CƠ SỞ ÂM HỌC ĐẠI DƯƠNG ( BIÊN DỊCH PHẠM VĂN HUẤN ) - CHƯƠNG 7 pps

Tuy nhiên, đôi khi chúng ta cần khái quát hóa lý thuyết này cho trường hợp các đặc trưng của sự dẫn âm trong đại dương biến thiên với khoảng cách theo phương ngang.. Cụ thể, điều này cần

Chương 7

SỰ DẪN SÓNG PHỤ THUỘC KHOẢNG CÁCH

Ở những chương trước chúng ta đã xét sự truyền âm trong đại

dươn

t đã phát triển ở trên có được rất nhiều ứng dụng thực tiễn

Tuy nhiên, đôi khi chúng ta cần khái quát hóa lý thuyết này cho trường

hợp các đặc trưng của sự dẫn âm trong đại dương biến thiên với khoảng

cách theo phương ngang Cụ thể, điều này cần thiết khi:

a) âm truyền ở vùng ven bờ, nơi độ sâu biển biến thiên một cách

đáng kể;

b) các sóng âm đi ngang qua những đới front trong đại dương, ví dụ,

những hải lưu như Gulf Stream, Kurosyo v.v

c) âm truyền trên những khoảng cách lớn cỡ hàng nghìn km Biến

đường truyền nằm trên hướng kinh tuyến

Lý thuyết truyền âm đối với một trường hợp tổng quát của môi

trường có các đặc trưng biến thiên dọc theo ba tọa độ còn chưa phát triển

một cách đầy đủ Nhưng có một tình huống làm cho vấn đề trở nên dễ

dàng hơn trong trường hợp của chúng ta, cụ thể là khi các đặc trưng của

ống dẫn sóng đại dương trên hướng ngang biến thiên chậm Khi đó,

vào khoảng cách Sự tồn tại của những tham số nhỏ như vậy sẽ làm cho

Bây giờ ta xét sự dẫn sóng âm trong đại dương, khi tốc độ âm iến thiên không những theo độ sâu, mà còn theo cả khoảng cách

ệm của phương trình Helmholtz đối với áp suất âm

(7.1.1) với những điều kiện tương thích lân cận nguồn, tại các biên và ở vô cùng Hiện tại chúng ta chấp nhận rằng đáy và bề mặt đại dương phản xạ lý

Chúng ta sẽ chấp nhận rằng, đối với sự dẫn sóng quy chiếu tương ứng với một

g nơi có độ sâu, các đặc trưng âm học của đáy biển và trắc diện tốc

độ âm c ( z) trong nước không thay đổi dọc theo đường truyền Nhiều khi

đây là một phép xấp xỉ tương đối tốt đối với một tình huống hiện thực và

vì vậy, lý thuyế

)

( z

c

chúng ta có thể đưa ra những tham số nhỏ tương ứng như: độ nghiêng

đáy nhỏ hoặc tỉ số nhỏ giữa građien phương ngang và građien phương

lý thuyết đơn giản đi một cách đáng kể

Hiện nay có ba phương pháp phân tích sự truyền sóng trong những môi trường như thế đã được phát triển tương đối tốt - phương pháp dẫn sóng quy chiếu, phương pháp phương trình parabolic và phương pháp tia

7.1 CÁC THỨC CHUẨN TRONG MÔI TRƯỜNG PHÂN L

) , (z r

ỚP HOÀN TOÀN: PHƯƠNG PHÁP DẪN SÓNG QUY CHIẾU

) , (z r

phương ngan r ={x, y}, m

) , ( / ) , ( , ) ,

k

1

r

r =

r, tr

ng đứng của nó được cho bằng hàm c ( z, )

r, h=h (r) Nh ứng với điểm r1 có một đáy nằm ngang tại độ sâu h=h(r1)

r bất kỳ sẽ có một hệ đầy đủ các hàm riêng trực giao

, , ), ,

mãn phương trình

[ 2 2] 0 2

2

=

−

l

z k dz

d

ψ ξ

ψ

) ,

với các điều kiện biên tại đáy và mặt Ở đây ξl =ξl (r) là những giá trị

riêng của dẫn sóng quy chiếu tại r

235 236

Về nguyên tắc, trường bất kỳ phụ thuộc vào z đối với ã cho có

r đ

ủa các hà

l

ψ Do đó, ta biểu diễn nghiệm của (7.1.1) dưới dạng

∑Ψ

=

l

l

z

p( ,r) (r)ψ ( ,r) (7.1.3) các

cách Có thể kỳ vọng rằng, trong trườ

hàm biến thiên chậm của

hệ số khai triển được cho bằng l B lH1)(ξl r)

