Truyền âm trong môi trường bất đồng nhất ngẫu nhiên được mô tả bằng một phương trình sóng trong đó tốc độ âm là một hàm ngẫu nhiên của tọa độ và đôi khi của thời gian.. Lý thuyết truyền
Trang 1Chương 10
TRUYỀN ÂM TRONG ĐẠI DƯƠNG NGẪU NHIÊN
Có hai kiểu bất đồng nhất trong đại dương, bất đồng nhất đều đựn
và bất đồng nhất ngẫu nhiên Bất đồng nhất ngẫu nhiên gây nên bởi rối,
sóng nội, các cuộn xoáy quy mô vừa v.v Chúng gây nên sự tản mát âm
và những thăng giáng cường độ âm, giảm độ hiệp biến của các sóng âm
và làm thay đổi phổ tần số sóng âm
Truyền âm trong môi trường bất đồng nhất ngẫu nhiên được mô tả
bằng một phương trình sóng trong đó tốc độ âm là một hàm ngẫu nhiên
của tọa độ và đôi khi của thời gian Nghiệm của bài toán thống kê phức
tạp này có thể nhận được bằng các phương pháp gần đúng Hiện nay phát
triển nhất trong số đó là phương pháp nhiễu động bé, phương pháp nhiễu
động trơn đều (phương pháp Rytov) và phương pháp phương trình
parabolic
Lý thuyết truyền sóng trong các môi trường bất đồng nhất ngẫu
nhiên được trình bày một cách hệ thống trong các cuốn sách của Tatarskii
[10.1], Chernov [10.2] và Rytov và nnk [10.3] cũng như một số cuốn
sách nhiều tác giả, do Flatte [10.4], Keller và Papadakis [10.5] và
Strohbbein [10.6] chủ biên
10.1 CÁC THĂNG GIÁNG BIÊN ĐỘ VÀ PHA
Ta giả thiết rằng quy mô không gian ủa các bất đồng nhất ngẫu
nhiên lớn so với bước sóng âm ng trường hợp này
phép xấp xỉ âm học tia có thể được sử dụng Các ước lượng số cho thấy
rằng những thăng giáng tốc độ âm (chỉ số khúc xạ) trong đại dương vượt
trội các thăng giáng mật độ một bậc đại lượng [10.2, mục 11] Do đó, trong bàn luận tiếp sau chúng ta sẽ bỏ qua những thăng giáng mật độ Những thăng giáng tốc độ âm tương đối là không lớn, trong một ví dụ điển hình đại lượng căn bình phương trung bình
a c ) ( 1/2 λ1/2
λ a >> Tro
c
c /
∆ bằng ở các lớp phía trên và ại các độ sâu lớn [10.7] Mặc dù vậy, đối với sự truyền âm kho ệu ứng có thể khá đáng kể
10.10.1 Các th pha
Chúng ta bắt đầ nh eikonal (2.6.3), ở đó chỉ số khúc
xạ giờ được cho như tổng của một hợp phần trung bình
và một hợp phần ngẫu nhiên
4 10
5⋅ −
~ 6
10
3⋅ −
ảng cách xa thì hi
ăng giáng
u từ phương trì )
(R
)
(R
µ
{x y z}
z n
n(R)= 0( )+µ(R), 〈µ〉 =0, R= , , (10.1.1)
Ta giả sử rằng µ bé, 〈 2〉 1 / 2 <<n0
) ( µ Biểu diễn eikonal W thành một
chuỗi
(10.1.2) trong đó ỏa mãn phương trình eikonal không nhiễu
(10.1.3)
và ác số hạng hiệu chỉnh bậc nhất, hai và v.v theo
+ + +
=W0 W1 W2
0
W th
2 0
2
∇ ) ( ,
, , 2
1 W
ỉ Thế (10.1.1) vào (2.6.3) và chú ý tới (10.1.3), ta nhận được trong xấp x tiếp theo của µ
0 1
W ⋅∇ =µ
∇ (10.1.4) Bởi vì theo (2.6.5)
(10.1.5) với ơ đơn vị dọc theo một tia không nhiễu, ta tìm được từ (10.1.4)
e
0
0 n
W =
∇
e là vect
355 356
Trang 21 0 1 0
1
ds
dW n W n
W
∇ (e ) , (10.1.6)
trong đó ột phần tử của tia Từ đây ta được
(10.1.7) trong đó tích phân được thực hiện dọc theo không nhiễu
Hàm tương quan đối với các thăng giáng của pha sóng âm
ds là m
∫
= s ds W
0
1 µ ,
