- Học sinh nắm được đn tích vô hướng, ý nghĩa vật lý của tích vô hướng và b thức toạ độ của nó.. - Hs sử dụng được các tính chất của tích vô hướng trong tính toán, biết cm 2 véctơ vuông
Trang 1BÀI 1:(4Đ)
a)O là trung điểm ACMA MC 2MO (1) (0.5)
O là trung điểm BDMB MD 2MO (2) (0.5)
Cộng (1) và (2) suy ra đpcm (1.0)
b)ABCD là hbh
(0.5)
Theo đề 3AN ABACAD
3
Lý luận để dẫn đến N thuộc AC (0.5)
BÀI 2:(5Đ)
a)Tính được AC 2=20 (0.5);AB 2=5 (0.5);BC2=25 (0.5)
Suy ra tam giác BCA vuông tại A (0.5)
b)Chu vi tam giác ABC=5+3 5 (0.5)
Diện tích tam giác ABC=5 (0.5)
c)M(x;0).AMC cân tại M AM=MCAM2=MC2 (0.5)
Viết được MA 2=(2-x)2+32 (0.25)
MC2=(4-x)2+12 (0.25)
Lập đúng pt,giải tìm được x=1 (0.75)
Suy ra M(1;0) (0.25)
BÀI 3:(1Đ)
Gọi I là trung điểm AB 2MI MA MB (1) (0.25)
MA MB BA (2) (0.25)
; Theo đề MA MB MA MB
(3)
2
MI BA MI AB
(0.25) Lý luận I cố định,AB/2 không đổi suy ra tập hợp điểm M là đường tròn (I;AB/2) (0.25)
CHƯƠNG II: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ
VÀ ỨNG DỤNG
**********
Tiết 15-16 §1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA
MỘT GÓC BẤT KỲ ( TỪ 0 0 ĐẾN 180 0 )
I) Mục tiêu :
Học sinh nắm được đn gtlg của các góc tuỳ ý từ 00 đến 1800, nhớ được tính chất : hai góc bù nhau thì
Trang 2MOM'
MOx
sin bằng nhau , còn côsin, tang và côtang của chúng đối nhau
II) Đồ dùng dạy học:
Giáo án, sgk
III) Các hoạt động trên lớp:
1) Kiểm tra bài củ:
Câu hỏi :Đn tích của 1 số với véc tơ
2) Bài mới:
Tg Nội dung
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
T1
1
1
y
x M(x;y)
1)Định nghĩa :
Với mỗi góc (00 1800),
ta xđ điểm M trên nữa đtròn
đơn vị : = Giả sử
M(x;y)
Khi đó sin=y
cos=x
tan =y/x (x0)
cot=x/y (y0)
Ví dụ 1:Tìm các gt lượng giác
của góc 1350
45 0
135 0 1
1
y
x M
Cho hệ trục toạ độ Oxy và nữa đtròn tâm O bán kính R=1, nằm phía trên trục
Ox gọi là nữa đtròn đơn vị
Nếu cho trước 1 góc nhọn
thì xđ được điểm M duy nhất trên nữa đtròn đơn
vị :
=
Hđ1:
Gv hướng dẫn hs thực hiện hđ1
Cho hs quan sát hình 32 , và ghi đn nữa đtròn đơn vị
Hđ1: Gọi M’ là hc của M trên Ox khi đó
tam giác MOM’ vuông tại M’ và
= Theo đn lớp 9 cos=OM’/OM=OM’=x sin =M’M/OM=M’M=y tan =sin /cos =y/x cot=cos /sin =x/y
M(- 2/2; 2/2) Vậy sin1350= 2/2 ; cos1350= - 2/2 ; tan1350= -1 ; cot1350= -1 ;
sin00=0;cos00=1;tan00=0;cot00kxđ sin1800=0;cos1800=1;tan1800=0;cot1800kxđ sin900=1;cos900=0;tan900 kxđ;cot900=0
Không có góc nào mà sin <0, vì
?1
?2
Trang 3T2
Tính chất:
sin(1800-)= sin ;
cos(1800- )= -cos;
tan(1800- )= -tan ;( 900)
cot(1800- )=
-cot;(00<<1800)
Ví dụ 2:
Tìm các gt lượng giác của góc
1500
2)Gtrị lgiác của 1 số góc đb:
sin, cos , tan, cot gọi là các gtlg của góc
Gv hướng dẫn hs làm vd1
Gv hướng dẫn trả lời câu hỏi1
Gv hướng dẫn trả lời câu hỏi2
Hđ2:
Gv hướng dẫn hs làm hđ2
mọi điểm M nằm trên nữa đtròn đvị đều có tung độ y0,
cos< khi 900< 1800
Hđ2:
a) +’=1800 b)sin =sin ’;cos = -cos ’ tan= -tan ’;cot = -cot ’
'
M
1
1
y
x M'
?1
?2
Trang 4Gv hướng dẫn hs làm vd2
2
1
2
2
2
3 1
2
3
2
2
2
2
3
2
2
2
-2
1
-2
2 -2
3
-3
3
-3
3)Củng cố: Đn gtlg của góc bất kỳ (00 1800), bảng gtlg của 1 số góc đặc biệt
4)Dặn dò : Câu hỏi và bt 1,2,3 sgk trang 43
HD:1.a)( 2/2- 3-1)(1+ 3/3); b)1/4 ;
2.a)2sin800; b)cos
3.a)Nếu là góc nhọn thì công thức này đã cm ở lớp 9 Nếu =00 hoặc =900 thì theo
đn
sin200+cos200=0+1=1 ; sin2900+cos2900=1+0=1 Nếu 900< 1800, đặt =1800- và
sin2 +cos2= sin2+cos2
(-)=sin2+cos2=1;b)1+tan2 =1+sin2 /cos2 =1/cos2 ;c)tương tự
Tiết 17-19 §2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ
I) Mục tiêu :
Trang 5- Học sinh nắm được đn tích vô hướng, ý nghĩa vật lý của tích vô hướng và b thức toạ độ
của nó
- Hs sử dụng được các tính chất của tích vô hướng trong tính toán, biết cm 2 véctơ vuông
góc bằng cách
dùng tích vô hướng, biết sử dụng bình phương vô hướng của 1 véctơ
II) Đồ dùng dạy học:
Giáo án, sgk
III) Các hoạt động trên lớp:
1) Kiểm tra bài củ:
Câu hỏi :Đn nữa đtròn đơn vị? Gtlg của góc bất kỳ (00 1800)?
2) Bài mới:
Tg Nội dung Hoạt động của thầy Hoạt động của trò
T1 1)Góc giữa 2 véctơ :
Cho 2 véctơ avàbđều khác 0
Từ 1 điểm O nào đó, vẽ OA=a và
OB=b Khi đó
Số đo của góc AOB được gọi làgóc
giữa 2 véctơ avàb, ký hiệu là
(a,b)
Nếu (a;b)=900 thì a
b
B
50 0
C
A
2) Đn tích vô hướng của 2 véctơ :
Tích vô hướng của 2 véctơ a và b là
Cho hs quan sát vẽ hình
35 , và ghi đn góc giữa 2 véctơ
Trong trường hợp có ít nhất
1 trong 2 véctơ ahoặc
blà0thì góc giữa avà
blà tuỳ ý (từ 00 đến 1800)
Cách xđ góc giữa 2 véctơ không phụ thuộc vào việc chọn điểm O
Gv hướng dẫn hs trả lời câu hỏi
Hđ1:
Gv hướng dẫn hs làm hđ1
O
A
B
Góc giữa 2 véctơ bằng 00 khi 2 véctơ cùng hướng
Góc giữa 2 véctơ bằng 1800 khi 2 véctơ ngược hướng
Hđ1:
(BA,BC)=500;(AB,BC)=130 (CA,CB)=400; (AC,BC)=40 (AC,CB)=1400;(AC,BA)=90
?1
?1
Trang 6T2
1 số, ký hiệu a.b, được xđ bởi
a.b=a.bcos(a,b)
Ví dụ 1:Cho ABC đều cạnh a và
trọng tâm G Tính các tích vô hướng
sau đây
AB.AC;AC.CB;AG.AB;
GB.GC;BG.GA;GA.BC;
Bình phương vô hướng:
Bình phương vô hướng của 1
véctơ bằng bình phương độ
dài của véctơ đó
a2=a.a.cos00=a2
3)Tính chất của tích vô hướng:
Định lý:
Với 3 véctơ a,b,ctuỳ ý và
mọi số thực k , ta có
1/a.b=b.a (t/c giao hoán);
2/a.b=0
a
b; 3/(ka).b=a.(kb)=k(a.b);
