Động lực học ứng dụng về sóng mặt đại dương ( Quyển 1 ) - Chương 3 pdf

Chương 3 - Khúc xạ do sự biến đổi chậm của độ sâu hoặc của dòng chảy Khi một chuỗi các sóng đơn phẳng lan truyền vμo một vùng độ sâu biến đổi chậm, số sóng có thể thay đổi theo độ sâu

bao trong nước sâu bằng một nửa tốc độ đỉnh sóng, nên khoảng

thời gian hai đỉnh sóng kế tiếp đi qua đỉnh đường bao sẽ lμ hai

lần chu kỳ sóng (xem hình 4.3) Nếu các sóng tại đỉnh đủ lớn để

đổ, ta thấy khoảng thời gian giữa hai sóng đổ bằng 2 Hiện T

tượng nμy có thể quan sát thấy trong sóng bạc đầu (Donelan,

Longuet–Higgins vμ Turner, 1972)

Chương 3 - Khúc xạ do sự biến đổi chậm của độ

sâu hoặc của dòng chảy

Khi một chuỗi các sóng đơn phẳng lan truyền vμo một vùng

độ sâu biến đổi chậm, số sóng có thể thay đổi theo độ sâu theo

như phương trình (4.8), chương 1, kết quả lμ lμm thay đổi dần

dần tốc độ pha Nhìn chung, khoảng cách giữa các đường đồng

pha vμ biên độ của các đỉnh sóng hoặc chân sóng sẽ biến đổi từ

nơi nμy đến nơi khác Những biến đổi tương tự cũng có thể xảy

ra khi các sóng lan truyền vμo một vùng có nền dòng chảy với

cường độ thay đổi theo phương ngang Những hiện tượng nμy,

chủ yếu liên quan đến sự thay đổi tốc độ pha, đã rất quen thuộc

trong quang học vμ âm học vμ được gọi lμ khúc xạ Trong

chương nμy, chúng tôi sẽ phát triển một phép xấp xỉ gọi lμ lý

thuyết tia (hay lý thuyết quang hình học) về các hiệu ứng của độ

sâu biến đổi (các mục 3.1 vμ 3.4) vμ của dòng chảy biến đổi (các

mục 3.6 vμ 3.7) đối với sự lan truyền của các sóng biên độ nhỏ

Các phương trình tiến triển sẽ được rút ra bằng một phương

pháp được gọi lμ WKB, một dạng đặc biệt của phương pháp đa

quy mô (multiple-scales method) Thường thì trong các bμi toán

thực tế, các phương trình nμy được giải bằng phương pháp số,

còn ở đây, thông qua một số thí dụ giải tích, chúng tôi muốn lμm sáng tỏ một số khía cạnh vật lý từ những phương trình nμy Trong phần nμy, cũng chỉ trong phần liên quan đến hiệu ứng độ sâu biến đổi, chúng tôi sẽ đề cập ngắn gọn đến một số giải pháp cục bộ cần thiết khi phép xấp xỉ tia gặp khó khăn Khi xử lý số trị với địa hình tự nhiên, khó khăn nμy có thể khắc phục triệt

để hơn bằng cách tính đến sự nhiễu xạ trong một phương trình

được gọi lμ phương trình độ nghiêng nhỏ (mildưslope equation),

mμ chúng tôi sẽ rút ra trong mục 3.5 Những khía cạnh khác, chuyên hơn về toán học, không đề cập ở đây, độc giả có thể tìm xem trong các công trình hoμn hảo của Meyer (1979a) về độ sâu biến đổi vμ của Peregrine (1976) về dòng chảy biến đổi

3.1 Phép xấp xỉ quang hình cho các sóng tiến trên nền đáy biến đổi đều

Ta giả sử rằng bước sóng điển hình nhỏ hơn nhiều so với qui mô biến đổi độ sâu phương ngang Có thể đưa ra một tham

x=μ , =μ , =μ (1.2) Các phương trình mô tả tuyến tính hoá trở thμnh

2 Φ +Φ +Φ = ư < <

μ x y zz , h x,y z , (1.3)

0 0

phép khai triển sau đây với giả thiết các sóng lμ sóng tiến:

j

j =φ

φ với j=0, 21, , vμ S=S(x,y,t)

Cơ sở kinh nghiệm cho giả thiết nμy lμ khi biên độ sóng

biến thiên theo các toạ độ chậm x,y,t, thì pha biến thiên theo

các toạ độ nhanh (x, y,t)μư 1 Lấy vi phân trực tiếp, ta có

=Φμ

ư

ư

=Φ

S t

++φμ

ư+φμ

ư+( i )[S t( 0 ( i ) 1 )

]++φμ

ư+φ

+2S t( 0t ( i ) 1t )

+φμ

ư+( ) ( ) iS/

ư+φμ

∇++φ

∇μ

ư+φ

)(

)()