1
0
1 = k W
ϕ , ở đây số sóng tại điểm cố định nào đó trong môi
trường, theo (10.1.7) là
(10.1.8) trong đó
0
k là
=
〉
〈
0 0
2 0 2 1 1 1
2 0 2
1
s d B
s d k W
W k
Bϕ(R ,R ) (R ) (R ) µ(R,R )
〉
′′
′
〈
= µ(R )µ(R )
µ
số khúc xạ:
hàm tương quan đối với những thăng
của các điểm liên tiếp trên các tia; cò các độ dài tia giữa
nguồn và các điểm ả thi ằng khi không tồn tại những
bất đồng nhất đều đặn nền ăng giáng chỉ số khúc xạ đồng
nhất thống kê và hàm tươ ỉ ph ộc vào khoảng cách
)
(s′
=
′ R
R và R ′′ R= (s′′) là các vect
n s1 và s2 là 1
R và R2 Ta gi ết r
) (n0 =1 các th
ng quan Bµ ch ụ thu
R
R′′− ′ Tu
vào độ sâu trung bìn
y nhiên, trong trường hợp của chúng ta, nó còn phụ thuộc
h ởi vì sự phân tầng phương ngang của môi trường
Trên cơ sở những giả thuyết ở trên ta nhận được
10.1.9) Xét các tia đạt đích tại các điểm 0.1) Ký hiệu
2 / (z z
z= ′+ ′′ b ))
( (n0 =n0 z
∫
0 0
2 0 2 1
s s
s d z B
s d k
Bϕ(R ,R ) µ(R R; ) (
1
R và R2 (hình 1
s
s′′− ′
=
ξ là kho
)
(s′
ảng cách giữa các điểm liên tiếp dọc theo tia bên trên và
ρ là khoảng cách ngang giữa các tia Vì quy mô không gian của các
thăng giáng ngẫu nhiên µ trong đại dương nhỏ hơn rất nhiều so với quy
mô biến thiên của đó, nhỏ hơn nhiều so với bán kính cong của các tia, nên ta có th ong miền các giá trị có nghĩa của
0
n và do
) ( ) (s′ + s′
≅
′
−
trong đó ơ đơn vị dọc theo tia tại điểm (10.1.9) trước tiên ta tích phân theo
ξ
∫
=k s ds s s s B s z s d
Bϕ(R1,R2) 02 01 2 µ ξ,ρ( ); ( ) ξ (10.1.10)
Hình 10.1 Các tham số để xác định hàm tương quan của thăng giáng pha
Vì hàm Bµ giảm nhanh tới không đối với ξ ≥ , ở đây ξ0 ξ0 là bán kính tương quan, các cận tích phân theo ξ đối với s2 > s1 >>ξ0 có thể mở rộng từ đến
0.1.11)
Có thể chứng minh rằng trong trường hợp
∞
− ∞ ,
∫
∫ −∞∞
0
2 0 2
1 R
0 1
2 > s >>ξ
s có thể nhận được cùng biểu thức cho ằng cách thay thế ằng ả hai trường hợp ta có
0.1.12)
ở đây Bây giờ ta áp dụng (10.1.12) cho trường hợp mô trường với Giả sử một sóng âm phẳng truyền dọc theo trục
ϕ
B b s1 b s2 Trong c
∫
∫ −∞∞
0
2 0 2
1 R
{s1 s2}
s m =min ,
1
0 =
x Các tia sóng sóng với
những đường thẳng; đại lượng ρ không phụ thuộc vào x và bằng
357 358
Trang 3Do đó, ta có khoảng cách ngang giữa các điểm quy chiếu
Từ (10.1.12) ta được
(10.1.13) với
Ta xét hàm tự tương quan dọc của các thăng giáng pha khi các điểm
quy chiếu nằm dọc theo cùng một tia ường hợp này, nếu
chú ý rằng
1
R và R2
∫−∞∞
0 2
1 R
} , min{x1 x2
) (ρ=0 Trong tr )
, (ξ 0
µ
B là một hàm chẵn của ξ, ta có
∫∞
= 2 0 0 2
B ( , ) m ( , ) (10.1.14)
Ta định nghĩa quy mô tích phân của các bất đồng nhất như sau
với
∫
〉
〈
0 µ Bµ ξ 0 dξ Nµ ξ 0 dξ
〉
〈µ2 và Nµ(ξ,0) là bình phương trung bình của hệ số tương quan
(hàm tự tương quan chuẩn hóa) của các thăng giáng chỉ số khúc xạ Khi
đó
(10.1.15) Hàm tương quan ngang của thăng giáng pha 3)
là
(10.1.16) chẳng hạn, nêu giả thiết
(10.1.17)
ta nhận được
m x L k
x x
Bϕ( 1, 2)=2 02〈µ2〉 0
) (x1 =x2 ≡x , theo (10.1.1
∫−∞∞
B ( ,ρ) 2 ( ,ρ)
] / ) (
exp[
) ,
Bµ ξ ρ =〈µ 〉 − ξ +ρ ,
