Động lực học ứng dụng về sóng mặt đại dương ( Quyển 1 ) - Chương 4 potx

Nhằm mục đích tính toán với các trường hợp thực tế: biến thiên độ sâu vμ dòng chảy lμ tuỳ ý, Booij 1981 đã sử dụng lý thuyết Lagrange để khái quát hoá phương trình 5.7.. Chương 4 - Sóng

Nhằm mục đích tính toán với các trường hợp thực tế: biến

thiên độ sâu vμ dòng chảy lμ tuỳ ý, Booij (1981) đã sử dụng lý

thuyết Lagrange để khái quát hoá phương trình (5.7) Cả khúc

xạ vμ tán xạ đều được đưa vμo Song, việc tính toán thực tế có

thể khá tốn kém vμ nên tiến hμnh xấp xỉ hoá tiếp

Chương 4 - Sóng dμi biên độ nhỏ vô hạn

trên nền đáy biến đổi đáng kể

Khi sóng lan truyền vμo vùng có độ sâu biến thiên đáng kể

trong khoảng bước sóng, hiện tượng phân tán xuất tiện, trong

đó sự phản xạ trở thể hiện rõ Lý thuyết tia đơn bỏ qua sự phản

xạ sẽ không phù hợp nữa Trước khi bμn luận về sự phân tán

các sóng tản mát, ta khảo sát các bμi toán tương tự đối với các

sóng dμi trên vùng nước nông trường hợp quá trình phân tán

được xem lμ không quan trọng Để đơn giản về phương diện

toán học, ta chủ yếu đề cập tới trường hợp độ sâu biến đổi không

liên tục Một hiện tượng thú vị khi xét độ sâu biến đổi lμ hiện

tượng bẫy sóng, tức các sóng bị giữ lại ở một vùng nμo đó của

biển Chủ đề nμy đã thảo luận đối với các sóng ngắn ở chương 3

Các bμi toán về bẫy sóng dμi ở những bãi biển thoải, những

vùng thềm lục địa vμ các dãy núi ngầm đại dương sẽ được xét ở

đây bằng một số mô hình đơn giản như lμ miền hình chữ nhật

vμ độ nghiêng bãi đồng nhất, v.v Ngoμi ra, ở đây cũng sẽ

nghiên cứu một số khía cạnh về ma trận phân tán Vì chỉ có thể

giải được bằng giải tích theo phương pháp đại số cho một số ít ỏi

trường hợp biến thiên độ sâu liên tục, nên các phương pháp gần

đúng, hay phương pháp số, sẽ rất cần thiết vμ sẽ được xem xét ở cuối của chương nμy

4.1 Xây dựng lý thuyết sóng dμi tuyến tính hoá

4.1.1 Các phương trình mô tả

Trong mục 1.4 ta đã thấy rằng, với các sóng nhỏ vô hạn trên nền sâu không đổi, thì chuyển động của nước trong sóng dμi chủ yếu diễn ra trong phương ngang, tức sự biến đổi trong thẳng

đứng yếu vμ áp suất lμ thuỷ tĩnh Nhận xét nμy đã được khẳng

định lại trong mục 3.6 khi rút ra các phương trình phi tuyến cho các dòng chảy qui mô lớn, tức chính lμ các sóng dμi biên độ hữu hạn Vậy chuyển động sóng dμi lμ chuyển động gần đúng hai chiều

0

=

⋅

∇+

2 2

t h

Nếu các sóng có dạng sin theo thời gian với tần số góc ω, ta

có thể tách riêng các phần phụ thuộc không gian vμ thời gian

thμnh

t

e y

∇ , (1.10) trong khi phương trình (1.9) trở thμnh phương trình Helmholtz:

2 1 2

)(

,

gh k

+η

∇ (1.11) Nếu biên bên lμ tường thẳng đứng, thì điều kiện biên phải

lim (1.13) Mặt khác, điều kiện biên dọc theo đê chắn sóng lởm chởm hoặc dọc theo một bãi biển thoải có sóng đổ thì khó có thể xác

định, vì sự tiêu tán năng lượng trên các biên nμy lμ một quá trình phi tuyến khó mô tả bằng toán học

Cuối cùng, phải xác định một điều kiện biên thích hợp tại vô cực

Để diễn đạt luận chứng luận lý trên, ta tiến hμnh dẫn lập các phương trình (1.1) vμ (1.4) một cách chính thức hơn, bằng cách vận dụng lý thuyết tuyến tính hoá tổng quát cho trường hợp sóng dμi Những lập luận ở đây thuân theo Friedrichs (1948) đối với các sóng dμi phi tuyến vμ một phần như trong mục 3.1 Ta sẽ quy chuẩn tất cả các biến theo các qui mô đã biết trước dựa trên các căn cứ vật lý:

,,

),,(),(

2 1 0

0 0

1

gh h

A k A

t gh k t

h

h h h

z z y x k y x

(1.14)

trong đó gh 1 2k

0 /

)(

~

ω Việc quy chuẩn đối với t vμ Φ tuân theo phương trình (2.2), chương 1 Các phương trình phi thứ nguyên quả sẽ đúng như các phương trình (1.3)ư(1.5) ở chương 3, nếu ta thay tất cả các dấu gạch trên bằng dấu ' Để cho ngắn gọn, từ

đây trở đi ta sẽ bỏ các dấu phảy trên trong các phương trình

Giả sử ta có chuỗi

+φμ+φμ+φ

=

4 2 2

0 (1.15) Tại bậc ( 0)

μ

Ο ta có

0

0

2 0 2

∂

φ

0 0

0 , , , (1.17) sao cho φ0 =φ0(x,y,t) Tại bậc Ο(μ2) ta có

0

0 2 2 2 2

<

<

ưφ

2 0 2

áp dụng công thức Green (phương trình 4.11, chương 2) với φ0

vμ φ2 sẽ cho điều kiện khả giải với φ2

2 0 2 0

∇

⋅

∇ ( ) (1.21) Nếu các biến tự nhiên được khôi phục vμ phương trình

Bernoulli tuyến tính hoá gζ =Φt được sử dụng, thì phương

trình (1.21) dẫn đến phương trình (1.5)

