Khái niệm về hàm ngẫu nhiên dừng Trong thực tế rất hay gặp những quá trình ngẫu nhiên diễn ra trong thời gian gần như đồng nhất và có dạng những dao động ngẫu nhiên liên tục xung quanh
Trang 1X (I) = X (I) - A (I, J) * X (J)
END DO
END DO
RETURN
END
Chương 4 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT HÀM
NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG
Hàm ngẫu nhiên là hàm mà trong kết quả thí nghiệm có thể nhận
dạng cụ thể nào đó không biết trước được
Dạng cụ thể mà hàm ngẫu nhiên nhận trong kết quả thí nghiệm gọi
là hiện của hàm ngẫu nhiên Nếu thực hiện một nhóm thí nghiệm với hàm ngẫu nhiên, thì ta nhận được một nhóm hay một họ hiện của hàm đó Rõ
ràng mỗi hiện là một hàm bình thường (không ngẫu nhiên) Nếu ta cố
định một giá trị nào đó của biến t của hàm ngẫu nhiên X (t), thì hàm )
(t
X lúc này trở thành đại lượng ngẫu nhiên, đại lượng ngẫu nhiên này
được quy ước gọi là mặt cắt của hàm ngẫu nhiên tương ứng với t đã cho
4.1 Các đặc trưng của hàm ngẫu nhiên
Kỳ vọng toán học của hàm ngẫu nhiên X (t) là một hàm không ngẫu nhiên m x (t) mà tại từng giá trị của đối số t bằng kỳ vọng toán học
của mặt cắt tương ứng của hàm ngẫu nhiên:
)]
( [ ) (t M X t
m x = (4.1)
Về ý nghĩa, kỳ vọng toán học của hàm ngẫu nhiên là một hàm trung bình nào đó mà các hiện cụ thể biến thiên xung quanh nó (hình 4.1)
Trang 2X(t)
t
t
m x (t)
Hình 4.1 Mô tả các hiện và kỳ vọng toán học
của hàm ngẫu nhiên
Phương sai của hàm ngẫu nhiên X (t) là hàm không ngẫu nhiên
)
(t
D x , giá trị của nó tại từng giá trị t bằng phương sai của mặt cắt
tương ứng của hàm ngẫu nhiên:
)]
( [ ) (t D X t
D x = (4.2)
Độ lệch bình phương trung bình:
) ( )
(t D x t
σ (4.3)
Hàm tương quan của hàm ngẫu nhiên X (t) là hàm không ngẫu
nhiên hai đối số K x ( t t, ′ mà ứng với từng cặp giá trị t) t ′, bằng mô men
tương quan của các mặt cắt tương ứng của hàm ngẫu nhiên:
)]
( ) ( [ ) , (t t M X t X t K
o o
x ′ = ′ , (4.4) trong đó X(t) X(t) m (t); X(t) X(t) m x(t)
o x
o
′
−
′
=
′
−
Hàm tương quan chuẩn hóa:
) ( ) (
) , ( )
, (
t t
t t K t
t r
x x
x
′
=
′
σ
σ (4.5)
4.2 Khái niệm về hàm ngẫu nhiên dừng
Trong thực tế rất hay gặp những quá trình ngẫu nhiên diễn ra trong thời gian gần như đồng nhất và có dạng những dao động ngẫu nhiên liên tục xung quanh một giá trị trung bình nào đó; cả biên độ, cả đặc điểm của những dao động ấy không có những biến đổi đáng kể với thời gian
Những quá trình ngẫu nhiên này gọi là các quá trình ngẫu nhiên dừng
Điều kiện của quá trình ngẫu nhiên dừng:
const )
( = x =
x t m
m , (4.6)
const )
( = x =
x t D
D , (4.7)
) ( ) , ( ) ,
K ′ = + = (4.8) Nhận thấy rằng từ hàm ngẫu nhiên X (t) luôn luôn có thể chuyển thành hàm ngẫu nhiên quy tâm X (t)
o
có kỳ vọng toán học bằng không,
do đó, thỏa mãn (4.6) Như vậy, nếu quá trình ngẫu nhiên không dừng chỉ
do kỳ vọng toán học biến đổi, thì điều kiện đó vẫn không cản trở chúng ta nghiên cứu nó như quá trình ngẫu nhiên dừng Điều kiện (4.7) là trường hợp bộ phận của điều kiện (4.8): khi cho t+τ =t, tức τ =0, ta có