(

.)(

/μ

+φμ

ư+φ

∇+

++

∇φ

⋅

∇μ

ư+

∇φ

⋅

∇μ

ư+

+μ

∇

⋅+φ

∇μ

ư+φ

∇+

++φ

∇μ

ư+φ

∇μ

ư

ư

=

=φ

∇

∇μ

ư

ư

=φ

∇

∇μ

iS

e i

S i

S i

S i

S i i

i i

i

1 0

2

1 0

1 0

1 2 0

2 2

2 2

ư

=

ω , (1.7b) những đại lượng nμy tuần tự đại diện cho vectơ số sóng địa

phương vμ tần số Thế các phương trình (1.7a,b) vμo các phương trình (1.3)ư(1.5) vμ tách biệt các bậc đại lượng, ta thu

được tại bậc O(ưiμ0):

0

0

0 2

φ zz k , h z , (1.8)

0 00 2

1 ưω φ =ư ωφ + ωφ =

g g

t t

h z h

z =φ ⋅∇ =ư

φ1 0k , (1.13) Các phương trình (1.8)ư(1.10) vμ (1.11)ư(1.13) xác định hai bμi toán giá trị biên được mô tả bằng các phương trình vi phân thường Nghiệm của hệ các phương trình (1.8)ư(1.10) lμ:

kh

h z k igA

ch

ch

0

)( +ω

ư

=

φ (1.14) với

số Còn biên độ A(x, y,t) thì vẫn lμ tuỳ ý

Để thu được điều kiện về A , ta xem xét tính khả giải của φ1bằng cách áp dụng công thức Green [phương trình (4.11), chương 2] với φ vμ *0 φ Sử dụng tất cả các điều kiện (1.8)ư(1.10) 1

vμ (1.11)ư(1.13), ta được

[ ]

)()(

*

*

h g

dz

h z z

t t

h

∇

⋅φ

ưωφ

+ωφφ

ư

=

=φ

⋅

∇+φ

∇

⋅φ

0

0 0

Sử dụng quy tắc Leibniz

b z a

z a

b a

b

f Db f

Da dz f D dz f

ω

∂

∂+φ

⋅

∇0

0 2 0 2

∂

∂+

⋅

t C

E

g (1.17) Trong cơ học cổ điển về nguồn dao động, một tỉ số tương tự

giữa năng lượng vμ tần số được gọi lμ tác động (action) vμ đồng

thời lμ bất biến hμm khi các tính chất của nguồn dao động thay

đổi chậm Vậy E/ω lμ tác động sóng (wave action) vμ phương

trình (1.17) mô tả sự bảo toμn của nó trong khi nó được vận

chuyển đi với tốc độ nhóm

Một cách sơ lược, hμm pha của các sóng nước biến đổi

chậm được mô tả bằng phương trình (1.15), với k vμ ω được

cho bằng phương trình (1.7) Như vậy S được xác định bằng

một phương trình vi phân bậc một phi tuyến; phương trình

dạng nμy trong quang học được gọi lμ phương trình eikonal

Một khi đã tìm được pha, thì biên độ sẽ được giải từ phương

∇+

∂

∂

x t

k

(1.20) rất dễ lý giải ý nghĩa vật lý Theo định nghĩa, k lμ số các đường

đồng pha trên một khoảng cách đơn vị, tức mật độ của các

đường đồng pha Cũng theo định nghĩa, ω lμ số các đường đồng

pha đi qua một vị trí cố định, tức thông lượng của các đường

đồng pha (flux of equal phase lines) Giữa hai điểm x vμ x

d

x+ , số đường đồng pha thực có (net rate of out-flux of phase lines) bằng ( x)d x

∂ω

∂ , trong khi đó tốc độ giảm của các đường pha trong khối đang xét bằng ( k t)d x

∂

∂

trình (1.20) chính lμ luật bảo toμn đỉnh sóng

Trong một số mục tiếp sau đây, chúng ta sẽ tập trung vμo các sóng dạng sin thực sự vμ nghiên cứu một số thí dụ tương tự như trong quang học (Luneberg, 1964) Do việc suy diễn ra các phương trình xấp xỉ đã được thực hiện, nên không cần thiết phải phân biệt các biến chậm với các biến vật lý Tất cả các gạch ngang trên đầu các biến bây giờ sẽ được loại bỏ

Bμi tập 1.1:

Một đại dương phân hai lớp với mật độ ρ vμ ρ′ , có đáy biến

đổi chậm z=ưh ( y x, ) Mặt phân cách tại z=0, mặt tự do trung bình nằm tại z= Hãy thực hiện phép xấp xỉ rigidưlid vμ h′phân tích một chuỗi sóng nội, tiến bằng phương pháp xấp xỉ

