không gian − thời gian, không gian − các biến hoặc thời gian − các biến. Mỗi pot

Những số liệu quan trắc xuất phát dùng trong phương pháp các thành phần chính được hình thành dưới dạng các bảng số phân bố theo: không gian − thời gian, không gian − các biến hoặc thời

Chương 2 - MÔ TẢ CẤU TRÚC CỦA CÁC

QUÁ TRÌNH

2.1 PHƯƠNG PHÁP THÀNH PHẦN CHÍNH

Phát biểu bài toán, phương trình cơ bản

Ý tưởng của phương pháp các thành phần chính là biểu diễn một quá

trình phức tạp thành tổng của các thành phần đơn giản hơn, không phụ

thuộc nhau (các số hạng khai triển) Tuy nhiên, khác với khai triển theo

các đa thức Chebưsev hay khai triển Fourier, trong phương pháp các

thành phần chính, cấu trúc các tham số khai triển không được cho trước

Nó được xác định đơn trị và khách quan chỉ bởi nội dung bên trong của

quá trình được nghiên cứu và mức liên hệ giữa các chuỗi quan trắc với

nhau Vì vậy, phương pháp các thành phần chính thường còn được gọi là

khai triển theo các hàm trực giao tự nhiên (hay thực nghiệm) [155]

Quy tắc đối với phương pháp các thành phần chính là: mỗi số hạng

khai triển chứa đựng trong nó sự biến động tương ứng của một số biến

xuất phát Theo nghĩa này, phương pháp các thành phần chính giống như

một công cụ nén thông tin hữu hiệu và khái quát thông tin, cho phép bằng

một số ít các tham số khai triển, phản ánh và phân tích được sự biến động

toàn diện của nhiều đặc trưng trạng thái của hệ thống tự nhiên Theo

phương pháp này, từ những quan trắc rời rạc khác nhau, có thể tách ra cái

chung nhất cho phép khôi phục bản chất của những biến đổi đang diễn ra,

những biến đổi này nhiều khi không trực tiếp lộ rõ ra trước mắt người

nghiên cứu

Những số liệu quan trắc xuất phát dùng trong phương pháp các

thành phần chính được hình thành dưới dạng các bảng số phân bố theo:

không gian − thời gian, không gian − các biến hoặc thời gian − các biến Mỗi trường hợp cụ thể sẽ có một mức khái quát dữ liệu của nó

Trong hệ tọa độ không gian − thời gian, nhờ phương pháp các thành phần chính, có thể phát hiện ra những quy mô dao động cơ bản trong không gian và trong thời gian của biến được nghiên cứu Trong hệ tọa độ không gian − các biến, người ta quan tâm mô tả phạm vi ảnh hưởng của từng biến trong số các biến và khái quát sự biến động cùng nhau của các biến Trong hệ tọa độ thời gian − các biến, mục tiêu phân tích sẽ là mô tả tổng quát đối tượng nghiên cứu như một hệ thống phụ thuộc vào tập hợp những tham số khác loại với nhau

Xuất hiện câu hỏi: vậy chuyển từ những quan trắc hiện có sang những biến mới nào đó để làm gì? Vấn đề là ở chỗ: đối với phần lớn những tình huống thực tế, sự biến động thấy được của các tham số chưa cho phép người nghiên cứu thấu hiểu về bản chất của các quá trình đang diễn ra Trong dữ liệu luôn luôn chứa đựng những thành phần nhiễu, những quy mô biến động không gian, thời gian không được biết chính xác, một bộ phận các tham số quan trắc có thể liên hệ với nhau và cùng

mô tả một quá trình Vì vậy mà đặt ra bài toán khai triển quá trình phức tạp thành những dao động đơn sao cho: 1) chuyển sang những biến mới không liên hệ lẫn nhau, trong khi vẫn giữ nguyên độ chính xác của phép

mô tả; 2) từng biến trong số các biến mới chứa đựng trong nó một trong những xu thế quan trọng nhất của những số liệu xuất phát; 3) tất cả các biến mới được sắp xếp theo thứ tự giảm dần mức đóng góp (mức ảnh hưởng) của chúng vào sự biến động chung

Điều rất quan trọng là tất cả những nhiệm vụ quan trọng như vậy được giải quyết một cách đơn giản về kỹ thuật − biến đổi tuyến tính các

số liệu xuất phát, hay nói cách khác, bằng cách nhân từng phần tử của mỗi biến với các hệ số liên hệ tuyến tính của biến đang xét với biến mới Vấn đề cơ bản của phương pháp các thành phần chính chính là làm sao tìm được những hệ số liên hệ giữa các biến ban đầu và các thành phần chính một cách tốt nhất

