là công thức tính công của lực F làm vật di chuyển từ A và B mà ta đã biết trong vật lí.. Giáo án số 13 Số tiết: 2 tiết Thực hiện ngày Tháng năm 2007 LUYỆN TẬP VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HA
Trang 1của vectơ a
Ta có a 2
=a a
cos 00 a 2
Ví dụ : Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và
có chiều cao AH
Khi đó ta có (h.2.9 sgk)
AB ACa a
0 1 2 60
2
cos a
AC CBa a
120
2
cos a
0 3
2
a
2.Các tính chất của tích vô hướng
Người ta chứng minh được các tính chất sau đây
của tích vô hướng :
Với ba vectơ a b c , ,
bất kì và mọi số k ta có :
.
a b b a
( tính chất giao hoán );
a b c a b a c
(tính chất phân phối );
( ).k a b k a b( ) a k b ( );
a a a
Nhận xét Từ các tính chất của tích vô hướng của
hai vectơ ta suy ra :
2 (a b ) a 2 a b b
;
2 (a b) a 2 a b b ;
(a b a )( b ) a b
+ Cho hai vectơ a
và b
đều khác vectơ 0
Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ là số dương
?Là số âm ? Bằng 0 ?
Câu hỏi 1
Dấu của a b
phụ thuộc vào yếu tố nào ? Câu hỏi 2
a b
khi nào ?
Câu hỏi 3
.
a b
< 0 khi nào ?
Câu hỏi 4
.
a b
= 0 khi nào ?
Ưùng dụng Một xe goòng chuyển động từ A đến
B dưới tác dụng của lực F
Lực F
tạo với hướng chuyển động một góc , tức là ( ,F AB)
(H.2.10)
GV : treo hình 2.10 để thực hiện thao tác giải bài
HS theo dõi và ghi chép
Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Phụ thuộc vào cos (a b , )
Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Khi cos (a b, )
> 0 hay góc giữa a
và
b
là góc nhọn Gợi ý trả lời câu hỏi 3 Khi cos (a b , )
< 0 hay góc giữa a
và
b
là góc tu Gợi ý trả lời câu hỏi 4 Khi cos (a b, )
= 0 hay góc giữa a
và
b
là góc vuông
20’
Trang 2toán này
Lực F
được phân tích thành hai thành phần F1
và F2
trong đó F1
vuông góc với AB
,còn F2
là hình chiếu của F
lên đường thẳng AB
Ta có F F 1 F 2
công A của lực F
là
F AB F F AB F AB F AB F AB
Như vậy lực thành phần F1
không làm cho xe goòng chuyển động nên không sinh công Chỉ có
thành phần F 2
của lực F
sing công làm cho xe goòng chuyển động từ A đến B
Công thức A = F AB
là công thức tính công của lực F
làm vật di chuyển từ A và B mà ta đã biết
trong vật lí
3.Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Trên mặt phẳng tọa độ (0 ; i j, )
cho hai vectơ
( ; ), ( ; ).
a a a b b b
Khi đó tích vô hướng a b.
là :
1 1 2 2
a b a b a b
Thật vậy
a b a ia j b ib j a b i a b j a b i ja b j i
Vì 2 2
1
i j
và i j j i 0
nên suy ra :
1 1 2 2
a b a b a b
Nhận xét :Hai vectơ a ( ;a a1 2 ),b ( ;b b1 2 )
khác vectơ 0
vuông góc với nhau khi và chỉ khi
1 1 2 2 0
a b a b
+ Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(2; 4
) ,B (1 ; 2 ) ,C(6 ; 2)
Chứng minh rằng AB AC
Câu hỏi 1
Hỹa xác định tọa độ của AB
Câu hỏi 2
Hãy xác định tọa độ của AC
Câu hỏi 3
Hãy tính AC AB.
Câu hỏi 4
Kết luận
4 Ưùng dụng
a Độ dài của vectơ
Độ dài của vectơ a ( ;a a1 2 )
được tính theo công
HS theo dõi và ghi chép
Gợi ý trả lời câu hỏi 1
( 1; 2)
AB
Gợi ý trả lời câu hỏi 2
(4; 2)
AB
Gợi ý trả lời câu hỏi 3
4.( 1) ( 2).( 2) 0
AC AB
Gợi ý trả lời câu hỏi 4
AB AC
20’
Trang 32 2
a a a
Thật vậy , ta có
.
a a a aa a a a a a
Do đó 2 2
1 2
a a a
Ví dụ : cho ba điểm A(1;1) ,B(2;3 ) ,C (-1;-2)
a> Xác định điểm D sao cho ABCD là hình
bình hành
b> Tính BD
b Góc giữa hai vectơ
Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta
suy ra nếu a ( ;a a1 2 )
và b ( ;b b1 2 )
đều khác
0
thì ta có :
1 1 2 2
.
