thể quy nạp một công thức cho lực tác động

lên tường cứng Xét chất lỏng trong ABCD vμ ở bên ngoμi vật vμ

dải rẽ nước của nó Hiệu ứng thực của phân bố áp suất trên mặt

phía thượng lưu của vật vμ trong dải rẽ nước của nó lμ tạo ra

một lực ư chống lại chất lỏng trong thể tích đang xét Như F

=

ư

ưρ+ζ

ưζ

ư

0

0

2 2

x

x J

uS dx uS dx t F u u g

ưζ

t

u pL pg

S

6.1.3 Các hệ số f vμ L

Được biết rằng trong các dòng ổn định qua các lỗ có rìa sắc,

thì hệ số thoát nước c (cũng như f ) chủ yếu phụ thuộc vμo

hình dạng lỗ, nếu số Reynolds đủ lớn sao cho sự chia dòng biểu

hiện rất rõ Đối với lỗ có cạnh sắc, công thức thực nghiệm lμ

3 0

406

=

S

S

c , , (1.19)

Đối với các cạnh dầy vμ thuôn tròn thì hệ số thoát nước c

xấp xỉ 1 Theo công thức nμy, c biến thiên trong khoảng 0,6 vμ

1 Khi luồng chất lỏng chảy qua giảm tốc thì tần số xoáy giảm

đi Như vậy, f vμ c thay đổi theo vận tốc vμ gia tốc tức thời, vμ

do đó, theo số Reynolds vμ số Strouhal Vì không có dữ liệu thực

nghiệm tổng hợp về f vμ c cho loại dòng dao động nμy cho nên

trong văn liệu kỹ thuật thường sử dụng các giá trị của trường

hợp ổn định Mặt khác, độ dμi L lμ khó ước lượng nhất Trong

lúc Hayashi (1966) hoμn toμn bỏ qua L , thì Terrett (1968) đã

chọn một giá trị hằng số để tiến hμnh thực nghiệm Nếu không

có sự phân dòng, thì bμi toán giá trị biên sẽ tuyến tính; độ dμi tương ứng, ký hiệu bằng L ở đây, có thể được tính bằng lý 0

thuyết hai chiều Thực tế lμ với các sóng dμi, L có quan hệ với 0

các hệ số truyền qua T vμ phản xạ R như sắp chỉ ra dưới đây

ở vùng xa, nơi dòng chảy lμ một chiều, thì li độ của mặt tự do xác định bằng các phương trình:

) (kx t i

Ae ư ω

ư =

ζ , x<0, (1.20)

) (kx t i

ATe ư ω + =

ζ , 0x> (1.21) Ước lượng ζ tại ư x , ư ζ tại + x vμ lưu ý + kxư , k x+<<1 ta có

+ + = ω ζ ≅ ω (1.23) Với phương trình (1.23), phương trình (1.22) có thể được viết thμnh dạng

( )

t

u g

L t

u g ikT

L0 1 (1.25) Sau khi nhân với ρ , ta có thể lý giải phương trình (1.24) như gS

lμ định luật thứ hai của Newton đối với khối lượng ρSL0 chịu một lực thực ρgS(ζưưζ+); ảnh hưởng của lỗ tương đương với việc thêm một khối lượng ρSL0 tại thiết diện x=0 Các hệ số truyền qua vμ phản xạ cần phải được xác định bằng lý thuyết hai chiều tại các vị trí cụ thể Các sóng dμi biên độ nhỏ bây giờ giống hệt như các sóng âm; những kết quả phân tích cho một số

lỗ âm thanh (khe trong tấm hình chữ nhật, lỗ hình tròn trong

một đường ống tròn ) cũng có thể được áp dụng trong trường

hợp nμy Thí dụ như đối với một khe hẹp hai chiều, ta có:

b a

L

4

ctg4

tg2

112

0 ln , ka<<1 (1.26) (Morse vμ Ingard, 1968) Thấy rằng với sóng dμi thì L phụ 0

thuộc vμo k trong phép xấp xỉ trên Chúng tôi giμnh phần dẫn

lập công thức nμy lμm một bμi tập về phép tiệm cận ghép

Trong các giới hạn lớn vμ nhỏ của các khe, ta có

0

S b

a a

L

ππ

=ππ

a

b a

; ư <<1

a

b a

L

=

∂

∂ζ

+ (1.28)

