CƠ SỞ ÂM HỌC ĐẠI DƯƠNG ( BIÊN DỊCH PHẠM VĂN HUẤN ) - CHƯƠNG 6 pdf

Giả sử tốc độ âm tại các biên của kênh âm ngầm là dụ, trường hợp biểu diễn trên hình 1.2 và ại độ sâu nguồn.. Tuy nhiên, các sóng âm lan truyền trong kênh âm ngầm có thể được ghi nhận t

Ở đây f′′(0) là đạo hàm bậc hai theo χ1 Sử dụng (5.6.4), ta tìm được

00

(

)(ln)

(

c

c D

V f

h h h h

χχ

χχ

m

h h

h

h D

V f

χ

χχ

)(ln)

Nếu thế (5.6.12-15) vào (5.6.3) và lấy cận trên bằng vô cùng, ta nhận

được

})]

([

exp{

)sin()]

1 3

2 1

2

D f

Định luật suy yếu một lần nữa lại trở thành ưng với một sự suy

yếu bổ sung do hấp thụ ở đáy

Công thức (5.6.16) sẽ không đúng đối với ớn, khi đó chỉ có một

hay một số ít các thức còn giữ lại Giá trị ước l ủa ực đại

cho phép được thực hiện chỉ trong trường hợp lớp đồng nh ng các

giá trị có nghĩa của

giá trị có nghĩa sẽ có ức Đòi hỏi rằng số này

phải lớn hơn nhiều so với đơn vị quyết định điều kiện

[r f′′(0)]−1/2(4h/πλ) th

)(

)/(0

f

h

r m << πλ (5.6.17)

Chúng tôi phải nhận xét rằng (5.6.16) cũng sẽ không đúng nếu như

nguồn và máy thu nằm ở cùng một độ sâu Khi đó

1→

χ Weston [5.9] đã có những nghiên cứu tỉ mỉ về các định luật suy

KÊNH ÂM NGẦM

Kênh âm ngầm (USC) là một ống dẫn sóng tự nhiên điển hình

Những kiểu phân tầng đại dương dẫn tới sự hình thành kênh âm ngầm đã

được đưa ra ở mục 1.2 Lý thuyết truyền âm trong kênh âm ngầm sẽ được

giới thiệu ở đây

6.1 LÝ THUYẾT TIA ĐƠN GIẢN CỦA KÊNH ÂM NGẦM: HỆ SỐ

BẪY SÓNG CỦA KÊNH ÂM NGẦM

Chúng ta bắt đầu bằng việc rút ra biểu thức cho hệ số bẫy năng

lượng âm của một nguồn điểm đa hướng - một đặc trưng quan trọng của

kênh âm ngầm

Giả sử tốc độ âm tại các biên của kênh âm ngầm là dụ,

trường hợp biểu diễn trên hình 1.2) và ại độ sâu nguồn Tất

cả các tia rời khỏi nguồn với các góc mở trong k

luật Snell

b m c

π

χπϕχχ

c

c c

K nhỏ, thường là

b

b c

c

c − 1 nhỏ hơn hoặc xấp xỉ bằng 0,03 và do đó, χm nhỏ hơn hoặc xấp xỉ bằng 15o, K

nhỏ hơn hoặc xấp xỉ bằng ẳ Tuy nhiên, các sóng âm lan truyền trong kênh âm ngầm có thể được ghi nhận tại những khoảng cách nhiều nghìn kilômet cách các nguồn