a b a b
a b cos a b
Vị dụ Cho OM ( 2; 1),ON (3; 1)
Ta có:
2
5 10
OM ON
, ) 135
OM ON
c> Khoảng cách giữa hai điểm
Khoảng cách giữa hai điểm A(x A;y A) và
( B; B)
B x y được tính theo công thức :
( B A) ( B A)
AB x x y y
Thật vậy , vì AB (x Bx A;y B y A)
nên ta có :
( B A) ( B A)
AB AB x x y y
Ví dụ Cho hai điểm M(-2;2) và N(1;1) Khi
nào MN
= (3;-1) và khoảng cách MN là :
3 ( 1) 10.
MN
HS suy nghĩ làm ví dụ theo gợi ý của giáo viên
HS theo dõi và ghi chép
25’
Củng cố :(5 phút) Củng cố các kiến thức đã học về tích vô hướng của hai vectơ
Bmt, Ngày 15 tháng 11 năm
2007
GIẢNG
Tổ trưởng
Trang 4Giáo án số 13 Số tiết: 2 tiết
Thực hiện ngày Tháng năm
2007
LUYỆN TẬP VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ I.MỤC TIÊU
1 Về kiến thức:
-Học sinh nắm được định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ và các tính chất của tích vô
hướng cùng với ý nghĩa vật lí của tích vô hướng
- Học sinh biết sử dụng biểu thức tọa độ của tích vô hướng để tính độ dài của một vectơ
,tính khoảng cách giữa hai điểm , tính góc giữa hai vectơ và chứng minh hai vectơ vuông
góc với nhau
2 Về kĩ năng: Vận dụng được các kiến thức đã học vào làm bài tập
3 Về thái độ: cẩn thận chính xác trong lập luận và tính toán
II CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
- Giáo viên: giáo án, sgk, sgv
- Học sinh: Đồ dùng học tập, như: Thước kẻ, com pa các kiến thức về tổng hiệu của hai véc
tơ
III PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
Sử dụng các PPDH cơ bản sau một cách linh hoạt nhằm giúp HS tìm tòi,phát hiện, chiếm lĩnh tri thức:- Gợi mở, vấn đáp, Phát hiện và giải quyết vấn đề, đan xen hoạt động nhóm
IV TIẾN TRÌNH TIẾT HỌC
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh TG
1 AB AC a a cos 90 0 0
0
2
2 2( ) ( 2.7).
2
AC CB AC CB cos
2 a> Khi O nằm ngoài đoạn thẳng AB ta có :
0
OA OBa b cos a b
b> Khi O nằm giữa hai điểm A và B ta có :
0 180 ( 2.8).
OA OBa b cos a b h
3.a> AI AB AI . AM
cos
( AI AM, ) AI AM (1)
AI AB AI AB
cos ( AI AB, ) AI AB.
cos
(2)
IAB AI AM
Từ (1) và (2) ta suy ra
HS theo dõi giáo viên phân tích và làm bài
HS theo dõi giáo viên phân tích và làm bài
HS theo dõi giáo viên phân tích và làm bài
10’
15’
15’
Trang 5Tương tự ta chứng minh được BI BA .(4)
b> Từ hai đẳng thức (3) và (4) ở câu a> ta có :
AI AMBI BN AI ABBI BA
4
AI AB IB AB
AI IB AB
4 a> Vì điểm D nằm trên trục Ox nên tọa độ
của nó có dạng (x;0)
Theo giả thiết ta có DA = DB, nên
DA DB
Do đó :
(1 ) 3 (4 ) 2
5 3
x
Vậy D có tọa độ là ( ;0) 5
3 b> Gọi 2p là chu vi tam giác OAB ,ta có
2p = OA + OB + AB
2P 2 10 20 10(2 2).
c> Vì OA = AB = 10và OB = 20nên ta có
.
OB OA AB
Vậy tam giác OAB vuông cân tại A
Do đó . 10 10 5.
OAB
OA AB
( Có thể chứng minh OA AB
bằng cách chứng minh OA AB 0)
5 a> a b 2.6 ( 3).4 0
Vậy a b
hay
0 ( )a b 90
b> a b 3.5 2.( 1) 13
2
13 26 2
a b
a b
a b
( )a b 45
c> a b ( 2).3 ( 2 3 ) 3 6 6 12
2 4.2 3 2 3
a b
a b
a b
) 150
a b
6 Muốn chứng minh tứ giác ABCD là hình
vuông , ta có nhiều cách Chẳng hạn các cách
sau đây :
HS theo dõi giáo viên phân tích và làm bài
HS theo dõi giáo viên phân tích và làm bài
15’
15’
Trang 6Cách 1: Chứng minh ABCD là hinh thoi có
một góc vuông , cụ thể là cần chứng minh
AB BC CD DA
và AB AD 0
Cách 2: Chứng minh ABCD là hình thoi và có
hai đường chéo bằng nhau , cụ thể là cần
chứng minh AB BC CD DA
và
.
