Vì các sóng nμy thường hiện diện trên mặt nước vμ lực phục hồi chủ yếu lμ trọng lực, nên chúng được gọi lμ sóng mặt trọng lực.. Trong hải dương học có một loại sóng quan trọng lμ sóng nộ
Trang 1Trong sách chứa đựng nhiều diễn giải toán học, tuy được trình bμy cẩn
thận, nhưng không tránh khỏi một số sai sót Rất mong các độc giả góp ý để
hoμn thiện
Chương 1 ư Giới thiệu
Trong đại dương có nhiều kiểu sóng gây bởi những nhân tố
vật lý khác nhau Giống như trong bμi toán cơ bản về một hệ
đμn hồi, tất cả các sóng phải liên quan tới một loại lực phục hồi
nμo đó Vì vậy, để thuận tiện, nên sơ bộ phân loại các sóng đại
dương tuỳ theo lực phục hồi như trong bảng 1.1
Sóng gió vμ sóng lừng phát sinh bởi bão tại chỗ hoặc bão ở
xa lμ loại sóng mμ con người thường gặp nhiều nhất Loại ít gặp
hơn, nhưng với hậu quả đôi khi rất nặng nề, đó lμ sóng thần,
sóng nμy được xếp vμo loại các dao động chu kỳ dμi, gây bởi
động đất hoặc trượt đất mạnh dưới nước Sóng cũng có thể sinh
ra do hoạt động của con người (như chuyển động tầu, nổ mìn )
vμ những sóng nμy cũng có dải chu kỳ rộng Vì các sóng nμy
thường hiện diện trên mặt nước vμ lực phục hồi chủ yếu lμ
trọng lực, nên chúng được gọi lμ sóng mặt trọng lực Một thuật
ngữ ngắn hơn - sóng mặt, thường được dùng trong trường hợp
không kể tới các sóng mặt mao dẫn
Trong hải dương học có một loại sóng quan trọng lμ sóng nội
trọng lực, xảy ra tại các nêm nhiệt - đó lμ lớp nước phía dưới
mặt biển với cường độ phân tầng mật độ mạnh Chuyển động
sóng của các sóng nμy thường không lộ ra trên mặt nước, ngoại
trừ một số dấu hiệu biểu hiện gián tiếp của chúng Những sóng
nμy góp phần vμo quá trình xáo trộn vμ ảnh hưởng đến độ nhớt
rối của hải lưu Sóng nước dâng do bão lμ hậu quả tức thì của thời tiết địa phương vμ có thể lμm tổn hại nặng nề tới sinh mạng cũng như của cải con người khi nó trμn ngập vùng ven biển
Thực ra, một số lực phục hồi có thể cùng tồn tại, do đó việc phân ra các sóng khác nhau trong bảng 1.1 không phải lμ luôn chính xác
Cuốn sách nμy chỉ đề cập tới những loại chuyển động sóng với qui mô thời gian sao cho sự nén, sức căng bề mặt vμ sự quay của Trái Đất ít quan trọng Ngoμi ra, cũng giả thiết rằng sự phân tầng thẳng đứng trong lớp nước nghiên cứu đủ nhỏ Như vậy, ta chỉ quan tâm đến sóng mặt trọng lực, tức sóng gió, sóng lừng vμ sóng thần Về các loại sóng khác liệt kê ở bảng 1.1 có thể tìm đọc trong những chuyên luận của Hill (1962), LeBlond
vμ Mysak (1978)
Bảng 1.1 Loại sóng, cơ chế vật lý vμ vùng hoạt động
Sóng mao dẫn Sức căng bề mặt <10ư1 giây Sóng gió vμ
sóng lừng
Mặt phân cách nước
ư không khí
mật độ
2 phút ư 10 giờ Lớp đột biến mật độ
Sóng nước dâng do bão
Trọng lực vμ lực quay Trái
Đất
Thuỷ triều Trọng lực vμ lực quay Trái
Đất
12 ư 24 giờ Sóng hμnh tinh Trọng lực, lực quay Trái