const )
( ) , ( )
x t K t t k
kể duy nhất để hàm ngẫu nhiên là dừng
Trong thực tế, thay cho hàm tương quan Kx( τ ) thường dùng hàm tương quan chuẩn hóa:
x
x x
D
K ( ) )
(τ τ
ρ = , (4.9)
ở đây Dx = Kx( 0 ) − phương sai không đổi của quá trình ngẫu nhiên dừng Hàm ρx(τ) chính là hệ số tương quan giữa các mặt cắt của hàm ngẫu nhiên cách nhau bởi khoảng τ theo thời gian Rõ ràng ρx(0)=1
Trang 34.3 Tính chất egođic của những hàm ngẫu nhiên dừng
Xét hàm ngẫu nhiên X1(t) (hình 4.2) đặc trưng bằng tính chất sau:
mỗi hiện của nó có cùng một dấu hiệu: giá trị trung bình mà xung quanh
đó xảy ra dao động và quy mô trung bình của những dao động Ta chọn
tùy ý một trong số các hiện ấy và tiếp tục kéo dài ra một đoạn thời gian
T Khi T khá lớn, một hiện này có thể cho ta khái niệm khá rõ về tính
chất của hàm ngẫu nhiên về toàn cục Cụ thể, nếu lấy trung bình các giá
trị của hiện này dọc theo trục hoành - theo thời gian, ta phải nhận được
giá trị gần đúng của kỳ vọng toán học của hàm ngẫu nhiên; nếu lấy trung
bình các bình phương của độ lệch so với trung bình này, ta phải nhận
được giá trị gần đúng của phương sai, v.v
Hình 4.2 Hàm ngẫu nhiên
có tính chất egođic
t
0
X1(t)
Hình 4.3 Hàm ngẫu nhiên
không có tính chất egođic
t
0
X2(t)
Trong trường hợp này, ta nói rằng hàm ngẫu nhiên X1(t) có tính
chất egođic Tính chất egođic biểu hiện ở chỗ mỗi hiện riêng lẻ của hàm
ngẫu nhiên như là “đại biểu toàn quyền” của tập hợp tất cả các hiện có thể có; một hiện đủ độ dài có thể thay thế tập hợp các hiện cùng độ dài tổng cộng trong khi xử lý
Hàm ngẫu nhiên X2(t) (hình 4.3) không có tính chất egođic
Dấu hiệu để xác định hàm ngẫu nhiên có tính chất egođic hay không: Hàm tương quan của hàm ngẫu nhiên dừng khi tăng τ không giảm mà bắt đầu từ τ nào đó giữ nguyên gần như không đổi, thì điều đó
là dấu hiệu rằng trong thành phần của hàm ngẫu nhiên có số hạng dưới dạng đại lượng ngẫu nhiên thông thường và quá trình là không egođic Sự tiến dần của hàm tương quan tới không khi τ →∞ nói lên tính chất egođic của quá trình
4.4 Xác định các đặc trưng của hàm ngẫu nhiên dừng egođic theo một hiện
Giả sử có một hiện của hàm ngẫu nhiên X (t) trên khoảng thời gian
đủ dài T :
∫
T
m
0
1 ) ( ; (4.10)
∫− +
−
τ
T
k
0
1
) ( ) ( , (4.11) trong đó
x
o
m t x t
x( )= ( )− (4.12) Trong thực tế, thường các tích phân (4.10) và (4.12) được thay thế bằng các tổng hữu hạn Người ta làm như sau Chia khoảng ghi hàm ngẫu
nhiên ra n phần bằng nhau dài tΔ và ký hiệu các điểm giữa ,t1
n t
t ,2, (hình 4.4):
Trang 4x(t)
m x
t1
Δt
Hình 4.4 Biểu diễn quan trắc về hàm ngẫu nhiên
∑
∑
=
=
=
i i n
i i
n t x n
T T
m
1 1
1
) ( 1 ) ( (4.13) Tính hàm tương quan đối với các giá trị τ tuần tự bằng
,
,
,Δ 2t Δt
0 Cho τ bằng
n
mT t
mΔ =
=
chia khoảng tích phân
T n
m n n
mT T
=
−
=
−τ
thành n−m đoạn bằng nhau dài tΔ
∑−