) / exp(
) , ( ak02 2 x 2 a2
a
~
⊥
ρ đối với bán kính tương quan ngang của thăng giáng pha
Bình phương trung bình (độ lệch) của thăng giáng pha được tìm từ (10.1.16) và cho
1.18) Như vậy bình phương trung bình của thăng giáng pha tăng tuyến tính với
độ tăng khoảng cách
0
=
ρ
=
≡
〉
〈ϕ12 Bϕ(x,0) k02x Bµ(ξ,0)dξ 2k02 µ2 L0x (10
x Kết quả này có một ý nghĩa vật lý đơn giản Tại
a
x>> có một số lượng lớn ững bất đồng nhất không tương quan dọc theo đường đi của tia Bình ương trung bình của thăng giáng pha tỉ lệ với số lượng các bất do đó, với
) / (~ x a nh
ph đồng nhất và x Cho Nµ(ξ)=exp(−ξ2 /a2), ta tìm được L0 =a π /2 và
x
ak 〈 〉
=
〉
0
2
ϕ (10.1.19)
Hệ số tương quan được xác định như là tỉ số của hàm tương quan các thăng giáng và căn của các giá trị bình phương trung bình Như vậy, chẳng hạn, hệ số tương quan dọc ủa thăng giáng pha có dạng
Nếu xét tới (10.1.15, 18) thì biểu thức này trở thành
hay, nếu cho ệu
Hiệu pha tại hai điểm được định nghĩa bằng hàm cấu trúc
) , (x1 x2
2 1 2
2 1 1
2 1 2 1 2
1, ) ( , )[ ( ) ( )] / (x x = B x x 〈 x 〉⋅〈 x 〉 −
2 1 2 1 2
1, ) m( , ) / (x x = x x x −
Nϕ
m
x
x1 = và ký hi x2 ≡x
m m
x
Nϕ( , )=( , )−1/2, ≥
〉
−
〈
2 1 1
1( ) ( )]
[ϕ R ϕ R
ϕ
359 360
Trang 4Nếu các điểm quy chiếu cách nhau bởi khoảng cách ρ trên hướng ngang,
thì
hay, nếu sử dụng (10.1.16, 18)
(10.1.20) Tại 0
)]
, ( ) , ( [ ) (ρ B x B x ρ
Dϕ =2 ϕ 0 − ϕ
ξ ξ
µ
D (ρ)=2 2 ∫−∞∞[ ( ,0)− ( ,ρ)]
→
∞
→ , ( ,ρ)
ρ Bµ ξ và Dϕ đạt “bão hòa” tại giá trị
Sử dụng quan hệ quen thuộc giữa hàm tương quan và hàm cấu trúc
[10.2, mục 1]
x
L
k02 2 0
4 〈µ 〉
)]
, ( ) , ( [ ) , (ξ ρ µ ξ µ ξ ρ
2
1
,
ta viêt (10.1.20) dưới dạng
(10.1.21) Biểu thức cuối cùng đúng thậm chí trong trường hợp khi một trường ngẫu
nhiên
D ( ) 2 [ ( , ) ( ,0)]
µ chỉ đồng nhất địa phương
Hàm cấu trúc của thăng giáng pha cho phép chúng ta tính bình
phương trung bình của các thăng giáng góc đạt đích của một tia tại ăng
ten thu Giả sử front sóng của một sóng tới về trung bình song song với
một ăng ten tuyến tính Khi đó sự lệch hướng của một tia khỏi đường
pháp tuyến với yếu tố độ dài dl của ăng ten sẽ tạo ra chênh lệch pha dϕ
giữa các đầu mút của yếu tố đó Với những độ chệch hướng nhỏ tồn tại
biểu thức hiển nhiên như sau
Độ lệch hướng của đường pháp tuyến với front sóng khỏi hướng trung
bình (pháp tuyến với ăng ten) lấy trung bình trên toàn độ dài của ăng ten,
sẽ là
dl d
k ϕ/
0 −
)]
( ) ( [ ) ( )
0 0
1
dl
d l
Bình phương biểu thức này và lấy trung bình thống kê, ta được
trong đó cấu trúc thăng giáng pha Chú ý tới (10.1.17, 20),
ta tìm được
2 0
2 Dϕ(l)/(k l)
χ 〉=
)
(l
Dϕ là hàm
)]
/ exp(
[ ) / )(
/
2
2〉 =2 〈 〉 x a a l 1− l a
Từ đây
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>>
〉
〈
=
−
−
〉
〈
<<
〉
〈
=
〉
〈
),
/ )(
/ (
)], exp(
)[
/ (
), / (
a l l
a a x
a l a
x
a l a
x
2 2 2
2
2 2
2
1 1
2 2
µ π
µ π
µ π χ
Ta thấy rằng trong trường hợp này, khi ăng giáng góc đạt đích giảm nếu độ dài của ăng ten tăng Thực tế này minh họa cho hiệu ứng trung bình của ăng ten