rất nhỏ đối với các sóng dμi Do đó, ζư≅ζ+ vμ chỗ thắt không có

tác dụng Kết quả nμy có liên quan đến lập luận trong mục 5.5,

ở đó nói rằng các hệ số truyền qua gần bằng 1 trong thuyết

không xoáy, trừ khi S / S0 lμ một số rất lớn

Nếu có sự phân dòng, thì rõ rμng lμ khó vận dụng L về

mặt lý luận So với dòng không bị phân tách, thì sự phân dòng

đã lμm giảm độ cong của các luồng chảy cục bộ quanh khe hẹp

Gia tốc địa phương, nguyên nhân gây ra phản ứng thuỷ động

lực vμ do đó, khối lượng biểu kiến, cũng bị giảm đi Nói cách

+ +

+

h A f

a L a k O h A f

L k O u u g f

t u g L

/

//

/

//

2 1 2

1

22

Thay L trong phương trình (1.26) cho L , ta thấy tỉ số trên 0

chỉ quan trọng đối với các sóng tương đối ngắn Khi tỉ lệ diện tích S / S0 tăng, L/2a~ln(S/S0) vμ 2

0)/(

~ S S

giảm đi nhanh chóng theo

( ) ( )( ) ( )( )2

0

0

24

S S h A f

S S ka

//

//ln

0, /

= vμ c=1 Đối với đê chắn sóng dạng lưới lỗ của bể chứa dầu ở Bắc Hải thì S / S0≅2với đường kính lỗ gần bằng 1m

Ta có thể lấy ước lượng 1a= m vμ b=0,5m lμ các độ rộng tương ứng của kênh vμ lỗ Đối với đê chắn sóng Osaka, các giá trị xấp

xỉ lμ a=1m, 25b= mm vμ S / S0 =40 Độ dμi của lỗ được tính theo phương trình (1.26) vμ tỉ số α được tính theo phương trình (1.29) (xem bảng 1.1) Nhận thấy rằng đối với các sóng gió thì α rất nhỏ vμ nó còn giảm đi đối với các sóng có biên độ lớn hơn hoặc sóng dμi hơn, hoặc cả hai Do vậy trong tính toán thực tế thường có rất nhiều các trường hợp trong đó đại lượng quán tính

Bμi tập 1.1: Sử dụng phương pháp đồ thị vμ tiệm cận ghép

để kiểm chứng phương trình (1.26)

6.1.4 Phép tuyến tính hoá tương đương

Số hạng ma sát bình phương trong phương trình (1.17) lμm

cho toμn bộ bμi toán trở nên phi tuyến vμ đầu vμo lμ một sóng

đơn điều hoμ sẽ gây ra phản ứng gồm nhiều hμi điều hoμ Nếu

như phản ứng lμ sự ngự trị bởi hμi thứ nhất ở đầu vμo, thì dần

sau nμy chúng ta sẽ thấy, có thể áp dụng cái gọi lμ phép tuyến

tính hoá tương đương Giả sử số hạng ma sát được biểu diễn

dưới một dạng tuyến tính c e u, tức lμ

u

c e

=ζ

f

2 (1.31) cực tiểu Lấy trung bình qua một chu kỳ, bình phương trung bình sẽ

bằng

2 2 2 2

2

g

f u u g

f

c e = (1.33)

Hệ số ma sát tương đương bây giờ phụ thuộc vμo u vμ lμ chưa

biết khi nghiệm chưa được giải ra Cách khác, phương trình

(1.33) có thể thu được bằng cách yêu cầu rằng lực ma sát phi

tuyến vμ ma sát tuyến tính tương đương cùng cho cùng một tổn

thất năng lượng trong một chu kỳ Xấp xỉ u bằng một hμi đơn,

tức

≅ U eư ω U eư ω U t

u 21 0 i t 0* i t 0 cos , (1.34) với τ lμ pha của U , tức 0 U0 = U0eưiωτ, ta có

2 0 2

0

2 2

0

2 0 2

2 0 2

2

12

ω

/

π

=

2 0

3 0 3

0 2

2

3

42

1

U U

d u

Suy ra

6.1.5 Nghiệm xấp xỉ vμ nghiệm chính xác

Trước tiên ta rút ra nghiệm xấp xỉ bằng sử dụng phương trình (1.30) thay cho phương trình (1.17) Nghiệm có thể được viết dưới dạng sau:

,

ikx ikx

t i

ikx ikx

t i

e R e Ae gk u

e R e Ae

ư +

ω

ư

ư

ư +

ω

ư

ư

ưω

=

+

=ζ

x<0 (1.36)

,

,

ikx t

ikx t

ATe

gk u

ATe

+ ω

ư +

+ ω

ư +

ω

=

=ζ

x>0 (1.37)

Sử dụng tính liên tục của vận tốc (1.8), ta được

2 1 0 0

/

))(

/(A h gh

U A

U gk

T = ω

, (1.38)