Phát biểu toán học của mô hình phương pháp các thành phần chính

như sau: Giả sử có tập số liệu gồm N quan trắc về M biến Tập số liệu

này tương đương với M vectơ quan trắc dạng x={x1,x2,x3 , ,x M} làm

thành ma trận số liệu X gồm N dòng và M cột Ma trận số liệu này

được đặt tương ứng với ma trận những giá trị của các thành phần chính

F , cũng có N dòng và M cột Mỗi cột trong ma trận F mô tả biến

thiên của một thành phần chính f , thành phần chính này được biểu diễn j

dưới dạng một vectơ fj ={f1j,f2j,f3j, ,f N j} Số biến M và số thành

phần chính trùng nhau Số quan trắc N trong số liệu xuất phát và số các

trị số của từng thành phần chính trùng nhau Khi đó phương trình cơ bản

của phương pháp các thành phần chính có dạng

T

A F

X= ⋅ (2.1)

Ở đây ma trận A là ma trận các hệ số liên hệ giữa các biến và

các thành phần chính Ma trận A gồm M dòng và M cột Mỗi cột

của ma trận A gồm những hệ số liên hệ giữa thành phần chính đang

xét và tất cả những biến ban đầu Theo quy tắc đại số ma trận, ma

trận A trong phương trình (2.1) được chuyển vị thành A (tức quay T

90°)

Theo phương trình (2.1), công thức của phương pháp các thành

phần chính để tính quan trắc thứ i của biến j trong ma trận số liệu

sẽ là:



=

= M

k i k k j

x

1

(2.2)

Ý nghĩa hình học của phương pháp các thành phần chính

Một cách đơn giản nhất, ta xét vấn đề này qua thí dụ phân tích hai

biến xuất phát Giả sử đó là hai chuỗi quan trắc nhiệt độ nước tại hai tầng

Ta sẽ biểu thị đám mây quan trắc trong hệ tọa độ: trục hoành là biến thiên

nhiệt độ tại tầng thứ nhất (x ), trục tung là biến thiên nhiệt độ tại tầng thứ 1

hai (x ) Nếu đám mây biến động có dạng hình ellip (hình 2.1), thì điều 2

đó cho ta thấy rằng các dao động nhiệt độ nước tại hai tầng có liên quan với nhau

Biến động tổng cộng của các dao động ứng với trục lớn của hình ellip có thể đánh giá theo quy mô dao động tại mỗi tầng:

) x ( σ ) x ( σ

1 2 2

+

Các thành phần chính có thể xem như những trục của hệ tọa độ trực giao mới Khi đó, quá trình tìm những thành phần chính cần lý giải như là thủ tục quay các trục tọa độ Việc định hướng lại các trục thực hiện theo quy tắc sau: trục thứ nhất (thành phần chính) được hướng theo trục của tản mạn cực đại của quan trắc, trục thứ hai hướng theo hướng của tản mạn dư cực đại sau khi đã trừ đi ảnh hưởng của thành phần trước đó và với điều kiện trục này phải vuông góc với trục thứ nhất

Theo cách như vậy, việc chuyển từ các tọa độ các biến x1 ,x2 sang tọa độ các thành phần chính f ,1 f2 được thực hiện bằng cách quay đơn giản hệ tọa độ đi một góc α ngược chiều kim đồng hồ, kết quả là hình chiếu của các quan trắc lên các trục thành phần sẽ biến đổi Rõ ràng, phương sai của các hình chiếu quan trắc lên trục thành phần thứ nhất sẽ lớn hơn nhiều so với thành phần thứ hai, mặc dù phương sai tổng cộng không thay đổi (do tính tuyến tính của phép biến đổi hệ tọa độ, hình dạng đám mây không thay đổi):

) ( )

1 2

2 =σ f +σ f

Kiểu lý giải hình học đã trình bày cho phép hiểu nội hàm của các vectơ riêng theo một cách khác Ma trận các vectơ riêng A chứa những

hệ số chuyển đổi từ các biến xuất phát sang các thành phần chính Từ quan điểm lượng giác, những hệ số chuyển đổi này thực chất là cosin và sin của các góc quay các thành phần chính so với các biến xuất phát Từ

đây dễ dàng viết ma trận A dưới dạng lượng giác:















=

















α α

α

− α

=

22 21

12 11

cos

sin

a a

a a

sin

cos

− 2

1 ,x

x các trục theo biến xuất phát

− 2

1 , f

f các trục theo thành phần chính

−

α góc quay của các trục

Hình 2.1 Ý nghĩa hình học của các thành phần chính

Sự lý giải hình học trên đây về phương pháp các thành phần chính

cho thấy rằng: trong phương pháp này đã diễn ra quá trình nén thông tin

Điều này thể hiện ở việc định hướng các thành phần chính đầu tiên dọc

theo những trục tản mạn cực đại của đám mây quan trắc Kết quả là một

phần lớn độ biến động của quá trình được tập trung vào những thành

phần đầu tiên, vì thế chúng có tên là các thành phần chính Còn mỗi một

thành phần tiếp sau, theo định nghĩa, chỉ mô tả phần phương sai nhỏ dần,

số hiệu của thành phần càng cao, thì nó càng mang ít thông tin

Những tính chất của các thành phần chính

Những tính chất của các thành phần chính có thể hình thành trên cơ

sở phân tích phương trình cơ bản của phương pháp và ý nghĩa hình học

của nó như sau:

