CƠ SỞ ÂM HỌC ĐẠI DƯƠNG ( BIÊN DỊCH PHẠM VĂN HUẤN ) - CHƯƠNG 2 pps

Sự xuất hiện âm của các vùng tối thứ nhất và Lý thuyết tia mặc dù với bản chất gầhiệu quả để nghiên cứu truyền âm tại những tần số đủ cao trong môi ản của âm học tia và đưa ra những nghi

là sự xâm nhập nước Địa Trung Hải tại các tầng sâu trung gian vào Đại

Tây Dương gần eo Gibraltar Các thấu kính l

được nghiên cứu kỹ nhất

oại này (“trung gian”) đã

Hình 1.40 Sơ đồ tia âm khi có mặt một thấu kính [1.40]

t gây nhiễu động trường tốc độ âm, làm thay đổi cấu trúc không gian - t i gian của trường tốc độ âm trong

đại dương - các vùng tối trở nên có âm (khi không có cấu trúc vùng đối

ự x

c tín

m ở hình 1.39 [1.39] Nguồn âm được đặt ở độ sâu 900 m và

cách tâm thấu kính 33 km Sự xuất hiện âm của các vùng tối thứ nhất và

Lý thuyết tia mặc dù với bản chất gầhiệu quả để nghiên cứu truyền âm tại những tần số đủ cao trong môi

ản của âm học tia và đưa ra những nghiệm của chúng cho trường hợp đại dương phân tầng Trong các chương tiếp sau, cách tiếp cận tia sẽ được áp dụng cho sự truyền sóng âm bị dẫn, sự phản

âm từ bề mặt bi à

2.1 PHƯƠNG TRÌNH SÓNG CHO MÔI TRƯỜNHẤT

h Các thấu kính ngoại nêm nhiệ

hờ

với các n nền) và sự khúc xạ phương ngang của các tia â xuất

hiện S oay của các thấu kính dẫn tới sự thay đổi pha của các sóng âm

truyền qua thấu kính Hình 1.40 biểu diễn sơ đồ tia đượ h cho trắc

)( , (2.1.1)

ở đây v là tốc độ phần tử, p là áp suất âm, ρ là mậ

và

t độ của môi trường

t là thời gian Phương trình liên tục là

0

=

∇+

Bỏ qua sự dẫ nhiệ và khuếch tán của các h p phầ , t

sự truyền âm như đoạn nhiệt Trong trườn ợ

55 56

trình trạng thái được viết như sau:

dt

d c dt

ρ2

= , (2 .3)

dp

1

ở đây c= (dp/dρ)S là tốc ộ âm đoạđ n nhiệt, tropy Trong

trường hợp tổng quát, có t phụ thuộc vào các tọa độ không

được viết chỉ trong dạng các đạo hàm toàn phần bởi vì phương trình này

phải được thỏa mãn đối với một phần tử đã chọn, chứ không phải đối với

điểm đã chọn của m i trường

Dưới hiệu ứng của một sóng âm, áp suất p và mật độ ρ bị nhiễu

, chún

động g nhận các giá trị sau đây:

p p

p= 0 + ′, ρ =ρ0 +ρ′, (2.1.4)

ở đây p0 và ρ0 là các giá trị của p và ρ trong trường hợp không có

sóng âm, còn p′ và ρ′ là những nhiễu động của các đại lượng đó do

sóng âm gây nên (p′<<p0, ρ′<<ρ0) Giả sử p′ và ρ′ như những đại

lượng bé có bậc nhất so với v/ , chúng ta bỏ qua các số hạng bậc hai và c

cao hơn trong (2.1.1)-(2.1.3) Kết quả ta có

p

c (2.1.7) Trong trường hợp môi trường đồng nhất, số hạng đối lưu (v∇)ρ0 triệt

tiêu trong (2.1.7)

Lấy đạo hàm (2.1.6) theo thời gian, ta được

00

∂

′

∂

t t

2ρ , (2.1 )

ở đây ∆ là toán tử Laplace

L y đạo hàm (2.1.7) theo thời gian, ta viết lại nó dưới d g như sau:

0 2

2 2 2 2

t

p c

2 2

p lnρ∇p= (2.1.11) Trong môi trường đồng nhất (ρ=const), số hạng sau cùng trong ) triệt tiêu và (2.1.11) g

01

2 2

p (2.1.12)

Trong trường hợp này trường âm có thể được đặc trưng bằng thế tốc độ

âm ψ xác định theo biểu thức

ψ

∇

=

v (2.1.13) Thế (2.1.13) vào (2.1.5) sẽ cho một quan hệ giữa thế tốc độ và áp suất âm:

57 58

Đối với các sóng điều hòa p∼exp(−iωt), phương trình sóng (2.1.12)

giản ước thành phương trình Helmholtz

(2.1.15)

ở đây

0

2 =+

∆p k p ,

c

k= là số sóng âm Thế của tốc độ ω ψ cũng thỏa mãn (2.1.15)

Phương trình (2.1.11) có thể chuyển đổi thành một phương trình

kiểu phương trình Helmholtz Nếu đưa ra một hàm mới F thay cho p :

∆F K F , (2.1.17)

2 2

ρ

ρρ

k

Các điều kiện biên Nếu các ch t lỏng bị giới hạn hoặc các tham số

của chúng không liên tục tại một số bề mặt nào đó, thì các điều kiện biên

phải được chỉ định cho các phương trình Tại bề mặt tự do của nước điều

kiện biên là áp suất âm bằng không:

0

=

4ấ

p (2.1.19) Tại mặt phân cách của hai môi trường lỏng, điều kiện biên là điều kiện

liên tục của áp suất âm và hợp phầ

t

p t

p v

v p

11

hay

ρρ

2.1.1 Những nghiệm đơn giản nhất của phương trình Helmholtz

Bây giờ chúng ta xét hai nghiệm đơn giản nhất của (2.1.15) đối với môi trường bất đồng nhất ( ằng số)

Nghiệm thứ nhất là sóng cầu mô tả trường của một nguồn điểm

k là hđẳng h ng (một mặt cầu bán kính nh phát xung)

)i(exp4

i

kR

V p

0 4 a v

V = π là tốc độ khối của nguồn,

a là bán kính của mặt cầu dao động và v là biên độ của tốc độ Nguồn

âm được giả thiết là n

0

ằm ở gốc t x=y=z=0 Người ta có thể dễ dàng kiểm tra rằng (2.1.22) thỏa mãn (2.1.15) bằng cách lấy o hàm trực

u

đạtiếp, viết toán tử Laplace trong hệ tọa độ cầ

R

p R R

p p

∂

∂ +

∂

∂

=

cho phép p chỉ phụ thuộc vào R trong trường hợp này

Nghiệm đơn giản và quan trọng khác của (2.1.15) là một sóng phẳng

)]

([exp k x k y k z A

p= x + y + z , (2.1.23)

ở đây

n pháp tuyến của tốc độ phần tử ở hai

k k k

k x + y z = (2.1.24) Các m t phẳng có pha không đổ

+

(2.1.24) là những mặt cầu mà theo định nghĩa là

c ới các front, là những đường thẳng xuất phát

từ điểm R=0 Trong trường hợp sóng phẳng (2.1.23) các front là

những mặt phẳng, k x+k y y+k z z=const và các tia là họ các đường

thẳng song song v ông góc với các mặt phẳng đó

Nghiệm (2

x

u.1.5) dưới dạng của một sóng phẳng là rất quan trọng

Trong nhiều trường hợp, đặc biệt tại những khoảng cách đủ lớn kể từ

nguồn, sóng âm có thể được biểu diễn như là một sóng phẳng hoặc như là

xếp chồng của các sóng phẳng Điều này là rất rõ, chẳng hạn đối với một

Trước hết xét đại dương phân tầng phương ngang, tốc độ âm chỉ phụ

thuộc vào độ sâu (

sóng cầu tại những khoảng cách nơi độ cong của front sóng có thể không

cần tính đến

2 SỰ K

)

(z c

c= ), còn bề mặt và đ của đại dương là những mặt phẳng nằm ngang Thậm chí với những giả thiết đơn giản này, người

ta cũng chỉ có thể tìm được các nghiệ chính xác của (2.1.1) trong những

trường hợp ngoại lệ Do đó, phép xấp xỉ tia âm được dùng rộng rãi Điều

građ n tương đối của tốc độ âm và bước sóng phải nhỏ:

áym

λ

c (2.2.1) Ngoài ra cần thiết sao cho điểm quy chiếu khôn

hay lân cận các biên của nó và cũng không nằm ở các điểm tụ tia (xem ở

dưới) hay lân cận các điểm tụ tia Nếu tất cả những điều kiện áp dụng của

nhậ

g nằm trong vùng tối

lý thuyết tia được đáp ứng, người ta có thể xác đị cường độ âm (và do

đó là áp suất âm) tại điểm bất kỳ tuân theo định lu t về mở rộng ống tia Trong phép xấp xỉ lý thuyết tia, người ta còn có thể xác định pha sóng âm hay thời gian truyền đi của xung âm dọc theo một tia đã chọn 7

giờ ta chỉ ra rằng trong m t môi trường phân tầng phương

ngang, tại mỗi z một tia phải thỏa mãn quan hệ (định luật Snell)

const

=)(

)(cos

z c z

các lớp bằng 1, 2, , n , n+1, Theo định luật khúc xạ (xem ở dưới),

tại biên của các lớp n và n+1 với các tốc độ c n và c n+1 ta có

n

n n

c c

χ

χ coscos

c n n−

χ

χ coscos

và tiếp tục như vậy

luật này mặc dù đơn giản nhưng tỏ ra khá hữu ích Ví dụ, tất cả các sơ đồ tia trong mục 1.2 đã được vẽ dựa trên định luật này