A

U gk T

R=1ư =1ư ω 0

(1.39)

áp dụng điều kiện tổn thất cột nước (1.30), ta có

3

2

U U g

f U

gk

A

π+ω

= (1.40) Các pha của U vμ 0 A bằng nhau vμ có thể lấy bằng không, 0

nghĩa lμ U0 = U0 Phương trình (1.40) lμ phương trình bậc hai

đối với U0 vμ có thể giải ra:

β

ưβ+

=

2 1 2

1 2

1 0

/ /

)()

h

A T gh h

A

với β=(4/3π)(fA/h) (Hayashi vμ nnk., 1966)

Với các sóng biên độ nhỏ hay với khe mở rộng, β nhỏ hơn

rất nhiều so với đơn vị Khai triển Taylor của vế phải phương

≅

h

fA gh

h

A g

f

c e

3

42

113

82

2 1/

)

β

≅β

ư

1 2

1

Đối với các khe mở hẹp, S /0 S<<1, thì f lớn theo phương

trình (1.14); phương trình (1.41) có thể được xấp xỉ đối với giá

trị β lớn bằng

2 1 0 2 1 2

1 2

1 2 1 0

2

32

Hình 1.2 So sánh giữa lý thuyết (đường liền nét), các phương trình

(1.14) vμ (1.41), với các thực nghiệm của Hayashi et al (1966) Các thí nghiệm được thực hiện với nhiều giá trị b / a: •: 0,055; : 0,075; : 0,091; Ο: 0,141; : 0,182 a) T ; b) R (Ozsoy, 1977)

Giới hạn ở trên có thể được suy diễn một cách trực tiếp hơn như dưới đây Bằng việc giả định rằng sự phản xạ gần như toμn phần vμ sẽ có một sóng đứng với biên độ 2 ở phía A x<0 Sự chênh lệch cực đại của mặt tự do ở hai phía bằng 2 , nó tạo A

nên tốc độ chảy ( gA2 ) qua lỗ nhỏ theo định luật Torricelli Tốc

độ thoát nước, được xác định bằng cách lấy trung bình trên tổng

diện tích của S , khi đó bằng U ( gA) / S /S

0 2 1

h fA

h

2 1 2

1 2

1

2

32

Các hệ số phân tán T vμ R được vẽ trên các hình 1.2a vμ 1.2b

Ozsoy (1977) đã so sánh các thực nghiệm của Hayashi

(1966) với lý thuyết trong phần nμy cho trường hợp đê chắn

sóng có ống xếp xít nhau Với f cho theo phương trình (1.14),

Ozsoy đã thấy rằng sự phù hợp của các hệ số phản xạ vμ truyền

qua lμ khá tốt (xem hình 1.2a vμ 1.2b) Ozsoy cũng đã thực hiện

các thí nghiệm đối với các khe đứng trong một vật chắn mỏng

(b / a=0,052, 0,103, 0,162, 0,441 vμ d 2/ b≤0,133 trong đó d =

độ dầy, 2b= độ rộng khe, vμ 2a=0,87 m) Hệ số thực nghiệm f

có sự phân tán khá lớn đối với một giá trị cố định của b / (hình a

1.3) đã gợi ý cho ta rằng các tham số khác, thí dụ như số

Strouhal có thể lμ rất quan trọng Bạn đọc có thể xem thêm

những thông tin đáng quan tâm trong tμi liệu của Ozsoy

Bμi toán hiện tại với điều kiện biên phi tuyến (1.17) vμ

không có thμnh phần (L/g (∂u/∂t) đã được Mei, Liu vμ Ippen

(1974) giải một cách chính xác Ta sẽ diễn giải ở đây để chỉ ra

rằng mặc dù các dao động điều hoμ bậc lẻ cao hơn tồn tại, dao

động điều hoμ cơ sở vẫn chiếm ưu thế trong thực tiễn vμ phương

pháp xấp xỉ tuyến tính tương đương lμ hoμn toμn chính xác

Do điều kiện biên phi tuyến, ta biểu diễn nghiệm:

∞

∞

ư

ω +

)

im m

I gk A e u

Bằng việc ghép vận tốc tuân theo phương trình (1.8), suy ra

,1

1

A B

m A

(1.50) Vì

)

ω

ư ω

ư

ư

ưω

ư

ưω

=

u u gk

e A gk u u gk e

A gk u gk

I

t im m I

I t

im m I

2

2

22

tại x= 0ư vμ

+ + = ω

gk

tại x= 0+, từ phương trình (1.17) suy ra với L=0 thì

t A u gk

u gk u

u g

f

22

2 + + + ω + = ω = cosω

Hình 1.3 Hệ số ma sát như lμ hμm của b / a (theo Ozsoy, 1977)