10.1.2 Các thăng giáng biên độ
Bây giờ ta rút ra biểu thức cho các thăng giáng của mức biên độ
a
l>> th
) / ln(A A0
=
η , trong đó ị biên độ quy chiếu nào đó Đại lượng
0
A là giá tr
η
2 xác định mức cường độ âm Một phương trình cho η rút ra từ phương trình vận chuyển (2.6.4)
0
2∇η⋅∇W+∆W = (10.1.22)
Ta biểu diễn η thành một chuỗi lũy thừa
(10.1.23)
m
η η
η η
η = 0 + 1 + 2 + , ~ ,
361 362
Trang 5trong đó η0 là giá tr
ỗi t
ị không nhiễu của mức biên độ Thế chuỗi (10.1.23)
và một chu ương tự đối với W (10.1.2) vào (10.1.22) và cho bằng
nhau từng số hạng cùng bậc của µ, ta được hai phương trình:
0
2∇η0⋅∇W0 +∆W0 = (10.1.24)
và
0 2
2∇η1⋅∇W0 +∆W1 + ∇η0⋅∇W1 = (10.1.25) Tại những khoảng cách lớn kể từ nguồn ể
được thay thế một cách gần đúng bằng ng đó
các toán tử vi phân chéo (theo một tia) Phép thay thế nh ếu
1
W a
x>> ),∇ ( và ∆W1 có th
1
W
⊥
∇ và ∆⊥W1, tro )
( ⋅∇
−
∇
=
∇⊥ e e và 2
⊥
⊥ =∇
ư vậy cho phép n ∇↓↓W1 << ∇⊥W1 , ∇ là ↓↓
toán tử vi phân dọc Để ước lượng bậc đại lượng, ta giả thiết
) /(
) ( / ) (
W1 〈 12〉 1 2 = 〈 12〉 1 2 0
hoặc, sử dụng (10.1.19)
2 1 2
1 ~[ x/a]/
Mặt khác, theo (10.1.6)
2 1 2 1
1
/ ) (
~
=
ds
dW
Do đó
1 2 1 1
1 ∇ <<
∇ W ⊥W ~(a/x)/
Từ đây (10.1.25) có thể viết thành
0 2
2∇η1⋅∇W0 +∆⊥W1 + ∇⊥η0⋅∇⊥W1 = (10.1.26)
Ở đây số hạng chứa ∇⊥η0 mô
)
tả độ lệch của biên độ sóng dọc theo bề mặt sóng (ϕ0 =const có th
phẳng và sóng cầu số hạng này luôn bằng không
ể bỏ qua ở trong tất cả các vùng mà phép
âm hình học được áp dụng Trong môi trường đồng nhất đối với các sóng
Khi đó, nếu sử dụng (10.1.5), ta nhận được từ (10.1.26)
1
1 0
ds
d
⊥
− ∆
−
= ( )
η
từ đây suy ra
∫ −∆⊥
−
= s n W ds
1 0 1
2
1
η , (10.1.27)
ở đây tích phân được lấy dọc theo tia không nhiễu
Ta xét sự tương quan của các thăng giáng mức biên độ trong một môi trường đồng nhất thống kê với Đối với hàm tương quan ngang hướng của một sóng phẳng truy ục
1
0 =
ền dọc theo tr x, ta thu được từ (10.1.27)
〉
〈
= ( , ) ( , ) )
, (x ρ 1 x ρ1 1 x ρ2
= − x x ⊥ ⊥
x d x d B
k
0 0
2 0
( ' " ϕ R R , (10.1.28) trong đó hàm tương quan của thăng giáng pha (10.1.13);
ác vectơ bán kính của các điểm liên tiếp trên các tia; ảng cách ngang hướng giữa hai tia song song và ∆′ ử Laplace ngang hướng theo các biến
ế (10.1.13) vào (10.1.28) và chú ý rằng ởi
vì ỉ có mặt trong đối số của hàm ưới dạng hiệu
) (R′, R′′
ϕ
{ ′ ρ′}
=
′ x,
R và R′′={x′′,ρ′′} là c
1
2 ρ ρ
ρ= − là kho
⊥
⊥,∆ ′′ là các toán t
ρ ′ và ρ ′′ Th ∆′⊥Bψ =∆ ′′⊥Bψ b
ρ ′ và ρ ′′ ch Bϕ d
ρ
ρ′′− ′, ta được
∫
∫ ∫ ′ ′′−∞∞∆⊥
0 0 4
1
, (10.1.29) trong đó
Tích phân theo
{x x }
x m =min ′, ′′
x ′ và x ′′ cho
363 364
Trang 60 0
1
x x
d x x d x x x d x d
x x
x x
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ′′ ′′+ ′ ′′
′
=
′′
Kết quả là
∫∞ ∆
= x B ξ dξ
x
B ( ,ρ) 3 2 ( ,ρ)
∞
− ⊥ µ
η 12 (10.1.30)
a ba của khoả
Như vậy, các thăng giáng mức biên độ tăng tỉ lệ với lũy thừ
ng cách mà một sóng âm đi được Nếu so sánh (10.1.16, 30) suy ra
rằng
) , ( )
,
k
x x
0
2
12 ∆⊥
= (10.1.31) Cho 0ρ= trong (10.1.30), ta nhận được bình phương trung bình