0

=

ng hợp của chúng ta, B l là những

r Thế (7.1.3) vào (7.1.1) và bỏ qua các đối số của hàm để cho ngắn

gọn, ta được

∑

∂

∂ Ψ

=

∂

∂

l

l l

z z

p

2

2 2

=

∇

≡

∂

∂

+

∂

∂

l

l r l l r l r l r l

r p y

p x

2

2 2

2

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

∂

∂

∂

∂

=

∇

y x

r , (7.1.4) Giả thiết rằng các hàm ψl là trực giao, tức

∫h l m dt= l m

phân theo z từ 0 tới ẽ cho tập hợp các phương trình vi phân kép:

5)

Phương trình này sẽ là cơ sở của phương pháp dẫn sóng quy chiếu

Phương trình tương tự đối với trường hợp sóng điện từ do

Katzenelenbaum [7.1] thu được lần đầu tiên Trong trường hợp sóng âm

phương trình này là do Pierce [7.2] và muộn hơn là Milder [7.3] nhận

được và đã được các nhà nghiên cứu áp dụng nhiều lần Chwieroth và nnk [7.4] đã xét chi tiết trường hợp trắc diện tốc độ âm theo phương thẳng đứng có dạng parabon

Vế phải của (7.1.5) sẽ nhỏ nếu các tính chất của ống dẫn sóng biến thiên đủ chậm theo khoảng cách phương ngang Nếu ta chấp nhận rằng vế phải bằng không, các phương trình cho những thức chuẩn sẽ không cặp đôi Mỗi thức chuẩn truyền trong ống dẫn sóng một cách độc lập với

ữa các thức bị bỏ qua thường được gọi là xấp xỉ đoạn nhiệt

hải lưu ý rằng sự kết hợp giữa các thức có thể xảy ra do những điều kiện biên, như trong trường hợp một đáy nghiêng

7.2 XẤP XỈ ĐOẠN NHIỆT: BẤT BIẾN TIA

ể đơn giản, ta xét một bài toán có đối xứng hình trụ, tức tốc độ âm

h s

∫

∑

∫

−

= Ψ

+

l l l

r m l

l r m

m

nhau, thích ứng với những điều kiện biến đổi trong ống dẫn sóng Phép xấp xỉ trong đó sự tương tác gi

P

Đ ) ,

xấp xỉ đoạn nhiệt

r Khi

0

= Ψ +

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

Ψ

∂

∂

∂

m m

r

r r

trình

) ( )

m m

r

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

−

4

1

ξ

" (7.2.2)

đối với

quan tâm tới một nghiệm của phương trình c 1

>>

r

m

ta nhận được phương trình cho

(7.2.3)

m

F

m m

F" =−ξ2( )

237 238

Nghiệm của phương trình này trong phép xấp xỉ WKB, như có thể thấy

nếu so sánh với (6.7.1), là

(7.2.4)

Nếu chú ý tới tất cả các thức chẩun, chúng ta nhận được cho áp suất

âm (7.1.3)

(7.2.5) Đối với trường hợp ống dẫn sóng đồng nhất theo phương ngang,

được cho bằng (6.4.11) Nếu giả thiết rằng

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

m m

m

F

0 2

1 ( )exp i ( ) )

m

A là

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

l

r l l

l

A r

z p

0 2

ξ

ψ ( , )( ) exp i )

,

) , (z r p

1

>>

r

l

của hàm Hankel có thể được sử dụng, thì (6.4.11) trở thành

(7.2.6)

−

=

l

l l

l

r

z

p( , ) ( /π) / exp( iπ/ ) ψ ( )ψ ( )(ξ ) 1/2exp(iξ )

1 2

hiên c

số Vì vậy, đối với những khoảng cách đó (7.2.5) và (7.2.6) phải bằng

nhau Vì với các hằng số ξl

∫r l dr= l r

ta nhận được

(7.2.7) trong đó

) , ( ) / i exp(

) /

z

) ( ) , (z1 0 l z1

ới nguồn (r=0) Bây

−

=

l

l l

r z

) ( , ( ) , ( ) / i ( exp ) / ( ) ,

ột hàm riêng phương thẳng đứng trong

thành

⎜⎜

⎝

0

ξ

i exp (7.2.8) Chúng ta nhớ lại rằng

⎟⎟

⎠

⎞

)