Đất vμ biến thiên vĩ độ địa
lý hoặc độ sâu đại dương
O(100 ngμy) Toμn bộ lớp nước đại
dương
Trang 2Trong chương nμy, trước hết sẽ tổng quan các phương trình
cơ bản của chuyển động chất lỏng vμ một số lý luận chung về
chất lỏng không nhớt vμ chuyển động không xoáy Sau đó rút ra
các phương trình tuyến tính hoá đối với sóng biên độ nhỏ vô
hạn Sau khi đưa ra những nhận xét khái quát về các sóng lan
truyền, ta sẽ khảo sát những tính chất của sóng tiến điều hoμ
đơn trên nền độ sâu không đổi ở đây sẽ bước đầu phân tích về
tốc độ nhóm sóng theo hai góc độ động học vμ động lực học
1.1 Tổng quan những kết luận cơ bản về chất
lỏng không nén vμ mật độ không đổi
1.1.1 Các phương trình mô tả
Trong nhiều bμi toán về sóng trọng lực, trong quy mô thời
gian vμ không gian ta quan tâm, thì sự biến thiên mật độ nước
lμ không đáng kể Các định luật bảo toμn cơ bản được mô tả
đúng đắn bằng các phương trình Navier-Stokes:
đối với khối lượng:
0
=
⋅
∇ u , (1.1)
đối với động lượng:
u u
+
ư∇
=
∇
⋅ +
∂
ρ gz
P
t , (1.2)
trong đó u( t x, ) lμ vectơ vận tốc (u,v,w), P x( , y) lμ áp suất, ρ lμ
mật độ, g lμ gia tốc trọng trường, ν lμ độ nhớt động học không
đổi vμ x=(x,y,z) với trục z hướng thẳng đứng lên trên
Một trong những suy diễn quan trọng từ các phương trình
nμy lμ vectơ xoáy Ω( t x , ) xác định bằng
u
Ω=∇ì , (1.3)
nó bằng hai lần tốc độ xoáy địa phương Tác dụng toán tử xoáy
lên phương trình (1.2) vμ sử dụng phương trình (1.1), ta có
Ω Ω
∇ ν +
∇
⋅
=
∇
⋅ +
∂
∂
u u
t (1.4)
Về mặt vật lý, phương trình trên có nghĩa: theo sau chất lỏng chuyển động, tốc độ biến thiên của xoáy lμ do sự dãn ra vμ xoắn của các đường xoáy vμ khuếch tán nhớt (xem Batchelor, 1967) Trong nước, ν nhỏ (≅ 10ư 2
cm2
/s), thμnh phần cuối cùng của phương trình (1.4) có thể bỏ qua, ngoại trừ trong các vùng
có gradient vận tốc lớn vμ xoáy mạnh Phép xấp xỉ sau đây đúng với gần như mọi chất lỏng:
u
u = ⋅∇
+ ⋅∇
∂
t (1.5)
Một lớp bμi toán rất quan trọng lμ những bμi toán trong đó 0
≡
Ω vμ được gọi lμ dòng không xoáy Lấy tích vô hướng của
phương trình (1.5) vμ Ω , ta dược
)]
( [ 2
Ω2 2
u e e
+ ⋅∇
∂
∂
Ω Ω
Ω
ở đây, e lμ vectơ đơn vị dọc theo Ω Vì gradient vận tốc hữu Ω
hạn trong mọi tình huống vật lý thực, nên trị số cực đại của
) (e u
eΩ⋅ Ω⋅∇ phải có giá trị hữu hạn, thí dụ bằng M/2 Độ lớn )
, (
2 x t
Ω theo sau một phần tử chất lỏng không thể lớn hơn
t M
e
x
Ω2( ,0)
Do đó, nếu không có một xoáy nμo tại thời điểm 0
=
t , thì dòng sẽ mãi giữ nguyên lμ dòng không xoáy
Đối với chuyển động không xoáy, không nhớt, vận tốc u có
thể biểu diễn qua gradient của hμm thế vận tốc vô hướng Φ
Φ
∇
=
u (1.6)
Sự bảo toμn khối lượng đòi hỏi thế vận tốc phải thoả mãn phương trình Laplace
Trang 3=
∇ Φ (1.7) Nếu thế vận tốc được biết, thì có thể tìm được trường áp