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
i
m i o i o
m n n
mT k
1
1
) ( ) ( (4.14)
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
n
mT
k x cho các m=0,1,2, cho tới khi hàm tương quan
trở nên thực tế bằng không hoặc dao động ít nhiều xung quanh không
Chọn tΔ theo đặc điểm của sự biến đổi hàm ngẫu nhiên: nếu X (t)
biến đổi khá đều thì t Δ chọn lớn, khi nó biến đổi đột ngột thì chọn tΔ
nhỏ hơn Số lượng điểm chia n khá lớn (hàng trăm hoặc vài trăm) Nếu
dao động có thành phần cao tần càng lớn thì số điểm chia càng mau Nên
chọn tΔ sao cho trong một chu kỳ của thành phần điều hòa cao tần nhất trong hàm ngẫu nhiên phải có khoảng từ 5 đến 10 điểm chia
Nhiều khi việc chọn các điểm chia không phụ thuộc vào người tính,
mà do máy ghi quyết định Trong trường hợp này phải xử lý trực tiếp số liệu quan trắc, không nên nội suy thêm những giá trị giữa các quan trắc,
vì điều đó không làm tăng độ chính xác của kết quả mà chỉ gây phức tạp
vô ích
4.5 Khai triển phổ hàm ngẫu nhiên dừng trên khoảng thời gian hữu hạn
Tồn tại mối liên hệ giữa đặc điểm của hàm tương quan và cấu trúc bên trong của quá trình ngẫu nhiên tương ứng Tùy thuộc vào những tần
số nào và tỷ lệ ra sao giữa các tần số ấy trong thành phần của hàm ngẫu nhiên, mà hàm tương quan của nó có dạng này hoặc dạng khác
Nếu quá trình dao động biểu thị dưới dạng tổng của các dao động
tần số khác nhau (các thành phần điều hòa), thì phổ của quá trình dao
động là hàm mô tả phân bố của biên độ theo các tần số khác nhau
Đối với quá trình ngẫu nhiên cũng có thể mô tả bằng phổ Chỉ có khác là đối với quá trình ngẫu nhiên các biên độ dao động sẽ là các đại lượng ngẫu nhiên Phổ của hàm ngẫu nhiên dừng sẽ mô tả sự phân bố của phương sai theo các tần số khác nhau
Xét hàm ngẫu nhiên dừng X (t)
o
quan trắc được trên khoảng ( T0, ) Cho hàm tương quan của hàm ngẫu nhiên X (t)
o
:
Trang 5) ( ) ,
Hàm Kx( τ ) là hàm chẵn:
) ( ) (τ = x −τ
k
và trên đồ thị được biểu diễn bằng đường cong đối xứng (hình 4.6) Khi
thay đổi t từ 0 đến T đối số τ =t′−t biến đổi từ − T đến + T
Hình 4.6 Hình dạng của một hàm tương quan điển hình
Ta biết rằng hàm chẵn trên khoảng ( − T , T ) có thể khai triển thành
chuỗi Fourier, dùng các thành phần điều hòa chẵn (các hàm cosin):
∑∞
=
=
0
cos )
(
k
k k
k τ ω τ , (4.15) trong đó
T T
k k
π π ω ω
2
2
còn các hệ số Dk xác định theo công thức
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
≠
=
=
∫
∫
−
−
T T
k x
k
T T x
k d
k T D
d k T D
0 khi
cos ) ( 1
) ( 2
1
0
τ τ ω τ
τ τ
(4.16)
Hoặc, vì kx( τ ) và cos ωkτ là các hàm chẵn, có thể biến đổi thành dạng
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
≠
=
=
∫
∫
T
k x
k
T x
k d
k T D
d k T D
0
0 0
0 khi
cos ) ( 2
) ( 1
τ τ ω τ
τ τ
(4.17)
Nếu trong biểu thức (4.15) ta chuyển đổi từ đối số τ thành hai đối số t
và t′:
t t
t t
t
k
(4.18)
và đặt (4.18) vào công thức (4.15):
) sin sin
cos cos
( ) , (
0
∑∞
=
′ +
′
=
′