WKB Chứng minh rằng tại bậc dẫn đầu O(μ , năng lượng )

k

k g

cthcth

2

ρ+

′ρ′

ρΔ

′

′ρ′

ρΔ

ω+

nghĩa lμ constω= Bμi toán ở đây liên quan đến các sóng dạng

sin thuần tuý theo thời gian Từ phương trình (1.17), sự thay

đổi biên độ được diễn tả bằng phương trình

0

=

⋅

∇ (EC g) (2.1) Tưởng tượng mặt phẳng xư được lấp đầy các vectơ số y

sóng k thay đổi cả độ lớn vμ hướng qua từng vị trí Xuất phát

từ một điểm cho trước, ta vẽ một đường cong tiếp tuyến với các

vectơ k địa phương tại mỗi điểm dọc theo đường cong Đường

cong như vậy được gọi lμ tia sóng vμ nó luôn vuông góc với các

đường đỉnh sóng hoặc các đường pha địa phương constS= Từ

những điểm bắt đầu khác nhau có thể vẽ được các tia sóng khác

nhau Hai tia cạnh nhau lμm thμnh một kênh tia (ray channel)

Xem xét một đoạn của kênh tia, chúng có độ rộng tại hai đầu lμ

0

σ

d vμ dσ (hình 2.1) Tích phân phương trình (2.1) dọc theo

đường khép kín tạo bởi các biên của đoạn kênh tia đang xét

Theo định lý phân kỳ của Gauss vμ thực tế lμ C tiếp tuyến với g

tia sóng, thấy rằng, các dòng năng lượng qua hai đầu của đoạn kênh tia lμ như nhau

const

0 =σ

/)

C A

A

g

g

(2.3)

trong đó tỷ số d / σ dσ0 được gọi lμ nhân tố tách tia

Hình 2.1 Sơ đồ đoạn kênh tia vμ các đường đẳng sâu

Vấn đề bây giờ lμ tìm ra các tia, hay các đường trực giao của chúng, tức chính lμ các đường pha S ( y x, )=const Khi các tia

được định vị vμ biên độ sóng tại trạm 0 đã biết, thì biên độ tại bất kỳ điểm nμo dọc theo tia cũng có thể xác định được

Bình phương phương trình (1.7a), ta thu được một phương trình vi phân phi tuyến đối với S :

2 2

k

S =

2 2

k y

S x

vế phải của phương trình sẽ biết được từ quan hệ tản mát

Phương trình (2.4) gọi lμ phương trình eikonal, phương pháp

chung nhất để giải phương trình nμy lμ phương pháp các đường

đặc trưng Dưới đây, chúng tôi sẽ giới thiệu một cách tiếp cận

đơn giản hơn

Giả sử y (x) đại diện một tia cụ thể; độ nghiêng của nó sẽ lμ

x

S y

S dx

dy y

y k

2 1 2

∂

=

′+

S y

S x

S x y

S y

y

S x y

S y

2

2 2

2 1 2

2 1 2 2

12

y

k x

S S

y k

x

d

2 1

∂

′+

/

)( với k=k(x,y(x)) (2.5)

Phương trình (2.5) lμ một phương trình vi phân thường, phi

tuyến đối với tia y (x) Khi điểm ban đầu đã biết, thì đường đi

của tia có thể tìm bằng cách giải số trị

Trước khi phân tích các thí dụ cụ thể, ta cần thiết lập sự

phù hợp giữa phương trình (2.5) vμ nguyên lý Fermat nổi tiếng,

nói rằng: “Nếu P0 vμ P lμ hai điểm trên một tia vμ 1

L (2.6)

lμ một tích phân dọc theo một đường dẫn cụ thể nối P vμ 0 P , 1

thì L lμ một cực trị nếu vμ chỉ nếu đường dẫn đó trùng với tia”

Từ phương pháp của phép tính biến phân (xem Hildebrand,

F x d

1

P

P

x d y k

vμ xác định

2 1 2

Bây giờ ta thấy phương trình eikonal vμ nguyên lý Fermat

lμ hai cách diễn tả của cùng một sự vật Ta sẽ xét một số trường hợp thể hiện rõ ứng dụng của hình học tia Thật ra, tất cả các trường hợp đều có bản sao của mình trong quang học (Luneberg, 1964)

3.3 Các đường đẳng sâu thẳng vμ song song

3.3.1 Hình dạng các tia

Giả sử tất cả đường đẳng sâu song song với trục y vμ do đó

)

(x h

h= vμ k =k (x) Phương trình Euler (2.5) sẽ cho:

1 2 1 2 =

′+

′

K y

y k

/

)( (3.2) Vì

α

=

=

′+

′

sin)

y d y

y

2 1 2

1 , (3.3) trong đó α lμ góc giữa tia sóng vμ chiều dương trục x , dễ dμng

thấy phương trình (3.2) giống như luật Snell nổi tiếng:

α

=

α sinsin

, (3.4)

ở đây, k vμ 0 α tham chiếu đến một điểm biết trước 0 (x 0,y0)

trên tia sóng Giải ra y′ từ phương trình (3.2), ta có

2 1 2

(k K

K x

d

y d

ư

±

= (3.5)