AC BD
HS theo dõi giáo viên phân tích và làm bài
15’
Củng cố :(5 phút) Củng cố các kiến thức đã học về tích vô hướng của hai vectơ
Bmt, Ngày 25 tháng 11 năm
2007
GIẢNG
Tổ trưởng
Thực hiện ngày 5 Tháng 12 năm
2007
Bài 4: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC
I.MỤC TIÊU
1 Về kiến thức:
- Học sinh nắm được định lý côsin và định lý sin trong tam giác và biết vận dụng các
định lý này để tính cạnh và góc
- Học sinh biết sử dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến theo 3 cạnh và công
thức tính diện tích tam giác
- Học sinh biết giải tam giác và biết thực hành việc đo đạc trong thực tế
2 Về kĩ năng: Vận dụng được các kiến thức đã học vào làm bài tập
3 Về thái độ: cẩn thận chính xác trong lập luận và tính toán
II CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
- Giáo viên: giáo án, sgk, sgv
- Học sinh: Đồ dùng học tập, như: Thước kẻ, com pa các kiến thức về tổng hiệu của hai véc
tơ
III PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
Sử dụng các PPDH cơ bản sau một cách linh hoạt nhằm giúp HS tìm tòi,phát hiện, chiếm lĩnh tri thức:- Gợi mở, vấn đáp, Phát hiện và giải quyết vấn đề, đan xen hoạt động nhóm
Trang 71 BÀI CŨ :5’
CH1: Định nghĩa và tính chất của tích vô hướng của hai véctơ
CH2: Nêu công thức tính góc của hai véc tơ
CH3: Nêu công thức tính khoảng cách giữa hai điểm
CH4: Nêu biểu thức toạ độ của hai véctơ
2.BÀI MỚI
Chúng ta biết rằng một tam giác được hoàn toàn xác định nếu biết một số yếu tố, chẳng hạn
biết ba cạnh, hoặc hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó
Như vậy giữa các cạnh và các góc của một tam giác có một mối liên hệ xác định nào đó mà
ta sẽ gọi là các hệ thức lượng trong tam giác, Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu những
hệ thức đó và các ứng dụng của chúng
Đối với tam giác ABC ta thường kí hiệu : a = BC, b = CA, c = AB
Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH = h và có BC = a, CA = b, AB = c Gọi
BH = c’ và CH = b’ (h.2.11) Hãy điền vào các ô trống trong các hệ thức sau đây để
được các hệ thức lượng trong tam giác vuông :
GV :Yêu cầu hs xem hình 2.11 để thực hiện thao tác này
2
a b
b a
2
2
'
c a
h b
ah b
b c
SinB = cosC = ;sinC cosB
TanB = cotC = ;cotB tanC
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh TG
1 Định lí côsin
a> Bài toán Trong tam giác ABC cho biết hai
cạnh AB, AC và góc A, hãy tính cạnh BC
Giải
Ta có :
2
BC AC AB AC AB A
Vậy ta có BC2 2 2
2 cos
BC AC AB AC AB A
Từ kết quả của bài toán ta suy ra định lí sau
đây :
Gợi ý điền vào chỗ trống Định lí Py – ta – go
a b c
2 2 2
' ' ' '
b a b
c a c
h b c
ah b c
sin cos ;sin cos
35’
A
B
C
Trang 8b> Định lí côsin
Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA =
b, AB = c ta có :
2
a b c bc cos ;A
2
b a c ac cos ;B
c a b ab cos C
GV cho học sinh phát biểu thành lời định lí
trên và kết luận :
Trong một tam giác , bình phương một cạnh
bằng tổng các cạnh còn lại trừ đi hai lần lần
tích của hai cạnh đó và côsin của góc xen giữa
hai cạnh đó
H: Khi ABC là tam giác vuông, định lí côsin trở
thành định lí quen thuộc nào ?