Chẳng hạn, nhờ định luật này người ta có thể giải bài toán về một tia

phải đi từ một độ sâu có tốc độ âm bằng c1 với góc χ bằng bao nhiêu để

trở thành tia đi ngang tại độ sâu nơi tốc độ c=c2 (hình 2.1) Bởi vì góc

mở của tia này bằng không (và cosin của nó bằng đơn vị) tại độ sâu thứ

hai, nên nếu sử dụng (2.2.2) đối với hai độ sâu này, ta có

đó, nếu khai triển hàm cosin thành một chuỗi theo χ, chỉ tính n các số

hạng tới bậc hai và ký hiệu , ta tìm được

đế

c c

c2 − 1 =∆

2 1

Bây giờ ta xác định quan hệ giữa độ cong tia và građien tốc độ âm

Với mục đích đó, ta sẽ viết (2.2.2) dưới dạng

Hình 2.2 Yếu tố tia

Bán kính cong của tia R là

dz

dc q dS

d

R− 1 = χ = đ

(2.2.6)

Khi gra ien =const

dc

R , tức đối với trường hợp građien tốc

độ âm không đổi thì tia là cung của một Thế (2.2.5) vào (2.2.6) thu được

đường tròn

0

1χcos

a= 0−1 là građien thẳng đứng tương đối của tốc độ âm a càng

63 64

65

lớn và χ0 càng nhỏ thì sự khúc

đi ra từ nguồn thẳng đứng lên trên ho

xạ tia càng mạnh Ngược lại, nếu một tia

ặc xuống dưới (χ0 =±π/2) R=∞

66

và không có khúc xạ

2.3 KHOẢNG CÁCH PHƯƠNG NGANG CỦA MỘT TIA

Cho r= ,0 z=z1 và r, tuần tự là tọa độ của một nguồn và điểm z

quy chiếu Đối với một yếu tố vô cùng bé bất kỳ của tia (hình 2.2) ta có

χ coscos

n

ở đây

)()

(

z c

c z

Chúng ta sẽ sử dụng phương trình này rất thường xuyên từ nay về sau Ở

đây r được gi t là một hàm đơn trị của

2 1 1 2 2

1

/]cos)([

cố định nào đó), (2.3.2) sẽ được áp dụng cho nh ng đoạn của tia mà ở đó

u một tia giữa nguồn và máy thu có điểm quay lại của nó tại độ sâu ương trình cho

ữhàm đơn trị Ví dụ, nế

Thời gian truyền đi của sóng âm dọc theo yếu tố độ dài dS là

χsin

c

dz dS

,(r z là tω ; thời gian c cho bằng phương trình sau cùng

Lấy đạo hàm

t đượ

r và t theo χ, ta được

const1

cos

t r

truyền dọc theo tia - là hằng số Cũng phải l u ý rằng

Vậy v=∂r/∂t− hợp phần phương ngang của tốc độ pha của một sóng

2 cos ) /

Ngay từ thời khởi đầu của thủy âm học môi trường được chia ra

thành một chuỗi các lớp đồng nhất Tốc độ âm biến đổi nhảy cóc tại các

ranh giới giữa các lớp Các tia trong những lớp đó là những đường thẳng

Hướng của chúng thay đổi do sự khúc xạ tại c n

t, các tia trong nhữ

đi m của phương pháp này là ở chỗ sự không liên tục của građien tốc độ

đ

ác ra h giới lớp

Về sau, người ta sử dụng rộng rãi cách chia thành những lớp trong

đó tốc độ âm phụ thuộc tuyến tính vào độ sâu Trong trường hợp này

r đien tốc độ âm bị gián đoạn tạ giới lớp Như chúng ta đã biế ng lớp đó là những cung của

đường tròn Hướng của một tia khi nó đi qua một ranh giới lớp biến đổi

liên tục, nhưng độ cong của nó biến đổi một cách không liên tục Nhược

ể

ác ranh giới lớp dẫn tới những đ ụ tia như Pedersen [2.2] đã

chỉ ra lần ầu tiên Người ta cũng đã từng sử dụng xấp xỉ của )c (z trong

các lớp nào đó bằng các đa thức bậc hai và bậc ba (ví dụ xem [2.3, 4])