Kết quả trên cũng có thể thu được một cách đơn giản hơn

Thực vậy, phương trình (3.4) chính lμ hệ quả của phương trình

(1.18) với ∂ y∂ =0, trong khi phương trình (3.5) nhận được từ

định nghĩa hình học một tia:

α

α

=cos

sin

k

k x d

y d

Phương trình của tia sau khi tích phân sẽ lμ:

y

0

2 1 2 2

)(

 (3.6)

Rõ rμng rằng, một tia chỉ tồn tại khi k2 > K2

Mặt khác, do đường pha sóng lμ trực giao với các tia, độ

nghiêng của nó phải lμ:

2 1 2 2

1 (k K ) /

K x d

y d

Ky ( 2 2)1 / 2 const

Một kết quả tốt đã nhận được từ các phương trình (3.5) vμ (3.6) cùng với việc không có giới hạn nμo cho k (x) Các trường hợp sau đây cho ta những ý tưởng về sự đa dạng có thể xảy ra

Trường hợp 1: Sóng phẳng tiến đến một dải đất hay một bãi biển

Một sóng phẳng tới từ phía trái, x∼ ∞ư Các tia tới song song vμ tiến đến một luống đất tại x = x0<0 với góc α0 Vì

k K

k0sinα0 = < ở mọi nơi, giá trị căn bậc hai (k2 ưK2)1/2 luôn luôn lμ số thực, vμ do d / y d x>0, nên phải lấy dấu dương trong các phương trình (3.5) vμ (3.6) Khi h giảm, thì k tăng vμ x

d y

d / giảm; vậy, khi tia sóng vượt qua dải đất, trước tiên nó dần dần tiến tới vuông góc với các đường đẳng sâu Sau khi đỉnh vượt qua, tia sóng không còn thẳng góc nữa Các đường dẫn tia

được phác hoạ trên hình 3.1

Một trường hợp tới hạn, khi đỉnh của dải đất nhô cao hơn mực nước trung bình, thì ở hai phía của dải đất lμ bãi biển Xét một tia với k= tại k0 x= đi tới từ phía trái với góc tới x0 α Tia 0tiến đến các đường đẳng sâu vμ cuối cùng lao vuông góc vμo

đường bờ vì k↑∞ nếu h↓0

Sự lựa chọn k dưới đây theo Pocinki (1950) lμ một mô hình

đặc biệt đối với một bãi biển bắt đầu tại x= vμ kết thúc tại a

đường bờ x= b

a x k

b x a b x

b a k

x dx

ư

ưα

ư

11

1

11

2 1 2 2

0

0

,/

)/()(sin

)/()(sin

Đặt

b

y b

x b

ư

ξβξ

β

=η

ưη+

hay

0 2

2 2

ư

sin

)()

x= vμ y= Tham số y c y liên hệ với toạ độ c y tại đó tia sóng 0

cắt đường đẳng sâu tại x= Bằng cách đặt a x= vμ a y=y0

sóng tới với K<k0 =kmin

Trường hợp 2: Bẫy sóng trên một dải đất

Nếu kmax >K =k0sinα0 >kmin (hình 3.2a), thì các tia sóng chỉ

có thể tồn tại trong vùng b<x<a, tại đó k> Giả sử tia đó K

xuất phát từ x với góc 0 α , 0 0<α0 <π/2 Từ x đến a , 0

0/dx>

dy vμ y được cho bằng phương trình (3.6) với dấu dương

Tia sóng tiếp cận điểm x= vμ a y= y a, ở đây

K k

Kdx y

y

0

2 1 2 2

Với trường hợp đáy khá thoải, k có thể được khai triển

thμnh chuỗi Taylor tại lân cận x= : a

⋅⋅

⋅+

′

ư+

k2 2 ( )( 2) nếu ( )k2 ′a ≡(k2)′ x =a ≠0, (3.7) tích phân nμy lμ hữu hạn Tuy nhiên, độ nghiêng dy / dx lμ vô hạn; do đó đường x= lμ đường bao của tất cả các tia sóng vμ a

được gọi lμ một đường tụ tia Do sự cắt ngang của các tia lân cận, phương trình biến thiên biên độ (2.3) không còn hiệu lực

Trong mục 3.3.3 sẽ trình bμy về một cách xử lý tinh tế hơn đối

với vùng lân cận điểm tụ tia Phía sau điểm (a , ,y0) d / y d x<0;

tia sóng quay ngược lại vμ được diễn tả bằng phương trình (3.6)

với dấu âm cho đến khi nó đạt tới đường x= , đó lμ một điểm b

tụ tia khác bao tất cả các tia Vậy lμ tia sóng uốn đi, uốn lại

giữa hai điểm tụ tia trong khi tiến theo hướng chiều dương của

trục y (hình 3.2b) Không thể có các sóng điều hoμ đơn nμo với

K như trên nằm ngoμi khoảng b<x<a Hiện tượng nμy được

gọi lμ bẫy sóng

Hình 3.2 Bẫy sóng trên một dải đất: a) thay đổi của k khi sóng vượt qua dải đất;

b) một tia bị bẫy với kmax >K>kmin

Nguyên nhân bên ngoμi lμm cho các sóng bị bẫy có thể lμ do các lực khí quyển tác động lên mặt tự do (khí áp hoặc gió) Với những giá trị cao của K(>kmin) sẽ không có một sóng đơn điều hoμ nμo ở ngoμi dải đất Theo cơ chế tuyến tính, thì không thể kích hoạt sóng dải đất bằng một sóng đơn điều hoμ từ bất kỳ phía nμo của dải đất