Từ định lí côsin ta suy ra:
Hệ quả
2
2
2
b c a A
bc
a c b B
ac
a b c C
ab
c> Aùp dụng Tính độ dài đường trung tuyến
của tam giác
Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA =
b, AB = c Gọi m m a, b và m c là độ dài các
đoạn trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B
và C của tam giác, ta có :
2
2
2
; 4
; 4
4
a
b
c
m
m
m
Gv gợi ý cho hs chứng minh các công thức trên
dựa vào định lý côsin
Vận dụng: Cho tam giác ABC có a = 7 cm, b = 8
cm và c = 6 cm Hãy tính độ dài đườn trung tuyến
a
m của tam giác ABC đã cho
d> ví dụ
Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có các cạnh AC = 10
cm, BC = 16 cm và góc 0
110
C Tính cạnh AB
phát biểu định lí côsin bằng lời
Đây là định lí Py – ta – go
Hs suy nghĩ chứng minh:
Thật vậy, gọi M là trung điểm của các cạnh BC, áp dụng định lí côsin vào tam giác AMB ta có ;
a
m c c Bc ac B
Vì cos B =
2
ac
nên ta suy
ra :
2 2 2 2 2 2 2
a
a a c b b c a
m c ac
ac
chứng minh tương tự ta có:
2
2
; 4
4
b
c
m
m
hs làm vận dụng
a
Trang 9Giải
Đặt BC = a, CA = b, AB = c
Theo định lí côsin ta có :
2
465, 44.
c
Vậy c 465, 44 21, 6(cm)
2.Định lí sin
Cho tam giác ABC vuông ở A nội tiếp đường tròn
bán kính R và có BC = a, CA = b, AB = c Chứng
minh hệ thức :
2
R
Đối với tam giác ABC bất kì ta cũng có hệ thức
trên Hệ thức này được gọi là định lí sin trong
tam giác
a) Định lí sin
Trong tam giác ABC bất kì với BC = a,CA = b,
AB = C, và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ta
có :
2
R
CHỨNG MINH Ta chứng minh hệ thức
2 sin
a
R
A Xét hai trường hợp :
- Nếu góc A nhọn, ta vẽ đường kính BD của
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và khi
đó vì tam giác BCD vuông tại C nên ta có
BC = BD sinD hay a = 2R.sinD (h.2.16a)
- Ta có BACBDC vì đó hai góc nội tiếp
cùng chắn cung BC Do đó a = 2R.sinA
hay 2
sin
a R
A
- Nếu góc A tù, ta cũng vẽ đường kính BD
cảu đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác
ABC (h.2.16b).Tứ giác ABCD nội tiếp
đường tròn tâm O nên 0
180
D A.Do đó sinD = sin (1800A).Ta cũng có BC = BD
.sinD hay a = BD sinA
Vậy a = 2R sinA hay 2
sin
a R
A
Các đẳng thức 2
sin
b R
B và 2
sin
c R
C được chứng mihn tương tự
R
Hs suy nghĩ làm ví dụ
Hs suy nghĩ chứng minh hệ thức:
Ta có sinA = sin 900=1
BC = 2R
2 sin
a R
2 2
sin
R b B R
2
R
35’
Trang 10Vận dụng: Cho tam giác ABC có cạnh bằng A
.Hãy tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
đó
3.Công thức tính diện tích tam giác
Ta kí hiệu h h a, bvà h c là các đường cao của tam
giác ABC và S là diện tích tam giác đó
H: Hãy viết các công thức tính diện tích tam giác
theo một cạnh và đường cao tương ứng
Cho tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB
= c,
Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại
tiếp, nội tiếp tam giác và
2
a b c
p là nửa chu
vi của tam giác
Diện tích S của tam giác ABC được tính theo một
trong các công thức sau:
s ab C bc A ca B
(1)
4 ;
abc S
R
(2)
S = pr;
(3)
s p pa p b p c (công thức Hê-
rông ), (4)
Ta chứng minh công thức (1)
Ta đã biết 1
2 a
s ah với
ha AH ACsinCbsinC ( kể cả C nhọn, tù
hay vuông )(h.2.18)
Do đó s = 1
2absinC Các công thức 1
2 sin
s bc A và 1
2 sin
s ca B được chứng minh tương tự
H:Dựa vào công thức (1) và định lí sin, hãy chứng
minh
4
abc s
R
Ví dụ 1.Tam giác ABC có các cạnh a = 13m, b
=14m và c = 15m
a) tính diện tích tam giác ABC;
b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại
tiếptam giác ABC
Hs làm vận dụng:
Ta có sinA =sin600 3
2
BC = a
2 sin
a R
A
2
3 sin
a
A hay 1
3
R
Hs nắm lại công thức đã học:
2 a 2 a
S BC h a h
=1 1
2AC h. b 2b h .b =1 1
2AB h. c 2c h. c
Hs suy nghĩ chứng minh:
1
R
1
2bcsinA abc4
R
Hs suy nghĩ làm ví dụ 1
30’