1) Các thành phần chính không liên hệ tuyến tính với nhau (trực

giao); do đó, tương quan cặp giữa chúng bằng không:

0 ) , cos(

, 0 ) , (f i f j = f i f j =

2) Các thành phần chính mô tả độ biến động của số liệu sao cho thành phần chính thứ nhất mô tả sự tản mạn cực đại của đám mây quan trắc, thành phần chính thứ hai trực giao với thành phần thứ nhất và mô tả phần tản mạn dư cực đại, thành phần thứ ba trục giao với những thành phần trước nó và mô tả phần tản mạn dư cực đại và v.v

) ( )

( )

2 2 1

2 ≥σ ≥⋅ ⋅⋅≥σ

3) Ứng dụng phương pháp các thành phần chính cho phép mô tả phương sai của các biến nghiên cứu một cách tối ưu trong số tất cả những phép biến đổi tuyến tính khác

4) Sử dụng các thành phần chính cho phép mô tả thông tin xuất phát với một độ sai lệch cực tiểu về cấu trúc hình học của đám mây quan trắc trong không gian các thành phần chính

5) Phần đóng góp của một thành phần chính vào mô tả phương sai chung của các biến tỷ lệ với bình phương giá trị riêng của ma trận tương quan các biến xuất phát tương ứng với thành phần chính đó

6) Những thành phần chính mô tả một cách tối ưu độ biến động của các biến xuất phát, điều này trực tiếp suy ra từ tính chất cực đại của phiếm hàm:



→

= M

k

M j

j

k x f r V

ở đây r(f k ,x j)− hệ số tương quan giữa biến j và thành phần chính k

Công cụ toán học của phương pháp các thành phần chính

Như đã trình bày, phương trình cơ bản của phương pháp các thành phần chính viết dưới dạng ma trận:

A F

X= ⋅ Bài toán phương pháp các thành phần chính đã phát biểu ở trên là

bài toán tìm những biến đổi tuyến tính f j với những tính chất:

− Mỗi thành phần chính sẽ thâu tóm được tối đa phương sai:

max

)

(f j2 → ;

− Các thành phần chính không phụ thuộc lẫn nhau: (f j, f k)=0

Để tìm thành phần chính, trước hết phải xác định những hệ số liên hệ

từng biến j với từng thành phần k , những hệ số này lập thành ma trận

A − các tỉ trọng của những thành phần chính (hay các hệ số khai triển)

Điều này sẽ trở thành có thể, nếu chấp nhận điều kiện khôi phục hoàn

toàn tương quan của các biến xuất phát theo ma trận A :

T

A A

R= ⋅ , (2.3) trong đó R− ma trận tương quan của các biến xuất phát có kích thước

M dòng và M cột

Trong trường hợp này, toàn bộ thủ tục phương pháp các thành phần

chính thực tế quy về việc tìm những vectơ riêng của ma trận tương quan

của các biến, bởi vì điều kiện (2.3) chỉ thoả mãn trong trường hợp ma

trận A được tạo thành từ M vectơ riêng của ma trận tương quan R

Quá trình tìm những vectơ riêng bắt đầu từ việc tính các giá trị riêng

của ma trận tương quan bằng cách giải phương trình đặc trưng:

0

= Λ

− I

R (2.4) Giải phương trình ma trận (2.4) có nghĩa là tìm M nghiệm của

phương trình đặc trưng đối với định thức dạng

0

-r

3 2

1

3 33

32 31

2 23

22 21

1 13

12 11

=









































λ

−

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅ λ

⋅

⋅

⋅ λ

⋅

⋅

⋅ λ

−

MM M

M M

M M M

r r

r r

r r

r r

r r

r

r r

r r

Giai đoạn thứ hai − giải các hệ phương trình tuyến tính để xác định những vectơ riêng:

0 )

A (2.5)

Biểu thức ma trận (2.5) tương đương với M hệ phương trình, mỗi

hệ gồm M phương trình dạng

















= λ

− +

⋅⋅

⋅ + +

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

= +

⋅⋅

⋅ + λ

− +

= +

⋅⋅

⋅ + + λ

−

) (

, )

(

, )