Trường hợp 3: Máng ngầm

Với một máng nối hai phía có độ sâu bằng nhau, k (x)thay

đổi như trên hình 3.3a Nếu một sóng tới có K=k0sinα0 =min

k

K2 < , nó sẽ đổi hướng, lúc đầu uốn cong về phía trục máng, sau đó rời xa trục máng vμ vượt qua máng về phía bên phải như trên hình 3.3b Tuy nhiên, nếu K=K1 lμ đủ lớn, thì không tia nμo có thể tồn tại trong vùng k< vμ đường K x= , nơi x1

1

1 K x

k( )= lμ một điểm tụ tia Tia sóng khi đó đó phải quay lại phía mμ nó xuất phát Với k0 >kmin cố định, một giá trị đủ lớn của K có thể đạt được nếu góc tới α0 khá gần với π/2 Tia tới khi đó tạo một góc nhọn cực nhỏ với các đường đẳng sâu; hiện tượng nμy gọi lμ lướt tới Tại giá trị tới hạn k0sinα0 =kmin, tia tới trở thμnh suýt soát song song với các đường đẳng sâu

3.3.2 Sự biến thiên biên độ

Trong trường hợp đơn giản nμy, 0∂/∂y= vμ phương trình (2.1) có thể được tích phân vμ ta được

const2

=αρ

/cos

cos)(

C A

A

=

2 1 0 0

0

2sh21

2sh2

/

)/

(cos

α

kh kh

kh kh

k k

(3.9)

Hình 3.3 Các tia sóng trên một máng ngầm

Trong vùng nước rất nông, cosα>1, C g ≅C≅(gh)1 / 2 vμ

0 0

/ /

)(

được gọi lμ định luật Green Kết hợp với bước sóng giảm,

])

kA Với độ sâu đủ nhỏ, giả thiết sóng biên độ nhỏ lμ cơ sở

của lý thuyết sóng tuyến tính không phù hợp nữa vμ các hiệu

ứng phi tuyến trở nên quan trọng Với một bãi biển có độ

nghiêng đáy không đổi, giả thiết (d h/d x)khư 1<<1 đặc trưng

trong phương pháp WKB cũng đổ vỡ hoμn toμn Trong những

điều kiện cụ thể sẽ bμn ở chương 10, các sóng tiến có thể đổ ở

vùng nước rất nông Với sóng tới đổ bộ vuông góc vμo bãi biển

phẳng, những thí nghiệm của Eagleson (1956) đã khẳng định

phương trình (3.9) đúng đến dải sóng đổ đầu tiên

3.3.3 Lân cận đường tụ tia

Sự thiếu xót của phép xấp xỉ tia có thể dễ dμng khắc phục ở lân cận đường tụ tia Dưới góc độ các biến chậm đã định nghĩa trong phương trình (1.2), ta đặt trục y trùng đường tụ tia, các

tia tới vμ phản xạ ở phí trái của đường nμy Khi đó ở lân cận

điểm x=0, ta có thể xấp xỉ

x K

/

)( x

trong đó k lμ thμnh phần theo trục x của k 1

Theo phép xấp xỉ tia (3.9), ta có

4 1 4

1 2

1

0

2 1

0

1 0

/ /

/ /

)()

=

γ

ưτ

≡γ

k C A A

x g

γ+

γ

ưγ

ưτ

=

2 1 2

3 2

1 4

1

3

23

/ /

)

(3.14) trong đó số hạng thứ nhất trong dấu ngoặc nhọn lμ sóng tới vμ

số hạng thứ hai lμ sóng phản xạ với biên độ phức R chưa biết

Từ kết quả trên cho thấy biên độ tăng không giới hạn khi 0

→

x Do đó, một lý cục bộ hoμn thiện thêm cho vùng gần

đường tụ tia phải duy trì đạo hμm bậc cao nhất của biên độ theo

+ω

ch

ch

exp)()(

(3.15)

vμo phương trình (1.3) vμ giữ lại các thμnh phần chủ đạo vμ các

đạo hμm bậc cao nhất theo x , ta được

0

2 2 2

≅

ư+

μ X x (k K )X (3.16) Bây giờ thì (k2 ưK2) sẽ đổi dấu tại x =0, nhận dấu dương

khi x<0, âm khi x>0 Nghiệm sẽ lμ dao động khi x<0 vμ đơn

điệu khi x>0 Điểm x =0 trong phương trình toán lý được gọi lμ

một điểm ngoặt Tính tới phương trình (3.11), từ phương trình

(3.16), ta có

0

μ X x x X (3.17)