4/a.(b+c)=a.b+a.c(tc
phân phối đv phép cộng);
a.(b-c)=a.b-a.c(tc phân
phối đv phép trừ );
Vd1:
Gv hướng dẫn hs thực hiện vd1
Gv hướng dẫn hs trả lời
câu hỏi 2
Gv hướng dẫn hs trả lời
câu hỏi 3
Giải:
AB.AC=a.a.cos600=a2/2;
AC.CB=a.a.cos1200= - a2/2;
AG.AB=a
3
3 a.cos300=a2/2;
GB.GC= a
3
3 a 3
3 cos120
= - a2/6;
BG.GA= a2/6;
GA.BC= a
3
3 a.cos900=0;
Tích vô hướng của 2 vé
bằng 0 khi 2 véctơ đó vuông góc
Có, suy từ đn tích vô hướng của 2 véctơ và
(a,b)=(b,a)
B C A G ?2
?2
?3
?3
Trang 7Hệ thức:
(a+b)2=a2+b2+2a.b; (1)
(a-b)2=a2+b2-2a.b; (2)
(a+b).(a-b)=a2-b2
=a2-b2; (3)
B
C A
D
Bài toán 1:Cho tứ giác ABCD
a)Cmr
AB2+CD2=BC2+AD2+2CA.BD
b) tứ giác ABCD có CABD
AB2+CD2=BC2+AD2
Bài toán 2:Cho đoạn thẳng AB có
độ dài 2a và số k2 Tìm tập hợp các
điểm M sao cho MA.MB= k2
Bài toán 3:Cho 2 véctơ OA,OB
Gọi B’ là hình chiếu của B trên
đường thẳng OA.Cmr:
OA.OB=OA.OB'
Hđ2:
Gv hướng dẫn hs làm hđ2
(cm (1) và (2) ) Sgk cm(3) (a+b).(a-b)=a.(a-b)+
b.(a-b)=a2-a.b+b.a
-
b2 =a2-b2 =a2-b2
Gv hướng dẫn hs trả lời
Câu hỏi 4
Gv hướng dẫn hs giải btoán
1
O
M
Gv hướng dẫn hs giải btoán
2
Hđ2:
(a+b)2=(a+b).(a+b)
=a2+a.b+b.a+b2
=a2+b2+2a.b; (a-b)2=(a-b).(a-b)
=a2-a.b-b.a+b2
=a2+b2-2a.b; Đẳng thức nói chung không đúng, chỉ đúng khi avà cùng phương
Viết đúng : (a.b)2=(a.bcos(a,b =a2.b2.cos2(a,b)
Bài toán 1:
a) AB2+CD2-BC2-AD2= (CB-CA)2+ CD2-BC2-(CD
-
CA)2
= -2CB.CA+2CD.CA
=2CA(CD-CB)=2CA.BD b) CABD
CA.BD=0
AB2+CD2=BC2+AD2
Bài toán 2:Gọi O trung điểm AB
MA.MB=(MO+OA).(MO+
=MO2-OA2=MO2-a2
MA.MB= k2 MO2= k2+a Vậy tập hợp các điểm M là đtròn tâm O, bán kính R= 2 2
a
k
Bài toán 3:Nếu < 900
?4
?4
Trang 8AOB AOB
B'OB
“Véctơ OB' gọi là hình chiếu của
OB trên đường thẳng OA Công thức
OA.OB=OA.OB'
Gọi là công thức hình chiếu.”
Bài toán 4:Cho đtròn (O;R) và điểm
M cố định Một đường thẳng thay
đổi, luôn đi qua M, cắt đtròn đó tại 2
điểm A và B Cmr:
MA.MB= MO2-R2
4)Bthức tđộ của tích vô hướng :
Các hệ thức quan trọng
Cho 2 véctơ a=(x;y)
vàb=(x’;y’) Khi đó
1/a.b= xx’+yy’;
2/a= 2 2
y
x ; 3/cos(a,b)=
2 2 2 2
y' x' y x
yy' xx'
Gv hướng dẫn hs giải btoán
3
Hđ3:Gv hướng dẫn hs làm
hđ3
Gv hướng dẫn hs giải btoán
4
Chú ý:1/Giá trị không đổi
MA.MB= d2-R2 gọi là phương tích của điểm M đv đtròn (O) và ký hiệu là
P M/(O)
P M/(O)=MA.MB= d2-R2 (d=MO)
2/Khi điểm M nằm ngoài đtròn (O), MT là ttuyến của đtròn đó (T là tiếp điểm), thì
P M/(O)=MT2=MT2
Gv hướng dẫn hs làm hđ4
OA.OB=OA.OB.cos =
=OA.OB’=
=OA.OB’.cos00=OA.OB'
Nếu 900 thì
OA.OB=OA.OB.cos =
= -OA.OB.cos = -OA.OB’=
=OA.OB’.cos1800=OA.OB'
Hđ3:Tích vô hướng của avà bằng tích vô hướng của a với hình chiếu của btrên giá của