(

0

0 0

2 2 1 1

2 22

2 21 1

1 12

2 11

1

i MM iM M

i M i

M iM i

i i

M iM i

i i

r a r

a r a

r a r

a r a

r a r

a r

a

Mỗi hệ chứa một giá trị riêng tương ứng (λi ) và khi giải sẽ cho M

nghiệm − tức M giá trị của vectơ riêng thứ i , làm thành các cột của ma

trận A

Điều kiện bổ sung để tìm các vectơ riêng là điều kiện quy chuẩn phương sai của các phần tử của mỗi vectơ riêng:



=

=

M j j a

1

đối với từng vectơ ,i i=1 , ,M Lưu ý rằng, các bài toán tính những giá trị riêng (đặc trưng) và những vectơ riêng (đặc trưng) là những bài toán truyền thống của đại số tuyến tính, không hề có gì phức tạp và người ta đã từng thực hiện trong

nhiều thập niên [3, 30, 34, 81, 86, 94]

Sau khi tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng A , còn phải giải hai

bài toán Bài toán thứ nhất − đánh giá tầm quan trọng của từng thành

phần Việc đánh giá trực tiếp suy ra từ đẳng thức: phương sai của mỗi

thành phần chính bằng giá trị riêng tương ứng với nó Do đó, phần đóng

góp tương đối của thành phần i vào mô tả phương sai chung của các biến

bằng:



= λ

λ

j j

i i

d

1 (2.6)

Một chi tiết cuối cùng trong phương pháp các thành phần chính là

ước lượng bản thân các giá trị của thành phần chính, tức các vectơ fj

Theo truyền thống, bài toán này thực hiện bằng cách sử dụng hồi quy

tuyến tính kinh điển, theo đó ma trận các hệ số hồi quy ( B ) được tính

theo vectơ các giá trị riêng (Λ ) và ma trận các vectơ riêng ( A ):

C

B=Λ1/2 , trong đó ma trận C=(A T)−1 Nếu viết theo từng phần tử, công thức trên

đây có dạng

j j

j c

Dưới dạng tổng quát, biểu thức để khôi phục ma trận các thành phần

chính như sau:

B X

F= ⋅ (2.7)

hay viết cho từng thành phần: giá trị thứ i của thành phần j được tính

như sau:



=

= M

k i k k j

f

1

, trong đó k=1 , ,M− số hiệu của biến xuất phát

Ứng dụng phương pháp các thành phần chính trong hải dương học

Theo truyền thống hình thành trong hải dương học ứng dụng, phương pháp các thành phần chính trước hết được ứng dụng khi nghiên cứu cấu trúc không gian − thời gian của các quá trình, hay được dùng nhất để phân tích biến động điều kiện nhiệt mặt đại dương [20, 60, 67,

105, 111, 255] Phương pháp được ứng dụng thành công để khai triển theo không gian và theo thời gian Những quy luật biến động thời gian của các thành phần chính thể hiện những xu thế chung trong dao động của các trường nghiên cứu, điều này được dùng rất thành công cho các mục đích dự báo [6, 61, 64, 71, 91] Về những vấn đề này sẽ xét một cách chi tiết trong chương 6

Khu vực ứng dụng đặc biệt của phương pháp các thành phần chính kinh điển trong hải dương học liên quan tới vấn đề tìm hiểu cấu trúc nước Bài toán thường được xét trong hệ tọa độ không gian − các biến Các biến ở đây là những trị số quan trắc của những đặc trưng thủy lý và thủy hoá Mục tiêu ứng dụng phương pháp các thành phần chính là làm sao thông qua các thành phần chính, mô tả được những mối liên hệ quan trọng nhất của các đặc trưng hải dương học và trong tọa độ địa lý xác định cấu trúc của những trường xuất phát Theo cách tiếp cận này, những yếu tố cấu trúc gồm: các khối nước chính [32, 37, 99, 197], sự phân tầng thẳng đứng của nước đại dương [149, 191], các kiểu nước và các front [96], các thành tạo xoáy động lực [48, 49, 112] Kết quả cuối cùng của việc ứng dụng phương pháp các thành phần chính có tốt hay không hoàn toàn do cách chọn tập hợp những dấu hiệu (biến) khảo sát, vị trí của chúng trong không gian và quy mô lấy trung bình [114, 138, 183, 184,

192, 213, 226, 231, 239, 241, 254, 261, 268]

Một trong những vấn đề hàng đầu được tranh cãi trong quá trình ứng dụng phương pháp các thành phần chính là ước lượng số các số hạng khai triển tối ưu để lý giải vật lý và mô tả định lượng những tính chất của các trường nghiên cứu Thường hay sử dụng nhất là phương pháp căn cứ vào

ước lượng sai số tiềm năng trong khi tính các tham số khai triển [59, 66,

68, 73, 114, 118, 204, 226, 230, 248]:

N

j

j=λ 2/ λ

Chỉ những thành phần nào mà λj >δλj mới được xem xét lý giải

Tiêu chuẩn này nói chung tỏ ra không tồi trong nghiên cứu ứng dụng

Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, nó tỏ ra kém hiệu quả, do phương sai

của những dao động nhiễu vượt hơn phương sai của thành phần tuần

hoàn Với những trường hợp đó, người ta sử dụng cái gọi là đặc trưng

thống kê Q [81, 245, 246, 247]:



=

τ σ τ

τ

Q

1 2 2

) (

) (

, trong đó r(τ)− ước lượng hàm tự tương quan của thành phần chính

thời gian trễ τ , σ2(τ)− phương sai mẫu của ước lượng này

Nếu so sánh giá trị tính được của đặc trưng Q với tiêu chuẩn 2

χ của Pierson, ta sẽ đưa vào phân tích những thành phần nào mà trong cấu trúc

của nó có chứa những dao động có nghĩa về mặt thống kê Ý tưởng về

phân tích nội hàm những thành phần có cấu trúc mang ý nghĩa của các

hàm tự tương quan đang được sử dụng thành công khi nghiên cứu những

dao động của các đặc trưng nhiệt và băng biển [102, 128, 154, 175]

Tuy nhiên, trong khuôn khổ phương pháp các thành phần chính kinh

điển, không thể bao quát hết những vấn đề phân tích những dao động

không gian − thời gian của các quá trình khí tượng thủy văn, chính điều

này là lý do để phát triển tiếp những căn cứ lý luận nền tảng của phương

pháp

Kỹ thuật các thành phần chính trong miền tần số đã là một kỹ

thuật hoàn thiện hơn so với phương pháp các thành phần chính truyền

thống [126, 260] Kỹ thuật này dựa trên các nguyên tắc biểu diễn trực

giao ma trận các hàm hiệp phổ của một số chuỗi thời gian Nghiệm

nhận được đã chứa đựng cấu trúc pha của những dao động sóng cơ

bản, cấu trúc này được mô tả nhờ biểu diễn các vectơ riêng như là những tập hợp các số phức

Kỹ thuật các thành phần chính trong miền tần số dựa trên khái niệm

ma trận hiệp biến )C(τ , tạo thành từ các hệ số tương quan chéo

)) ( ), (

c j = i +τ j Ma trận mật độ phổ bậc M×M tính được trên

cơ sở ma trận )C(τ

∞

−∞

=

S

có M giá trị riêng λ, liên hệ với những vectơ riêng trực giao phức A

Trong công trình [265] có một thí dụ rất hay về ứng dụng thành công

kỹ thuật này, ở đó đã nghiên cứu cấu trúc sóng của những dị thường chu

kỳ dài, quy mô lớn của nhiệt độ nước ở phần phía bắc Thái Bình Dương Nhờ kết quả phân tích thống kê, đã phát hiện và mô tả quá trình lan truyền các dị thường nhiệt độ từ phần tây nam vùng nghiên cứu lên hướng đông bắc

Một trong những hướng triển vọng nhất phát triển phương pháp luận các thành phần chính là kỹ thuật các thành phần chính phức Nguyên nhân của điều này là do người ta muốn khắc phục một trong những nhược điểm cơ bản của phương pháp các thành phần chính kinh điển là nó không thể mô tả một cách tin cậy những sóng tiến chuyển động trong không gian

Phương pháp các thành phần chính kinh điển cho phép khái quát một cách tin cậy về những sóng đứng Còn nếu như trong cấu trúc không gian

− thời gian của các quan trắc có những sóng tiến, thì phương pháp các thành phần chính thể hiện một cách sai lệch những sóng này dưới dạng một tập hợp các dao động đứng Con đường tiến tới mô tả các sóng không gian − thời gian trong phương pháp các thành phần chính là thay

đổi hệ phương pháp lập ma trận tương quan (hiệp biến) R Bước đầu tiên

đã được thực hiện khi ma trận R được lập từ những hệ số bất đồng pha

của các hàm tương quan chéo [221, 222, 231, 263, 264]

