CHƯƠNG 4 PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC doc

4.1 ỔN ĐỊNH CỦA HỆ RỜI RẠC+ Hệ thống được gọi là ổn định nếu tín hiệu vào bị chặn thì tín hiệu ra bị chặn Bounded Input Bounded Output.. + Hệ điều khiển rời rạc ổn định nếu tất cả nghiệm

CHƯƠNG 4 PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ

HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC

4.1 Ổn định của hệ rời rạc

4.2 Tiêu chuẩn Routh – Hurwitz

4.3 Tiêu chuẩn Juryy

4.4 Quỹ đạo nghiệm số

ấ

4.5 Chất lượng hệ rời rạc

4.6 Thiết kế hệ rời rạc dùng quỹ đạo nghiệm số 4.7 Thiết kệ bộ điều khiển PID

4.1 ỔN ĐỊNH CỦA HỆ RỜI RẠC

+ Hệ thống được gọi là ổn định nếu tín hiệu vào bị chặn thì tín

hiệu ra bị chặn (Bounded Input Bounded Output)

+ Hệ thống điều khiển liên tục ổn định nếu tất cả nghiệm phương trình đặc tính nằm bên trái mặt phẳng phức

+ Quan hệ giữa z và s: z = e Ts nên s nằm bên trái mặt phẳng phức tương đương với z nằm trong vòng tròn đơn vị

+ Hệ điều khiển rời rạc ổn định nếu tất cả nghiệm phương trình đặc trưng nằm bên trong vòng tròn đơn vị: |z| < 1

(k C x k

có phương trình đặc tính: det(zI − A d )= 0

4.2 TIÊU CHUẨN ROUTH-HURWITZ

+ Muốn sử dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz để đánh giá tính ổn

11

định hệ rời rạc ta thực hiện phép đổi biến:

1

11

w

w z

+ Với cách đổi biến như trên, miền nằm trong vòng tròn đơn vị mặt Vớ c c đổ b ế ư ê , iề ằ t o g vò g t ò đơ vị ặt phẳng z tương ứng với nửa trái mặt phẳng w.

+ Nếu không tồn tại w nằm bên phải mặt phẳng phức thì không tồn tại z nằm ngoài vòng tròn đơn vị nghĩa là hệ rời rạc ổn định.

4.3 TIÊU CHUẨN JURY

+ Xét ổn định hệ rời rạc có phương trình đặc tính:

0

1

1 1

n n

1 1

, 1 1

4.4 QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ

Định nghĩa

Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương

trình đặc tính của hệ thống khi có một thông số nào đó trong hệ

Định nghĩa

thay đổi từ 0 đến +∞

Quy tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số

Muốn áp dụng các qui tắc, ta biến đổi phương trình đặc tính về dạng:

1+

z D

K ( ) với K là thông số thay đổi

)(

)

()

(

1)

()(

1)

(

0

0

l z

G

z

G :điều kiện biên độ

:điều kiện pha

01: số nhánh của quỹ đạo bằng bậc phương trình đặc tính và bằng n

11 quy tắc vẽ

01: số nhánh của quỹ đạo bằng bậc phương trình đặc tính và bằng n.

02:

+ Khi K = 0, các nhánh của quỹ đạo xuất phát từ các cực của G 0 (z).

+ Khi K tiến đến +∞: m nhánh của quỹ đạo tiến đến m zero của G 0 (z), n-m nhánh còn lại tiến đến ∞ theo các tiệm cận xác định bởi qui tắc 5

và qui tắc 6

và qui tắc 6

03: quỹ đạo đối xứng qua trục thực

04: một điểm trên trục thực thuộc quỹ đạo nếu tổng số cực và zero của

G (z) bên phải nó là một số lẻ

G 0 (z) bên phải nó là một số lẻ.