suất từ phương trình động lượng (1.2) Sử dụng đồng nhất thức
vectơ
) (
u u u
2
ì
∇
ì
ư
∇
=
∇
⋅
vμ tính không xoáy, ta có thể viết lại phương trình (1.2) với
0
=
ν như sau
+
ư∇
=
∂
Φ
∂
2
2
1
áp dụng tích phân theo các biến không gian, ta được
)
(t
C t
gz P
+ Φ
∇ +
∂
Φ
∂ +
= ρ
2
1 , (1.8) trong đó C (t) lμ một hμm tuỳ ý phụ thuộc vμo t vμ thường bị
loại bỏ nhờ việc định nghĩa lại Φ mμ không ảnh hưởng gì đến
trường vận tốc Phương trình (1.8) được gọi lμ phương trình
Bernoulli Số hạng thứ nhất, g z ở vế phải của phương trình
(1.8) chính lμ phần áp suất thuỷ tĩnh, các số hạng khác lμ phần
áp suất thuỷ động lực trong áp suất toμn phần P
1.1.2 Các điều kiện biên cho dòng không xoáy vμ không
nhớt
Có hai kiểu biên đáng quan tâm: mặt phân cách nước ư
không khí, còn được gọi lμ mặt tự do, vμ mặt tiếp xúc rắn không
xuyên Dọc theo hai biên nμy, chất lỏng được xem như chỉ
chuyển động theo phương tiếp tuyến với mặt Giả sử phương
trình tức thời của biên lμ
0 ) , , ( )
, ( t =zư x y t =
F x ζ , (1.9) trong đó ζ lμ độ cao tính từ z=0 vμ giả sử vận tốc của một
điểm hình học x trên mặt tự do đang di chuyển lμ q Sau một
khoảng thời gian ngắn dt , mặt tự do được mô tả như sau
2
) ,
t
F t F dt
t dt
∇
⋅ +
∂
∂ +
=
= +
Kết hợp với phương trình (1.9), suy ra
0
=
∇
⋅ +
∂
t
F
q
với mọi dt nhỏ Giả thiết chất lỏng chỉ chuyển động dọc theo
mặt biên đòi hỏi phải có u⋅∇F =q⋅∇F, điều nμy có nghĩa rằng
0
=
∇
⋅ +
∂
t
F
u tại z =ζ , (1.10) hay, một cách tương đương:
z y y x x
Φ
∂
=
∂
ζ
∂
Φ
∂ +
∂
ζ
∂
Φ
∂ +
∂
ζ
tại z=ζ (1.11)
Người ta gọi phương trình (1.10) hay (1.11) lμ điều kiện biên
động học Trong trường hợp đặc biệt, khi biên lμ mặt tường cứng
bất động S thì B ζ/∂t=0 vμ phương trình (1.10) trở thμnh
0
=
∂
Φ
∂
n tại S (1.12) B
Tại đáy biển B ở độ sâu 0 h(x,y), phương trình (1.9) trở thμnh z+h(x,y)=0 vμ phương trình (1.12) có thể viết lại thμnh
y
h y x
h x
∂
∂
Φ
∂ +
∂
∂
∂
Φ
∂
=
∂
Φ
∂
ư tại B (1.13) 0
Trên mặt phân cách nước ư không khí, cả hai đại lượng ζ
vμ Φ đều chưa biết, do đó cần phải có thêm một điều kiện biên
động lực học liên quan đến các lực tác động
Đối với hầu hết các vấn đề trong cuốn sách nμy thì bước sóng lμ đủ lớn để sức căng bề mặt không đáng kể; áp suất ngay dưới mặt tự do phải bằng áp suất khí quyển P a ở phía trên áp
Trang 4dụng phương trình (1.8) cho mặt tự do, ta có
2 2
+
∂
Φ
∂ + ζ
= ρ
ư
t g
P a
tại z=ζ (1.14) Hai điều kiện (1.11) vμ (1.14) có thể kết hợp thμnh một điều
kiện đối với hμm Φ bằng cách lấy đạo hμm toμn phần của
phương trình (1.14):
0 2
2
=
ζ + +
∂
Φ
∂
+ ⋅∇
∂
∂ + ρ
+ ⋅∇
∂
t t
P t
u
Sử dụng phương trình (1.11) vμ đẳng thức
2 2
1
u u
t
∂
=
∂
Φ
∂
∇
⋅
từ phương trình (1.15) ta có
0 2
2 2
2
=
∇
⋅ +
∂
∂ +
∂
Φ
∂ +
∂
Φ
∂ +
u
t z
g t
P
Dt
, z=ζ (1.16) Ngoμi ra, nếu P a =const, điều kiện trên sẽ trở thμnh
0 2
2 2
2