4.1.2 Các sóng tựa một chiều trong kênh dμi tiết diện ngang

biến thiên chậm

Đối với một kênh dμi, tiết diện ngang hình chữ nhật, chiều

rộng kênh nhỏ hơn nhiều so với quy mô dμi phương dọc, thì biến

thiên theo phương ngang nhỏ hơn nhiều so với biến thiên theo

chiều dọc Xét theo kinh nghiệm ta thấy điều nμy lμ đúng, vì các

điều kiện biên dòng pháp tuyến bằng không tại các bờ của kênh

hẹp có nghĩa rằng sự biến đổi phương ngang của ζ có thể bỏ qua ở mọi nơi Chuyển động có thể mô tả bằng phương trình một chiều; cách thiết lập luận lý sẽ trình bμy dưới đây

Giả sử x lμ trục dọc vμ y lμ trục ngang, b (x) lμ độ rộng vμ )

1 2

∂

∂+

a y

a

a a

a u v h y d u x y d

Các số hạng tích phân triệt tiêu dọc theo cả hai bờ, do đó

01

=

∂

∂+

∂

ζ

x

Au b

b x

A

x ; (1.26)

đây lμ một kiểu phương trình loại Sturm–Liouville quen biết Phải nhấn mạnh rằng từ giờ trở đi bước sóng vμ kích thước dọc của kênh được xem như cùng bậc

Bμi tập 1.1:

Sử dụng phương pháp Friedrich để rút ra phương trình

(1.25) bằng phép phân tích nhiễu

4.1.3 Nhận xét thêm về điều kiện phát xạ

Theo mục 2.4, với các bμi toán sóng dạng sin ổn định, thì

phải đặt điều kiện biên phát xạ: các sóng gây bởi những nhiễu

địa phương được lan ra ngoμi Một cách tiếp cận tương đương

khác: đó lμ xuất phát từ bμi toán giá trị ban đầu vμ xem trạng

thái ổn định lμ trạng thái giới hạn khi t→∞ Một cách lựa chọn

khác: đó lμ duy trì theo cách dẫn lập với trạng thái ổn định,

nhưng yêu cầu một sự tiêu giảm nho nhỏ, sự tiêu giảm nμy có

thể lμ thực hay lμ nhân tạo, vμ sau đó đòi hỏi nghiệm điều hoμ

đơn phải triệt tiêu ở vô cùng Khi sự tiêu giảm được phép giảm

đi ở cuối, thì kết quả cuối cùng sẽ thoả mãn điều kiện phát xạ

Tính nhân tạo của tiêu giảm nhân tạo lμ ý tưởng của Rayleigh

Trong nước nông, người ta có thể tưởng tượng ma sát đáy lμ

nguồn tiêu giảm tự nhiên Giả sử lực ma sát được diễn tả bằng

ưη

2 + εω η=ω

+η

∇

⋅

∇ g h ( i ) , (1.29) hay có thể viết lại thμnh

0

2η=ε+ω+η

∇

⋅

∇ g h ( i ) (1.30) với ε nhỏ Điều kiện biên tại vô cùng lμ η phải có hạn Vậy

trạng thái ổn định cuối cùng sẽ lμ giới hạn của nghiệm tại ε↓0 Thay vì cách tiếp cận vật lý hoặc giả vật lý về đưa ra sự tiêu giảm, con đường toán học tương đương lμ phát biểu rằng η thoả mãn

0

2

=ηω′

+η

∇

⋅

∇ g h , (1.31)

ở đây ω′ lμ số phức với phần ảo nhỏ, dương

Để thấy ý nghĩa của “tiêu giảm” hay số phức ω′, ta xét quá trình phân tán một chiều gần một vật cản Trong các vùng độ sâu h không đổi, sóng phân tán bằng

x k i

=

′ k i g h

k , (1.32) 2

eư ′ Trong giới hạn của ε↓0, nhiễu trở thμnh

S

η ∼e ik x , k x →∞ (1.33)

điều nμy có nghĩa lμ các sóng đi ra Như vậy giá trị phức ω′chỉ

điều kiện phát xạ Dễ dμng kiểm tra được rằng điều kiện phát xạ có thể diễn tả như sau

∞

→

→η

)(

) )

r k H

r k H

Do biến thiên bất đối xứng của các hμm Hankel

) )

r k H

r k H

n r

k i r

)

(2

n

H phải được loại bỏ khi k′ phức với phần thực dương Tại giới

hạn ε↓0, nghiệm tổng quát của các sóng phân tán có thể viết

như sau:

)()sincos

n n

0

θβθα

=

=

(1.36) Với kr>> 1, ηS biến thiên như

β+θα

≈

2 1

/

)sincos

n n

kr e

n n

4 2 1

kr

A , (1.37)

đây lại lμ một sóng đi ra Vì vậy, phương trình (1.37) lμ điều

kiện phát xạ cho sự phân tán hai chiều gây bởi các vật cản hữu

hạn Một cách khác, điều kiện nμy có thể biểu diễn tả bằng

1 0

2 1

>>

→η

(1.38)

Ta phải nhấn mạnh ngay rằng phương trình (1.38) mạnh hơn

nhiều so với yêu cầu ηS ↓0

tại vô cùng

Những nhận xét trên đây gợi ra một thủ tục quy tắc giản để

xây dựng các nghiệm biến thiên thời gian từ các nghiệm điều

hoμ đơn Nếu nhiễu bắt đầu sinh ra tại một thời điểm hữu hạn,

thì ζ→0 khi t→ư∞ Với quá trình tiêu giảm, ta cũng kỳ vọng

rằng ζ→0 khi t→+∞ Vậy có thể vận dụng phép biến đổi

Fourier

dt e

t ωt

∞

∞

ưζπ

bμi toán giá trị biên đúng lμ bμi toán về nhiễu điều hoμ tiêu giảm η x( ,ω′) Do đó, nhiễu biến thiên có thể nhận được bằng phép biến đổi ngược:

ωω′

đây lμ tổng cộng tuyến tính của các nghiệm điều hoμ đơn bị tiêu giảm Vì ω′=ω+iε, phương trình (1.40) có thể viết lại thμnh

=ωω′

trong mặt phẳng phức ω′ Bây giờ vì mục đích cuối cùng đã đạt

được, ta có thể quên đi tính nhân tạo của sự tiêu giảm vμ đơn giản nói rằng ζ(x,t) lμ tích phân Fourier của nghiệm điều hoμ