6.1.1 Mô hình “tuyến tính” của kênh âm ngầm

Các đặc trưng của kênh âm ngầm được xác định bằng trắc diện tốc

độ âm ất nhiều kiểu trắc diện như vậy Tuy nhiên, nhiều đặc điểm tr âm trong kênh âm ngầm có thể có thể nhận được trên cơ sở các trắ ô hình” đơn giản Các bức tranh tia đối với một số trắc diện như ã được phân tích kỹ trong bài báo của Pedersen và White [6.1] chúng ta sẽ xét mô hình đơn giản nhất, giả thiết rằng tốc độ âm tă ến tính với độ sâu từ bề mặt xuống tới đáy Một mô hình như thế mô tả định tính về những đặc điểm chính của sự truyền âm trong kênh âm ngầm, bởi vì tốc độ âm thực tế tăng tuyến tính với độ sâu ở các vùng khơi đại dương tại những độ sâu lớn (ví dụ, ở Đại Tây Dương t ng độ sâu hơn 1,5 km) Mô hình tuyến tính lần đầu tiên được đề xu 6.2] để mô tả kênh âm ngầm ở biển Nhật Bản do các nhà khoa học ện năm 1946 [6.3] độc lập với các nhà khoa học Mỹ, nhữ ười trước đó đã phát hiện kênh âm ngầm ở Đại Tây Dương Ở biể t Bản phụ thuộc tuyến tính được quan trắc thấy

từ những độ sâu 200-300 m đến đáy (khoảng 2 km ở các vùng khơi) Sự

)

( z

c Có ruyền

c diện c ( z) “m thế đ

Ở đây

ng tuy cho phép

ại nhữ

ất [ Liên Xô phát hi

ng ng

uôn nhỏ,

185 186

phân tầng tương tự có mặt ở biển Hắc Hải Mô hình tuyến tính còn có ích

trong lý thuyết về kênh âm mặt

Hình 6.1 Các tham số để tính tia đối với trắc diện tốc độ âm tuyến tính

Giả sử độ sâu đại dương là

(6.1.4) Như thường lệ, độ sâu của nguồn, còn

ần tự là các tốc độ âm tại độ sâu nguồn và tại đáy

ệu

h và

h z az

c z

c( )= 0(1+ ), 0≤ ≤

1

z là c1 =c0(1 az+ 1) và )

( ah

c

c b = 0 1+ tu

(hình 6.1a) Ta ký hi χ0,χ1 và χ là các góc mở của một tia tại các

tầng mặt, nguồn và máy thu (hình 6.1b) Theo định luật Snell, chúng liên

hệ với nhau bằng các phương trình

c c

là “các tia kênh” Các tia không bị bẫy, truyền đi kèm theo những lần phản xạ từ yếu mạnh và tại những khoảng cách lớn có thể bỏ qua được T óc cực đại của

)

/( a z

1

)(h z a

K Mỗi tia truyền đi kèm theo những lần phản xạ từ bề mặt nước

Khoảng cách D giữa hai lần phản xạ liên tiếp nhau, gọi là độ dài chu

trình, nhận được từ công thức (2.4.1); nếu ta đặt

i i

max max ( /a)tg( ) ( h/a)

187 188

Với m (vùng khơi đại dương) và đien tốc

Có nhiều tia với số chu trình khác nhau có thể đi tới điểm máy thu

Do đó, nếu nguồn và máy thu nằm gần bề mặt nước và cách nhau một

khoảng cách ẽ nối với nhau bởi những tia nào rời nguồn

với một góc thỏa mãn phương trình

5

=

657,

2

0 =arctg

χ (6.1.14)