(r

l

ống dẫn sóng quy

ững giá trị riêng của phương trình

trước

7.2.1 Bất biến tia

Khi nhận (7.2.8) chúng ta đã sử dụng phép xấp xỉ WKB đối với nghiệm của phương trình khoảng cách (7.2.3) Tiên đề của chúng ta rằng các tính chất của môi trường trên hướng ngang biến thiên chậm thông thường có thể xem là hoàn toàn đúng.20 Đối với những trường hợp khi ống dẫn sóng đủ rộng trong hướng thẳng đứng và số thức lan truyền đủ lớn, phép xấp xỉ WKB cũng có thể được sử dụng để giải phương trình độ sâu, tức thủ tục mô tả ở mục 6.6 có thể áp dụng Các giá trị riêng

r cho

l

ξ có thể tìm được bằng cách sử dụng tích phân pha trong trường hợp này Ví

dụ, đối với một ống dẫn sóng bên trong, nhờ (6.7.12) chúng ta có

(7.2.9)

thành bằng không) cũng như

[ ( , ) / 2]1/2 ( 1/2)

0 2 2

0∫′′′ n z r − k dz= l+

l

z

l

z′ và z l′′ (t 0

k và ξl phụ thuộc vào Trong mục 6.7 đã cho thấy rằng có một hệ thống các tia tương ứng

r

239 240

20 Nhớ lại rằng chúng ta đang xét một bài toán đối xứng trụ với một sơ đồ tia khá đơn giản trong mặt phẳng ngang Trong những trường hợp phức tạp hơn, khi các tia trong mặt phẳng ngang có thể hình thành vùng tụ tia (mục 7.3), thì pháp xấp xỉ WKB phải được cải biên

với từng thức chuẩn lấy trong phép gần đúng WKB Trong ống dẫn sóng

t phương ngang góc mà những tia này làm thành với trụch kênh

= ) là

đồng nhấ

(z=z0,c c0 χl ≡χl(z0)= arccos(ξl/k0) Đối với những độ

sâu khác, một góc tương tự χl ( z) được xác định thông qua χl b

i ống d

ằng định luật Snell (6.7.23) Hoàn toàn tương tự trong trường hợp vớ ẫn

sóng có những tính chất biến thiên chậm theo khoảng cách ngang, nhưng

trong đó χl và χl ( z) còn phụ thuộc vào r Tuy nhiên, chúng vẫn liên

hệ với nhau bằng (6.7.23), tức là

) ( cos ) , ( cos ) ,

a trên biểu diễn tia, người ta có thể tưởng tượng ngay được môi

trường phải biến thiên chậm như thế nào theo khoảng cách phương ngang

để cho phép gần đúng đoạn nhiệt là đúng Tõ ràng cần thiết biến thiên của

các đặc trưng ống dẫn sóng phải nhỏ trên độ dài chu trình tia Nói cách

khác, một chu trình tiếp sau phải chỉ khác một ít so với chu trình trước

đó Những lập luận định lượng này sẽ được nêu ra muộn hơn, nhưng bây

giờ chúng ta viết (7.2.9) thông qua các tia Nếu thế

r đượ

Dự

) ( cos

ξ 0 = vào (7.2.9) và cũng sử dụng (7.2.10), ta được

l

z z

l

l dz

r z c

r z

) / ( / ( )

, (

) , ( sin

2 1

ω π

vế trái cũng là hằng số Đây là một kết quả quan trọng, nó biểu thị một

trong những “định luật bảo toàn” đối với phép gần đúng đoạn nhiệt

Các góc

r, nên tích phân

)

(r

l

χ và χl(r, z) biến đổi gián đoạn theo y nhiên,

nếu số lượng các thức chuẩn là lớn, thì sự biến đổi này có thể xem như

liên tục Trong trường hợp đó chỉ số không cần thiết và (7.2.11) có

thể được viết dưới dạng

l Tu

l là

const )