(độ lệch) của thăng giáng mức biên độ
=
≡
〉
1
6
η Bη(x, ) x [ Bµ( ,ρ)] ρ d (10.1.32) Nếu hàm tương quan Bµ được cho, chẳng hạn bằng biểu thức (10.1.17),
thì
3 2
2
1〉 =(8/3) x〈 〉(x/a)
〈η µ (10.1.33)
Để ước lượng tỉ số giữa các bình phương trung bình của thăng giáng
pha và thăng giáng mức biên độ, ta giả thiết rằng
ế vào (10.1.31) Ta được
(10.1.34) bởi vì lý thuyết tia có thể được sử dụng nếu điều kiện ỏa
mãn [10.2, chương 2] Như vậy, trong phép xấp xỉ lý thuyết tia các thăng
giáng của mức biên độ là nhỏ so với thăng giáng pha Thăng giáng pha có
thể khá lớn bởi vì nó tăng lên theo tần số âm (10.1.18)
Trong [10.3] Rytov và nnk đã phân tích chi tiết hơn về các thăng giáng pha và mức biên độ, bao gồm cả trường hợp sóng cầu, trong phép xấp xỉ tia Các công trình của Tatarskii [10.1] và Chernov [10.2] đã khái quát hóa cho trường hợp các thăng giáng mức biên độ lớn
10.2 SỰ TẢN MÁT ÂM BỞI NHỮNG BẤT ĐỒNG NHẤT NGẪU NHIÊN
Sự truyền âm trong môi trường bất đồng nhất ngẫu nhiên đi kèm không chỉ với những quá trình thăng giáng biên độ và pha của sóng âm,
mà còn với quá trình tản mát âm Chúng ta xét sự tản mát sóng với giả thiết rằng tốc độ âm trong môi trường chỉ biến thiên nhẹ so với giá trị trung bình của nó Trong trường hợp này có thể sử dụng phương pháp nhiễu động bé (MSP)
Như bình thường, ta xuất phát từ phương trình Helmholtz
(10.2.1)
ở đây ố sóng tại điểm cố định nào đó và được cho bởi (10.1.1) Nếu chú ý rằng
4 2 1 2
2
a B
Bη ~〈η 〉,∆⊥ ϕ ~〈ϕ 〉/ và th
1 2 2 2 2 0
2 1
2
〈ϕ /η ~(k a /x) ~(a /λx)
x
a2 >>λ th
0 2
2
+
∆p(R) k n (R)p(R) , 0
µ bé, ta biểu diễn p thành tổng
(10.2.2)
ở đây p là trường âm không nhiễu thỏa mãn (10.2.1) với 0
s p p
p= 0 + ,
là trường tản mát bậc một theo µ Thế (10.2.2) vào (10.2.1) và sử dụng (10.1.1) dẫn tới một phương trình cho trường tản mát
R R
2 0
2
0n z p 2k n z p
Nghiệm của phương trình không đồng nhất (10.2.3) có thể biểu diễn dưới dạng [10.8, mục 7.2]
) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
(R
∆
∫
2 0
365 366
Trang 7trong đó tích phân được thực hiện theo thể tích làm tản mát V Ở đây
R
R
G là hàm Green thỏa mãn phương trình Helmholtz
1 1
0 0
1 G R R =−4πδ R−R , (10.2.5)
ơ bán kính của điểm nguồn nằm trong phạm vi thể tích tản mát
10.2.1 Cường độ trung bình của trường tản mát
Ta giả thiết rằng môi trường đồng nhất về trung bình, tức
ững thăng giáng của chỉ số khúc xạ
)
,
( 1
( )
, (R R + 2 2
{ 1 1 1}
1 = x ,y ,z
)
(k k
u
đồng nhất thống kê trong không gian Giả sử trường âm không nhiễ c
cho như một sóng cầu
)
(R
0
0 0
0
0
′
′
R
R k
p ( ) exp(i ), , (10.2.6)
ở đây ơ bán kính của nguồn âm
Hàm Green tả trường của một nguồn điểm trong môi trường
đồng nhất là
0
R là vect
G mô
1
R
′
′
R
R k
G( , ) exp(i ), , (10.2.7)
ở đây R là vectơ bán kính của điểm quy chiếu
Từ (10.2.6, 7) ta nhận được
R R
R R k k
0
0 1
2
) ( )
Nhân (10.2.8) với lượng liên hợp phức của nó, lấy trung bình thống kê
theo tập hợp các hiện của môi trường và đưa ra hàm tương quan cho