Số các chu trình N càng nhiều thì tia càng bám sát vào bề mặt và trong

giới hạn N →∞ tia truy

năng lượ

ền dọc theo bề mặt Do đó, sự tập trung các tia

và mật độ ng âm tăng lên được quan sát thấy ở gần bề mặt Thật

vậy, theo (6.1.7), tất cả các tia rời khỏi nguồn với những góc mở giữa 0

và χ0 ở lại trong một lớp với độ dày

a

z m

2

2 0

Sự tập trung năng lượng gần biên như vậy hoàn toàn tương tự như hiệu

ứng “các ba công thì thầm” có lẽ được thấy lần đầu tiên tại thánh đường

Saint Paul ở Luân đôn Hiệu ứng này đã được Rayleigh giải thích, đó là

sự tăng mật độ năng lượng âm lân cận một bề mặt cong Sự khác biệt duy

nhất đó là ở hiện tượng các ban công thì thầm thì biên là mặt cong và các

tia thì thẳng, còn ở trường hợp hiện tại thì ngược lại Tuy nhiên, có thể

chỉ ra rằng vấn đề ở đây chỉ là độ cong tương đối của các tia và biên

Nếu một nguồn không nằm gần bề mặt (z1 ≠0), thì khi cho χ1 =0

trong (6.1.5) và chú ý rằng ận được biểu thức cho

)(χ ≅ az

2 1 1

không thứ nguyên của ar và 10az được ghi dọc các trục

Mặc dù sự đơn giản của định luật tuyến tính đối với ức tranh tia toàn phần sẽ khá phức tạp Trên hình 6.2 biểu diễn bứ h này cho

được ghi dọc theo các trục Những đường đậm nét biểu diễn hình bao của các họ tia (vùng tụ tia)

6.1.2 Thời gian truyền

Phát xạ xung, chẳng hạn, thường được dùng trong khi khảo sát kênh

âm ngầm Khi một xung đơn được phát ra, thì một số xung về đích tại điểm quy chiếu, chúng truyền đi dọc theo các tia khác nhau và có những thời gian truyền khác nhau Trước hết, ta xác định thời gian truyền đi dọc

)

( z

c , b

c tran012

0

1 = ,

189 190

theo một tia giữa các độ sâu tùy ý ời gian truyền đi dọc theo

dz

ds= sẽ là dt= ds/c(z)= dz/[c(z)sinχ]

)Nếu sử dụng quan hệ c(z)=c0(1+az và biểu diễn dz qua dχ bằng

cách lấy vi phân (2.2.2), ta tìm được thời gian truyền đi

1

11

12

1

χ

χχ

χ

sin

sinlnsin

sinln

ac

Cho χ1 = χ0,χ2 =0, ta nh

quay trở lại của tia (ký hi

ận được thời gian truyền từ bề mặt nước đến

0

16

11

21

11

χχ

χχ

χ

ac ac

Để dơn giản, ta chấp nhận rằng nguồn và máy thu nằm gần bề mặt nước

Khi đó, thời gian truyền tổng cộng từ nguồn đến máy thu dọc theo tia có

0 0

0

6

11

lũy thừa của ar/2N , rồi thế kết quả vào (6.1.19) đối với χ0 và bỏ qua

các lũy thừa bậc bốn và cao hơn của (ar/2N), ta nhận được

r

t N (6.1.20)

Như vậy, một xung truyền đi dọc theo một tia gồm số lượng chu trình ít nhất và tiếp đáy sát nhất sẽ có thời gian truyền ngắn nhất Một tia càng thường xuyên bị phản xạ từ bề mặt hơn thì xung truyền đi dọc theo tia sẽ

về đích càng chậm hơn Xung truyền dọc theo đường nằm ngang về đích chậm nhất Các khoảng thời gian giữa các lần về đích kế cận nhau giảm

liên tục khi N tăng lên Trên băng ghi sự tăng về cường độ âm được

nhận thấy ở về phía đoạn cuối vì sự tập trung các lần xung về đích Bức tranh thực nghiệm điển hình đối với nguồn và máy thu tại một khoảng cách lớn và gần trục kênh là như nhau: tăng cường độ âm từ đoạn đầu đến đoạn cuối của băng ghi và tắt đột ngột tại đoạn cuối Sự tắt này xuất hiện sau khi tia sau cùng về đích, tức tia gần trục kênh nhất Chỉ có những tia

bị đáy chặn về đích muộn hơn, nhưng chúng có cường độ thấp tại những khoảng cách lớn

Hình 6.3 là băng ghi tín hiệu âm tại một khoảng cách 1880 km kể từ nguồn ở trung tâm Đại Tây Dương Âm (vụ nổ của 25 kg TNT) được phát ra tại độ sâu 700 m và máy nghe được đặt tại độ sâu 1200 m Áp suất âm được ghi trên trục thẳng đứng bằng thang tỉ lệ tuyến tính với đơn

vị tùy ý nào đó Sự tăng chậm của cường độ tín hiệu tại đoạn đầu và giảm đột ngột tại đoạn cuối của tín hiệu là hoàn toàn rõ ràng