Đây lμ một phép xấp xỉ tốt trong vùng x=O(μ)2/ 3, có nghĩa

lμ x=O(μư 1 / 3) Với biến mới

3 2 3

γ

=

σ x , (3.18) phương trình (3.17) trở thμnh phương trình Airy

0

=σ

X (3.20) Hμm Airy Ai đã được vẽ trong hình 1.5, chương 2 Ta cũng

biết rằng, với σ lớn

∞σ

2 1

)(

43

2 1

43

Hệ số a vμ biên độ R của sóng phản xạ phải được tìm bằng

cách xứng hợp phương trình (3.23) với (3.14) với ưσ>>1 Với phương trình (3.21b) ta viết phương trình (3.23) thμnh

γ

ưπ

≅η

/ /

/ /

/

/ / / /

)(exp

)(

x i

a

2 3 2 1 2

3 2 1

4 1 3 2

3 1 2 1

43

24

32

2

(3.24) cho trường hợp σ ~ ∞ư Phương trình (3.14) vμ phương trình (3.24) bây giờ cần được xứng hợp, do đó:

6 1 4

2 1

ư

= e i

R (3.25b) Với một sóng tới cho trước tại x = x0, τ đã biết Hệ số α có thể tìm được ngay Thật thú vị lμ biên độ lớn nhất bây giờ lμ hữu hạn vμ xuất hiện phía trước đường tụ tia Sóng phản xạ có cùng biên độ như sóng tới, nhưng khác pha 2π

Đối với một rãnh ngầm có thể có hai đường tụ tia song song Nếu khoảng cách giữa chúng không quá lớn, thì hiệu ứng dư của Ai(σ) từ đường tụ tia phía trái có thể xâm nhập sang đường

tụ tia phía phải, tạo ra sóng thấm qua Việc xử lý tương tự với

đường tụ tia bên phải cũng sử dụng cả Ai vμ Bi Một trường

hợp khác, nếu d k2/d x=0, còn d2k2/d x2 ≠0 sẽ phức tạp hơn nhiều, nhưng về nguyên tắc vẫn có thể phân tích được bằng

cách biến thể phương trình (3.11)

3.4 Các đường đẳng sâu dạng cung tròn

Lớp bμi toán nμy lần đầu tiên được Arthur (1946) nghiên

cứu đối với trường hợp sóng trên nước; những thí dụ tương

đương cũng thấy trong quang học (Luneberg, 1964)

3.4.1 Hình dạng các tia

Trong hệ toạ độ cực (r,θ), độ sâu nước, vμ do đó, độ lớn của

véctơ số sóng, chỉ phụ thuộc vμo r , tức h=h (r), k=k (r) Muốn

có phương trình Euler cho tia, ta xuất phát từ nguyên lý

Fermat vμ cực trị hoá tích phân

dr r

r k

((

d

d

, hay

κ

=

=θ′

r k

(4.2)

dọc theo một tia, trong đó κ lμ hằng số đặc trưng cho tia đó

Giải với ẩn lμ θ′ , ta được

2 1 2 2

ưθ

r

r r k r

r d

0

2 1 2 2 2

0 ( ) / (4.4) trong đó r vμ 0 θ tham chiếu đến điểm đã biết mμ tia sóng đã đi 0

=θ+

rd r k d

r r d

d r r

với α lμ góc giữa tia vμ vectơ (bán kính) pháp tuyến với đường

đẳng sâu tại điểm mμ tia cắt đường đẳng sâu Nếu tại điểm 0

0,θ

r góc tới lμ α=α0, thì

0 0

=

κ k r sin (4.6) Vậy hằng số κ được xác định bằng vị trí vμ hướng ban đầu tia sóng

Tương phản với trường hợp các đường đẳng sâu thẳng vμ song song, r xuất hiện ở phía phải của công thức Snell (4.5) như một

nhân tố thêm vμo Để hiểu rõ sự khác biệt nμy, ta khảo sát một cách đơn giản trường hợp đáy có độ sâu biến đổi từng nấc đối xứng toả tia, tức