đơn thoả mãn điều kiện phát xạ

ωω

4.2 Độ sâu gián đoạn ư sóng tới vuông góc

sóng tới tần số ω đến từ x~±∞ Từ mỗi chuỗi sóng đó, có một

phần năng lượng được truyền qua chỗ gián đoạn độ sâu vμ một

phần bị phản xạ trở lại, tạo thμnh các sóng phân tán truyền ra

xa từ chỗ gián đoạn nμy Vấn đề lμ phải tìm các sóng truyền qua

∂

∂

x

g t

u

, (2.2) trong đó ζ=(ζ1, ζ2), u=(u1, u2), vμ h=(h1, h2) tuần tự tại x<0

vμ x>0 Bây giờ ta phải tìm các điều kiện tương hợp tại x=0

Để lập luận chu đáo hơn, bây giờ ta giả sử các phương trình

(2.1) vμ (2.2) lμ đúng ngay cả khi qua điểm gián đoạn độ sâu vμ

2 2 1

1

x x

u h u

2

1 lim ,lim

x x

ζζ

(2.4) Những điều kiện nμy (Lamb, 1932) liên hệ ζ vμ dòng uh qua

điểm gián đoạn độ sâu

Đối với chuyển động điều hoμ đơn, ta sử dụng phương trình

(1.9) sao cho các thừa số không gian thoả mãn phương trình

,,, 1 20

2 2

2

=

=η+

x d

d

m m m

(2.6) Thừa số không gian của vận tốc được cho bằng

x d

d g i

m

ηω

ư

= (2.7) Các điều kiện tương hợp tại điểm nối lμ

2 1 1

Để kết thúc việc thiết lập công thức, ta phải bổ sung thêm

điều kiện phát xạ: nhiễu gây ra bởi sóng tới chỉ có thể đi ra ngoμi Vậy nếu chỉ có một sóng tới từ phía trái (hoặc từ phía phải), thì các sóng ở phía phải (trái) phải lμ sóng chỉ chạy sang phải (hoặc sang trái) Một cách tổng quát hơn, ta giả sử rằng có các sóng tới đến từ cả hai phía của vô cùng A e i k1x

ư vμ B eưi k2x

+ Nghiệm tổng quát sẽ có dạng sau:

x ik x

e B

2

1 1

ư

ư + ++B =A +B

)(

)(Aư ưBư =k h ưB++A+h

từ các biểu thức nμy có thể giải ra

2 2 1 1

2 2 2

2 1

h k h k

B h k A h k h k B

, (2.11)

2 2 1 1

2 2 1 1 1

1

2

h k h k

B h k h k A h k A

(2.12)

Các kết quả có thể viết gọn hơn dưới dạng ma trận như sau

{ }A S =[ ]S{ }A I (2.13) với

ư

B

A A B

A

, , (2.14)

2 1 1

2 2 1 1 1

1 1 2 2 1 1

2

2

h k h

k h k

h k h k h

k h

k h k

2 1

T R

R T

(2.15)

Ma trận [ ]S được gọi lμ ma trận phân tán

Để hiểu ý nghĩa của T1,T2,R1 vμ R2, hãy giả sử sóng chỉ tới

từ phía trái, sao cho Aư≠0 vμ B+ =0 Rõ rμng rằng

2 2 1 1

1 1 1

2

h k h k

h k T

2 2 1 1

2 2 1 1 1

h k h k

h k h k R A

truyền qua vμ hệ số phản xạ khi sóng tới xuất phát phía h=h1

(h g

h

k m m =ω m , ta có

2 1 1 2 2

1 2 2 1 1

2 1 1 1

1

22

/ /

/ /

)/()

()(

)(

h h h

h

h T

+

=+

2 1 1 2

2 1 1 2 2

1 2 2 1 1

2 1 2 2 1 1 1

1

1

/ / /

/

/ /

)/(

)/()

()(

)()(

h h

h h h

h

h h

R

+

ư

=+

ư

Biến thiên của T1 vμ R1 theo tỉ số độ sâu thể hiện trên hình 2.1 Chú ý rằng pha của sóng phản xạ không thay đổi khi sóng tới

đến từ phía sâu hơn, nhưng nó lệch pha bằng π khi sóng tới

đến từ phía nông hơn Việc chứng minh rằng năng lượng do các sóng phân tán (phản xạ vμ truyền qua) truyền tải bằng năng lượng do sóng tới chuyển tải sẽ giμnh cho bạn đọc như lμ một bμi tập Đối với vùng thềm rất nông, h /2 h1 <<1, thì

2

h , nhưng chỉ có một phần năng lượng rất nhỏ xuyên qua được vì tốc độ dòng năng lượng lμ 1 2

2 2

1

/

)

(h C

T g∝ Trong trường hợp đặc

biệt, h /2 h1 >>1 hệ số phản xạ R1 =ư1, tức hệ thống sóng tổng

cộng trong phần x<0 cũng lμ một sóng đứng nhưng với điểm nút

tại x=0

Bμi tập 2.1

Xét một thềm có độ sâu h1 trong vùng x<x1 nối với đại

dương có độ sâu lớn hơn h2 trong vùng x>x2 Tại vùng chuyển

tiếp x1<x<x2, độ sâu được cho bằng h=ax2, với 2

h = vμ x2 ưx1>h1 hoặc h2 Giả sử một chuỗi sóng chu kỳ

dμi lμ sóng tới trực diện từ phía đại dương Hãy chứng minh

rằng các hệ số phân tán lμ

Δμ

=

2 1 2

21

2sh

/

)/(exp

b i

trong đó

2 1 2

1 2

4

1

x

x ga

2

bsh2

2 1 2

lnln

4.2.2 Hiệu chỉnh các điều kiện tương hợp tại điểm nối

Mặc dù các điều kiện tương hợp phương trình (2.8a) vμ

(2.8b) lμ hợp lý về mặt linh nghiệm, chúng đã được rút ra trên

cơ sở các phương trình (2.1) vμ (2.2), mμ các phương trình nμy

chỉ có hiệu lực khi các chuyển động thẳng đứng không đáng kể

so với chuyển động ngang vμ khi ∂ /∂xnhỏ Tuy nhiên, những giả thiết nμy sẽ không còn đúng ở lân cận điểm bậc thềm Vậy

lý thuyết của ta ở mục 4.2.1 có còn đúng hay không? Câu hỏi nμy lμ chủ đề bμi báo của Bartholomeuz (1958), ông đã xuất phát từ bμi toán với kh tuỳ ý vμ chứng minh chặt chẽ rằng các

kết quả của mục trước lμ giới hạn tiệm cận chính xác của

Trước tiên, ta chia miền tự nhiên thμnh vùng gần vμ vùng

xa theo qui mô ngự trị ở mỗi vùng Thí dụ, qui mô độ dμi ở phía sóng tới ở cách xa điểm nối lμ bước sóng 1/k1, vậy phương trình