Bây giờ chúng ta sẽ xác định độ dài tổng cộng T của tín hiệu, chỉ

tính đến các tia kênh Theo (6.1 20)

0

3 2

T , (6.1.21) trong đó ố lượng cực tiểu và cực đại các chu trình đối với các tia về đích ại những khoảng cách lớn

min

N và Nmax là s

191 192

và số hạng thứ hai trong cặp dấu ngoặc có thể bỏ qua Theo (6.1.130,

ết quả là từ (6.1.21), ta 2

2

([

ah T

0

3

= Đôi khi

(6.1.22)

T được gọi là thời gian lan tỏa tín hi

tăng lên tỷ lệ với khoảng cách

ệu, như chúng ta thấy, nó

Hình 6.3 Hình dạng của tín hiệu âm ở trung tâm Đại Tây Dương tại khoảng cách 1880 km

6.2 KÊNH ÂM NGẦM CHUẨN

Munk [6.4] đã đề xuất trắc diện

(6.2.1)

nó hội được những đặc điểm hiện thực của kênh âm ngầm một cách rất

sát; ốc độ âm tại trục kênh

)

( z c

[c(z)−c0]/c0 =ε(eη −η−1)

0

c là t z= z0,η = 2(z−z0 /B (trục z hướng lên trên), B là độ rộng hiệu dụng của kênh âm,

độ tăng tốc độ đoạn nhiệt từng phần trên một độ sâu tỷ lệ

2

10141

Đối với trường hợp

với trong [6.4, hình 2]) biểu diễn trắc diện đối với

, s Munk gọi dạng kênh âm ngầm này là kênh âm chuẩn Ở bên phải biểu diễn các nửa chu trình thứ nhất của các cung tia khi nguồn nằm tại trục kênh Các tia rời nguồn với những góc

)

( z

c (bên trái) 3

1

0 = B=− ,

z km c0 =1492m/

193 194

o o o

14

0 =− ,− , , ,

χ

điểm đỉnh gần như là một đường th

Độ dài của nửa chu trình phía trên

được vẽ Lưu ý rằng đường cong nối các ẳng

hía dưới )

=

12

13

22

trong đó 2 độ dài nửa chu trình của một tia ở tại trục

điểm quay trở lại của tia Như vậy, độ dài của nửa chu trình phía trên nhỏ

hơn và độ dài của nửa chu trình phía dưới lớn hơn so với độ dài của nửa

chu trình của tia trục kênh

Thời gian truyền dọc theo các nửa chu trình trên ưới

là

2 1

0 =Bπε− / /

4 D0 =23,7km); φˆ= cˆ−c0)/(ε c0), cˆ là t

)(t+ và d (t−)

22

φφ

πτ

)(

/

0 2

1

τ = và τ0 =0,137s đối với trắc diện ví dụ biểu diễn trên

hình 6.4 Thời gian truyền qua toàn chu trình là

ˆ +

−

=+

0 τ12φ

c

D t t

t , (6.2.5) trong đó D=2D0 là độ dài chu trình của một tia tại trục (D≅ 50 km

ội tđối với ví dụ trên hình 6.4), hay khoảng cách giữa các vùng h ụ, như

chúng ta sẽ thấy dưới đây Từ (6.2.5) suy ra rằng tia tại trục ề

đích sau cùng

)ˆ(φ=0 v

diễn trên hình 6.5 [6.5] Độ sâu z được ghi trên trục thẳng đứng Nguồn

nằm tại trục kênh (z0 =−1,3 km) Đại lượng τ =t−t0 ( t và t0 là các thời gian về đích tuần tự của tia đang xét và tia tại trục, τ <0)