321

một góc αiư1 vμ tới tại r = với góc r i α′ , lμ một đoạn thẳng trong i

khoảng nμy áp dụng luật Snell tại mối nối r = , ta được r1

1 2 1

1sinα k sinα

k ′= (4.7) Phải chú ý rằng lμ α1 ≠α′2; thực tế từ hình 4.2 có thể thấy rằng

AC

r AC

AB AC

r AC

=

2 2

vì vậy

2 2 1

1sinα =r sinα′

r (4.8) Kết hợp phương trình (4.8) với phương trình (4.7), ta có

2 2 2 1 1 2 1 1

1r sinα′(=k r sinα )=k r sinα′

Rõ rμng, lập luận tương tự có thể mở rộng cho các vòng tiếp

theo, vì thế k n r nsinα′n =const, đây chính lμ dạng gián đoạn của

phương trình (4.5) Như vậy, sự xuất hiện của r lμ do sự uốn

cong của các đường đẳng sâu

Hình 4.2 Đáy dạng cung tròn từng nấc

Từ phương trình (4.4), rõ rμng các tia chỉ tồn tại trong các

vùng mμ k2r2 >κ2 Bán kính tới hạn tại đó bằng

* 2

*

)(

Từ phương trình (4.3), dr / dθ=0 tại (r*,θ*); tia nμy hoặc lμ gần nhất hoặc lμ xa nhất so với gốc Việc chọn dấu trong công thức trên đây có thể được thực hiện bằng cách xem xét dấu của θ

d r

d / như sẽ minh hoạ trong các thí dụ dưới đây

Ta sẽ rút ra phương trình cho các đường hằng số pha Ký hiệu tia bằng r = f(θ) vμ đường hằng số pha bằng r = g(θ), sử dụng một thực tế lμ hai đường nμy trực giao, ta được

∇r f( ) r g( ) , hay

f

r g

()

r d

(4.11) Phương trình nμy có thể được tích phân cho ta

const

2 1 2 2 2

=κ

(4.12) Bây giờ ta khảo sát một vμi kiểu của k để lμm sáng tỏ ý nghĩa vật lý

Trong vùng nước rất nông, k ~ hư 1 / 2; ta có k r→0 khi r→0

ngay khi r hư / 1 2 →0 Một bãi cạn dạng cung tròn cũng thuộc

dạng nμy Giả sử điểm P0(r0, θ0) lμ điểm ban đầu Khi đó

κ

ư

=θ

ưθ

0 ( ) / , (4.13)

ở đây dấu âm được chọn vì d / r dθ<0 Phương trình nμy hợp lệ

đến tận điểm P , tại đây * r=r* lμ nhỏ nhất Phía ngoμi điểm nμy

tia được cho bằng biểu thức

 κưκ

=θ

ưθ

r

r r k r

r d

*

/

*

)( 2 2 2 1 2 , (4.14)

ở đây dấu dương được chọn Vì tia đối xứng qua vectơ bán kính

ưθ

r

r r k r

r d

*

/

*

)( 2 2 2 1 2 (4.15) Hình dạng của tia được vẽ trên hình 4.3

Giả sử có một sóng tới phẳng đi từ x ~ư về phía một vùng ∞

nước nông dạng cung tròn Phía ngoμi r= , đáy được giả thiết r0

nằm ngang, tức k= với k0 r> Các tia tới lúc đầu song song r0

với trục x Trong số các tia nμy, những tia nμo lúc đầu nằm

ngoμi rìa y ≤ sẽ không cắt đường tròn r0 r= vμ tiến tiếp tục, r0

không bị chệch hướng Ta xét một tia ban đầu nằm trong

khoảng ưr0< y<0 đi vμo vùng nông với một góc α với vectơ 0

bán kính; trước tiên nó sóng uốn cong về tâm vμ sau đó, khi đạt

được giá trị nhỏ nhất r lại xa dần tâm Vì tia sóng phải đối *

xứng qua véctơ bán kính nhỏ nhất θ=θ*, nên góc giữa tia đi ra

với véctơ bán kính tại điểm thoát ra phải bằng πưα0 (xem hình

4.3) Giả sử góc tổng cộng mμ tia đã bị lệch hướng lμ β Rõ rμng

0

0 +θ′

α

ưπ

b) biến thiên kr theo r ; c) hμnh vi của tia

Một cách tương tự, các tia đi vμo vùng nước nông từ khoảng 0

0<y<r lúc đầu sẽ uốn cong về phía tâm vùng nông, sau đó xa dần khỏi tâm của vùng nông Như vậy, ở phía sau của vùng

nông, các tia từ hai phía đối diện của trục x sẽ cắt nhau vμ các

sóng tiến liên quan tới các tia nμy sẽ giao thoa Thí dụ, tại điểm

bất kỳ trên phần dương trục x biên độ tổng cộng tăng gấp đôi vì

các tia đơn đối xứng Tại một điểm không nằm trên trục x , các

tia cắt nhau có thể giao thoa theo kiểu triệt tiêu hay kiểu cộng

thêm tuỳ thuộc vμo các pha sóng

Xét các tia từ cùng một phía của trục x, thí dụ ưr0 <y<0

Do không chệnh hướng vμ β=0 đối với hai giá trị cực trị của

0

α : π (thẳng góc đi vμo) vμ π (song song đi vμo), vμ do /2 β>0

đối với các giá trị trung gian của α , nên phải có một cực đại 0

dương của β Tương tự, một tia tiến vμo nửa phía trên của vùng

nông phải có một cực đại âm của β Suy ra, một chùm tia từ

cùng một phía của trục x phải cắt nhau vμ cắt các tia từ phía

bên kia của trục x Một đường tụ quang tựa mũi nhọn sẽ sinh

ra ở phía sau của vùng nông vμ ta phải xây dựng một giải pháp

cục bộ phức tạp hơn so với trong mục 3.3.3 để nhận được biên độ

hữu hạn

đó tăng lên

Đây lμ trường hợp các đảo tròn với đường bờ tại r= (xem b

hình 4.4) Giả sử h↓0 khi r ư b↓0, khi đó từ quan hệ tản mát

Tại giá trị r lớn, kr→k0r Tất cả các tia tới cắt vòng tròn

ngoμi r= có a κ nhỏ hơn k0a Những tia đủ gần với trục đảo

)