, (

) , ( sin

=

r z c

r z

Tích phân được lấy trên toàn chu trình tia Đại lượng I

n

được gọi là bất

biến tia Nó có thể được liên hệ với thời gian di chuyể T của một sóng

âm trên chu trình và khoảng cách chu trình D Nếu bỏ qua các đối số

trong χ(z,r) và c(z,r) để cho ngắn gọn, chúng ta có (2.31, 4)

∫

=

χ

sin

dz D

c

dz

Theo định luật Snell, ta có

0

0

c c

χ

χ cos cos

âm và góc mở của tia trên trục ống dẫn sóng Sử dụng định luật này, ta có đồng nhất thức hiển nhiên

χ

χ χ

χ

tg

cos sin

0

0 ⋅

−

=

c c

Tích phân biểu thức cuối cùng trên chu trình tia và sử dụng (7.2.13), ta được

qD T

I= − , (7.2.14) trong đó

v c

0 0

=

z

ần phương ngang của tốc

độ pha của một sóng chạy dọc theo quãng đường tia, nó bằng tốc độ âm tại các độ sâu quay ngược lại z= ho′ ặc z= z′′, nơi 0χ =

T và D như sau:

Ta biểu diễn

dz q

c q D dz q

c c

T =∫ −2( −2 − 2)−1/2 , = ∫ ( −2 − 2)−1/2

và sau khi chú ý tới quan hệ hiển nhiên

241 242

dD q dq

ta nhận được

D dq

dI

−

Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng tỉ số D / T bằng thành phần phương ngang

của tốc độ nhóm u=dω/dξ Phương trình (7.2.11) có thể được viết lại

thành

const

=

I

Lấy đạo hàm phương trình này theo ξ và chú ý rằng q=ξ/ω và

ω

ξ

qu

d

dq =1−

, ta tìm được

T

D dq

dI q I dq

dI

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

Bây giờ bất biến tia có thể biểu diễn như sau;

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

v u D

Khái niệm về bất biến tia có lợi về nhiều phương diện Ví dụ, sử

dụng nó, người ta có thể nhận được χ0(r), góc mở của tia tại trục kênh

[7.5] hình thành lần đầu tiên

Chúng ta đã chứng minh một cách chặt chẽ sự không đổi của

r Khái ni

I đố hoàn

ý n

i với bài toán đối xứng trụ Nhưng rõ ràng là giả thiết đối xứng trụ

toàn không cần thiết, và kết quả có thể áp dụng cho trường hợp tùy ếu

phẳng đó không rời khỏi nó, tức sự khúc xạ phương ngang của tia có thể

bỏ qua

7.2.2 Một ví dụ về sử dụng bất biến tia

(7.2.15)

kỳ của

z

r, sao

)

(r

h

0

=

) ( ),

c

s

r

s

c và a k

thấy rằng từ một ất định vùng tối âm bắt đầu xảy ra lân cận bề mặt

Độ rộng của vùng đó tăng lên với khoảng cách Ta sử dụng bất biến tia để xác định những điều kiện hình thành vùng tối và quy luật mở rộng của

nó

r nh

Hình 7.1 Sơ đồ tia của sự truyền âm trong đại dương với đáy nghiêng và građien tốc độ âm âm Độ sâu

1

4 −

−

nguồn là z1 = 75m, φ = 30', a= , 2 10

243 244

Hình 7.2 Chu trình đầy đủ của một tia khúc xạ xuống phía dưới

ố định nào đó là một lớp phẳng tại một độ sâu tuân theo (7.2.15) với ằng số ta ước lượng bất biến

tia đối với tia được biểu diễn trên hình 7.2 Ta có

Ống dẫn sóng quy chiếu đối với r c

a là h

∫

c

I

'

sinχ

2 (7.2.16)

Ta sẽ sử dụng χ làm một biến tích phân thay cho z Theo định luật

Snell, ta có

h

h

c z

c

) (

) ( cos

= (7.2.17)

ở đây χh và c h tu

c (bỏ

ần tự là góc mở và tốc độ âm tại đáy Đạo hàm (7.2.17), ta đượ qua các đối số trong χ( z) và c ( z))

dz ac c

dz dz

dc c

h h h

χ χ

Nhờ (7.2.17, 18) (7.2.16) trở thành

∫

d ac

I

s

χ

χ χ χ

0

2

sin

h

χ

tg ∼sinχ∼χ và lấy tích phân, ta được

(7.2.19)

vào

const )