ằng mố

ục kênh, cò các thờ

được ghi trên trục ngang Mỗi nhánh của hình vẽ được đánh dấu b ột dấu và hai số Dấu cộng (trừ) chỉ tới tia rời nguồn đi lên phía trên (xu ng dưới)

Số thứ nhất chỉ số điểm quay hướng của một tia phía trên tr n

số thứ hai - số điểm ở phía dưới trục kênh Ví dụ, để tìm i gian về đích của các tia tại một máy thu nằm ở độ sâu z=−2,5km, chúng ta cắt

đồ thị vẽ tại đường thẳng nằm ngang z=−2,5km và nhận được rằng tia

ề đích trước nhất (15

15,

(

1615,

−25

0,

−

=

τ s) và tiếp tục Các tia +18,18 (τ =−0,26s) và −18,19(τ =−0,25s) về đích cuối cùng Cùng bức tranh như vậy chắc chắn sẽ được thấy khi máy thu nằm tại trục kênh và nguồn tại độ sâu 2,5 km Đồ thị này cho thấy sự giảm khoảng thời gian giữa những lần về đích kế cận nhau ở đoạn cuối của tín hiệu Số lượng các chu trình là cực đại nếu nguồn và máy thu nằm tại trục kênh và bằng 20 đối với trường hợp đã

xét

6.3 CÁC VÙNG HỘI TỤ

Sự truyền âm trong vùng khơi đại dương từ một nguồn nông kèm

theo một hiện tượng lý thú, sự hình thành những vùng hội tụ

Chúng ta sẽ xét trắc diện khái quát ểu diễn ở nửa bên trái

hình 6.6 Ta giả sử rằng (như đã thấy trên hình này), ức tốc độ

âm tại độ sâu nguồn nhỏ hơn so với tại đáy Kênh âm ng tia nào

rời nguồn với các góc mở thỏa mãn điều kiện

)

( z

c bi

h c

c1 < , t bẫy nhữ

)/arccos(c1 c h

1 ≤

ải của hình 6.6) chiếu Những tia này làm thành một chùm (nửa bên ph

sáng không gian ngoại trừ các vùng tối ỉ có các

tia phản xạ từ đáy (không chỉ ra trên hình) về đích t g này

Do đó, nếu chúng ta rời xa dần khỏi nguồn nhưng du ột độ sâu

không đổi, ví dụ ường âm yếu tương đối ở các vùng

ẽ thấy trường âm tăng lên đáng kể ở các vùng

ng này thường bắt đầu với những khoảng tụ tia được biểu diễn bằng những đường đậm nét trên bức 6) và được đặc trưng bởi giá trị cao của nhân tử tiêu

ực tế đó, những vùng này được gọi là “các vùng hội

ủa các vùng hội tụ (tại mực ũng chính là độ dài của các đoạn ăng lên với khoảng cách, trong khi chiều

rộng của các vùng tối giữa chúng giảm

Nguồn càng nằm xa trục kênh thì chiều rộng của các vùng hội tụ

càng nhỏ Nếu ông có những vùng như vậy Nếu tốc độ âm

tại bề mặt nhỏ hơn so với tốc độ âm tại đáy, các vùng hội tụ sẽ lấn tới bề

1D D D

D ′, ′) t

h c

)