Bài toán 4:Vẽ đkính BC của
đtròn (O;R) Ta có MA là hình chiếu của MCtrên đthẳng MB Theo công thức hình chiếu ta có
MA.MB=MC.MB=
=(MO+OC).(MO+OB)=
=(MO-OB).(MO+OB)
=MO2-OB2=d2-R2 (với d=MO)
Hđ4:
a)i 2=1; j2=1; i j=0;
b) a.b=(xi +yj).(x’i +y’j
=xx’i 2+xy’i j+x’yj.i +yy’
=xx’+yy’
c) a2=a.a=x2+y2
d)cos(a,b)=
b a
b a
=
2 2 2 2
y' x' y x
yy' xx'
Trang 9Bài tập
BÀI 1:
AB=a;BC=2a
a)Aùp dụng Pitago ta được: AC=a 3
Vậy
0
3.cos 90 0
a a
b)Ta có:
3.2 cos 30 3
BÀI 3:
Đẳng thức 2 2 2
a b a b
xảy ra khi
2
cos a b , 1 hay cos a b , 1
.Suy ra góc giữa a b ,
là 00 hoặc 1800 hay là đây hai vectơ cùng phương
BÀI 4:
0
DA BC DB CA DC AB
DA DC DA DB DB DA DB DC DC DB DC DA
Vậy ta có đpcm
Bài toán:Cho tam giác ABC,đường cao AH và BH’ giao nhau tại
*Tương tự như VD đã làm trong phần lý thuyết ta tính được tích vô hướng bằng bao nhiêu?
*Tam giác ABC là tam giác gì?
*Các cạnh của tam giác này là bao nhiêu?
*Gọi HS lên bảng làm bài
( )a b
=?
*Vậy đẳng thức đề bài xảy ra khi nào?
*Gọi HS lên bảng trình bày lại lời giải
*Chèn điểm D vào VT của đẳng thức theo qui tắc trừ
(a 0,b 0)
Đặc biệt a
b xx’+yy’=0
Hệ quả: Trong mp toạ độ, khoảng
cách giữa 2 điểm M(xM;yM) và
N(xN;yN) là
M N
2 M
N -x ) y -y )
Vd2:
Gv hướng dẫn hs thực hiện vd2
Hđ5:Gv hướng dẫn hs làm
hđ5
Hđ5:a) a b a.b=0 -1+2m=0m=1/2 b)
a= 5,b= 2
m
1 ;
a=b 5= 2
m
1
m2=4m=2
Trang 10D.CMR: CD vuông góc AB
CM:
Theo đề bài ta có:
DA BC. DB CA. DC AB. 0
(1)
AHBC AD BC 0
(2)
BH ACBD AC
(3) Từ (1),(2),(3) ta có DC AB 0
hay CD vuông góc với AB.Vậy ta có đpcm
BÀI 5:
Với ba trung tuyến AD,BE,CF ta có:
1 2 1 2 1 2
BE BA BC
CF CA CB
Vậy khi thế các đẳng thức vectơ vào VT ta có đpcm
BÀI 6:
Gọi I là trung điểm AB IA IB
MA MB MI IA MI IA MI MA
MI MA k
MI k MA MI k IA
Vậy với I cố định, 2
kIA không đổi,tập hợp M là đường tròn tâm
kIA
BÀI 7:
a) AM AI ABBM AI AB AI
(do BM vuông góc với AI)
Ta có đpcm
Đẳng thức còn lại cm tương tự
M N
I
thì ta có điều gì?
*HS lên bảng biến đổi
*Vậy nếu DA,DB là hai đường cao của tam giác ABC thì ta có điều gì?
*Vậy ta có bài toán nào?
*Gọi HS lên bảng ghi lại bài toán và chứng minh bài toán đó
*AD,BE,CF là ba trung tuyến thì ta có được các công thức vectơ nào?
*Từ các công thức đó ráp vào và ta sẽ ra được đpcm
*Gọi HS lên bảng làm bài
*Nếu chèn trung điểm I của AB vào cả hai vectơ
;
MA MB
theo qui tắc cộng thì ta có điều gì?
*Đã có thể kết luận gì về quỹ tích điểm M chưa?
*Lưu ý HS phải nói rõ những yếu tố nào cố định,không đổi
*Gọi HS lên bảng vẽ hình
*Nhìn hình vẽ ta thấy những đường nào vuông góc với nhau? Điều đó có nghĩa tích vô hướng của nó bằng bao nhiêu?