Rõ rμng u vμ + u lμ cùng dấu, nghĩa lμ I u vμ + u I ( t0, ) lμ luôn

đồng pha Khi đó phương trình trên cho

22

2

2

t A u gk

u g

f

ω

=ω

Theo biến không thứ nguyên W được định nghĩa lμ

)()()

,

h

A W gk A t

trong đó

βπ

=

=β′

8

32h

fA

(1.54) Khi W được biểu diễn bằng một chuỗi Fourier

 ư ω

T W

2

1

(1.55) thì hệ số Fourier phải bằng

 π τ

τττ

642

2

/ (

ưπ

)cos(

cos)

R1 =1ư 1, =ư , (1.60) với A m =AR m

Bảng 1.2 cho thấy các hμi thứ nhất vμ thứ ba được tính theo

lý thuyết chính xác vμ hμi thứ nhất bằng phép xấp xỉ tuyến tính hoá tương đương cho 1<β<5 Sự nhỏ bé của hμi thứ ba vμ sự hiệu quả của lý thuyết xấp xỉ lμ thực tế

Bảng 1.2 Các hệ số truyền qua lμ hμm của β′ = fA/ 2h, T m: hμi thứ m

1 0,9608 0,9290 0,8975 0,8712 0,8476 0,8262 0,8067 0,7888 0,7722 0,7569 0,6459 0,5766 0,5275 0,4902

0 -0,0052 -0,0120 -0,0169 -0,0207 -0,0238 -0,0264 -0,0285 -0,0304 -0,0319 -0,0332 -0,0400 -0,0418 -0,0421 -0,0418

Bμi tập 1.2

Xét một đê chắn sóng dạng xếp thùng gồm hai tường song

song tại x=0 vμ x= Tường tại l x=0 đối mặt với các sóng tới

trực diện vμ được khoét lỗ với tỉ số diện tích lμ S /0 S Sử dụng

công thức ma sát tuyến tính tương đương (1.30) để tìm hệ số

phản xạ Hãy bμn luận về ảnh hưởng của l

6.2 ảnh hưởng của tổn thất cửa lên các dao

động của cảng

Trong chương 5 ảnh hưởng của chất lỏng thực bị bỏ qua, sự

cộng hưởng trong cảng được tăng lên khi độ rộng cửa vμo giảm

Tuy nhiên, các thí nghiệm của Lee (1971) chỉ khẳng định xu thế

nμy xảy ra đối với các cửa vμo tương đối rộng vμ chứng minh

rằng sự thu hẹp độ rộng của cửa vμo rốt cuộc lμm suy giảm sự

phản ứng tại đỉnh phổ Điều trái ngược nμy lμ vì sự tổn thất do

ma sát ở cửa vμo lμ đáng kể Thực vậy, các kỹ sư Nhật Bản đã

sử dụng ma sát một cách thμnh công để lμm giảm ảnh hưởng của sóng thần trong vịnh Ofunato bằng cách thu hẹp cửa vμo với hai đê chắn sóng ngang Trong nghiên cứu thực hiện cho dự

án Ofunato, Ito (1970) vμ Horikawa vμ Nishimura (1970) bằng thực nghiệm đã thấy rằng ma sát cửa vμo thực tế đã loại bỏ hμi sóng phần tư trong vịnh dμi Họ cũng đã phát triển một mô hình lý thuyết bao hμm cả công thức tổn thất thuỷ lực (1.17) không có thμnh phần quán tính, nghĩa lμ

2 u u g

f

=ζ

ư

ζư + (2.1) Trong khi ta cần nhiều thông tin thực nghiệm hơn nữa cho các bμi toán hai chiều liên quan đến sự thắt hẹp, thì công thức

đơn giản (2.1) với một hằng số ước lượng f tỏ ra có thể dùng

được để dự báo khái quát về cộng hưởng Dựa trên cùng những giả thiết đó, Unluata vμ Mei (1975) khảo sát bằng giải tích bμi toán cảng đơn giản hình chữ nhật với một cửa vμo ở giữa, còn Miles vμ Lee (1975) đã nghiên cứu với hμi Helmholtz trong cảng hình dạng tổng quát Lý thuyết của Unluata vμ Mei được đơn giản hoá bằng việc bỏ qua tất cả các hμi bậc cao sẽ được trình bμy dưới đây