( z

c (bên trái) và s

i Tây1

>

z km

197 198

đi xuống dưới Sự hình thành các vùng hội tụ có thể thấy rõ Ví dụ, tại độ

sâu hững vùng đó mở rộng trên các khoảng cách 55-70 và

Hình 6.8 Phân bố lý thuyết (đường gạch nối) và thực nghiệm (đường liền

nét) của cường độ âm trong vùng hội tụ thứ nhất đối với trắc diện tốc độ

tương tự như trắc diện ở hình 6.7, độ sâu nguồn và máy thu

tương tự như điều kiện của hình 6.7 [6.6] Tần số âm là 1,2 kHz Các độ

sâu của nguồn và máy thu như nhau: Đường gạch nối

cho giá trị lý thuyết của cùng đại lượng nhận được trên cơ sở lý thuyết tia

và tổng hợp không hiệp biến các tia Có thể thấy rằng có một sự trùng

hợp nào đó giữa các đường cong lý thuyết và thực nghiệm Những mực

trung bình của các đường cong và sự phụ thuộc tổng quát của chúng vào

khoảng cách là tương tự Tuy nhiên, nhiều đặc điểm của các đường cong

khác nhau Cụ thể, vùng hội tụ thực nghiệm nằm gần nguồn hơn so với

vùng hội tụ lý thuyết khoảng 1 km Nguyên nhân của điều đó có thể là sự

thiếu chính xác của phép xấp xỉ tia, độ chính xác chưa đủ của phép đo trắc diện ại những độ sâu lớn, hoặc do việc xấp xỉ chưa thỏa mãn của trắc di ấp nhận để tính toán

Đôi khi một cách đơn giản ước lượng cường độ âm trung bình trong toàn vùng h có thể rất hữu ích [6.7] Giả sử

lượng đầu ra của nguồn đa hướng, và giả sử rằng χm <<1 Ta ký hiệu chiều rộng của một vùng hội tụ trên hướng r bằng δ và khoảng cách trung bình từ nó đến nguồn bằng đó năng lượng này sẽ được phân

bố trong một vòng khuyên với di

r Khi

ện tích 2πrδ C

ăng lượhướng vuùng tại

ường độ âm trung bình (riêng) trong vùng này bằng tỷ phần của n ng vận chuyển tới diện tích hình chiếu của vòng khuyên đó lên ông góc với các tia Giả

sử góc mở trung bình nào đó trong v độ sâu của máy thu là

)( r <<1

r χ

χ Khi đó diện tích của vùng vuông góc với các tia là

δχ

πr r

2 Cường độ âm trung bình trong vùng là I =Wχm (2πχrδ) Đối với nhân tử tiêu điểm f =I/I0, trong đó I0 =W/(4 rπ 2), ta có

)(χ δ

r

f =2 (6.3.1) Chúng ta áp dụng công thức này vào trường hợp trên hình 6.8 Ở đây máy thu và nguồn nằm ở cùng độ sâu; vậy các góc mở là như nhau tại nguồn

và máy thu Do đó, χr ≈χm/2 và từ (6.3.1) ta nhận được f =4π/δ Như có thể thấy từ hình 6.8, vùng hội tụ (vùng mà ở rộng xấp xỉ

từ 55 đến 65 km, tức

1

>

f ) m10

NHƯ TỔNG CỦA CÁC SÓNG (THỨC) CHUẨN

Lý thuyết tia có những ứng dụng hạn chế Nó không áp dụng trong

các vùng tối và lân cận các vùng tụ tia Vì các vùng tụ tia rộng dần ra khi

tăng khoảng cách, nên chúng hạn chế tính áp dụng của lý thuyết tia tại

những khoảng cách lớn Lý thuyết tia cũng không thể sử dụng đối với

những tần số thấp, khi bước sóng âm trở nên so sánh được với quy mô

thẳng đứng của biên thiên tốc độ âm Vì vậy, trong thực tế người ta cuối

cùng buộc phải dựa vào nghiệm sóng của bài toán

Trong mục này chúng ta giới thiệu những kết quả của Ahluwalia và

Keller [6.8] và rút ra một biểu thức cho trường âm như một tổng của các

sóng chuẩn (thức) Biểu thức này sẽ hạn chế ở trường hợp đại dương có

đáy phản xạ lý tưởng Tuy nhiên, nếu chúng ta quan tâm tới trường tại

những khoảng cách lớn kể từ nguồn, thì phần lớn các thức có ý nghĩa sẽ

là những thức không tương tác với đáy (chúng suy yếu nhanh với khoảng

cách) và do đó các điều kiện biên tại đáy không còn quan trọng nữa

Ta xem xét đại dương phân tầng phương ngang với trắc diện tốc độ

âm ở đây ới hạn bởi bề mặt tự do ở bên trên và bởi

mặt phẳng ngang c cứng tuyệt đối ở bên dưới Áp suất âm

ủa nguồn điểm đặt tại điểm ới một đặc

])([,

phương trình Helmholtz

)()()