Cân nhắc sự đơn giản và ứng dụng rộng của xấp xỉ građien không

ta sẽ thảo luận chi tiết về cách xấp xỉ này Trên hình 2.3 ở bên

ột trắc diện )

đổi, chúng

hiệu các r

n theo xấp xỉ này, còn ở bên phải vẽ một

h

2 1 1

âm và góc mở tại ranh giới dưới của mỗi lớp Chúng liên quan với nhau

theo định luật Snell, cosχi /c i =const, ở đ ằng s const được xác

χ trong (2.3.2), sử dụng quan hệ cosχ=cosχ1/n(z) (ở

đây n(z)=c i 1− /c(z)) và lấy tích phân theo χ, ta thu được với (2.2.4)

)sin(sin

cos 1

11

χχ

i c c c h

a =( − −1 / −1 là gra m tương đối trong lớp

thứ i , còn χi 1, χi là á a

ộng mà tia đi được ta có

− c c góc mở tại các r nh giới của lớp Đối với khoảng cách ngang tổng c

∑

=

i i D

đi qua một đường bao nhỏ tùy ý Γ (hình 2.4) Trong phép xấp xỉ lý

ng âm được giả thiết là “chảy” dọc theo ống tia và không cắt ngang qua thành ống Từ đây suy ra chúng ta sẽ quan tâm tới

cường độ âm, tức là dòng năng lượng đi qua một đơn vị diện tích của mặt

n nhiên là đại lượng này sẽ giảm với khoảng cách kể từ nguồn theo

thuyết tia thì năng lượ

cắt ngang qua ống tia trong một đơn vị thời gian Hiể

cách tỷ lệ nghịch với diện tích của mặt cắt ngang qua ống tia

Hình 2.4 Ôngs tia

Trong một môi tr đồng nhất diệ c a mặt cắt ngang qua

ống tia tăng lên tỷ lệ với bình phương khoảng cách từ nguồn và do đó

ng độ âm giảm nghịch đảo bình phương khoảng cách theo như công

thức sau

cườ

2 1 1 0

4

) , (

R

WN I

π

ϕ χ

N là n ử (thường gọi là hàm mẫu) đặc trưng cho tính định

hướng của nguồn Nó phụ thuộc vào góc mở 1

hân t

χ và phương vị ϕ1 của một tia tại nguồn

Theo định nghĩa, giá trị trung bình của hàm mẫu trên tất cả các góc

∫

∫

−)

ây suy ra chúng ta sẽ bỏ qua nhân tử N(χ1,ϕ1) để cho đơn giản

Do đó nói một cách chính xác thì kết quả của chúng ta sẽ chỉ đúng đối với các nguồn đẳng hướng Tu iên, ử này có thể luôn luôn được đưa vào trong các công thức cuối cùng của cường độ âm

Bây giờ ta rút ra công thức cho cường độ âm tại một đi m bất kỳ )

,(r z

A (hình 2.5) đối với môi trường phân tầng phương ngang

y nh nhân t

ể

z c

c= ) khi diễn ra sự khúc xạ âm Giả sử nguồn đặt ở điểm r=0, 1

z Khoảng cách ngang r do tia bất kỳ đi được sẽ là một hàm của

AC= ∂ /∂ Mặt cắt ngang qua ống tia trong mặt phẳng r, z

được minh họa trên hình vẽ là

1 1

χχχ

ở đây χ là góc mở tại điểm A

Vì nguồn được giả thiết là đẳng hướng, trường âm có sự đối xứng

hình trụ so với trục z Nếu tưởng tượng rằng biểu đồ trên hình 2.5 xoay xung quanh trục z , thì ta nhận được diện tích của front sóng bao hàm

trong các tia đó

1 1

Rõ ràng năng lượng dW liên hệ với tổng năng lượng phát ra của

nguồn, như là 2πcosχ1dχ1 ứng với diện tích này liên hệ với π

4 Vì vậy

69 70

72

1 1

W

dW= cos

Hình 2.5 Minh họ a cách tính nhân tử tiêu điểm

Bây giờ đối với cường độ âm, tức thông lượng năn

ó

g lượng trên một đơn vị bề mặt front sóng, ta c

χχ

π

χsin1

4

∂

∂r r

Trong khi phân tích lý thuyết về cấu trúc trường âm thì công suất

nguồn W là không quan trọng (âm học tuyến tính!) và do đó, hợp lý hơn

cả là chuẩn hóa I theo giá trị 0 = 2 −

4 r

W I

π cường độ âm của cùng một nguồn trong môi trường đồng nhất tại điểm )(r, z Ta s

χχ

χsincos

I f

là nhân tử tiêu điểm Trườ ợp f <<1 ứng với sự giảm nhanh của trường âm do phân kỳ mạnh một cách dị thường các tia (như với sóng cầu) Ngược lại, trường hợp f >>1 ứng với sự tăng của trường do các tia hội tiêu 8 Lý thuyết không áp dụng được đối với hai trường hợp ngoại lệ này