(4.19) Biểu thức (4.19) chính là khai triển chuẩn hàm tương quan )
,
( t t
Kx ′ Các hàm tọa độ là cosin và sin của tần số là bội của ω1:
) , 1 , 0 ( sin
, cos ωkt ωkt k =
Do đó, hàm ngẫu nhiên X& (t ) có thể biểu thị dưới dạng khai triển chuẩn:
Trang 6=
+
=
0
) sin cos
( ) (
k
k k k
U t
X & ω ω , (4.20) trong đó U ,k Vk − các đại lượng ngẫu nhiên không tương quan có kỳ
vọng toán học bằng không và các phương sai như nhau đối với mỗi cặp
đại lượng ngẫu nhiên với cùng một chỉ số k:
k k
U ] = D [ ] = [
D (4.21) Các phương sai Dk ứng với k khác nhau được xác định bằng các
công thức (4.17)
Như vậy, ta nhận được trên khoảng ( T 0 , ) khai triển chuẩn của
hàm ngẫu nhiên X& (t ) mà các hàm tọa độ là cos ωkt , sin ωkt ứng với
các ωk khác nhau Khai triển kiểu như vậy gọi là khai triển phổ hàm
ngẫu nhiên dừng
Khai triển phổ biểu diễn hàm ngẫu nhiên dừng thành chuỗi những
dao động điều hòa tần số khác nhau:
, , , , , 2
ω
và các biên độ của những dao động này là các đại lượng ngẫu nhiên
Ta xác định phương sai của hàm ngẫu nhiên X& (t ) cho bởi khai
triển phổ (4.20) Theo định lý về phương sai của hàm tuyến tính của các
đại lượng ngẫu nhiên không tương quan:
∑
=
∞
=
= +
=
=
0 0
2
(cos )]
( [ D
k
k k
k k k
Như vậy, phương sai của hàm ngẫu nhiên dừng bằng tổng phương
sai của tất cả các hàm điều hòa của khai triển phổ của nó Công thức
(4.22) cho thấy rằng phương sai của hàm X& (t ) phân bố theo các tần số
Sự phân bố của các phương sai theo các tần số có thể thể hiện bằng đồ thị
dưới dạng phổ (phổ phương sai) (hình 4.7) Rõ ràng, tổng của tất cả các tung độ của phổ được dựng như vậy sẽ bằng phương sai của hàm ngẫu nhiên X& (t )
Công thức khai triển phổ trên khoảng thời gian vô tận Hàm mật độ phổ
∫
∞
=
0
cos ) ( )
(τ S ω ωτ dω
k x x , (4.23)
∫
∞
=
0
cos ) (
2 )
π
S x x , (4.24) trong đó Sx( ω ) − mật độ phổ của hàm ngẫu nhiên dừng
Mật độ phổ chuẩn hóa:
x
x x
D
S
s (ω) (ω)
= (4.25)
Hình 4.7 Đồ thị phổ phương sai của hàm ngẫu nhiên
Các hàm tương quan và mật độ phổ chuẩn hóa liên hệ với nhau cũng bằng cặp công thức biến đổi Fourier:
Trang 7⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
=
=
∫
∫
∞
∞
cos
) (
2 ) (
, cos
) ( )
(
0
0
τ ωτ τ
ρ π ω
ω ωτ ω
τ ρ
d s
d s
x x
x x
(4.26)
Cho τ =0, ta có ρx( 0 ) = 1, vậy
1 ) (
0
=
∫
∞
ω
ω d
s x (4.27)
Thí dụ 4.1:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
>
<
<
−
=
0
, 0
1 ) (
0
0 0
khi
khi
τ τ
τ τ τ
τ τ
ρx
) cos 1 ( 2
cos 1
2 cos
) (
2
)
(
0
2 0
0
0
ωτ ω
πτ
τ ωτ τ
τ π
τ ωτ τ
ρ π
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
Hình dạng của các hàm được biểu diễn trên hình 4.8
Hình 4.8 Hình dạng của hàm tương quan và phổ theo thí dụ 4.1
Hình 4.9 Hình dạng của hàm tương quan và phổ theo thí dụ 4.2
Thí dụ 4.2:
1 2
1 )
(
ω ω
ω
−
=
x
, 2
sin 2
cos ) (
2
cos
1 cos
) ( )
(
1 2 1
2 1
2
1 2
2
1 2
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
=
−
=
τ ω ω τ
ω ω ω
ω τ
ω ωτ ω
ω ω ωτ ω
τ
ω
ω ω
d d
sx x
(hình 4.9)