)Re(e i k x i k x

1

ư

Ο k lμ một vùng xa Dưới mắt của người quan sát ở vùng xa thì miền lân cận điểm độ sâu gián đoạn nhỏ đến mức chỉ một số ít các số hạng khai triển Taylor phương trình (2.19) đã đủ để xấp xỉ mặt

tự do ở đó; vậy

0

1

1 1

η A[ R ( R)i k x] (k x) k x (2.20) Với một người quan sát tương tự khác ở phía truyền qua của vùng xa thì sóng được mô tả bằng phương trình

x k i

2 2 2

2 =AT(1+i k x)+Ο(k x)

η (2.22)

trong vùng lân cận của gián đoạn độ sâu Đối với vùng nước

nông, phương trình Bernoulli cho

ηω

Bây giờ miền lân cận điểm gián đoạn cấu thμnh một vùng

gần có chuyển động hai chiều vμ kích thước đặc trưng lμ độ sâu

địa phương h (h1 hoặc h2) Phương trình chuyển động vμ điều

kiện biên tại điểm gián đoạn) lμ

0

2 2 2

/(

2

h k g

h z

=

∂φ

φω

quan sát ở vùng gần đã không chú ý đến các sóng kích thước dμi

vμ nhìn thấy, tại mọi thời điểm, một dòng chảy đi qua một kênh

nối với điểm gián đoạn như trên hình 2.2 Nghiệm hình thức

của bμi toán dòng chảy thế đơn giản hoá nμy, về nguyên tắc, có thể nhận được bằng cách vẽ bản đồ đồng dạng hay những phương tiện khác

Cho đến giờ, các nghiệm vùng gần vμ vùng xa chứa các hệ

số chưa được xác định Bước tiếp theo của phương pháp tiệm cận tương hợp đòi hỏi các nghiệm nμy được nối trơn trên các vùng trung gian, ở rất gần với điểm nối theo ngưòi quan sát ở vùng xa nhưng ở rất xa điểm nối theo ngưòi quan sát ở vùng gần; nói cách khác

2 1

1 gần

xa kx =φ x/h +Ο(kh)

φ << >> (2.29) Trước khi thực hiện tương hợp, ta viết ra biểu thức xấp xỉ vùng xa φgần:

U h DU

1

h

x x

h

h U h DU

đặc biệt chú ý rằng, các hằng số cộng tại x ~± khác nhau một ∞lượng 2DU h1; thực tế, D liên quan đến hằng số chưa biết U Do tính liên tục, tại x bất kỳ ta có

),(x h x

h z d x z d x h

U

h h

ưφ

∂

∂

ưφ

1

1 2 1

x x

x

x

h x

x h U z

d ( ) ( , ) (2.31) Vì phương trình (2.30) áp dụng tại x1 vμ x2, vế trái của phương trình (2.31) có thể viết lại

)(

)(h2 h1 DU h1 h1 h2 U h1 x2 x1

ư+

x

h h

h C x x h

∂

∂+

=

1 2

1

1

h U

C h x x

h x d h h

D ( , ) (2.32) Vì φưC phải có bậc lμ U h1, D lμ một số phi thứ nguyên có bậc

đơn vị vμ chỉ phụ thuộc vμo hình học của vùng gần Giá trị

tường minh của D có thể thu được cho trường hợp miền gián

đoạn độ sâu hình chữ nhật như ở mục 4.2.3

Hình 2.2 Vùng gần của một

thềm gián đoạn độ sâu

Giả sử rằng vùng gần vμ do đó D được biết trước theo C vμ

U , ta đi thực hiện so sánh các phương trình (2.23) vμ (2.24) với

phương trình (2.30) Bằng cách cho bằng nhau các hệ số của các

số hạng chứa cùng luỹ thừa của x , ta được:

)

A ig D h U

1 ig A T i k h

h U

1 1

21

21

h iDk s

h iDk s R

ư+

21

2

h iDk s

s T

ư+

= , (2.34)

1 1 2

2 1

21

2

h iDk s

s h

ik igA U h

ư+ω

= (2.35)

vμ

1 1

1 1

21

2

h iDk s

h iDk s igA C

ư+

ưω

= (2.36) trong đó

2 2

1 1

h k

h k

4.2.3 Vùng gần trong miền gián đoạn hình chữ nhật

Nói chung, vùng gần của phần chuyển tiếp thô phải được giải bằng số như bμi toán kinh điển về dòng thế ổn định Đối với một miền gián đoạn hình chữ nhật, nghiệm có thể nhận được bằng phương pháp giải tích nhờ lý thuyết các hμm phức (xem Milne–Thomson, 1967) Ta đưa ra biến phức z=x+ j y vμ thế vận tốc phức W (z) với φ(x,y)=Rej W(z) Chú ý rằng đơn vị ảo

được ký hiệu bằng j nhằm phân biệt với đơn vị i được dùng để chỉ biến thiên thời gian Mặc dù cả i vμ j lμ 1 2

1) /(ư , nhưng mỗi

một đại lượng phải được coi lμ số thực so với đại lượng kia khi

chúng cùng xuất hiện Chẳng hạn, thế vận tốc thực được trình

diễn bằng

,sincos

)(

ReRe

)(ReRe

)(ReRe),,(

t t

i e

e

j e

e z W t

y x

t i i t i i

j t i i

t i j

i

ωφ+ωφ

=

=ψ+φ

=φ

=

=ψ+φ

=

=

=Φ

ω

ư ω

2 1

ở đây φ1 vμ φ2 lμ thực theo cả i vμ j

Đường vật lý trong mặt z có thể được vẽ vμo nửa phía trên

của mặt ζ như trên hình 2.3, theo công thức của Schwarz–

Christoffel

2 1 2

ưζζ

=ζ

c

K z

=U h ln

W (2.39)