ng h

Phương trình đối với mỗi tia có ể được viết dưới dạng th

),

r

r= χ1 , (2.5.4) trong đó χ1 là một tham số của họ các tia đi ra từ nguồn O Như đã biết,

đường bao của một họ tia như thế có thể tìm đượ c bằng cách loại χ1khỏi (2.5.4) và

01

1 =

∂

∂χ

tử tiêu điểm ở trên và lân cận điểm tụ tia được tính bằng

trong đó R là khoảng cách tổng cộng từ nguồn tới máy thu Tuy nhiên, định

nghĩa (2.5.3) là thuận tiện hơn cả cho các mục đích thực tiễn

71

Hình 2.6 (a) Trắc diện c (z) và (b) sơ đồ tia với điểm tụ tia

Hình 2.7 Đồ thị của hàm Airy

)(sin

)sin(

/

t v

r r

k

3 2

2 1

2 3 1 1 1 1 3 52

χ

trong đó )v (t là hàm Airy được vẽ trên hình 2.7 với v(0)=0,6293 Đối

số của hàm Airy được cho bằng

)()sin

/ /

0 3 2 1 1

3 1

2 1

2 3 1

ữa điểm quan trắc và diểm tụ tia c

phía của điểm tụ tia (bên dưới điểm tụ tia trong hình 2.6) không có một tia nào thuộc họ tia này đi tới Đó là một vùng tối tương ứng với sự giảm nhanh của trường theo khoảng cách từ điểm tụ tia (

2.6 SỰ KHÚC XẠ BA CHIỀU

Trong một môi trường nơi chỉ số khúc xạ )

bên trên điểm t6) hai tia giao nhau t g dao động không gian của

đi xa trong một đại dương phụ thuộc khoảng cách Khúc xạ ba chiều cũng quan trắc được ở lân cận các núi băng trôi, chúng tạo nên những khu vực lạnh và nhạt cục bộ và tại các biên phân cách rõ nét của các h i lưu

ều

ả

Để rút ra các phương trình của âm học tia trong trường hợp ba chi

ta biểu diễn áp suất âm p (R) dưới dạng

)]

([exp)()

p = , R)=(x, y, z), (2.6.1) đây

ở A và k0W là biên độ và pha của một sóng âm, hàm W thường

73 74

được gọi là hàm eikonal, k0 =ω/c0 và c0 là tốc độ âm tại một điểm cố

đị ường iểm đặt nguồn âm) Thế (2.6.1) vào phương trình

Helmholtz

)()(,)

∆A k ( A W A W) k A[n ( W) ] (2.6.2)

Các phương trình của lý thuyết tia nhận được từ (2.6.2) khi k0 tiến

tới v ng k0 →∞ (bước sóng âm =2 /k0 →0

thứ nhất trong (2.6.2) và au đó cho riêng phần thực và phần ảo trong

phương trình ại bằng không, được hai phương trình:

phương trình eikonal

2 2

n

W =

∇ )( (2.6.3)

và phương trình vận chuyển

0

2∇A⋅∇W+A∇W= (2.6.4) Phương trình eikonal (2.6.3) xác định hì

s

nh học của các tia, tức các đường vuông góc với các front sóng i vớ W=const Nếu R là bán kính

a một điểm trên một tia và

.5

đạ s và sử dụng (2.6.3) và (2.6.5), ta được phương

trình vi phân thường đối với các quỹ đạo tia

W W

n W W

ds ds

n n

n W

n n

ds

d

∇

=)

và do đó e=constdọc theo tia mà phương trình của nó bây giờ có thể viết thành

0

R e

ds

d

=)sin

mà từ đó dễ dàng thu được biểu thức (2.2.6) cho bán kính cong của tia

Để tính toán bằng số tiện lợi hơn thay vì (2.6.7) người ta dùng hệ tương đương gồm hai phương trình bậc nhất:

n d

d R/ = −1 R/

=

sóng tại điểm vectơ R, còn k=ω/c(R), c(R)=c0/n(R) Tần số ω

75 76