Trong toán học, hàm thời gian f (t ) có thể biểu diễn bằng tích phân Fourier theo công thức:
∫
∞
∞
−
= F σ e π σ d σ
t
f ( ) ( ) 2 i t , (4.28) trong đó
∫
∞
∞
−
−
= f t e dt
F ( σ ) ( ) 2 πiσt (4.29) Hàm F ( σ ) biểu diễn trong miền tần số σ gọi là hàm phổ, hay mật
Trang 8độ phổ, nó mô tả sự phân bố của biên độ dao động theo các tần số trong
hàm f (t )
Cặp công thức (4.28)−(4.29) gọi là những công thức biến đổi
Fourier Khi cho trước hàm f (t ), công thức (4.29) gọi là biến đổi
Fourier thuận Công thức (4.28) cho phép khôi phục lại hàm thời gian
)
(t
f theo hàm phổ của nó gọi là biến đổi Fourier ngược Đại lượng
2
|
)
(
| F σ gọi là phổ công suất
Khi hàm f (t ) được cho tại những điểm rời rạc trên khoảng hữu hạn
N
t
N ≤ ≤
− , người ta có thể khai triển Fourier theo công thức:
∑∞
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
+
=
1
2 )
(
k
k
N
kt B
dt N
kt A
A t
, (4.30) trong đó
∫
−
=
= N
N
N
kt t
f N
A 1 ( )cosπ ( 0,1,2, )
, (4.31)
∫
−
=
N
N
kt t
f N
B 1 ( ) sin π ( 1 , 2 , )
(4.32) hoặc dưới dạng phức:
∑∞
−∞
=
=
k
N kt i
ke C t
f
π
) ( với
dt e t f N C
N N
N kt i
−
−
= ( ) π 2
1
Tương tự như trong công thức (4.29), đại lượng ( 2 2)
k
k B
A + được
gọi là công suất của dao động tần số k và được biểu diễn dưới dạng phổ
không liên tục
Khi hàm f (t ) được cho tại 2n điểm cách đều nhau trên trục thời gian, các hệ số Fourier được tính theo công thức:
) 0 ( cos U2 1 U2 2 f N
k
nAk = π n− − n− +
,
1 2
N
k
, 0
0 =
U ,
) 1 2 (
) 1 2 ., , 3 , 2 ( ) 2 ( cos
n
k
Trong hải dương học thịnh hành tập quán tính hàm phổ của chuỗi
thời gian thông qua biến đổi Fourier đối với hàm tự tương quan Quan hệ
giữa hàm tự tương quan và hàm mật độ phổ cũng là cặp công thức biến đổi Fourier:
∫
∞
∞
−
−
π
2
1 ) ( , (4.33)
∫
∞
∞
−
τ S eωτd
R ( ) ( ) i (4.34)
Nếu hàm thời gian là hàm thực, thì hàm tự tương quan và hàm phổ
của nó cũng là các hàm thực và do tính chẵn của các hàm tự tương quan
và phổ, cặp công thức biến đổi Fourier tương ứng có dạng đơn giản:
∫
∞
=
0
cos ) ( 2 ) (τ S ω ωτdω
R , (4.35)
Trang 9∞
=
0
cos ) (
1 )
π
S (4.36)
Khi xác định mật độ phổ theo số liệu quan trắc gián đoạn trên
khoảng thời gian hạn chế T (độ dài quan trắc), chúng ta có ước lượng
thống kê của hàm tương quan Rx*( τ ) của chuỗi thực đo X (t ) trên đoạn
m
T như sau:
−
τ
T
R
0
0 0
*( ) 1 [ ( ) [ ( ) ] , (4.37)
∫
= T X t dt T
X
0
0 1 ( ) (4.38)
Vì không tính tới các trị số của hàm tự tương quan khi τ > Tm và
ước lượng Rx*( τ ) khác với hàm tự tương quan thực sự Rx( τ ), nên trong
thực tế phải ước lượng hàm phổ theo công thức:
∫
= m
T
x
S
0
*
*( ) 1 λ(τ) (τ)cosωτ τ
π
trong đó hàm λ ( τ ) gọi là hàm là trơn tỷ trọng và Tm gọi là điểm cắt của
hàm tự tương quan
Thí dụ về những hàm là trơn của các tác giả khác nhau được dùng
trong phân tích các chuỗi thời gian những yếu tố hải dương học (xem
[1]):
- hàm Bartlett:
⎩
⎨
⎧
>
≤
=
m
m T
T
τ
τ τ
λ
khi 0
khi 1
) (
- hàm Bartlett cải biên:
⎩
⎨
⎧
>
≤
=
m
m T
T