thăng giáng chỉ số khúc xạ
1 2 2
〈
ρ) ( ) ( ),
µ
ta nhận được cường độ âm trung bình của trường tản mát
∫ ∫ ′ ′ ′′ ′′
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
〉
〈
≡
V V s
R R R R
kW k
p
0 0
2 2 2
) i exp(
ρ
µ
ở đây
0 2 0 2
0
0 ′′ ′′= R−R ′′ = R −R
′ +
′′
−
′
Ta giả thiết rằng các kích thước thẳng đặc trưng ủa thể tích tản mát là lớn so với quy mô không gian (bán kính tương quan) của những bất đồng nhất và nhỏ so với khoảng cách của nguồn áy thu
l c 0
R và m R k
i gi
ể từ gốc tọa độ 0 nằm trong phạm vi thể tích tản mát (hình 10.2) Vớ ả thiết đó
ể khai triển thành một chuỗi tới bậc bình phương của c ng bé
Giữ lại các số hạng bình phương, ta được
R
R′, ′′ và R0′ , R0′′ có th
ác đại lượ R,2 /R và R,2 /R0
] ) ( [ 12 1 2
1 2
1
R e R
−
≅
R R
] ) (
[ 12 0 1 2 0
1 1 0
1
R e R
+
≅
R R
ở đây e0 ≡−R0/R0 và e≡ R/R là các vect
i R′′ và
ơ đơn vị hướng từ gốc tọa
độ Các khai triển đối vớ ận được từ (10.2.11) bằng cách thế ừ đó ta nh được hàm
0
R′′ nh 2
R cho R1 T ận W
) )(
( ) )(
( )
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
−
⋅
−
0 0
0
1 1
1 1
e u e e
u e u
e e
R R
R R W
(10.2.12) trong đó u =(R1+R2 /2
367 368
Trang 8Hình 10.2 Các tham số để rút ra biểu thức của hệ số tản mát
Ta xét (10.2.10) ở trong vùng xa (Fraunhofer) so với thể tích tản
mát Trong trường hợp này mẫu số của biểu thức dưới dấu tích phân có
thể giới hạn ở những số hạng bậc một của khai triển (10.2.11), còn các số
hạng bình phương trong hàm mũ bỏ qua Khi đó
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
V V
RR
k
2
0
2
2π µ(ρ)exp(iq ρ) R R , (10.2.13)
với c vectơ sóng của sóng tới và
sóng tản mát Tích phân kép theo th ản mát trong (10.2.13) có thể
ước lượng được, trước hết lấ ến ọa độ của tâm
khối) và sau đó theo
0 0
0 k e
k
k
q= − , =k và k=k e là cá
ể tích t
y tích phân theo bi u (t
ρ Vì biểu thức dưới dấu tích phân không phụ thuộc
vào u, tích phân thứ nhất cho thể tích tản mát V Vì hàm ảm
nhanh tới không tại
) (ρ
µ
a
≥
ρ , a là quy mô không gian của các bất đồng
nhất, nên các cận tích phân theo ρ có thể lấy bằng
theo
∞
− và ∞ Tích phân
ρ sẽ xác định một phổ năng lượng của các bất đồng nhất với một độ
chính xác của thừa số
(10.2.14) Kết quả là ta nhận được
(10.2.15) Các điều kiện làm cho những phép xấp xỉ được sử dụng trong khi rút ra (10.2.15) áp dụng được có thể viết thành
3
2 )− ( π ,
∫−∞∞
Gµ(q) (2π) 3 µ( )exp(iq )
) ( )
I s =2 4 0 −2
π
<<
⋅
⋅
−
⋅
<< , ( / ) ( )( ) /R k R u ρ e u e ρ
và tương tự đối với R0 Vì các giá trị đáng kể của ρ có bậc của giá trị cực đại của ậc của ững điều kiện (10.2.16) có thể viết thành
a, và
u có b l, nên nh
R al
R
l/ <<1, /λ << , (10.2.17)
ở đây λ là bước sóng âm Những điều kiện (10.2.17) trùng hợp với (9.3.6) nhận được đối với trường âm tản mát từ bề mặt với độ gồ ghề ngẫu nhiên bé
Phương trình (10.2.15) cũng có thể sử dụng cho một sóng tới phẳng nếu cường độ của sóng tới hình cầu được thay thế bằng cường độ của sóng tới phẳng đó thay vì (10.2.15) ta nhận được
(10.2.18)
10.2.2 Hệ số tản mát khối