=
∇
⋅ +
∂
∂ +
∂
Φ
∂ +
∂
Φ
∂
u u
u) (
t z
g
t , z=ζ, (1.17)
đây thực sự lμ một điều kiện đối với Φ Thấy rằng chẳng những
các thμnh phần phi tuyến đã xuất hiện trong các điều kiện biên
nμy, mμ vị trí của mặt tự do cũng lμ một đại lượng chưa biết Do
đó, khó có thể có một lý thuyết giải tích chính xác đối với các bμi
toán về sóng trên nước
Khi chuyển động của không khí bên trên lμ đáng kể, thì áp
suất khí quyển không thể luôn luôn được mô tả trước; chuyển
động của không khí vμ nước thường gắn liền với nhau Thật
vậy, sự trao đổi động năng vμ năng lượng giữa không khí vμ
biển chính lμ điểm trọng tâm của lý thuyết phát sinh sóng mặt
do gió Tuy nhiên, ta sẽ chỉ giới hạn nghiên cứu những vùng
tương đối cục bộ, nơi không có tác động trực tiếp của gió Khi đó
có thể không tính đến lớp không khí do mật độ tương đối của nó khá nhỏ, nhưng vẫn đáp ứng được nhiều mục đích của chúng ta
1.2 Phép xấp xỉ tuyến tính hóa đối với sóng biên
độ nhỏ
Giả thiết rằng những qui mô vật lý cụ thể của chuyển động
có thể được biết trước Thí dụ, giả sử
π ωλ
ω
π λ
ư
2
2
1
/
/
A
A đặc trưng cho
Φ ζ
t
h z y
x, , ,
(2.1)
trong đó λ , ω , vμ A tuần tự lμ các giá trị tiêu biểu của bước
sóng, tần số vμ biên độ dao động của mặt tự do Ta đã gán quy mô của Φ bằng Aωλ 2/ π, do đó tốc độ có quy mô lμ A ở gần ω mặt tự do Bây giờ ta đưa ra các biến phi thứ nguyên vμ ký hiệu chúng như sau:
ζ′
ω
′
π
′
′
′
′ λ
π Φ′
ωλ
=
ζ
Φ
A t
h z y x A t
h z y x
/
/ , , , (
/ ,
,
2
(2.2)
Nếu thế các biến phi thứ nguyên nμy vμo các phương trình (1.7), (1.11), (1.12) vμ (1.14), ta nhận được các phương trình phi thứ nguyên sau đây:
0 2
2 2 2 2
2 2
= Φ′
+
′
∂
∂ +
′
∂
∂ +
′
∂
∂
= Φ′
∇′
z y
x , ưh′<z′<εζ′ (2.3)
0
=
′
∂
Φ′
∂
n , z′=ưh′ (2.4)
Trang 5z y
z y x x
Φ′
∂
=
′
∂
′
∂
′
∂
Φ′
∂ +
′
∂
ζ′
∂
′
∂
Φ′
∂ ε +
′
∂
ζ′
∂
tại z′=εζ′ (2.5)
λ ω ρ
π
ư
=
′
ư
= Φ′
∇′
ε +
ζ′
λ ω
π +
′
∂
Φ′
∂
2 2
2
2 2
2
A
P P
g t
a a
) ( (2.6)
trong đó ε=2πA/λ=2πì biên độ / bước sóng = độ dốc sóng Vì
đã giả thiết rằng các quy mô phản ánh đúng vật lý của quá
trình, nên tất cả các biến phi thứ nguyên phải có bậc lμ đơn vị;
sự quan trọng của mỗi số hạng ở trên chỉ cần xét theo hệ số
đứng trước số hạng đó
Bây giờ ta xét các sóng có biên độ nhỏ với nghĩa độ dốc sóng
nhỏ: ε <<1 Các điều kiện biên tại mặt tự do có thể đơn giản hoá
nếu để ý rằng mặt tự do chưa biết chỉ cách biệt với mặt phẳng
nằm ngang z′=0 một lượng có bậc O(ε) Vì vậy, ta có thể khai
triển Φ′ vμ các đạo hμm của nó thμnh chuỗi Taylor:
) (
! 2
) ( )
, , ,
0 2
2 2 0
ζ
′
∂
′
∂
′ +
′
∂
′
∂
′ +
′
=
′
′
′
′
′
z
f z
f f
t y
x
f
với
0
f có nghĩa lμ f(x,y,0,t) Nếu lấy đến số hạng bậc một, các
điều kiện trên mặt tự do xấp xỉ bằng
a
z
P
g t
t
′
ư
=
′ +
′
∂
Φ′
∂
Φ′
=
′
∂
′
∂
′
ζ λ
ωπ
ζ
2
2 z′=0
Chỉ còn các thμnh phần tuyến tính được giữ lại trong các