=2 3ac s − 1 3h

a và c s không

r, góc χh m

u biế

à tia làm với mặt phẳng ngang tại đáy là không đổi đối

Từ (7.2.17), chú ý rằng

)

(r

h

=

′

−

=

′

=

χ

)

c s 1− và χh , z a ′, ah nhỏ, ta còn tìm được

trong đó độ sâu quay ngược lại của một tia (hình 7.2) Nếu tiệm cận

ơi độ sâu quay ngược lại trùng với bề mặt

)

a

z′ là

0

h

0

r

0 0 2

dưới dạng

Từ đây, ta tìm

) ( 0

2 3 0 0

1 0 0 3 1 0 0 3

0

/ ) ( ) ( )

( )

3 1 0 0 0 0 2

/

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

s

s h

c a

ac h a

c cho z′ - độ sâu của vùng t

ếu thế biểu thức này vào

(7.2.21)

(7.2.22) tức biên phía dưới của vùng tối phỏng theo trắc diện đáy ở một khoảng

với đáy phẳng nghiêng)

3 2 0 3

1 0

0(a /a)/ (c s/c s ) /

h h

a và c s là h

0

h r h r

z′( )= ( )− ,

0

h bên trên Trong những trường hợp hiện thực,

245 246

Độ sâu ể dễ dàng xác định được, nếu ta xét bất biến tia đối

và từ bề mặt nước Trong trường hợp ấy độ sâu nguồn và góc apectua

định hướng của nguồn phải được chỉ định Một tia rời khỏi nguồn với góc

mở cực đại sẽ xác định vùng tối mà biên của nó vừa được tìm Để áp

dụng bất biến tia cho các trường hợp phức tạp hơn, hãy xem bài báo của

Harrison [7.7]

7.2.3 Những điều kiện áp dụng của xấp xỉ đo n nhiệt và bất

biến tia

Bây giờ chúng ta sẽ rút ra những điều kiện để có th bỏ qua vế phải

của (7.1.5) Chúng ta sẽ không bậc đại lượng của nó bằng cách chỉ giữ lại

0

h có th

0

h

h< (t r < ), nr0

ạ

ể 1 +

= m

ất Ngoài ra, n

r bằng ∂ ∂x

m

Ψ một phương trình

1 2

2 2

2

+

=

∂

Ψ

∂

−

= Ψ +

∂

Ψ

∂

m l x

S x

l ml m

m m

,

ở đây

∫ ∂∂

x

S ml ψm ψl (7.2.24)

lượng trong phép gần đúng WKB (tới độ chính xác của một thừa số

không đổi)

Lại một lần nữa trong phạm vi độ chính xác một bậc độ lớn

l

Ψ có th

−

=

Ψl ξl1/2exp i ξl dx

(i )~ exp(i ) exp

∫

∂

Ψ

Thế (7.2.25) vào (7.2.23), ta nhận được phương trình quen thuộc cho các dao động cưỡng bức của bộ phát dao động điều hòa với nghiệm, có thể dễ dàng kiểm tra, là

) i ( exp

~

/

x

S

l l

m

l ml

ξ ξ

ξ

2 2

2 1 2

−

m

Ψ là hiệu chỉnh cho thức chuẩn thứ do nó tương tác với thức thứ

2 1/

−

m

m , t

1

2

2 2

2 1 2 1

<<

m

m l ml

S

ξ ξ

ξ

ξ / /

(7.2.26)

được

1 +

= m

D

l

tương ứng Kết quả là, điều kiện (7.2.26) áp dụng xấp xỉ đoạn nhiệt có thể viết thành

(7.2.27) Việc ước lượng

1

<<

D

ml

S và D trong từng trường hợp cụ thể không khó

Tuy nhiên, ít nhất là đối với các thức chuẩn những số hiệu thấp

có thể ước lượng được một cách tổng quát Thật vậy, trong (7.2

ml

.24) ta có

M

ψ ∂

trường Đại lượng ∫ψmψl dz không lớn hơn một chuẩn của các hàmψm

và ψl, tức đơn vị Do đó, (7.2.27) có thể viết lại thành

1

<<

M

D / , (7.2.27’) tức khoảng cách chu trình của tia phải nhỏ so với quy mô biến thiên

247 248

phương ngang của môi trường - điều kiện đã nhắc ở trên Ta xem xét điều

kiện này cho một số trường hợp cụ thể, ước lượng D sử dụng biểu thức

xấp xỉ

(7.2.28)

ng đồng nhất độ sâu biến thiên và đáy cứng tuyệt đối Đại

) /(

~ )