Hệ số được định nghĩa như là tỉ số của công suất âm ị tản mát bởi một thể tích đơn vị vào một góc lập thể đơn vị trên hướ
cường độ của sóng tới, tức
(10.2.19) Chú ý rằng ới được xác định bằng (10.2.18), sẽ cho
2 0
1 R/
i
I Khi
)
(q
µ
πk VR I G
I s =2 4 −2 i
v
ng k và
i s
m = / 2
R V I
W s =( s/ ) , v I s
369 370
Trang 9(q
µ
πk G
m v =2 4 (10.2.20)
Từ (10.2.18, 20) suy ra rằng âm tản mát bởi những bất đồng nhất khối có
đặc điểm cộng hưởng Thật vậy, cường độ của trường tản mát ệ
số tản mát ở trong vùng xa được xác định bởi một hợp phần không
gian đơn vớ ơ sóng ủa phổ liên tục của các thăng giáng
chỉ số khúc xạ Bước sóng c ần này là
s
I và h
v
m
i vect q=k−k0 c
ủa hợp ph Λ=2π/q Nếu ta ký hiệu θ là góc giữa các vectơ sóng k và k0, thì
) / sin( 2 2
q= k−k = (10.2.21)
và do đó,
) / sin( 2
2 θ
λ
=
Λ (10.2.22)
θ càng bé thì qu
Ng
y mô của những bất đồng nhất “cộng hưởng” càng lớn
ược lại, đối với quá trình tản mát ngược trở lại (θ =π) thì quy mô bé
nhất Λ=λ/2 là quan trọng
Nếu đo được mối phụ thuộc góc của hệ số tản mát phổ
không gian của tăhng giáng chỉ số khúc xạ có thể được ước lượng theo
(10.2.20) Phương pháp này có ứng dụng thực tiễn trong nghiên cứu rối
khí quyển Trong đại dương việc hiện thực hóa phương pháp này khó
khăn hơn, bởi vì nó đòi hỏi những hệ thống thu phát định hướng cao và
rất ổn định
Bây giờ ta sẽ xét một số trường hợp đặc biệt của (10.2.20)
1) Những bất đồng nhất đẳng hướng Trong trường hợp này hàm
ỉ phụ thuộc vào mô đun
v
m , thì
µ
B ch ρ Trong (10.2.14) chúng ta nên đưa ra
một hệ tọa độ cầu (ρ,α,ϕ), trục cực của nó trùng với vectơ ực
hiện tích phân góc Khi đó
(10.2.23) Cho
ta nhận được tích phân bảng trong (10.2.23) và nếu sử dụng (10.2.20), tìm được
q và th
∫∞
−
= 2π2 1 0 µ ρ ρ ρ ρ
G ( ) ( ) ( )sin( )
) / exp(
)
Bµ ρ =〈µ 〉 −ρ ,
2 2
3 4
4 ) exp[i sin( / )]
m v = − 〈 〉 (10.2.24)
Từ (10.2.24) suy ra rằng trong trường hợp những bất đồng nhất quy
mô bé ường tản mát là đẳng hướng và mối phụ thuộc tần số của nó tuân theo nh luật Rayleigh quen thuộc Đối với những bất đồng nhất quy mô lớn ệ số tản mát có một cực đại sắc nét trên hướng truyền của sóng t
) (ka<<1 tr
k
m v ~ )
(ka>>1 h
ới (θ =0) Độ rộng hiệu quả của nó là
ấy đạo hàm (10.2.240 theo ười ta có thể chứng minh rằng mối phụ thuộc tần số c ột cực đại tại
) /(
ũng có m 1
2
= [kasin(θ / )]
k Khi θ giảm thì cực đại dịch chuyển về phía các tần số cao hơn
2) Những thăng giáng rối Nếu trong khoảng quy mô quán tính
ới mô nội và ngoại (mục 1.4), các thăng giáng của chỉ số khúc xạ trong đại dương được mô tả bằng
“định luật 2/3” của Kolmogorov-Obukhov [10.9, 10], thì
(10.2.25)
ở đây ằng số cấu trúc bằng Thế (10.2.28) vào (10.2.20) cho
(10.2.26)
Ở đây ần số âm tính bằng Hz và ốc độ âm bằng m/s
) / /
(1 L0 <q<1 l0 , v l0 và L0 là các quy
3 11 2 033
, ) (q = C q−
Gµ n ,
n
C là h 66 10 5 1 / 3
m , ⋅ − −
3 11 3
1
03
)]
/ [sin(
) / (
f là t c là t
371 372
Trang 1010.2.3 Tản mát âm bởi những bất đồng nhất không đẳng
hướng có phổ rời rạc
Theo quan điểm hiện nay, những bất đồng nhất khối ngẫu nhiên của
môi trường biển (thăng giáng chỉ số khúc xạ) trong một khoảng quy mô
nhất định có tính bất đẳng hướng cao: các quy mô phương ngang của
chúng lớn hơn quy mô thẳng đứng ần [A.10.1] Thật vậy, môi
trường đại dương giống như những lăng kính mỏng Ngoài ra, chúng ta
giả thiết rằng những bất đồng nhất đó là những bất đồng nhất quy mô lớn
(quy mô của bước sóng âm) xét trong mặt phẳng nằm ngang và quy mô
bé xét theo độ sâu
Nếu tính tới thực tế này, ta biểu diễn hàm tương quan của các thăng
giáng chỉ số khúc xạ trong đại dương dưới dạng [A.10.1]
2.27)
ở đây ăng giáng bình phương trung bình,
3
2 10
10 − l
} , { ),
/ ( ) / ( )
µ ρ =〈 2〉N1 ξ 0 N2 0 ρ= ξ
〉
〈µ2 là th N1(ξ/ξ0) và
)
/
( 0
2 η η
N là c
và theo độ sâu Theo gi
ác hệ số tương quan tuần tự trong mặt phẳng nằm ngang
ả thiết của chúng ta, kξ0 >>1 và kη0 >>1, ở đây ξ0 và η0 tuần tự là bán kính tương quan phương ngang và thẳng
đứng
Một bước quan trọng trong khi xây dựng mô hình bất đồng nhất
ngẫu nhiên là chọn hệ số tương quan của các thăng giáng quy mô lớn Ta
chọn hệ số tương quan dưới dạng
(10.2.28) trong đó
) / ( ) / ( )]
( [ ) /
1 ξ ξ 2 ξ ξ v ξ ξ
v v
K v
) / (ξ ξ0
v
K là hàm McDonald bậc v , Γ(v) là hàm gamma và
là một tham số tự do của bài toán được chọn theo những lập luận vật lý
(xem dưới đây) Hàm loại như vậy đã được Karman đề xuất để xấp xỉ các
hàm tương quan trong lý thuyết rối (xem [10.1]) Theo (10.2.28) những
bất đồng nhất trong mặt phẳng nằm ngang được chấp nhận là đẳng hướng Phổ không gian của chúng được cho bằng
(10.2.29) trong đó
là số sóng phương ngang của các hài cộng hưởng trong phổ thăng giáng, được biểu diễn qua các góc đặc trưng cho những hướng truyền của sóng tới
v
1 1 2 0 2 2
0 0
1
2
⊥
∞
∞
−
⊥)=( ) ∫ ( / )exp(i ) = [ ( + ) ]
2 1 0 0
2 0
)]
cos(
cos cos cos
[cos χ + χ− χ χ ϕ−ϕ
=
⊥ k q
) , (χ0 ϕ0 và sóng tản mát (χ,ϕ) Với điều kiện 1 ổ có dạng
mũ của nó không phải là tích phân tại một số giá tr ới
ất này của các bất đồng nhất quy mô n chứng tỏ bản chất rời rạc của chúng [A.10.2-4] Kích thước rời r ề mặt
2
0 >>
⊥ )
~ )
⊥
⊥ q v q
ị v (chẳng hạn v
25 0,
=
ạc b D của những bất đồng nhất này được cho bằng công thức
d
D=γ +2 , (10.2.30) trong đó γ là số mũ trong biểu thức của phổ và ước của không gian cắt (embedding space) [A.10.4] Chú ý r ường hợp này kích thước của không gian cắt là ừ (10.2.30) với
nhận được
d là kích th ằng trong tr 2
=
5 1,
=
ất đồng n ảng q ] cũng nh ntschel và Pr mây trong kh
i Theo các tính toán này, kí ảng
ưu ý rằng nhiều môi trường và đối tượng tự nhiên
có cấu trúc b hất, không trật tự và có những tính chất rời rạc trong một kho uy mô rộng Bề mặt biển dậy sóng, đáy đại dương [A.10.4, 5 ư mây khí quyển là những môi trường rời rạc [A.10.6] He ocaccia [A.10.6] đã tính toán kích thước rời rạc của các biên í quyển trong khuôn khổ lý thuyết khuếch tán rối tương đố ch thước của biên mây nằm trong phạm vi kho 1,37< D<1,41 Những bất đồng nhất dưới dạng các
373 374
