Véc tơ ngẫu nhiên trong xác suất thống kê - 2 doc

Véc tơ ngẫu nhiên liên tục Định nghĩa 3.1... Giả sử hai biến ngẫu nhiên X,Y có hàm mật độ đồng thời là a- Tìm a và xác định hàm phân phối đồng thời của X và Y.. c- Xác định hàm phân ph

= =

3 Véc tơ ngẫu nhiên liên tục

Định nghĩa 3.1 Vectơ ngẫu nhiên n chiều X = (X1, X2,…, Xn) gọi là có phân phối liên tục tuyệt đối nếu hàm phân phối đồng thời của nó có dạng:

F(x 1 ,x 2 ,…,x n ) = ; (x 1 ,…,x n ) R n

Hàm dưới dấu tích phân f(x1 , ,x n) được gọi là hàm mật độ đồng thời của n biến ngẫu nhiên X1,…,Xn

Tính chất 3.2 Với (x1,…,xn) R n

 f(x1,…,xn) =

 f(x1,…,xn) 0

 Với D Ì Rn thì

P[(X1,…,Xn) D] =

Trong trường hợp 2 chiều, nếu biết f(x, y) là hàm mật độ đồng thời của X và Y thì

Ø Hàm mật độ của X là

Ø Hàm mật độ của Y là

Ví dụ 3.3 Giả sử hai biến ngẫu nhiên X,Y có hàm mật độ đồng thời là

a- Tìm a và xác định hàm phân phối đồng thời của X và Y

b- Xác định hàm mật độ của X; của Y

c- Xác định hàm phân phối và hàm mật độ của biến ngẫu nhiên Z =

<=> Û a.1 = 1 Vậy a = 1

 Hàm phân phối đồng thời của X, Y là

F(x,y) =

=

b- Hàm mật độ của X là

Tương tự, hàm mật độ của Y là

c- Với z > 0, hàm phân phối của Z là

Hàm mật độ của Z là

4 Sự độc lập của các biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 4.1 Dãy n biến ngẫu nhiên X1 ,…,X n , i = cùng xác định trên không gian xác suất ( , ,P) được gọi là độc lập nếu

P

trong đó B1 ,B 2 ,…,B n B( R)

Dãy vô hạn các biến ngẫu nhiên X 1 ,X 2 ,…,X n,… được gọi là độc lập nếu mọi dãy con hữu hạn bất kì của dãy (Xn, n 1) là độc lập

Định lí 4.2 Dãy n biến ngẫu nhiên X1, X2, , Xn được gọi là độc lập khi và chỉ khi

F(x1, x2, ,xn) =

Định lí 4.3 Giả sử các biến ngẫu nhiên X1, , Xn có hàm mật độ đồng thời

f(x 1 , x n ) và là hàm mật độ của từng biến X i Khi đó, điều kiện cần và đủ để n biến ngẫu nhiên X1, X2, , Xn độc lập là

f(x 1 , x 2 , ,x n ) =

Định lí 4.4 Giả sử 1 ; 2 là hai hàm Borel và X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập Khi đó, các biến ngẫu nhiên Z 1 = 1 (X) và Z 2 = 2 (Y) cũng độc lập

Ví dụ 4.5 Giả sử vectơ ngẫu nhiên (X, Y) có phân phối đều trên hình vuông

D = {(x, y) : 0 x 1; 0 y 1],

nghĩa là hàm mật độ của nó có dạng:

f(x, y) =

Chứng minh rằng X, Y là độc lập

Giải Hàm mật độ của X là

Tương tự,

f Y (y) = =

Từ đó suy ra

f X (x) f Y (y) = = f(x,y)

Vậy X, Y là độc lập