05: góc tạo bởi các đường tiệm cận của quỹ đạo với trục thực xác định

11 quy tắc vẽ (tt)

theo

06: giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm A có tọa độ xác

( ) ( 0, 1, 2, 3,K))

12

07: điểm tách nhập (nếu có) của quỹ đạo nằm trên trục thực và là

nghiệm của phương trình

nghiệm của phương trình

08: giao điểm của quỹ đạo với đường tròn đơn vị xác định bằng 1 trong

• Thay z = a+jb (với a 2 +b 2 =1) vào phương trình (*), cân bằng phần

thực và phần ảo để tìm giao điểm với vòng tròn đơn vị và K gh

09: góc xuất phát của quỹ đạo tại cực phức p j được xác định bởi

j i i

i j

m i

i j

, 1 1

argarg

π θ

Dạng hình học của quy tắc trên là:

θj j = π + (∑ góc từ các zero đến cực p(∑ g ự p j j))

– (∑ góc từ các cực còn lại đến cực pj)

10: tổng các nghiệm là hằng số khi K thay đổi từ 0 đến +∞

11: hệ số khuếch đại dọc theo quỹ đạo có thể xác định từ điều kiện biên độ

1)

(

)(

=

z D

z

N K

)

(z

D

+ Cách 1: tính C(z), sau đó biến đổi Z ngược có được c(k).

+ Cách 2: tính x(k) của hệ phương trình trạng thái và suy ra c(k).

Cặp cực quyết định: hệ bậc cao có thể xấp xỉ gần đúng về hệ

bậc hai với hai cực là cặp cực quyết định

bậc hai với hai cực là cặp cực quyết định

Đối với hệ liên tục, cặp cực quyết định là cặp cực nằm gần

trục ảo nhất Do z = e Ts , nên đối với hệ rời rạc, cặp cực quyết

định là cặp cực nằm gần vòng tròn đơn vị nhất

định là cặp cực nằm gần vòng tròn đơn vị nhất.

Tính theo công thức sau:

+ Cách 2: khi biết cặp cực quyết định của hệ rời rạc và

dựa vào quan hệ z = e Ts để suy ra nghiệm s* từ đó tính ξ và ω

2 2

ln1

ln

ϕ ω

ϕ ξ

Định lý giá trị cuối:

4.5.3 Sai số xác lập

)()1

(lim)

(lime k z 1 E z

k e

e

z k

)

()

1(

lim 1

z

R z

• Nếu tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị: R(z) = 1

• Nếu tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị: 1

P

xl

K z

GH

e

+

=+

=

1

1)

(lim

GH z

T

)(1

C C

C C

C

p p

z

K z

G

+ Khâu sớm pha: z C < p C

+ Khâu trễ pha: z C > p C

4.6.1 Thiết kế bộ điều khiển sớm pha

Ph ì h đặ í h ủ hệ ớ khi hiệ hỉ h 1 GH( ) 0

+ Phương trình đặc tính của hệ trước khi hiệu chỉnh: 1 + GH(z) = 0

+ Phương trình đặc tính của hệ sau khi hiệu chỉnh: 1 + G C (z)GH(z) = 0

( C C )

C

C C

p z

z

z K z

+ Khâu hiệu chỉnh sớm pha có dạng:

Ta cần chọn giá trị K C , z C và p C để đáp ứng của hệ thỏa yêu cầu

về chất lượng quá độ (thể hiện qua vị trí của cặp cực quyết

về chất lượng quá độ (thể hiện qua vị trí của cặp cực quyết

định).

2 , 1

2

* 2 ,

Bước 2 - Xác định góc pha cần bù để cặp cực quyết định nằm trên

quỹ đạo nghiệm số của hệ sau khi hiệu chỉnh theo: 1,2

p

z

1 1

180(p i và z j là các cực và zero của hệ thống G(z) trước khi hiệu chỉnh)

Bước 3 - Xác định vị trí cực và zero của khâu hiệu chỉnh:

+ Vẽ 02 nửa đường thẳng bất kỳ xuất phát từ cực quyết địnhg g ỳ p ự q y ị

z* sao cho hai nửa đường thẳng này tạo với nhau một góc bằng

Φ* Gi điể ủ 02 ử đườ thẳ à ới t thự là ị

Φ* Giao điểm của 02 nửa đường thẳng này với trục thực là vị

trí cực và zero của khâu hiệu chỉnh

+ Đối với hệ rời rạc, ta thường dùng phương pháp triệt tiêu nghiệm cực của hệ thống để chọn cực và zero của khâu hiệu chỉnh.g

Bước 4 - Tính hệ số khuếch đại K C sử dụng công thức:

1)

()( z =z* =

C z G z G

4.6.2 Thiết kế bộ điều khiển trễ pha

( C C )

C C

K z

+

)(

β

Trình tự thiết kế

Bước 1 - Xác định β từ yêu cầu về sai số xác lập:

Nếu yêu cầu về sai số xác lập cho dưới dạng hệ số vị trí thì: *

(K P và K P * là hệ số vị trí của hệ trước và sau khi hiệu chỉnh)

(K P và K P là hệ số vị trí của hệ trước và sau khi hiệu chỉnh)

Nếu yêu cầu về sai số xác lập cho dưới dạng hệ số vận tốc thì: *

(K và K * là hệ số vận tốc của hệ trước và sau khi hiệu chỉnh)

Bước 2 - Chọn zero của khâu hiệu chỉnh rất gần điểm +1 để không

Do yêu cầu thiết kế không làm ảnh hưởng đáng kể đến đáp ứng quá độ

Do yêu cầu thiết kế không làm ảnh hưởng đáng kể đến đáp ứng quá độ nên có thể tính gần đúng: (z 1,2 là cặp cực quyết định của hệ trước khi hiệu chỉnh 1,2

* 2 ,

z =

4.6.3 Thiết kế bộ điều khiển sớm trễ pha

Ta biểu diễn hàm truyền khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha dưới dạng:

)()

()

(z G 1 z G 2 z

• G C1 (z) là khâu hiệu chỉnh sớm pha

• G G C2 C2 (z) là khâu hiệu chỉnh trễ pha (z) là khâu hiệu chỉnh trễ pha

Bài toán đặt ra thiết kế G C (z) để cải thiện đáp ứng quá độ

và sai số xác lập của hệ thống

Trình tự thiết kế

Bước 1 – Thiết kế khâu sớm pha G C1 (z) để thỏa mãn yêu cầu về đáp

Bước 1 Thiết kế khâu sớm pha G C1 (z) để thỏa mãn yêu cầu về đáp

ứng quá độ

Bước 2 – Đặt G 1 (z) = G C1 (z).G(z)

Thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha G C2 (z) mắc nối tiếp vào G 1 (z)để thỏa

mãn yêu cầu về sai số xác lập mà không thay đổi đáng kể đáp ứng

mãn yêu cầu về sai số xác lập mà không thay đổi đáng kể đáp ứng

quá độ của hệ thống sau khi đã hiệu chỉnh sớm pha

4.7 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN PID

Hàm truyền các khâu hiệu chỉnh rời rạc

của bộ điều khiển PID

K z

D

12

)(

K z

D

1)

K z

(

z

T K z

)

(

z

z T

K z

I

Công thức tích phân hình thang cho kết quả chính xác nhất

+ Hàm tr ền các bộ điề khiển PD PI PID:

=

z

z T

K K

z

P PD

1)

K K

z

P PI

1

12

)(

=

z

z T

K z

z T

K K

z

P PID

11

12

)(

4.7.1 Phương pháp Zeigler-Nichols

Các hệ số K P , K I , K D có thể chọn bằng phương pháp thực nghiệm Zeigler-Nichols như đã trình bày trong môn học Lý thuyết điều khiển tự động 1

4.7.2 Phương pháp giải tích

Từ yêu cầu thiết kế về đáp ứng quá độ (vị trí nghiệm của phương y p g q ộ ( ị g ệ p gtrình đặc tính) và sai số xác lập, có thể tính toán giải tích để chọn thông số bộ điều khiển PID số