r p z k z

p r

p r r

p

δ

2 2

2 2

−

−

=+

∂

∂+

∂

∂+

∂

với những điều kiện biên

00

=h

z

Nghiệm của dạng đồng nhất của (6.4.1) có thể tìm bằng phép tách

các biến Nghiệm mô tả một sóng đi ra từ nguồn có dạng

),()(H),(r z ) ξr ψ zξ

ψ(0, )=0, ′( , )=0, ′≡ (6.4.5) Giả sử hai nghiệm độc lập tuyến tính của (6.4.4) là ψ1(z,ξ) và )

,( ξ

ψ2 z Khi đó

),()

,()

B

B1 =− 2Ψ2 0ξ Ψ1 0ξ Bây giờ ta biểu diễn nghiệm của phương trình không đồng nhất (6.4.1) như tổng của các thức chuẩn

.4.8)

Để tìm các hệ số kích thích ủa các thức chuẩn, ta thế (6.4.80 vào (6.4.1) và sử dụng phương trình đã biết đối với hàm Hankel

),()(,

)()(H)

,

l l

l

l l

A z

)

r r r H dr

d r dr

d

l

πξ

0

2 2

A l l

∑ ψ πδ (6.4.9) Nếu nhân (6.4.9) với ψm ( z), tích phân theo z từ 0 đến ử dụng

tính trực giao của các thức chuẩn

dz z

z A

0 2 1

)(

)(i

ψ

ψ

π (6.4.10)

Trong (6.4.8) ta có thể sử dụng hàm chuẩn hóa ψl ( z) sao cho tích phân

ở mẫu số của (6.4.10) sẽ bằng đơn vị Kết quả là, ta có

(6.4.11)

6.5 BIỂU DIỄN TÍCH PHÂN CỦA TRƯỜNG ÂM TRONG KÊNH

ÂM NGẦM

Bây giờ chúng ta thiết lập những biểu diễn tích phân của trường

trong kênh âm ngầm đúng đối với những đặc trưng đáy tùy ý

Nghiệm của (6.4.1) có thể được biểu diễn như là tích phân

Fourier-Bessel

(6.5.1) Một hàm

∑

=

l

l l

z r

p( , ) ~( , )J ( )

c xác định bằng phép biến đổi nghịch

(6.5.2) Nếu nhân (6.4.1) với

),

(

~p zξ đượ

∫∞

= 0 p r z 0 r r dr r

p( , ) ( , )J ( )

rdr r)

z ngoại trừ Để tìm những điều kiện mà ải thỏa mãn

(6.5.6)

Ta ký hiệu là hai nghiệm của (6.5.4), chọn chúng sao cho ỏa mãn điều kiện tại bề mặt tự do của đại dương

(6.5.7)

và ỏa mãn các điều kiện biên tại đáy

Nghiệm của (6.5.3) thỏa mãn tất cả những điều kiện cần thiết là

~ z p1 và ~ z p2( )18)

(

~ z p1 th

00

)(

~ z

p2 th

18 Tham số ξ trong đối số của các hàm ~ z p1( ) và ~p2(z) đã bỏ đi cho ngắn gọn

203 204

1 1

1 2

1 1

1 2

2

0

z z w

z p z p

z z w

z p z p z p

~)(

~

,)(

~)(

~)(

~

(6.5.8)

trong đó

)(

~)(

~)(

~)(

~)

1

1 0 1 1

z z d

r w

z p z p z

r

p

z z d

r w

z p z p z

r

p

,)(H)(

~)(

~)

,

(

,)(H)(

~)(

~)

ξξ

ξ

(6.5.10)