Để ấn định K vμ c2 ta chú ý rằng vận tốc phức lμ

2 1 2 1

ưζπ

=ζζ

K

h U d

z d d

dW z d

W d

Vì ζ~ ∞ ở gần A , d W /d z≅U h1/πK=U h1/h2; do đó

π2

h

K = Gần B , ζ~0 vμ d W/d z≅U h1c/πK=U ; do đó

1

2

2 2

ư

ư

=ζ

t

c t

(2.40a) hay

2 1 2

ưζ

t , (2.40b) biểu thức nμy sắp đặt nửa trên mặt ζ vμo cung phần tư thứ nhất của t như trên hình 2.3 Lấy đạo hμm loga phương trình (2.40) vμ kết hợp với phương trình (2.38), ta có thể tích phân z

theo t, với kết quả lμ

ưπ

=+

1

11

2 1

t

t c t

c t c

h jh

z ln ln , (2.41) trong đó hằng số jh1 được chọn sao cho các hình ảnh của điểm

C xuất hiện trong cả mặt z vμ t

Bây giờ đặt phương trình (2.40a) vμo trong phương trình

(2.39), ta có

1

ln 2

2 2 1

π (2.42)

Đối với một t cho trước trong góc phần tư thứ nhất, ta có thể

tìm z từ phương trình (2.41) vμ W tương ứng từ phương trình

(2.42) Bây giờ việc giải nghiệm ở vùng gần hoμn thμnh

Các phép xấp xỉ tiệm cận ở các lân cận của A vμ B lμ cần

thiết Giả sử t tiếp cận điểm B từ phía trái, t → cư0, khi đó

≅

ư

1

12

11

2 1

c

c c c c t c

h h j

ưπ

≅

1

2

2 1

c

c c

t h U

ư++ππ+

≅

1

21

c c j

h U z U

ưπ

≅

1

11

h h j

vμ

[ln( 2 1) ln2 ln( 1)]

1 ư + πư ư ưπ

ư

ưπ

+

≅

1

112

2

1 2

1

c

c c j c

h U h

z h U

π

=

1

421

11

c c

c

D ln ln ; (2.45)

đây lμ phương trình do Tuck (1976) nhận được vμ nó khẳng

định ước lượng bậc D ở mục 4.2.2

4.3 Độ sâu gián đoạn - sóng tới xiên

Xét một chuỗi sóng phẳng đi tới dưới một góc θ1 so với

đường gián đoạn độ sâu (hình 3.1) Giả sử trục y trùng với

đường gián đoạn vμ trục x vuông góc với trục y Các độ sâu ở hai phía lμ h1, x<0 vμ h2, x>0, một cách tổng quát h1≠h2 Giả sử các sóng đi tới từ phía x→ư∞

) ( x y i

η 1 sao cho 2

1 2 2

1 +β =k

α (3.1) Vectơ số sóng của sóng tới nghiêng một góc

)/

1 2 2 1 1

2 2 2 2 2

=

, (3.4) sao cho ở phía trái có một sóng phản xạ hướng sang trái vμ ở phía phải có một sóng truyền qua hướng sang phải Các hệ số phản xạ vμ truyền qua R vμ T phải được xác định bằng cách lμm tương hợp độ cao mặt nước vμ dòng khối lượng tại điểm 0

=

x Thế các phương trình (3.3) vμ (3.4) vμo các phương trình (2.8a) vμ (2.8b), ta được

T

R=+

1 , (3.5a)

T i h Ri i

h1(α1ư α1)= 2α2 (3.5b) Các nghiệm cho R vμ T về hình thức giống như trường hợp sóng tới vuông góc nếu ta thay thế k1 vμ k2 bằng α1 vμ α2

trong các phương trình (2.16) vμ (2.17), tức lμ

2 2 1 1

1 1

2

h h

h T

α+α

α

= , (3.6a)

2 2 1 1

2 2 1 1

h h

h h R

α+α

α

ưα

= (3.6b)

Ta cần chú ý tới một số tính chất của nghiệm Hướng sóng

tới vμ sóng truyền qua bằng:

2 2 2 1 1

)( ưβ

β

=θ

k , (3.7)

vμ

2 1 2 2 2 2

)( ưβ

β

=θ

k (3.8)

Với h1>h2, k1<k2, thì θ1>θ2

Nếu phía truyền qua nông hơn, thì vectơ số sóng của sóng

truyền qua sẽ hướng gần trùng với trục x hơn so với vectơ sóng

tới Mặt khác, nếu h1<h2, phía sóng tới nông hơn, thì θ1<θ2 vμ

các sóng truyền qua sẽ quay ra xa khỏi trục x Kết quả nμy

chính lμ hiện tượng khúc xạ đã bμn luận ở chương 2 đối với

trường hợp độ sâu biến thiên chậm vμ các sóng truyền qua được

gọi lμ sóng khúc xạ Với một tần số cố định, k vμ 1 k sẽ cố định 2

theo h vμ 1 h Nếu ta tăng 2 β về phía k (tức tăng góc tới), thì sẽ 1

có một giai đoạn sao cho k2=β vì k2<k1 Tại giai đoạn nμy,

2 1 1

2 1 cr

)(

)(

k k

k k

ư

=α

=

θ ư ư (3.9) Vì α2 =0, hệ số phản xạ R=1; như vậy lμ có phản xạ toμn phần

Sóng truyền qua có các đỉnh song song với trục x với biên độ

như nhau dọc theo các đỉnh sóng

Hình 3.1 Hướng của các vectơ sóng tại đường gián đoạn

Điều gì sẽ xảy ra khi β tăng nữa? 2 2 2

2 2

/

)( ưβ

/

)(β ưk

=

γ sao cho γ2 lμ thực vμ dương:

y i

x e Te

2 2 1 1

1 1

2

h i h

h T

γ+αα

= , (3.11a)

2 2 1 1

2 2 1 1

h i h

h i h R

γ+α

γ

ưα

= (3.11b)

Rõ rμng rằng, R =1, sự phản xạ lμ toμn phần Với các phương

trình (3.11), nghiệm có thể chuẩn hoá lại thμnh

y i

e x

1

β

δ+α

=

η cos( ) , (3.12)

y i

x e e h h

h

2 2 2 2 1 2 1

1 1 2

2 β γ

ư

γ+α

α

=

)( (3.13) với δư góc pha

1 1

2 2

Ta phải giải thích nghiệm với một ý nghĩa mới Tại phía sâu

hơn, x>0, sóng truyền qua truyền dọc theo trục y, biên độ của

nó cực đại tại x=0 vμ giảm dần theo hμm mũ Góc β cμng lớn

thì biên độ cμng giảm nhanh

4.4 Sự Phân tán ở thềm hoặc máng độ rộng hữu

hạn

Xét đáy biển có độ sâu biến thiên kiểu bậc như trên hình

4.1 Từ x~ư∞ truyền đến một sóng tới biên độ đơn vị dưới một

góc xiên Ta xét xem kích thước hữu hạn của bậc độ sâu sẽ có

những hiệu ứng gì?