Tuy nhiên, không phải lúc nào hiệu quả của hệ phương pháp này

cũng cao, vì lựa chọn những hệ số tương quan chéo tối ưu rất phức tạp

Việc xây dựng phương pháp luận phân tích thành phần chính phức

có lẽ hiện là một cấp phát triển cao nhất của phương pháp các thành phần

chính [109, 225] Để ứng dụng phương pháp các thầnh phần chính phức,

phải thực hiện biến đổi Gilbert đối với các chuỗi thời gian xuất phát, sau

đó, trên cơ sở biểu diễn phức các chuỗi thời gian, tính những hàm tương

quan chéo phức của chúng và lập ra ma trận tương quan Những vectơ

riêng phức và những thành phần chính nhận được sau đó sẽ đặc trưng cho

cấu trúc biên độ − pha của các dao động trong không gian và thời gian mà

ta nghiên cứu

Kinh nghiệm ứng dụng phương pháp này trong nghiên cứu hải

dương học còn rất hạn chế, chưa cho phép đánh giá những nhược điểm

tiềm ẩn có thể có của các thành phần chính phức

2.2 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH NHÂN TỐ

Phát biểu bài toán và phương trình cơ bản

Tính hiệu quả khi sử dụng phương pháp các thành phần chính

nghiên cứu những quá trình tự nhiên là một trong những nguyên nhân

chính thúc đẩy phát triển những cơ sở lý thuyết của nguyên tắc khai triển

trực giao Sự phát triển của phương pháp các thành phần chính trong

khoa học tự nhiên tiến theo con đường cập nhật dần những giai đoạn tính

toán bổ sung vào sơ đồ truyền thống của phương pháp

Kết quả là tới nay, trong thống kê đa chiều đã hình thành một lĩnh

vực chuyên biệt biến đổi trực giao những số liệu, có tên là phương pháp

phân tích nhân tố Phát triển trên cơ sở phương pháp các thành phần

chính, phương pháp phân tích nhân tố hiện đại là một tập hợp phức tạp

những thủ tục tính toán có sơ đồ giống như hình cây

Xuất phát từ những mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu, những đặc

điểm của số liệu ban đầu, trong số vô vàn những phương án giải quyết

vấn đề khai triển trực giao theo phương pháp phân tích nhân tố, nhà khoa học sẽ chọn lấy một phương án nào đó tỏ ra tối ưu trong những điều kiện đang xét và cho phép đạt được kết quả đơn giản nhất và dễ hiểu nhất về phương diện vật lý

Ý tưởng phân tích nhân tố dựa trên giả thiết rằng những đặc trưng ghi nhận được trong tự nhiên tự nó không phải là những nguyên nhân của những biến đổi đang diễn ra Chúng chẳng qua chỉ là những hệ quả hay những chỉ thị về sự ảnh hưởng của các ngoại lực và nội lực ẩn dấu đối với người quan sát đang theo dõi động thái phức tạp của những mối liên hệ giữa các biến Mỗi lực ảnh hưởng cùng một lúc đang tác động đến một số biến quan trắc Và mặc dù các biến phản ứng với những tác động cưỡng bức ấy theo kiểu của mình, nhưng sự liên hệ lẫn nhau giữa chúng chứa đựng một hạt nhân chung, hạt nhân này mô tả sự biến thiên của lực ảnh hưởng Ngoài những lực, hay những nhân tố (như người ta quy ước gọi như vậy trong phương pháp phân tích nhân tố) chung này, trong tự nhiên còn tồn tại những lực cưỡng bức khác, có tính chất riêng đối với mỗi biến quan trắc và không ảnh hưởng tới những biến khác Những nhân tố như vậy gọi là những nhân tố đặc thù, vì chúng phản ánh đặc thù biến thiên của một biến cụ thể Ngoài ra, trong các quan trắc và đo đạc luôn luôn có thêm những lỗi, những sai số ngẫu nhiên, gọi là những nhân tố ngẫu nhiên

Khái quát những điều vừa nói trên, có thể biểu diễn độ biến động chung của các biến quan trắc dưới dạng ba số hạng:

E A F

X= ⋅ T + , trong đó X− biến động của các biến quan trắc, F⋅AT − biến động của những nhân tố chung tiềm ẩn, E− biến động của những nhân tố đặc thù cộng với biến động của những nhân tố ngẫu nhiên

Trong thực tế, rất khó tách bạch phạm vi ảnh hưởng của những nhân

tố đặc thù và ngẫu nhiên và mô tả chúng riêng rẽ Muốn vậy đòi hỏi phải phân tích số liệu một cách rất tinh xảo Vì vậy, trong phương pháp phân