điều kiện biên nμy vμ các điều kiện đó ứng với mặt phẳng đã
biết z′=0 Cùng với các phương trình (2.3) vμ (2.4) bμi toán xấp
xỉ đã được tuyến tính hoá hoμn toμn Trở lại các biến vật lý, ta
có
0
2Φ=
∇ , ưh<z<0 (2.7)
0
=
∂
Φ
∂
n , z=ưh (2.8)
(2.9) 0
=
z
ρ ζ
ζ
a
P g
t
z t
ư
= +
∂
Φ
∂
∂
Φ
∂
=
∂
(2.10) Ngoμi ra các phương trình (2.9) vμ (2.10) có thể kết hợp lại
để có
t
P z
g t
a
∂
∂
ư
=
∂
Φ
∂ +
∂
Φ
∂
ρ
1
2
2
, z=0 (2.11)
Phương trình nμy cũng có thể nhận được bằng cách tuyến tính hoá phương trình (1.16)
Có thể liên hệ áp suất toμn phần trong lòng chất lỏng với Φ bằng cách tuyến tính hoá phương trình Bernoulli
p gz
P= ρ + trong đó =
∂
Φ
∂ ρ
p áp suất động lực (2.12) Những điều kiện nμy phải được bổ sung bởi các điều kiện ban đầu vμ các điều kiện biên bên trong chất lỏng vμ ở vô cùng nếu có
Phải lưu ý một lần nữa về giả thiết không nhớt trong khi thực hiện phép xấp xỉ tuyến tính Gần biên cứng, lý thuyết thế cho phép dòng trượt trên hướng tiếp tuyến, nhưng trên thực tế thì tất cả các thμnh phần vận tốc phải triệt tiêu ở đây phải có một lớp biên mỏng để lμ trơn sự chuyển đổi từ không đến một giá trị hữu hạn Như vậy
N
x
∂
∂ >>
T
x′
∂
∂ ,
T
x′′
∂
∂ ,
ở đây x , N x T′ vμ x T′′ lμm thμnh một hệ trục toạ độ trực giao cục
bộ, với x vuông góc với bề mặt rắn, còn N x T′ vμ x T′′ thì song song
Trang 6với nó Từ phương trình động lượng đã tuyến tính hoá suy ra
rằng vận tốc tiếp tuyến u ở trong lớp biên thoả mãn biểu thức T
p x
T
∂
∂
≅
∂
∂
ρ
2u u
Với chu kỳ sóng có trị số bằng quy mô thời gian, độ dầy của
lớp biên δ phải có bậc lμ
δ ∼
2 / 1
2
ων
Đối với nước, 2/s
cm 0,01
≅
ν ; khi thử nghiệm mô hình chu
kỳ đặc trưng lμ 1 giây nên δ~0,056cm, độ dầy nμy khá nhỏ so
với bước sóng thông thường Trong đại dương, thường thì sóng
lừng chu kỳ cỡ 10 giây; δ ~0,17 cm Nhưng lớp biên gần đáy
biển thực thường lμ lớp biên rối đối với hầu hết các chu kỳ sóng
Như sẽ phân tích sau đây, giá trị thực nghiệm tiêu biểu của độ
nhớt rối bằng khoảng 100ν; vậy độ dầy của lớp biên rối đối với
chu kỳ sóng 10 giây có bậc ≤ O(10) cm, nó vẫn hoμn toμn lμ nhỏ
Như vậy, vùng lớp biên chỉ lμ một phần nhỏ bé của cả khối chất
lỏng với kích thước tương đương bước sóng, vμ ảnh hưởng tổng
thể lên chuyển động sóng lμ rất nhỏ khi qua khoảng cách một
vμi lần bước sóng hay qua một thời khoảng bằng một vμi chu kỳ
sóng
1.3 Những nhận xét cơ bản về sóng lan truyền
Xét một dạng đặc biệt của mặt tự do
) (
cos Re
) , , (x y t = Ae i( t) = A ⋅ ưωt
, (3.1) trong đó i lμ đơn vị ảo (ư1)1/2 vμ
) , ( ), , (k1 k2 ≡ x y
k (3.2)
Để tiện biến đổi toán học, người ta thường sử dụng dạng
hμm mũ, vμ để ngắn gọn dấu Re (phần thực) sẽ được bỏ đi, tức
lμ
) ( ) , , (x y t =Ae i ⋅ ư ωt
, (3.3)
được dùng để thay cho phương trình (3.1) Biểu thức nμy mô tả những loại bề mặt tự do nμo?