6.2.1 Bμi toán giá trị biên

Để tiện giải bằng giải tích, ta xét cảng hình chữ nhật với một cửa vμo ở giữa như trên hình 7.2, chương 5

Trong phần đại dương 0x> , ta tách các sóng phát xạ khỏi các sóng tới thẳng góc vμ các sóng phản xạ:

i x

vμ phải đối sử như các sóng đi ra tại vô cùng

Tốc độ qua cửa cảng được ký hiệu bằng U(y)= U(y) eưiωτ với

τ lμ pha của U Trong cảng x<0, biên độ dịch chuyển η được H

mô tả bằng

0

2 2

=η+η

∇ H k H , (2.6)

B y L x x

0, , (2.7)

0

y a x

U g

pháp tuyến qua cửa cảng Ngoμi ra, ta có tại x=0, y <a:

23

8

g

f c

ư

Nghiệm có thể được viết lại dưới dạng chuẩn tắc như một sự

chồng chất của các nguồn sóng:

kx A dy y y x G y U

H

i g

i

0 0

2

n H

B

y n B

y n L K B K

L x K kL

kB

L x k g

i

sin

)(cossin

)(cos

, (2.15) với [ 2 ( / )2]1/ 2

2n B k

thiết yếu tương tự như các phương trình (7.1) vμ (7.7), trong chương 5, ngoại trừ đối với nhân tố ưiω/ g Thế các phương trình (2.12) vμ (2.13) vμo phương trình (2.11), ta được

f y U c A y d y U y y

3

823

82

)()(

(2.16)

)',()',()'

M = H 0 ư 0 0 (2.17) Phương trình (2.16) lμ một tích phân phi tuyến có thể được giải bằng số cho U ( y) Do việc không xác định chắc chắn f , chúng

ta nên thực hiện với việc ước lượng tổng thể bằng giả sử rằng

U lμ hằng số theo y đối với y <a vμ cố lμm thoả mãn phương trình (2.16) chỉ về trung bình, nghĩa lμ

t i a

a

e U g

f a aA dy dy y y M

3

84

')

Đối với khe nhỏ trong chất lỏng hoμn hảo, U ( y) được xấp xỉ tốt bằng (const (a2ư y2)ư1/2 sự phân chia dòng, tuy nhiên U ( y)không còn khác biệt tại các điểm đầu Với lý lẽ nμy vμ để đơn giản toán học, ta chấp nhận một phân bố đồng nhất của tốc độ dòng Không cần nói cũng hiểu rằng phép xấp xỉ nμy không đưa

ra được trường dòng chảy U chính xác ở mức chi tiết vμ mức độ sai số không dễ xác định được Vì đã biết trước rằng sự phản ứng của cảng trường hợp cửa vμo hẹp có liên quan với thông

lượng toμn phần đi qua cửa, nên sai số tổng chung chắc sẽ

không xảy ra nếu ta sử dụng phép xấp xỉ nμy Với

fA D U S a

f U S a

2

2 2 2

2 3

+

)()

(Re

ka W

D W D

trong đó ReD lμ phần thực của D,

U a

fS W

ω

= vμ

h

fA S h

fA

π

=

=β

3

2

2 (2.22) Phương trình (2.21) lμ một phương trình bậc bốn đối với W , vμ

có thể được giải bằng số Sau đó pha ωτ suy ra từ phương trình

(2.20) vμ nghiệm cho U được hoμn thμnh Cuối cùng, giá trị của

U được thế vμo phương trình (2.13) cho ta sự phản ứng của

U ga S f y d y d y y M a

y d y y x G a A y

x

2

24

(

')',()/()

++ω

2

1

n a

a

y n n

n L K B K

L x K kL

kb

L x k g

i dy G

sinsin

)(cossin

)(cos

(2.24) trong đó

A Q

24

1

2

/(

/

/ /

2

2 2

0 2

2

2 2

212

21

2

121

L

B B

a a H L

B B

H

G y d a y d dx BL

A Q

A y d dx

BL

(2.27)

Sau khi ước lượng tất cả các tích phân, người ta nhận được

F g A

2

24

=

σ , (2.28) trong đó

=

kL

kL kL

kB

F

2

211

2

sin)

sin(

n n

L K B

K B K

n n

sinsin

/(sin

(2.29)

Rất nhiều khía cạnh khác nhau của các công thức tổng quát

nμy sẽ được khảo sát kiểm tra trong phần dưới đây

6.2.3 Các phép xấp xỉ cho cửa vμo hẹp

Có thể thấy bằng trực giác, hiệu ứng tổn thất cột nước lμ

quan trọng nhất đối với các cửa vμo hẹp vμ gần các đỉnh cộng

hưởng Do đó ta tiếp tục xem xét vμ giới hạn với trường hợp

1

<<

Bằng một kỹ thuật thông thường nhằm tăng cường sự hội

tụ của các chuỗi, có thể chỉ ra rằng

i g

i Mdydy

≡

12

n

n

n n

B K

L K kB

kL

vμ

, 316141

ư

B

ka n

với lnγ=0,5772157=hằng số Euler Các chi tiết về khai triển

được trình bμy trong phụ lục 6.A Lưu lượng xấp xỉ trên đơn vị

độ sâu lμ

(i g) [ i( W) F I]

A Q

ư++

ưω

U S f

W , (2.33)

biểu thức nμy có thể kết hợp với phương trình (2.28) cho xấp xỉ

σ vμ với phương trình (2.23) cho xấp xỉ η Kết quả giống như H

phương trình (7.23) trong chương 5

Hiệu ứng tổn thất cột nước tham gia vμo lý thuyết một cách tường minh chỉ thông qua nhân tử W = f S U /aω trong lưu lượng cửa vμo Q (phương trình (2.33)) Trong trường hợp không

có ma sát (f =0), các tính chất cộng hưởng trong cảng đã được nghiên cứu trong chương 5 Đặc biệt, số hạng

2

i

ư trong ngoặc của phương trình (2.33) (với W =0) tương ứng với suy yếu phát xạ Rõ rμng, số hạng i( +W)

2 2 12

2

,,,, ;

,,,,,

m k

(2.34) Bây giờ, khi W ≠0nhưng

)(1

O

W ≤ (2.35) mất mát do ma sát, vμ như thế suy giảm tổng cộng cũng yếu; các đỉnh cộng hưởng vẫn gần với k vμ các vùng lân cận của các mn

đỉnh cộng hưởng có thể được khảo sát theo cách của phần 5.7

Để ngắn gọn, các đỉnh mμ khi chính nó lμ cô lập sẽ được nghiên cứu trong phần sau

I F W

g A Q

ư++

) chỉ các đại lượng được ước lượng tại các đỉnh cộng hưởng Đặc biệt, các nghiệm thực của

phương trình (2.37) sẽ được định rõ bằng

~

mn

k Vì F vμ I không

phụ thuộc vμo f nên các vị trí của những đỉnh cộng hưởng

không bị ảnh hưởng mạnh bởi tổn thất ma sát Lưu lượng cực

ω

=1

(2.38) Vì

~/

~

mn

g

A Q

f

ω

= ω

Q

f

~)(

~

~

ω

= ω

g

2

' hay D≈1 (2.41) Vì

0

=

ωτ (2.42) rút ra từ phương trình (2.20) vμ W có thể được giải ra từ phương trình (2.21):

mn

k k

ka a

U S f W

~

/

)(

=

2 1 2

1612

16

kaβ ≤ (2.44) Sau khi phương trình (2.43) được thế vμo phương trình (2.40), nhân tử suy giảm tìm được bằng

=

≅σ

σ

2 1 2 0

2

, (2.45)

trong đó giá trị của k~mn có thể được ước lượng bằng các số sóng

tự nhiên của vịnh kín khi n vμ m không cùng lúc bằng không (non-Helmholtz mode) Đối với hμi Helmholtz, k~00 có thể được

ước lượng bằng giá trị không nhớt

Từ phương trình (2.45) ta có thể kết luận rằng sự suy giảm các đỉnh cộng hưởng do sự tổn thất tại cửa vμo sẽ xảy ra mạnh

nhất khi 16β/( a k~ )2 tăng, tức khi: 1) f lớn hơn, 2) biên độ lớn

hơn, 3) sóng dμi hơn hoặc các hμi cộng hưởng thấp hơn hoặc 4)

cửa vμo hẹp hơn Những suy xét trong việc thiết kế đê chắn

dạng các đầu của đê chắn sóng tại cửa vμo Ito (1970) cho rằng

các giá trị thực nghiệm f =1,5 cho kết quả hợp lý đối với đê

chắn sóng thần tại Ofunato Để tham khảo thêm hãy chú ý rằng

khi A=0,5m, h=10m vμ f được lấy bằng 1 thì 2

10ư

=

giờ ta xét một vịnh hình vuông với B= Một số số ít hμi tự L

nhiên bậc thấp nhất của vịnh đóng kín lμ:

Với cửa vμo hẹp vμ 2a / B=3ì10ư2, hệ số suy giảm vμ tham

số 16β/(k~a)2 được trình bμy trong bảng 2.1 đối với các giá trị β

không lớn hơn 10ư2 Các giá trị được đánh dấu bằng + trái với

giả thiết lμ 16β/(ka)2≤O(1) vμ hệ số suy giảm được tính toán

không đáng tin cậy về mặt định lượng Do đó, cần một phép xấp

xỉ khác

6.2.5 Suy giảm lớn do ma sát

Bảng 2.1 cho thấy giá trị của 16β/( a k~ )2 có thể rất lớn đối

với hμi cộng hưởng bậc thấp nhất hay đối với cửa vμo hẹp Từ

phương trình (2.21) giá trị của W = f S U /ωa cũng lớn vμ có thể

được xấp xỉ theo các bậc đại lượng dẫn đầu lμ

( )

ka W

2 1

4β /

≅ , (2.46)

hay

2 1

gA

U (2.47) Chú ý rằng theo định luật Torricelli cơ sở vận tốc U tỉ lệ thuận với ( gA2 )1/2 Lưu lượng tương ứng trên một đơn vị độ sâu qua cửa vμo lμ

2 1

22

ga a

2 k B B

a a k

5

10ư

= β

23,5 2,35

0,721 0,0721

0,18 0,018

0,144 0,0144

5

10ư

= β

0,336 0,707

0,865 0,983

0,959 0,996

0,966 0,996

+

Theo Mei, Liu vμ Ippen (1974) Tc Waterway, Port, Coastal and Ocean Division

Theo bảng 2.1, giả thiết suy giảm nhỏ do ma sát W≤O( )1

không phù hợp với hμi Helmholtz vμ ta cần nhận nghiệm chính

xác

hoá Qω / 2gA của dao động điều hoμ cơ bản như lμ hμm của kL ( kB= ) Độ

rộng cửa vμo chuẩn hoá 2a / B= 3 ì 10ư2 β = 0 : đường liền nét; β = 104:

đường gạch nối, β = 102: đường chấm gạch (Unluala vμ Mei, 1975)

6.2.6 Các kết quả số đối với W tổng quát

Vì phần thực của D tỉ lệ với độ suy giảm toμn phần, các hệ

số của W4, W3vμ W2 trong phương trình (2.21) lμ những số

dương; chỉ có thể tồn tại một nghiệm dương, thực Sau khi giải

được W bằng số, phản ứng bình phương trung bình đối với dao

động điều hoμ cơ bản được tính từ phương trình (2.28) mμ

không giả thiết ka<<1 Thông lượng pháp tuyến vμ phản ứng

bình phương trung bình được vẽ trên hình 2.1 cho dải 0< kL<8

vμ β=10ư2, 10ư4 vμ 0 Để so sánh, thuyết không nhớt dự tính

phản ứng nghịch của cảng cũng được trình bμy Trên các hình

2.2 vμ hình 2.3, các tỉ số biên độ đối với hμi Helmholtz

)(m = n=0 vμ cho hμi m=1, n=0 được vẽ như lμ các hμm của độ rộng chuẩn hoá của cửa vμo 2a / B Một lần nữa sự phản ứng cảng giảm theo 2a / B đối với giá trị cố định của β

hμi cơ bản đối với hμi Helmholtz (Unluala vμ Mei, 1975)

Phụ lục 6.A: Các phép xấp xỉ tích phân đối với

1

ℑ

ưℑ

a

a

a

H y y G y y G

a y y M y d y d

dydy y y k H

i g

i a y yd d y y G

)

0 2

0 2

0

24

10

ưξω

=

2 1

2 1

1

22

=

ℑ

2 1 2 1

2

2

/ /

''

ưξπ

=

ư

''lnln

/ /

2 1 2 1 0

22

ưξ

2 1 2 1

2 3 /

/

''

B

y n B

y n B

K

L K kB

kL dydy

a

g

i

dy y y G a

1 2

2

22

ctg2ctg4

1

04

1

'coscos

'

')',,(

α+

n

n

n B

K

L K kB

kL g

, (A 7) với α 2≡ πa/B Xét các chuỗi ở trên Do các kích thước của cảng đã

được giả sử tương đương với kích thước độ dμi sóng tới nên chúng ta phải có

12

<<

π

=α

B

a

tại góc x= ưB, y= 0, 5B đối với hμi thứ nhất k01B= π (hay

L L

( cos( π +

2

1ctg

απ

α

n

n n n

n B

K

L K

n

; chuỗi được ký hiệu bằng Σ có thể được viết lại

απ

ư

=

2 2

2

1ctg

21

B K

L K n

n n

sinsin

(A.8) Chuỗi thứ hai trên vế phải ở trên hội tụ rất nhanh; tổng của nó với số hạng còn lại trong phương trình (A.1) được ký hiệu lμ F:

1ctg

2ctg

n

n

n n

B K

L K kB

kL

Chuçi thø nhÊt ë vÕ ph¶i cña ph−¬ng tr×nh (A.8) cã thÓ ®−îc xÊp

xØ lÊy tæng trong d¹ng gÇn nhÊt B»ng c¸ch s¾p xÕp l¹i d−íi ®©y,

απ

−

≡

3 2

2

1212

11

1

n n

n

n n

2 2

3

14

3

z n

nz

)(ln

12

341

12

321

24

322

22

1

2 2

4 2

2 2

=

α+

−α

απα

=

B

O B

a

O

O F

ln

)(ln

)()(ln

)('

Thay vμo ph−¬ng tr×nh (A.8) vμ kÕt hîp víi c¸c ph−¬ng tr×nh

(A.7) vμ (A.9), ta ®−îc

.3

164

2

2

31

22

3414

1

2 2

2 2

+

−+

+ω

)(ln

ln

lnln

)(ln

'

ka ka O B

ka F

i

g

i

ka i

ka ka O B

a F

−ω

i g

i dydy y y M

2 2 2

24

1

(A.12)

Tμi liÖu tham kh¶o

Abbot M B (1979) Computational Hydraulics, Pitman, New York

Ablowitz, M J and A C Newell (1973) The decay of the continuous spectrum for solutions of the Korteweg-deVries equation J Math Phys 14: 1277-

1284

Ablowitz M J., D J Kaup, A C Newell and H Segur (1974) The inverse scattering transform - Fourier analysis for nonlinear problems Studies Appl Math Llll 4: 249-336

Ablowitz M J and H Segur (1981) Solitons and the Inverse Scattering Transform, Society Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia

Abramowitz M and I A Stegun (1972) Handbook of Mathematical Functions, Dover, New York

Adams N K (1941) The Physics and Chemistry of Surfaces, Oxford University Press, London

Aranha J A., C C Mei and D K P Yue (1979) Some properties of a hybrid element method for water waves Int J Num Methods Eng 14: 1627-1641 Armstrong J A., N Bloembergen, J Ducuing and P S Pershan (1962) Interactions between light waves in a nothnear dielectric Phys Rev 127:

1918-1939

Arthur R S (1946) Refraction of water waves by islands and shoals with

circular bottom contours Trans Am Geophys Union 27: 168-177

Arthur R S (1962) A note on the dynamics of rip currents J Geophys Res 67:

2777-2779

Atkin R J and R E Craine (1976) Continuum theory of mixture: applications

J Inst Math Appl 17: 153-207

Bagnold R A (1946) Sand movement by waves: some small scale experiments

with sand of very low density J Inst Civil Eng 27: 457

Bai K J and R Yeung (1974) Numerical solutions of free-surface and flow

problems Proc.10th Symp Naval Hydrodyn Office of Naval Research,

609-641

Bartholomeuz E F (1958) The reflection of long waves at a step Proc

Cambridge Philos Soc 54: 106-118

Batchelor G K (1967) An Introduction to Fluid Dynamics Cambridge

University Press, London

Battjes J A (1972) Set up due to irregular waves Proc 13th Conf Coastal Eng

ASCE 2: 1993-2004

Battjes J A (1974a) Computation of set-up long shore currents, run-up and

overtopping due to wind generated waves Communications on Hydraulics,

Dept of Civil Engineering, Delft University of Technology Report 74-2

Battjes J A (1974b) Surf similarity Proc 14th Conf Coastal Eng ASCE

466-480

Battjes J A (1975) Modeling of turbulence in the surf zone Proc Symp

Modeling Techniques ASCE 1050-1061

Benjamin T B (1967) Instability of periodic wave trains in nonlinear dispersive

systems Proc R Soc Lond A 299: 59-75

Benjamin T B and J E Feir (1967) The disintegration of wave trains on deep

water J Fluid Mech 27: 417-430

Benjamin T B and M J Lighthill (1954) On cnoidal waves and bores Proc R Soc Lond A 244: 448-460

Benney D J (1962) Nonlinear gravity wave interactions J Fluid Mech 14: 574-584

Benney D J (1966) Long nonlinear waves in fluid flows J Math Phys 45:

Biot M A (1941) General theory of three-dimensional consolidation J Appl Phys 12: 155-164

Biot M A (1956) Theory of propagation of elastic waves in a fluid saturated porous solid I Low frequency range II High frequency range J Acoust Soc Am 28: 168-191

Boczar-Karakiewicz B (1972) Transformation of wave profile in shallow water