Các công thức (6.5.10) cho biểu diễn tích phân của trường âm của một

nguồn điểm trong kênh âm ngầm Các tích phân này có được tính bằng

những phương pháp khác nhau, bao gồm cả tính toán số trực tiếp Thông

thường có thể tách ra bộ phận chính của các tích phân này - các thức

chuẩn không suy yếu hoặc ít suy yếu Bộ phận đó của ọi là

phổ gián đoạn, quyết định về cơ bản trường âm tại những khoảng cách

lớn Bộ phận khác (phổ liên tục) nếu cần, có thể cũng được ước lượng

biểu thức (6.4.11) đối với các thức chuẩn suy ra từ các tích phân (6.5.10)

Ta di chuyển quãng đường lấy tích phân trong (6.5.10) ở mặt phẳng phức

),(r z

0

=)( l

z p z

r p

l

ξξξ

ξξ

π

ξ

)(H)

,(

~),(

~i),

1 1

1 2

Bởi vì Wronskian bằng không tại ξ = , tồn tại mối phụ thuộc tuyến ξl

tính giữa ~ và p2 ~ , tp1 ức ~p2(z,ξl)= A l p~1(z,ξl), A l là một hằng số Vì vậy, từng ~p1(z,ξl) và ~p2(z,ξl) th

ức là, chúng t

ỏa mãn cả phương trình (6.4.4) và các điều kiện biên (6.4.5), t ỷ lệ với ψl ( z) Do đó, ta có thể đặt

)()

,(

~),(),(

l l l l

)

,(

~),(

~),(

~),(

~

),,(

~),(

~)(

ξξ

ξξ

ξ

ξξ

ξξ

ξ

00

00

00

2 1

2 2

1

2 1

p z

p p

z

p w

p p

w

∂

∂

∂+

l l

Aψ và kết quả là từ (6.6.4) ta được

205 206

()

()()(i)

,

d dz

z z z

r

l

l l

ξ

ξξ

ψψ

0

1 1

1

00

một hàm của ξ theo quan hệ ψl(0)= ~p2(0,ξ /A l (

ểu thức (6.6.6) đối v

xem ví dụ với ống dẫn sóng tuyến tính dưới đây) Bi ới p không thay

đổi khi z bị thay thế bằng z1 và ngược lại, và thích hợp đối với z

)

(0≤ z≤h b

tiện để sử dụ

chuẩn với biên

ất kỳ Tuy nhiên, biểu thức này không phải luôn luôn thuận

ng Cụ thể, nếu trục ống dẫn sóng nằm sâu, có một số thức

độ hàm mũ nhỏ ψl(0) t

hức (6.4.1đích đó, ta xét (

ại bề mặt Trong trường hợp đó, thuận tiện hơn cả là sử dụng biểu t 1), biểu thức này cũng có thể

nhận được từ (6.6.3) Nhằm mục 6.4.4) đối với ψl và một

cách tương tự (6.5.4) đối với ~p2(z,ξ) Nhân phương trình thứ nhất với

ương trình thứ hai với

h l

2 2 0

~)(

ψξξξξ

)()

A w

l

0 2

.6.9) Chúng ta chủ yếu quan tâm tới những thức chuẩn bậc ấp mà năng lượng của chúng tập trung gần biên điều kiện đó ta nhận thấy rằng đối với 9) khá gần với định luật tuyến tính (6.1.4) đối với tốc độ âm

Phương trình (6.5.4) trong trường hợp đang xét được viết thành

)

( z

n2 :

)(/,

)

n2 =1−2 0≤ ≤1 2

)(/)(),(,

)(

)

l th0

=

z Trong 1

2az<< , (6.6

0 0 2

2

c

w k p

az k

p′′+[ ( − )− ]~= , =

Ta đưa ra một biến mới thay cho z ,

)(

,)(,

~)(

~

t p t dt

t p d

=

2

2

(6.6.12) Các nghiệm của phương trình này là những hàm Airy Vì những hàm này thường được dùng trong lý thuyết truyền sóng âm và điện từ, và đã từng

đó

207 208