Phân phối điều kiện và kỳ vọng điều kiện trong xác suất thống kê potx

Khi đó, phân phối điều kiện của X cho bởi Y = y được xác định bởi Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì.. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời fX,Yx, y.. Khi đó

Phân phối điều kiện và kỳ vọng điều kiện

1 Phân phối điều kiện

Định nghĩa 1.1 Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất

đồng thời P(X = x, Y = y) = p(x, y) Khi đó, phân phối điều kiện của X cho bởi Y

= y được xác định bởi

Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì

Ví dụ 1.2 Gieo 1 xúc xắc, giả sử mặt có X chấm xuất hiện Tiếp tục gieo X đồng

xu và giả sử Y là số lần mặt sấp xuất hiện Xác định ; p(x,y) và pY(y)

Giải Giả sử X = x thì Y là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(x; Vậy

Từ đó

p(x,y) =P(X = x, Y = y) = pX(x) =

và phân phối của Y là

Ví dụ 1.3 Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Poisson tham số

lần lượt là Xác định phân phối điều kiện của X cho bởi X + Y = n

Giải Ta có

Theo Ví dụ 2.5 (bài học tuần 9), X +Y cũng có phân phối Poisson tham số Từ đó,

hay phân phối của X với điều kiện X + Y = n là phân phối nhị thức tham số n và

Định nghĩa 1.4 Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời fX,Y(x, y) Khi đó, hàm mật độ điều kiện của X cho bởi Y = y được xác định bởi

Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì

Từ định nghĩa trên ta có

 Hàm mật độ của X

 Với tập D bất kỳ

 Hàm phân phối của X

Ví dụ 1.5 Cho các biến ngẫu nhiên X, Y có hàm mật độ đồng thời

Tính

Giải Với y > 0, hàm mật độ của Y là

Vậy với x, y > 0, hàm mật độ điều kiện của X cho bởi Y = y là

Từ đó,

2 Kì vọng điều kiện

Định nghĩa 2.1 Cho các biến ngẫu nhiên X, Y Kỳ vọng điều kiện của X cho bởi

Y = y, ký hiệu được xác định bởi

 Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối điều kiện của X cho

bởi Y = y là thì

với mọi giá trị y sao cho P(Y = y) >0

 Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ điều kiện của X

cho bởi Y = y là thì

với mọi giá trị y sao cho fY(y) >0

Ví dụ 2.2 Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối nhị thức

tham số n, p Xác định kỳ vọng điều kiện của X cho bởi X + Y = n

Giải Trước hết ta xác định phân phối điều kiện của X cho bởi X + Y = n Ta có

Vậy phân phối điều kiện của X cho bởi X + Y = n là phân phối siêu bội Từ đó

Ví dụ 2.3 Cho hàm mật độ đồng thời của hai biến ngẫu nhiên (X,Y) là

Xác định E(X ) và E(Y

Giải Ta có hàm mật độ của X là

=

và hàm mật độ của Y là

=

Từ đó, hàm mật độ điều kiện của Y cho bởi X = x là

và hàm mật độ điều kiện của X cho bởi Y = y là

Vậy

Tính chất 2.4

 Cho g là hàm Borel thì

 nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập

 Nếu Y là biến ngẫu nhiên rời rạc thì

Nừu Y là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ fY(y) thì

Ví dụ 2.5 Cho các biến ngẫu nhiên X, Y có hàm mật độ đồng thời

Tính EX; EY và

Giải Từ

Ta nhận được E(Y) = 1 Vì

là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với kỳ vọng y nên

Ta có

Vậy Cov(X,Y) = EXY – EX.EY = 1