Đối với người quan sát đứng yên, ζ sẽ dao động theo thời gian với chu kỳ T =2π/ω giữa hai cực trị A vμ ưA Nếu ta chụp ảnh ba chiều tại thời điểm xác định t với ζ lμ toạ độ thẳng đứng vμ ( y x, ) lμ các toạ độ ngang, sự biến thiên của ζ trên mặt phẳng ( y x, ) sẽ mô tả một địa hình tuần hoμn Trong
mặt phẳng y=const, ta thấy ζ biến thiên tuần hoμn theo hướng x giữa A vμ ưA với chu kỳ không gian 2π/k1 Tương tự, trong mặt phẳng x=const, ζ biến thiên tuần hoμn theo hướng
y giữa A vμ ưA với chu kỳ không gian 2π/k2 Vậy dọc hướng
x số đỉnh sóng trên một đơn vị độ dμi lμ k1/2π, còn dọc hướng
y , số đỉnh sóng lμ k2 /2π
Ta định nghĩa hμm pha S như sau
t t
y k x k t y x
S( , , )= 1 + 2 ưω =k⋅xưω (3.4)
Đối với một thời điểm xác định, phương trình
0
const )
, , (x y t S
S = = mô tả một đường thẳng với vectơ pháp tuyến lμ
=
k
k k
k
k
2
1,
2 2
1 + =
Dọc theo đường thẳng nμy, độ cao mặt nước bằng nhau ở mọi nơi Thí dụ, các mực nước sẽ cao nhất (các đỉnh sóng) khi
π
= n
S0 2 vμ thấp nhất (các chân sóng) khi S0=(2n+1)π Khi S 0
tăng một lượng 2 , thì độ cao mặt nước được lặp lại Các đường π
có S khác nhau song song với nhau nếu 0 k vμ 1 k lμ các hằng 2
số Chúng ta gọi các đường nμy lμ các đường pha Nếu chụp ảnh
vμ cắt một mặt cắt ngang dọc theo hướng của e , trắc diện của k
Trang 7ζ sẽ lμ đường hình sin với bước sóng λ 2= π/k Hoặc ta có thể
nói rằng số sóng trên một đơn vị độ dμi dọc hướng k lμ k/2π
Do đó k được gọi lμ số sóng vμ k được gọi lμ vectơ số sóng với
các thμnh phần k vμ 1 k Li độ cực đại A so với giá trị trung 2
bình z =0được gọi lμ biên độ
Giả sử ta đi theo một đường pha cụ thể S=S0 Khi thời
gian t tiến triển, vị trí của đường pha nμy cũng thay đổi Vậy
thì tốc độ dịch chuyển của đường pha nμy bằng bao nhiêu? Rõ
rμng, nếu người quan sát di chuyển với cùng vận tốc d /x dt, thì
sẽ thấy đường pha bất động, có nghĩa lμ
0
=
∂
∂ +
⋅
∇
t
S d S
Từ phương trình (3.4) suy ra
S
S = k ∇
∇
k , (3.6a)
t
S
∂
∂
= ω
ư (3.6b)
vμ
C k S
t S dt
d
∇
∂
∂
ư
=
e (3.7)
Như vậy, tốc độ mμ đường pha tiến đi trong hướng vuông
góc với nó bằng ω/k được gọi lμ tốc độ pha C Các phương
trình (3.6a) vμ (3.6b) có thể coi lμ các định nghĩa của ω vμ k :
tần số lμ tốc độ biến thiên pha theo thời gian vμ số sóng lμ tốc
độ biến thiên pha theo không gian
1.4 Sóng tiến trên vùng nước độ sâu không đổi
Đối với chuyển động điều hoμ đơn tần số ω , sự tuyến tính
của bμi toán cho phép chúng ta tách nhân tử phụ thuộc thời
gian eư ωt ra như sau:
t i
e z y x p gz t z y x P
z y x t
z y x
z y x t z y x
y x t y x
ω
ư
= ρ +
→
φ
= Φ
η
= ζ
) , , ( )
, , , (
) , , ( ) , , , (
) , , ( ) , , , (
) , ( ) , , (
u
u (4.1)
Chú ý rằng cùng một ký hiệu u được sử dụng để biểu diễn vận tốc chất lỏng vμ biểu diễn nhân tử phụ thuộc không gian của nó Các phương trình tuyến tính hoá từ (2.7) đến (2.10) có thể dẫn tới
0 2
= φ
∇ , ưh<z <0, (4.2) 0
=
∂
φ
∂
n , z=ưh, (4.3)
(4.4) 0
=
ρ
ư
= ωφ
ư η
= ωη +
∂
φ
∂
a
p i
g
i
(4.5) trong đó phương trình (4.4) vμ (4.5) có thể kết hợp lại thμnh
a
p
i z
g
ρ
ω
= φ ω
ư
∂
φ
, z =0 (4.6)
Chọn nghiệm hai chiều biểu diễn một sóng tiến không chịu tác động trực tiếp của khí quyển, tức p a =0 vμ