1) Đại dươ

(7.2.29)

2) Dẫn sóng tuyến tính bề mặt Trường hợp này đã được xét ở mục

6.6 khi ằng số Bây giờ chúng ta có thể loại bỏ hạn chế này và đặt

thành

(7.2.30)

nó trùng với công thức trong sách của Brekhovskikh [7.8, phương trình

(53.36)] thu được bằng một phương pháp khác Nhờ (6.6.11), điều kiện

cuối cùng giản ước thành

(7.2.30’) Như ta thấy, trong trường hợp này xấp xỉ đoạn nhiệt sẽ càng chính xác

hơn nếu tần số càng cao

3) Ống dẫn sóng bên trong với một trắc diện parabon phụ thuộc

khoảng cách

) (1

O

) (k0h2 O

1 2

0h M<<

0

k càng bé), t

a là h

)

(r

a

l

ξ

)

(1

O

1 2

0H M<<

1 3 1 2

0 / >>

) (k a

) ( ,

) ,

h

z k

z x

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

2 2

0

2

4

1

y

ng trình (52.45)] ta có

(7.2.32)

(7.2.33)

ở đây tần số hoàn toàn không hiện diện

7.2.4 Các thức kết hợp

Bây giờ chúng ta nhận nghiệm của phương trình (7.1.5) cho phép sự tương tác giữa các thức và chúng ta giới hạn thảo luận ở bài toán đối

Brekhovskikh [7.8, phươ

) / ( /

2 0

2 =k − k h l+

l

)

(h

O

1

<<

M

)

(r

F n t ξn r >>l, (7.1.5) sẽ có dạng

) ( )

dr

d S T r

F dr

d

m m

n

mn mn n

≠

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

2

2

một chiều bởi nhân tử 2)

Theo gương McDaniel [A.7.1], ta biểu diễn mỗi thức như một tổng của một hợp phần truyền tiến lên và một hợp phần tản mát ngược lại:

∫

,

m r n mn

m r n mn

mn

) i ( exp )

i ( exp )

trong đó

0 ξ ( )

Đưa ra hai hàm mới u n và v n (thay cho một hàm duy nhất F n), ta

249 250

cho chúng thỏa mãn điều kiện

0

=

−

) i

dr

dv r dr

du

n n

n

Thế (7.2.25) vào (7.2.24) và chú ý tới (7.2.36), ta nhận được

=

−

) i (

dr

dv r

ξ

[u exp(i r) v exp( i r)

d n

ξ ξ

ξ

∑

≠

+

n m

m m

m m

mn

∑

−

n m

m m

m m

mn n

m

r v

r u

ξ

Giải đồng thời các phương trình này sẽ cho

∑

=

n

m

m m

nm m

m nm n n

r v

C r u

C r dr

du

) i ( exp )

i ( exp )

i (

2

1

(7.2.38)

và

∑

−

=

n

m

m m

nm m

m nm n n

r v

C r u

C r dr

dv

) i ( exp )

i ( exp )

i (

2

1

, (7.2.39)

mn

C và (2 )

mn

⎩

⎨

⎧

≠

=

= +

=

m n

m n T

S dr

d

n

m nm n nm n n

mn

,

, ,

i )

(

0

1 1

1

ξ

ξ ξ

δ

ξ

m

Bỏ qua các sóng tản mát trở lại, ta nhận được một phương trình tương đối đơn giản đối với

) 1

mn

)

( 2

mn

C

)

(r

u n :

∑

=

n m

n m m

nm n

r u

C dr

du

) (

i exp

1 2

1

(7.2.40)

Khi đã tìm được nghiệm của phương trình này và thế nó vào (7.2.39), ta được phương trình đối với các sóng tản mát trở lại

Với tư cách làm ví dụ, ta xét sự truyền âm trong đại dương với độ sâu biến thiên trơn đều [A.7.1] Đối với những độ nghiêng đáy bé, đặc trưng cho các vùng thềm, sự tương tác giữa các thức là yếu và hệ số kép

và các số sóng từng thức có thể xem là bất biến với khoảng cách Chấp nhận rằng chỉ một thức (thứ nhất) là được kích thích từ ban đầu Sự truyền của thức thứ nhất sẽ kéo theo sự kích thích các thức cao hơn; sự

phương trình

n (n≠0)

u C dr

du

n n

n

) (

i exp

1

(7.2.41) Đối với những giả thiết đã nhắc tới ở trên về các tham số của bài

(7.2.42)