(kr min <κ < k a vμ sẽ bị đảo khước từ, không tiếp cận được

bờ Tia tới hạn lμ tia có góc α0 =αC0, trong đó αC =

0

sin0

0r

k

kr) /

Trường hợp 3: Bẫy sóng trên rãnh đất hình xuyến

Nếu độ sâu biến đổi như trên hình 4.5a, thì một cực đại địa phương của kr có thể đạt tại một r hữu hạn nμo đó Một tia

xuất phát tại r0 ,θ0, với góc nghiêng α0 <π , lúc đầu được cho bằng

 κưκ

=θ

ưθ

r

r r k r

r d

0

2 1 2 2 2

Hình 4.4 Đảo tròn a) địa hình; b) biến thiên k r theo r; c) hμnh vi tia

sao cho d / r dθ>0 cho đến tận r= ,r1 θ=θ′1 Sau đó tia nμy quay

trở lại r lớn hơn với

 ư κưκ

=θ′

ưθ

r

r r k r

r d

1

2 1 2 2 2

vμ tiến theo chiều kim đồng hồ, dập dờn giữa hai đường tròn tụ

tia r= vμ r1 r= Các lập luận trước đây cho thấy rằng, tia r2

sóng đối xứng qua vectơ bán kính θ=θ′1 vμ θ′ , vμ v.v Rõ rμng 2

rằng hình dạng của tia lặp lại sau mỗi khoảng:

=Δ

2

1

2 / 1 2 2

(2

r

r r k r

dr

κκ

,,,,, 1 2 3

xác định “các giá trị riêng” của dao động tự do bị bẫy trên rãnh

đất Các sóng ngắn hoặc các sóng khí tượng trực tiếp có thể kích hoạt các mốt nμy, tạo mối nguy hiểm tiềm tμng cho các công trình biển được xây dựng trên rãnh đất

3.4.2 Biến đổi biên độ

Xét nhân tố phân tách tia đối với một sóng phẳng tiến đến một vùng tròn khúc xạ có r ≤ Đặt các tia tới song song với r0

chiều âm của trục x Từ hình (4.3) nhận thấy rằng

0

0 =π+βθ

với β0 =πưα0 Từ phương trình (4.4) rút ra

 κưκ

±β+π

0 ( ) / , (4.16)

trong đó

0 0 0 0 0

∂

θ

∂ββ

=βθ

=β

=σ

r d

r rd

AB

vì d được đo dọc theo đường tròn bán kính r Tại vòng tròn θ

ban đầu r = , r0 d θ d= β0 vμ

0 0 0 0 0 0

r d

d

cons 0 0 0

∂

θ

∂β

β

=σ

σcos

cos

Vì constkrsinβ=κ= vμ

2 1 21

kr , ta có

0 0 0

2 1 2

kr

r d

d

const r

(4.17)

trong đó ∂θ ∂β0 có thể thu được từ phương trình (4.16)

Hình 4.6 Hμnh vi của tia sóng tiến tới các đường đẳng sâu tròn

Thí dụ mẫu: Một đảo tròn (Pocinki, 1950)

Lấy

,,

,,

)/(ln

)/(ln

r a r

k

a r b b

r

b a a k kr

0

0

(4.18)

sao cho đường bờ trùng với r= vμ chân đảo trùng với b r= a

Sự biến thiên thể hiện trên hình (4.7a) ở gần bờ r= , độ sâu b

nhỏ, h ~ k ~ư 2 r2ln2r/b vμ d h/d r~0 khi r→ Vậy bãi biển rất b

phẳng Rõ rμng rằng trong trường hợp nμy tất cả các tia đi vμo chân đảo thực sự cắt đường bờ với một góc vuông

Với k chọn như vậy, phương trình tia dễ dμng tính phân:

ưθ

±

r r

a

a k b r d b r

2 1 2 0 2 2 0 2

2 0

0 0

/lnsin/

ln

sin/

ln/ln

a

sin

)/ln(

=ρβ

ư

ρρ

=θ

ưθ

±

) / ln(

) / ln(

/ /

b r

b

r D

b

a D

D

2 1 2 2

(4.21) hay tương đương với

2 1 2 2 1 2 2 0

2

/ /lnln

ưθ

D b

r

Chia hai vế cho ln(a/b), cuối cùng ta có