tích nhân tố kinh điển, biến động của các nhân tố đặc thù và ngẫu nhiên

cùng được xem xét như một thể duy nhất Hạn chế này có phần nào làm

cho kết quả thô thiển, nhưng cho phép tập trung vào mô tả những nhân tố

chung cơ bản hình thành nên biến động chung của các biến

Nhìn vào một hệ thống đa liên hệ phức tạp như đại dương thế giới, ta

có thể thấy rất nhiều thí dụ tự nhiên tương ứng với sơ đồ tương tác nhân

tố đã đưa ra trên đây Chẳng hạn, trường nhiệt độ mặt đại dương toàn cầu

sẽ chịu ảnh hưởng trước hết của các lực Mặt Trời − địa vật lý hình thành

biến trình ngày, mùa và thế kỷ của nhiệt độ Vì vậy, những lực này có thể

xem như những nhân tố chung đối với toàn đại dương Đồng thời, mỗi

điểm ở đại dương có những đặc thù địa phương về tương tác với khí

quyển và với các lớp nước nằm dưới, có thể mô tả như là những nhân tố

đặc thù

Cuối cùng, độ chính xác quan trắc nhiệt độ trong đại dương rất khác

nhau trong không gian và tuỳ thuộc nhiều vào loại dụng cụ đo và điều

kiện quan trắc Nhóm nguyên nhân biến thiên nhiệt độ này có thể xem là

ảnh hưởng của các nhân tố ngẫu nhiên

Toàn bộ nội dung hệ phương pháp của phương pháp phân tích nhân

tố chính là nhằm làm sao: với độ chính xác và tin cậy tối đa, kiểm tra giả

thiết rằng chỉ tồn tại một số nhỏ các nhân tố ảnh hưởng và đưa ra mô tả

thống kê về những nhân tố đó Sơ đồ hình thành độ biến động của các

biến quan trắc ( x ) dưới ảnh hưởng của các nhân tố tiềm ẩn chung đối với

một số biến ( f ) và những sai số quan trắc đặc thù, cá thể ( e ) thể hiện

trên hình 2.2 [4, 73, 86]

Ảnh hưởng của các nhân tố lên các biến quan trắc được thực hiện và

được ước lượng trên cơ sở những hệ số liên hệ tuyến tính (a j), những hệ

số này cho thấy mức độ liên hệ của nhân tố chung i và biến j Trên cơ

sở những lập luận ở trên, ta viết biểu thức đại số của mô hình phân tích

nhân tố:

E A F

X= ⋅ T+ (2.8)

Ở đây X− ma trận các số liệu xuất phát, gồm N quan trắc (dòng)

về M biến (cột), F− ma trận giá trị của các nhân tố chung, gồm N giá trị của K nhân tố, A− ma trận các hệ số liên hệ giữa những nhân tố

chung và những biến xuất phát, gồm M dòng và K cột, E− ma trận

các phần dư hay các nhân tố đặc thù gồm N giá trị quan trắc của M

biến

Để nhận được nghiệm duy nhất của phương trình này, phải đưa thêm những điều kiện về dạng của các ma trận A , và E Khi hình thành F

những điều kiện này, thường người ta giả thiết rằng: trong số vô vàn những mô hình toán về các quá trình diễn ra trong tự nhiên, ta cần một

mô hình đơn giản tối đa, nhưng đồng thuận với cấu trúc tương quan của

ma trận các số liệu xuất phát [94, 95]

Những điều kiện đó là:

− Các nhân tố chung f1 ,f2 , ,fk không phụ thuộc nhau (không tương quan):

j i f

f

r( i, j)=0 khi ≠ ;

− Các nhân tố chung f1 ,f2 , ,fk cần được quy chuẩn (không thứ nguyên) và dẫn về độ dài đơn vị σ2(f j)=1;

− Các nhân tố chung không được liên hệ với những sai số và những nhân tố đặc thù

0 ) , (f i e j =

r với mọi j i, ;

b) M

a)

x 1

x 2

x 3

x4

x 5

x 6

e 1

e 2

e 3

e4

e 5

e 6

f 1

f2

a11

a12

a 13

a 14

a 24

a 25

a 26

X

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 =

F

f 1 f 2

M K

A a 1

a 2

M

K

E

e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6

Hình 2.2 Sơ đồ liên hệ các biến trong mô hình phân tích nhân tố:

(a) biểu diễn thành phần; (b) biểu diễn ma trận

− Các sai số không tương quan với nhau:

0 ) , (e i e j =

r khi i≠ ; j

− Số các nhân tố chung không được lớn hơn một nửa số các biến

quan trắc K≤M/2;

− Một nhân tố chung phải mô tả được phần lớn biến động của ít nhất

hai biến

Nếu viết lại phương trình cơ bản của phương pháp phân tích nhân tố,

ta có



= k

p

j j p p i

x

1

, (2.9) trong đó x j − trị số quan trắc thứ i của biến j, f i p − những trị số của

K nhân tố chung đối với quan trắc thứ i , a p i − các trị số tỷ trọng của K

nhân tố chung lên biến j, e j − sai số quan trắc, hay nhân tố đặc thù đối

với quan trắc thứ i của biến j

Ý nghĩa hình học của phương pháp phân tích nhân tố

Lý giải hình học của phân tích nhân tố có phần phức tạp hơn so với phương pháp các thành phần chính, vì thủ tục tính toán của nó phức tạp hơn Trong phương pháp phân tích nhân tố, người ta chiếu đám mây các

quan trắc xuất phát từ không gian các biến M chiều lên không gian các nhân tố chung K chiều (hình 2.3)