Hình 4.1 Sống đất ngầm

Nghiệm tổng quát trên mỗi miền phẳng có thể viết như sau:

a x e

R= ′ ư 2 α 1 (4.4)

lμ hệ số phản xạ, vμ

a i e T

T= ′ ư ( α1+ α3) (4.5)

lμ hệ số truyền qua Các hệ số A, B , R′ vμ T′ phải tìm bằng cách tương hợp η vμ h∂ /η ∂x tại hai bên đường gián đoạn Tại x=ưa, ta có

a ia a

ia B e e

)( R h A e ia a B e ia a

2 2 1

1 1ư ′ =α ư

α ư , (4.7) trong khi tương hợp tại x=a, ta có

T e B e

A ia2a+ ưia2a= ′, (4.8)

vμ

T h e

B e A

3 3 2

2

2

( (4.9) Bây giờ việc còn lại lμ giải đồng thời các phương trình (4.6)–(4.9) Các tính toán có thể được đơn giản hoá nếu dùng các ký hiệu mới sau đây:

ν ν

μ μ μν

R Be

Aeưiα 2a+ iα 2a=1+ ′, (4.11)

)

s Be

Aeưiα 2a ư iα 2a= 12 1ư ′ , (4.12)

T e

B e

A α 2 + ư α 2 = ′, (4.13)

T s e B e

1

e T

giải phương trình cho R′ vμ T′:

Δ

ư+

++

a i a

e s

32 12

2 32

Để tìm hiểu ý nghĩa vật lý, ta khảo sát một trường hợp đặc

biệt: độ sâu ở cả hai phía của điểm gián đoạn bằng nhau, h1=h3

Bây giờ ta có α1=α3,do đó

2 1 2 2 2

2 1 2

2 1 2

2

1 1 32 12

β

ưω

=

≡α

h s h

h s

Chú ý rằng s>1 nếu vùng trung tâm lμ miền thềm vμ s<1 nếu

lμ một vùng trũng Các hệ số truyền qua vμ phản xạ lμ:

a i a

e s

s T

2

2 2

11

4

α α

ư ư ư+

=

′

)()

( , (4.21)

a i a

i

a i a i

e s e

s

e e

s R

2 2

2 2 2 2

2

2 2 2

11

1

α α

ư

α α

ư

ư

ư+

(

))(

2

R

T R

T

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

21

421

s

sin)(sin

)

Dễ dμng chứng minh được R2+ T2=1, có nghĩa rằng năng lượng của các sóng phân tán cũng bằng năng lượng của các sóng tới Một đặc tính vật lý quan trọng lμ R2 vμ T2 biến thiên tuần hoμn với 2α2a Đặc biệt, với 2α2a=nπ,n=0,1,2,3 , nghĩa

lμ, 4a/λ2=0,1,2,3 , trong đó λ2 =2π/α2, thì R2 =0, vμ T2 =1thμnh thử trường hợp nμy sóng truyền qua hoμn toμn vμ thềm gọi lμ trong suốt đối với sóng tới sóng tới Truyền qua cực tiểu

vμ phản xạ cực đại xảy ra khi sin22α a2 =1, hay

,,,

32

14

2

,,,

=λ

a

Các giá trị tương ứng lμ:

2 2

2 2

1

4

)(

min

s

s T

+

= , (4.24)

2 2

2 2 2

1

1)(

)(max

s

s R

+

ư

= ; (4.25) những giá trị nμy phụ thuộc vμo s như trên hình 4.2a Phụ 2

thuộc của T vμ R vμo 2α2a lμ phụ thuộc kiểu dao động (hình 4.2b)

Sóng trên thềm thu được bằng cách thế phương trình (4.21)

vμo các phương trình (4.15) vμ (4.16) với s12 =s32 =s, tức lμ

a i a

e s T

2

1 ′ + ư α = ′ ư α

= ( ) , ( ) (4.26)

vμ sau đó thế vμo phương trình (4.2) Bỏ qua các bước trung

gian, ta có kết quả cuối cùng:

a i a

i

a x i a

x i

e s e

s

e s e

s s

2 2

2 2

2 2

2

11

11

2

α α

ư

ư α

ư

ư α

ư

ư+

ư++

=η

)()

(

)()

s

a x s

a x s

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

21

4

4

α

ư+

ưα+

ưα

=η

sin)(

)(sin)(cos

(4.28)

Hình 4.2 Đặc tính của T 2vμ R2: a) ảnh hưởng do s= α1h1/ α2h2 biến thiên; b) ảnh

hưởng do 2 α2a biến thiên Mặt tự do trong khoảng ưa<x<a lμ tổng của hai chuỗi

sóng lan theo hai hướng ngược nhau dẫn tới giao thoa vμ hình

thμn một sóng đứng không gian có biên độ thay đổi dọc trục x

Riêng tại rìa x=a

a x a

s s

s

=α

ư+

=

21

4

4

2 2 2 2 2

2 2

sin)

độ của sóng truyền qua

Các đặc tính giao thoa rút ra đơn thuần từ phân tích toán học như trên cũng có thể được giải thích về mặt vật lý Khi một sóng đập vμo rìa tại x=ưa, một phần sóng truyền qua vμo vùng

a x

a< <

ư vμ một phần phản xạ Khi đạt tới rìa tại x=a, sóng truyền cũng cùng chịu trình phân tán, thμnh thử một phần sóng truyền qua tới vùng x>a vμ một phần phản xạ về phía rìa 0

=

x Quá trình qua vμ phản xạ lui vμ tiến lặp đi lặp lại vô

cùng tận đối với tất cả sóng của chuỗi sóng điều hoμ Sóng tổng cộng đi về phía trái trong khoảng x<ưa lμ tổng của các sóng phản xạ từ x=ưa vμ tất cả các sóng truyền qua từ ưa<x<a đến

Ngoμi ra, nếu lấy đạo hμm η22 theo x , ta thấy ∂η 2/∂x∝

2

s

2 2 2 2 2

2 2

2

21

4

4Extr

α

ư+

=η

sin)( nếu n= chẵn

vμ

a s

s

s

2 2 2 2 2

2 2

2

21

4

4Extr

α

ư+

=η

sin)( nếu n=lẻ

Trong cả hai trường hợp các giá trị cực trị lμ lớn nhất khi 2α2a

lμ các số nguyên lần của π Như vậy, các đỉnh của T theo 2α2a

trùng với đỉnh thích ứng trong vùng ưa<x<a

Cuối cùng, ta xét giới hạn khi α a2 ↓0 Nếu khai triển

Taylor phương trình (4.23) sẽ rút ra

4 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 1

)()()(

a a

s

s

Vậy một barie hẹp hơn nhiều so với bước sóng thì thuộc loại

trong suốt đối với các sóng tới Thật ra thì các hiệu ứng chất

lỏng thực thường gây ra sự tách dòng chảy, vμ do đó, sự tản

mát, vμ lμm thay đổi kết luận trên đây một cách đáng kể

4.5 Sự truyền qua vμ phản xạ ở vùng độ sâu

biến đổi chậm

Có một số dạng địa hình đáy cụ thể (biến thiên tuyến tính,

parabol); với chúng có thể nhận được nghiệm giải tích (Kajiura,

1961) Việc phân tích toán học để nhận được kết quả trong

trường hợp nμy không có gì khó khăn Với các loại nền đáy với

độ sâu biến đổi chậm, ta có thể rút ra nghiệm khá tổng quát nhưng ở dạng gần đúng vμ có ý nghĩa về mặt vật lý

Đối với loại nền đáy mμ quy mô biến đổi độ sâu của nó lớn hơn nhiều so với bước sóng, thì hiển nhiên lμ nên xuất phát từ phép gần đúng WKB kinh điển Giả sử biến thiên độ sâu lμ một chiều, tức h=h (x), từ phương trình (1.26), phương trình chuyển

động lμ

0

2

=ηω+

d

(5.1) Xét một sóng truyền theo chiều dương trục x :

dS dx

dS x

μ

=1)( (5.3) Thế các đạo hμm của η vμo phương trình (5.1), ta được

)()

(

0

2

2 2

2 2

μ+ω+

ư

x d

A d h g x d

dA x d

h d g

x d

kA d h i x d

A d k i gh ikA x d

h d g A ghk

Từ bậc ( 0)

μ

Ο quan hệ tản mát sẽ như sau

h k g

2 2

=

ω

, (5.4) trong khi từ Ο(μ), sau một vμi phép toán đơn giản, ta có

0

2

=)(khA

dx d

do đó

E

2 1 0 2

1

)()

E tỉ lệ thuận với dòng năng lượng của sóng tới từ x ~ư∞

Ta có thể giả thiết các sóng di chuyển theo cả hai hướng sao

cho nghiệm tổng quát lμ

)(

)(

/ /

Bremmer (1951) vμ các tác giả khác đã có những bổ khuyết

thêm cho cách phân tích trên đây với trường hợp phản xạ yếu

vμ trong tình huống vất lý khác; vμ Ogawa vμ Yoshida (1959)

đã ứng dụng cho các sóng nước nông Muốn biết tổng quan rất

đầy đủ về vấn đề nμy hãy xem Kajiura (1961) hoặc Wait (1962)

ở đây, ta sẽ sử dụng cách lập luận của họ

d h g Q

(5.9)

Từ phương trình (5.7) lưu lượng đối với bậc dẫn đầu cho bằng

)(

)(

/ /

()

)(

)()(

/ /

/ /

/ / μư ưiSμ =ư μ iS μ ư ưiSμ

x d

kh d kh

e dx

dF e

)()(

/ /

/ /

/ / μ ư ưiSμ = μ iSμ + ưiSμ

x d

kh d kh

e dx

dE e

iS

e F x d

kh d kh x d

iS

e E x d

kh d kh x d

F

2 1

2 , (5.13b) các phương trình nμy cũng lμ những phương trình chính xác Bây giờ ta đưa ra các khai triển nhiễu:

+μ+μ+

2 1

2 1

F d x d

E d

,

μ

ư +

d x d

E

,

vμ

μ +

d x d

F

, các biểu thức trên có thể tích phân cho kết quả:

const

d E

iS x

n n

2 2 1 1

μ

ư

∞

ư + =  

/ /

)(

ln , (5.14b)

x d e E kh x d

d F

iS x

n n

2 2 1 1

μ

∞ + = 

/ /

)(

ln (5.14c)

Các giới hạn dưới của tích phân được chọn sao cho

,,,,

)(,)(ư∞ =0 F ∞ =0 n=1 2 3

Từ giờ trở đi tham số μ có thể đặt bằng đơn vị vμ x khôi phục

thμnh x Bμi toán đã giải xong

Giả sử một trường hợp cụ thể, lấy F0=0 sao cho sóng tới

lan từ trái sang phải Khi đó

x E

E E E

2 2 1

0+μ +μ +μ + ,

sẽ biểu diễn sóng truyền qua, trong khi

x F

F

1+μ + ,μ

= ∼ư∞ (5.16) biẻu diễn sóng phản xạ Đến bậc Ο(μ) hệ số phản xạ lμ

d x d E

khi các giá trị của ω vμ h(x) được mô tả trước

Để thấy ý nghĩa vật lý, ta giả sử rằng h hơi khác một hằng h0:

[1 ] 1

h ( ), , (5.18) khi đó

)

h k

ω

1

0 2

ω

21

2 0

q k q

gh

/ ( ))

≅

2

1

0 0

q h k

Khai triển loga, ta có

x d

q d kh

x d

vμ

x k x d k x

0 0

q d

=Δ

= H(x), H(x)

q hμm Hevisai (5.20) trong đó δ<<1, ta có

Δ

ư

= 41 1

R (5.21)

lμ hằng số Kết quả ở trên cũng có thể rút ra như lμ giới hạn của phương trình (2.17) mặc dù tính gián đoạn thì không còn tương thích với giả thiết rằng độ sâu biến đổi chậm nữa