τ
τ τ
λ
khi 0
khi 1
) (
- hàm Tukey:
⎩
⎨
⎧
>
≤
= +
−
=
m
m m
T
T a
T a
a
τ
τ πτ
τ λ
khi 0
khi 25 , 0 )
/ cos(
2 2 1 ) (
- hàm Hanning:
⎩
⎨
⎧
>
≤
−
=
m
m m
T
T T
τ
τ πτ
τ λ
khi 0
khi )]
/ cos(
1 [ 5 , 0 ) (
- hàm Parsen:
⎩
⎨
⎧
>
≤
−
=
m
m m
T
T T
τ
τ τ
τ λ
khi 0
khi )
/ ( 1 ) (
2
- hàm Hamming:
⎩
⎨
⎧
>
≤ +
=
m
m m
T
T T
τ
τ πτ
τ λ
khi 0
khi ) / cos(
46 , 0 54 , 0 ) (
Kinh nghiệm xử lý chuỗi thời gian trong hải dương học cho thấy hàm tự tương quan trong nhiều trường hợp giảm rất chậm theo thời gian
và có tính chu kỳ rõ rệt Khi sử dụng công thức (4.39), do không tính đến những trị số khác không đáng kể ở đoạn τ > Tm, nên ước lượng phổ sẽ bao hàm sai số hệ thống và có tính chất chệch, nhưng nếu tăng Tm thì sai
số ước lượng R*x( τ ) sẽ lớn tại những Tm lớn và sẽ làm tăng độ tản mạn của ước lượng S*( ω ) Biểu hiện của hiệu ứng này thể hiện ở chỗ khi lấy
m
T nhỏ, thì các đỉnh phổ trên đồ thị sẽ bị là trơn, còn khi tăng dần Tm, thì các đỉnh phổ dần dần thể hiện rõ hơn, nhưng khi tăng Tm tiếp nữa, thì
Trang 10đồ thị phổ không còn phản ánh được đặc điểm của hàm phổ nữa mà tiến
tới đồ thị của chính hàm thời gian X (t ) mà từ đó hàm tương quan được
xác định
Như vậy, để có được ước lượng phổ khả dĩ hiện thực trong trường
hợp này thực sự là một quá trình khó khăn Trong thực tế, việc tính toán
phổ là cả một quá trình thử nghiệm và đòi hỏi kinh nghiệm của người
phân tích Theo [5] trong thực hành có thể lấy Tm bằng khoảng T
5
1 đến
T
10
1
Các công thức tính hàm tương quan và hàm phổ áp dụng với chuỗi
thời gian X (t ) được quan trắc tại n điểm thời gian với độ gián đoạn Δt
không đổi:
m i
x x x x i n
t R
i n
) )(
(
2
−
−
−
Δ
= ∑−
=
= n
j j x n
x
1
1
=
−
j
j x x
n 1
2
) ( 1
σ , m− bước trễ cực đại của hàm tương quan
∑
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
j j
m
i R m m
R S
1
(4.41) Công thức là trơn phổ:
0
0 0 S , 5
S = , Sm = 0 , 5 Sm,
1 , 1 ), (
25 , 0 5 ,
Ghi chú: Khi tính ra hàm tương quan và hàm phổ, người ta vẽ đồ thị
các hàm này với trục hoành biểu diễn ở thang logarit, do đó tương ứng
với giá trị của hàm tương quan Ri bước trễ i được biểu diễn thành i
log Ứng với giá trị hàm phổ Si chu kỳ sẽ là
i
t
m Δ 2 log Thí dụ 4.3: Tính hàm tương quan và hàm phổ thực nghiệm dựa trên
số liệu quan trắc về một quá trình ngẫu nhiên Cho chuỗi số liệu quan trắc
độ cao sóng biển ngày 6/12/1988 tại vùng biển mỏ dầu Bạch Hổ
Trên hình 4.10 thể hiện kết quả tính các ước lượng hàm tương quan
và hàm phổ theo các công thức (4.40) và (4.41) Trục ngang của đồ thị hàm phổ biểu diễn thành chu kỳ
Trên hình 4.10 trục ngang của đồ thị hàm phổ biểu diễn thành chu
kỳ dao động (giây) Nhận thấy rõ đỉnh phổ ứng với chu kỳ sóng gió bằng khoảng 4,5 giây, các chu kỳ sóng lừng bằng khoảng 9,1 và 10,8 giây Trong phụ lục chương 4 có mã chương trình tính hàm tương quan và phổ cho trường hợp chuỗi quan trắc với độ gián đoạn Δt không đổi theo các công thức (4.40) và (4.41)