ikx
Ae
=
η (4.7)
Dễ dμng nhận thấy rằng hμm thế thoả mãn các phương trình (4.2) vμ (4.3) sẽ bằng
ikx
e h z k
=
Để thoả mãn các điều kiện biên tại mặt với p a =0, ta cần có
kh
igA B
ch
1 ω
ư
=
Trang 8vμ
kh
gkth
2 =
ω , (4.8)
do đó
ikx
e kh
h z k igA
ch
ch ( + ) ω
ư
=
φ (4.9) Như vậy, với một tần số cho trước ω sóng tiến phải có một số sóng
riêng xác định theo phương trình (4.8) Trong dạng phi thứ nguyên
lμ
kh kh g
h
th
=
Sự biến thiên của tần số phi thứ nguyên ( )1 / 2
/g h
ω vμ số sóng phi thứ nguyên kh được biểu diễn trên hình 4.1 Đặc biệt
các biểu thức xấp xỉ tới hạn bằng
gh
gh k
≈ ω
≈ ω
, 1
1
>>
<<
kh
kh
(4.10)
Vì kh 2= πh/λ có thể xem như lμ tỉ số giữa độ sâu vμ bước sóng,
nên người ta dùng các thuật ngữ sóng dμi vμ sóng nước nông
khi kh<<1 vμ các thuật ngữ sóng ngắn vμ sóng nước sâu khi
1
>>
kh Với một độ sâu h cố định, các sóng ngắn hơn sẽ có các
tần số cao hơn Trong vùng nước nông, các sóng với một tần số
cố định sẽ có bước sóng ngắn hơn ở độ sâu nhỏ hơn vì
2
1 /
)
/(gh
Tốc độ pha C cho theo công thức
kh k
g k
C= ω = th (4.11)
được vẽ dưới dạng phi thứ nguyên trên hình 4.1 Đối với các
sóng dμi vμ ngắn các biểu thức tới hạn lμ
/k g C
gh C
=
=
, 1
1
>>
<<
kh
kh
(4.12)
Nhìn chung, với cùng độ sâu, các sóng dμi hơn có tốc độ nhanh hơn Trong chương 2 sẽ cho thấy rằng một nhiễu động xuất phát
có thể xem như tổng Fourier của các nhiễu động tuần hoμn với các bước sóng biến thiên trong một dải phổ liên tục Dần dần với thời gian, các sóng dμi hơn sẽ vượt lên trên so với các sóng ngắn hơn Trong khi các nhiễu động cùng truyền đi, thì các sóng dμi nhất vμ các sóng ngắn nhất ngμy cμng cách xa nhau hơn, còn các sóng loại trung gian thì ở giữa khoảng đó Hiện tượng các sóng tần số khác nhau di chuyển với các vận tốc khác nhau gọi
lμ sự tản mạn (dispersion) Rõ rμng rằng, nếu tỷ số giữa ω vμ k
đối với một sóng hình sin lμ một biểu thức tương quan phi tuyến thì môi trường truyền sóng lμ môi trường tản mạn Do đó, phương trình (4.8) hay dạng tương đương của nó – phương trình (4.11), được gọi lμ quan hệ tản mạn (dispersion relation)
Từ phương trình Bernoulli tuyến tính hoá, áp suất động (không có ưρgz) bằng
kh
h z k g e kh
h z k gA i
ch
ch ch
ch ( + ) = η ( + )
= ωφ
=
Trường vận tốc sẽ lμ
ikx
e kh
h z k gkA u
ch
ch ( + ) ω
= , (4.14)
0
=
v (4.15)
ikx
e kh
h z k igkA w
ch
sh ( + ) ω
ư
= (4.16)
Đối với vùng nước rất sâu, kh>>1:
ikx
kz e Ae g igk gk
ig p
w v
ω
ư ω ω
ư
=
φ, , , , ) , , , ,
Trang 9vμ đối với vùng nước rất nông, kh<<1:
ikx
Ae g gk
ig p
w v
ρ ω
ω
ư
=
φ, , , , ) , , ,
Một số đặc điểm nổi bật của vùng nước nông đáng được ghi
nhớ lμ: (1) không còn sụ phụ thuộc vμo z ; (2) tốc độ thẳng đứng
có thể bỏ qua; (3) áp suất động bằng ρg vμ áp suất toμn phần ζ
)
( z
g
P=ρ ζư lμ áp suất thuỷ tĩnh theo độ sâu dưới mặt tự do
Hình 4.1 Đường cong tản mạn của sóng tiến
Cuối cùng, từ mục 1.2 ta đã biết rằng khi quy mô không
gian bằng 1/k thì điều kiện để tuyến tính hoá lμ kA<<1 Ta
hãy kiểm tra giả thiết tuyến tính hoá một lần nữa bằng cách so
sánh thμnh phần phi tuyến với thμnh phần tuyến tính, cả hai
thμnh phần nμy đều được ước lượng tại mặt tự do z =0 Với kh
bất kỳ, từ (4.11) vμ (4.14) ta có
0
=
∂
∂
∂
∂
z
t
u
x
u
u
/
/
~
0
=
ω z
uk
~
0
=
z
C
u
=
kh
kA
th với mọi kh
Chú ý lμ kh<<1, tỉ số trên trở thμnh A / Vì vậy, trong vùng h
nước nông thì lý thuyết tuyến tính thực sự lμ một phép xấp xỉ rất hạn chế
1.5 Vận tốc nhóm sóng
Một trong số các khái niệm quan trọng nhất về các sóng tản mạn lμ vận tốc nhóm sóng Có hai quan điểm để hiểu rõ về ý nghĩa của khái niệm đó
1.5.1 Quan điểm động học
Giả sử có một nhóm các sóng dạng hình sin với các bước sóng biến đổi liên tục trong một khoảng hẹp gần k= Li độ k0
của mặt tự do có thể biểu diễn bằng
1
0
0
=
ζ Δ Δ
ω
ư
k
k dk
e k A
k k k k
t k
) ( [kx ( ]
, (5.1) trong đó A (k) lμ phổ số sóng với ω vμ k thoả mãn quan hệ tản
mạn
)
(k
ω
ω= (5.2) Bằng cách khai triển Taylor, ta viết
2 0 0
0 0
0
0
) ( )
( ) ( )]
(
dk
d k k k k
k k
k
ư Ο +
ω
ư + ω
=
ư + ω
=
Nếu ký hiệu:
g k
C dk
d dk
d k
k
k k
≡
ω
=
ω ω
= ω ξ
=
ư
0
0 0
0 0
0 , ( ), , (5.3)
đối với A (k) đủ trơn vμ cho phép xấp xỉ thô, ta có:
≈
Δ ω
0 0 0
0 0
0
k k k
t x k
e k
/ )
) (
) ( )
) (
) (
sin )
g
t C x
t C x k k
ư
ư Δ
Trang 10trong đó
) (
) (
sin ) (
~
t C x
t C x k k
A A
g
g
ư
ư Δ
=2 0 (5.5)
Do nhân tử exp[i(k0xưω0t)] trong phương trình (5.4), ζ có
thể xem như một chuỗi sóng dạng sin xác định với biên độ A~
biến thiên chậm Đường bao xác định bằng A~ có dạng của nhóm
sóng được biểu diễn trên hình 5.1, nó di chuyển với tốc độ C g
Do đó, C được gọi lμ vận tốc nhóm Vì có biến thiên biên độ, g
khoảng cách giữa hai nút kế cận của đường bao xấp xỉ bằng
k
Δ
π/ vμ lớn hơn nhiều so với bước sóng của các sóng hợp phần
0
2π/k
Hình 5.1 Nhóm của các sóng có dải tần số hẹp
Với các sóng trên nền độ sâu không đổi, lấy vi phân quan hệ
tản mạn (4.8), ta có
+
=
+ ω
= ω
=
kh
kh C
kh
kh k
dk
d
C g
2 sh
2 1 2 2
sh
2 1 2
1
(5.6) Với vùng nước sâu kh>>1:
2 / 1
2
1 2
1
≈
≈
k
g C
C g (5.7)
vμ với vùng nước nông kh<<1:
2 / 1
)
(gh
C
C g ≈ ≈ (5.8)
Do vận tốc pha lớn hơn vận tốc nhóm đối với các độ sâu thông thường, các đỉnh sóng cá thể sẽ di chuyển từ sau cùng lên hμng đầu của nhóm
Trong mục 2.4 sẽ chứng tỏ bằng một cách tổng quát hơn rằng C lμ tốc độ truyền của một đường bao bất kỳ biến thiên g
chậm vμ phương trình (5.5) chỉ lμ một trường hợp riêng
1.5.2 Quan điểm động lực: Dòng năng lượng
Trước hết ta tính năng lượng trung bình của một chuỗi sóng tiến đồng nhất cho một đơn vị diện tích mặt tự do Nếu ký hiệu giá trị trung bình trong toμn chu kỳ bằng dấu gạch ngang trên
đầu các đại lượng, ta có động năng cho toμn cột chất lỏng bằng
dz t E
K
h
t t
h
2
2
0
2 2
2
ư
ω
ư ω
ư ζ
ư
+ ρ
≅ ρ
= [ ( , )] Re ( ) Re ( )
ở đây với độ chính xác bậc hai O (kA)2 cận trên của tích phân được thay bằng z=0, còn u có thể thay bằng xấp xỉ bởi bậc nhất ư các phương trình (4.14) vμ (4.16) Chú ý rằng đối với hai hμm dạng sin bất kỳ
t i
Ae
a=Re ư ω vμ b=ReBeưiωt, thì công thức sau đây lμ đúng:
)
* ( Re
*) (
ab dt T
2 1
= , (5.10) trong đó ( )*
chỉ liên hợp phức Việc chứng minh công thức nμy giμnh cho bạn đọc như lμ một bμi tập Với các phương trình (4.14), (4.16) vμ (5.10), phương trình (5.9) trở thμnh