ở đây

0

0)= (

n

n

u có th

) / ( sin ) i ( exp )

1 1

1

C r

251 252

n

κ 1 = 1− T

ến thiên tuần hoàn v

ừ (7.2.42) suy ra rằng biên độ của thức bậc cao

1

)

(r

u n

độ dài h 1

n

r =π /κ T

độ ban đầu củ

ỉ số của biên độ đỉnh của một thức bậc cao hơn trên biên

a thức thứ nhất u n(π/κn1 /u1(0) đặc trưng cho độ lớn của năng lượng trao đổi giữa các thức

Bây giờ hãy thế (7.2.42) vào (7.2.39) và rút bỏ khỏi vế phải những

số hạng mô tả các thức tản mát trở lại bởi vì các biên độ của chúng trong

trường hợp biến thiên độ sâu trơn đều ít quan trọng hơn so với những

thức truyền trong hướng tiến lên Lại chấp nhận rằng chỉ có thức thứ nhất

là được kích thích từ ban đầu Phương trình (7.2.39) khi đó có dạng

u C dr

dv

n n

n =− 11) 1exp i(ξ1+ξ ) 2

1

(7.2.43) Cho tuân thủ điều kiện biên v n ( R)=0, nghiệm của phương trình này là

[ 1 2] [ 1 2]

1 1 1

1

)

(7.2.44) trong đó κ′n1 =ξ1+ξ2

Các kết quả tính toán số về các đặc trưng khác nhau của những thức

thứ nhất và bậc cao hơn được trình bày trong [A.7.1]

7.3 CÁC TIA TRONG MẶT PHẲNG NGANG

Một tham số ξl ở trên hay đề cập đến là số sóng phương ngang của

thức chuẩn thứ l Tốc độ pha của thức này trong mặt phẳng ngang là

l

l

v =ω/ξ Ở các chương 5 và 6 ξl và, do đó ác hằng số Trong

chương này,

l

v , là c

l

thuộc vào

} , {x y

=

c độ truyền ph

r

Đối với môi trường này, chúng ta có thể định nghĩa chỉ số khúc xạ

) ( / ( ) ( /

(

)

ử rằng một nguồn

dọc theo các vectơ bán kính

truyền sóng trong một môi trường như vậy Ví dụ, giả s

0

=

)

(r

n

r Thay đổi pha trên mỗi tia là

tuân theo định luật lan tỏa tia Đối với trường hợp tổng quát chúng ta có thể phát triển một lý thuyết tia sử dụng các kết quả 2.6 với phiên bản hai chiều của chúng Cụ thể, quỹ đạo tia có th tìm như là các nghiệm của phương trình eikonal (2.6.3), sau đ (2.6.5) hoặc các nghiệm của phương trình (2.6.7) Hiệu pha giữa các

ọc theo tia là

xác định từ định luật lan tỏa tia của các tia Trong công trình của Burridge và Weinberg [7.9] đã dẫn lập một cách chính xác lý thuyết tia đối với các thức chuẩn trong mặt phẳng ngang

7.3.1 Trường hợp vùng ven bờ

Với tư cách một ví dụ, ta xét sự khúc xạ phương ngang của các thức chuẩn trong vùng ven bờ Giả sử rìa của vùng (đường độ sâu bằng không) trùng với trục

∫ l dr

0ξ

)

(r

n

n= của mục

ể được

ó sử dụng điểm 1

r và r2 d

∫ 2 1

r

r ξl(r)e(r)dr,

e là vect

x và độ sâu biển tăng tỷ lệ với tọa độ y , tức với khoảng

từ rìa cách tính h=ε y,ε <<1 Giả sử đáy rắn tuyệt đối và tốc độ âm trong nước không đổi Theo (5.3.5), ta có đối với

c

)

( y

l

ξ

c k l

y k y

/

ω ε

π

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

2 1 2

2

Giả sử nguồn nằm ở điểm x= ,0 y= y0, nơi độ sâu biển là h0 = ε y0 Khi đó bình phương của chỉ số khúc xạ ứng với điểm này sẽ là

=

)

253 254