Nếu độ sâu biến đổi một lượng Δ một cách tuyến tính từ

x=ư12 đến x=+21L, thì

,

x L

L k L

dx e R

L

L

x ik

0 0 2

2

2 1

44

R dao động theo k0L; đường bao sẽ nhỏ dần khi k0L→∞

Cuối cùng, nếu sự chuyển tiếp độ sâu vô cùng trơn vμ có thể

mô tả bằng một hμm sai số theo x , thì

2 2

2 1

L x e L

q x d

44

2 2 2

1

L k x

ik L

e L

k0 ; địa hình trơn hơn sẽ giảm nhanh hơn theo k0L tăng Điều

nμy có thể chứng minh một cách tổng quát hơn từ phương trình

(5.17) (Felsen vμ Marcuvitz, 1973) Giả sử h, do đó cả k, chỉ

khác hằng số trong khoảng x1<x<x2 với x2ưx1=L Ta viết

d e

Nếu dh / dx hữu hạn tại các điểm đầu x=x1, x2, còn d2h/dx2 thì

không, ta có thể tích phân từng phần một lần để được

.)ln(

)ln(

/ /

1

2121

2

1

kh dx

d ik dx

d e dx

kh dx

d ik e R x

x iS iS

Từ số hạng tích phân trong phương trình trên, rõ rμng lμ

1 0 1

ư

Ο

= k L n

R ( ) Nếu địa hình vô cùng trơn, tức x1→ư∞ vμ x2→∞, thì R suy giảm nhanh hơn bất kỳ 1

luỹ thừa số nμo của k0L0 Kết quả nói rằng sự phản xạ phụ thuộc mạnh độ lμ trơn tại hai điểm gợi tính tò mò toán học, vì theo quan điểm vật lý thì một đặc tính địa phương như thế liệu có tác dụng ảnh hưởng mạnh không Thật vậy, phương trình (5.25) ám chỉ rằng hệ số phản xạ lμ rất nhỏ đối với địa hình trơn vô hạn Trong một bμi báo với nhiều phép toán phức tạp, Meyer (1979b), không sử dụng phép xấp xỉ WKB, đã cho thấy hệ số phản xạ lại có dạng

])([

0L k

α

ư cho cả hai trường hợp địa hình luống (mô tả bằng hμm Gauss) vμ thềm (dạng mặt cắt tiếp tuyến hyperbolic) ở

đây chúng tôi sẽ không xét tiếp vấn đề nμy Bạn đọc quan tâm

có thể xem chi tiết trong bμi báo của Meyer vμ trong tμi liệu tham khảo

4.6 Sóng bị bẫy trên luống đất dốc

Mục 4.3 đã cho thấy những sóng dạng sin nhất định có thể tồn tại ở một điểm gián đoạn độ sâu, nhưng không thể truyền

được từ nước nông ra vùng nước sâu Ta sẽ nghiên cứu điều gì

sẽ xảy ra trên một miền thềm với hai rìa tại khoảng cách hữu

hạn 2a Có thể thấy rằng tồn tại những tần số riêng ứng với các

hμi bị bẫy trên thềm Những hμi nμy tương tự như cái gọi lμ

“các trạng thái bao” trong cơ học lượng tử vμ Love Waves trong

bán không gian co giãn phân lớp Thực sự lμ nếu vay mượn các

phương pháp của cơ lương tử (thí dụ, Bohn, 1951), ta có thể

phân tích các sóng dμi bị bẫy (Snodgrass, Munk, vμ Miller,

1962; LonguetưHiggins, 1967)

Xét một luống đất có hình dạng như hình 4.1 với h=h2 trên

sườn ưa<x<a; nghiệm tổng quát lμ

y i x i x

2 2

/

)( ưβ

=

α k Ta chỉ quan tâm đến nghiệm nμo đảm

bảo giảm đến không tại vô cùng ở cả hai phía của luống đất; do đó

a x e

/

)(β ưk

1 1

/

)(gh >ω>β gh

Các hệ số A,B,C vμ D vẫn lμ những hệ số bất kỳ Tính liên

tục của η vμ h∂ /η ∂x tại x=±a cho ta bốn điều kiện:

a i a

Be

A= ư α 2 + α 2 , (6.5)

)(Be i a Ce i a

h i A

2 2 1 1

α α

ư ưα

=

γ , (6.6)

a i a

Be

D= α 2 + ư α 2 , (6.7)

)(Be i a Ce i a

h i D

2 2 1 1

α

ư

α ưα

2 2 2 1

2 2 1 1 2

22

tg

)()

h h a

γ

ưα

αγ

γ

tg

2 2

1 1

h

h

, (6.11) khi đó phương trình (6.10) trở thμnh

δ

=δ

22

ư

α

=α

γ

=δ

lẻ

chẵn

tgtg

2 2 2

2

1 1

n

n a

a h

h

,cos , (6.13) hay

ư

ưβ

lẻ

chẵn tg

2 1 2 2 2

2 2 2 2 2

1 2 2 2

2 1 2 1 2

2

1

n

n a

k

a k

k

k h

h

,)cos(

)(

)(

)(

/ / /

/

Vì

2

2 2 2

gh

k = ω vμ 2

2 1 2 1

2 2

h

h gh

ư

ưβ

lẻ

chẵn tg

2 1 2 2 2

2 2 2 2 2

1 2 2 2

2 1 2 2 1 2 2

2

1

n

n a

k

a k

k

k h h h

h

,)cos(

)(

)(

))/(

/ / /

/

(6.14) Bằng phép thay các biến

a k

2 2 2 2

2 1 2 2 1

2 2

1

/ /

h

h a k k

h

h a

ư

ξ

=ξ

ưξ

ξ

lẻ

chẵn tg

ctg

2 2 2 1 2

n

n h

h

,)

(

)/(

/

*

, (6.16) với

1 2 2

2

1

2 2 2 2 2

11

h

h gh

a h

h a

2

* )(ξ ưξ

(hình 6.1a) Đường cong y2(ξ) lμ hμm lẻ theo ξ, đi qua gốc toạ

độ vμ tiến đến ±∞ khi ξ tiến đến ±ξ*

Từ cùng hình vẽ đó, thấy rõ rằng nghiệm sẽ ở chỗ các cặp

điểm ±ξn vμ ta chỉ cần xét +ξn Với π<ξ∗<2π

3 2

1

thì có một hμi với 2π<ξ1<π Với π<ξ∗<52π

2 3

, có hai hμi ξ1 vμ ξ3 với π

Hình 6.1 Nghiệm đồ thị của các giá trị riêng: a) n lẻ, b) n chẵn

Như vậy, có một hμi mới bị bẫy mõi lần ξ* tăng một lượng bằng π, có thể nhận được bằng cách tăng ωa hoặc giảm độ sâu thềm h2 với h /2 h1 cố định

n chẵn: Ta cần khảo sát các giao điểm của y1= cosξ với

2 2 2 1

2

* )(ξ ưξ

0 ; với π<ξ*<2π có hai hμi ±ξ0 vμ