Vì K<M , chắc chắn sẽ xuất hiện những sai lệch của đám mây quan trắc trong khi chiếu nó lên không gian có chiều nhỏ hơn Tại giai đoạn thứ nhất của phương pháp phân tích nhân tố, sơ đồ tính thực tế tương đương với thủ tục quay các tọa độ xuất phát để định hướng các trục những nhân tố chung dọc theo các hướng có độ tương quan cực đại giữa các quan trắc (chuyển từ x1 ,x2 ,x3 sang f1 ,f2 ,f3 trên hình 2.3a), nói chung tương ứng với thủ tục của phương pháp các thành phần chính Tiếp theo, tiến hành tối ưu hoá việc xác định nhân tố Muốn vậy, người ta loại bỏ các trục nhân tố đặc thù (f3), độ biến động dọc theo những trục này nằm trong phạm vi những sai số cho phép Đồng thời, thực hiện chiếu đám mây quan trắc lên các trục nhân tố chung còn lại (hình 2.3b) Nói cách khác, người ta bỏ bớt những trục tản mạn nào mà đám mây quan trắc xuất phát chiếu lên nó chỉ còn là một vùng với tản mạn cực tiểu Việc giảm bớt các trục nhân tố như vậy cho phép trong khi giữ lại các sai số quan trắc trên các trục nhân tố đặc thù, vẫn bảo tồn những quan trắc xuất phát quan trọng nhất trên các trục nhân tố chung (f 1

và f2 trên hình 2.3b)

x2

f1

x1

f2

f1'

f1

f2'

f2

a) chuyển từ các trục biến xuất phát x1 ,x2 ,x3

sang các trục nhân tố ban đầu f1, f2, f3; b) chuyển sang các nhân tố chung f1′ ,f2′ ,f3′

sau khi quay trực giao các trục nhân tố ban đầu

Hình 2.3 Ý nghĩa hình học của phương pháp phân tích nhân tố

Bây giờ ở trong không gian K chiều mới, người ta tìm vị trí tối ưu

của các trục nhân tố Các trục được quay sao cho các nhân tố được bố trí

một cách chính xác tối đa dọc theo những hướng tản mạn lớn nhất, điều

này cho phép đạt được điều kiện mô tả cấu trúc các nhân tố một cách đơn

giản (xem hình 2.3b)

Trong một số trường hợp, có thể phép quay trục trực giao không

đảm bảo đạt được cấu trúc đơn giản của các nhân tố Nhưng bài toán sẽ

dễ dàng giải quyết bằng các phép chiếu lên các trục nhân tố không trực

giao, góc giữa chúng β ≠90 Kiểu mô tả các biến như vậy gọi là quay

nghiêng và nó là một phương tiện hữu hiệu để mô tả những cấu trúc nhân

tố phức tạp Ở đây sẽ không xem xét vấn đề này, vì thủ tục tính toán của

phép quay nghiêng rất phức tạp

Tìm nghiệm nhân tố

Quá trình tìm nghiệm nhân tố là một tập hợp những thủ tục cụ thể phân tích ma trận nhằm giải quyết những nhiệm vụ cụ thể Trong thực tế, mỗi giai đoạn tính toán sẽ xét dưới đây có thể có những cách giải quyết khác, chọn cách nào là tuỳ thuộc vào sự thành thạo của người nghiên cứu

và xu hướng tính toán chung Ở đây sẽ chỉ xét một phương án đơn giản

và trực quan trong số những phương án khả dĩ

Quá trình giải bắt đầu từ việc lập ma trận số liệu ban đầu Trong ma trận số liệu chỉ đưa vào những biến nào, mà theo ý kiến người nghiên cứu, nó tiên định cho phép giải quyết vấn đề tìm những nhân tố tiềm ẩn

Đó có thể là những đặc trưng trạng thái biển được quan trắc thực, cũng có thể là những đặc trưng thứ sinh (như các građien, các dòng vật chất ) Khi lập ma trận số liệu cần nhớ rằng số quan trắc phải lớn hơn số biến ít nhất 3−5 lần để đảm bảo nhận được những ước lượng ổn định của nghiệm nhân tố

Tiếp theo, tiến hành tính những trị số trung bình và độ lệch chuẩn của các biến Sau đó, ma trận số liệu được chuẩn hoá [86, 95] Từ những trị số chuẩn hoá, tính các hệ số tương quan cặp giữa các biến, từ đó lập

ma trận tương quan R Ma trận R là ma trận vuông, đối xứng, gồm M

dòng và M cột Toàn bộ thủ tục tính toán của phương pháp phân tích

nhân tố được xây dựng trên cơ sở khai triển ma trận tương quan này Vì vậy, người ta muốn rằng những ước lượng hệ số tương quan phải phản ánh xu thế thực trong các quan trắc xuất phát

Để thuận tiện tính toán, phương trình cơ bản của phương pháp phân tích nhân tố được viết dưới dạng:

2

A A

R= ⋅ + , (2.10) trong đó tương quan chung của các biến được chia thành hai thành phần: