tài liệu hướng dẫn tự học môn hình học 10

Trọng tâm tam giác: Trọng tâm G của tam giác là giao điểm ba đường trung tuyến, và AG AM 3 2 .. Đường trung bình của tam giác: Đường trung bình trong tam giác song song và bằng 2 1 cạ

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10

CHƯƠNG I VECTƠ

- oOo -

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1 Đoạn thẳng, đường thẳng và tia: Cho hai điểm A, B ta cĩ một đoạn thẳng duy nhất, kí hiệu: AB hoặc BA (Giới hạn hai đầu) Đường thẳng d (Khơng giới hạn - dài vơ tận) Tia Ax (Giới hạn một đầu) 2 Trọng tâm tam giác: Trọng tâm G của tam giác là giao điểm ba đường trung tuyến, và AG AM 3 2  3 Đường trung bình của tam giác: Đường trung bình trong tam giác song song và bằng 2 1 cạnh đáy 4 Hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD Ta có: AB // DC và AB = DC BC // AD và BC = AD AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường Khi đó O gọi là tâm của hình bình hành  Ghi chú:

B

A

d

x A

M

G

a

A

N M

B A

C

O

D A

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10

- Tài liệu lưu hành nội bộ -

2 §1 CÁC ĐỊNH NGHĨA 1 Khái niệm vectơ: Cho đoạn thẳng AB Nếu ta chọn điểm A làm điểm đầu, điểm B làm điểm cuối thì đoạn thẳng AB cĩ hướng từ A đến B Khi đĩ ta nĩi AB là một đoạn thẳng cĩ hướng Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng cĩ hướng  Vectơ cĩ điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu là: AB  Khi khơng cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của một vectơ thì vectơ được kí hiệu là: a  , b  , x  , y  , gọi là các vectơ tự do  Từ hai điểm phân biệt ta cĩ bao nhiêu vectơ? Nhận xét sự khác nhau giữa đoạn thẳng và vectơ? 2 Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đĩ Định nghĩa: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau  Nhận xét:  Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cĩ thể cùng hướng hoặc ngược hướng  Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ AB và AC cùng phương  Khẳng định: "Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ AB và BC cùng hướng" đúng hay sai? vì sao? 3 Hai vectơ bằng nhau:  Mỗi vectơ cĩ một độ dài, đĩ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đĩ Độ dài vectơ AB được kí hiệu là AB Vậy: BA AB AB    Vectơ cĩ độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị  Hãy nhận xét về hướng và độ dài của hai vectơ AB và DC trong hình vẽ sau:

 Hai vectơ a 

và b 

được gọi là bằng nhau nếu chúng cĩ cùng hướng và cùng độ dài, kí hiệu a  b 



A

B

x a

giá củ a vectơ AB

A

B

Hai vectơ cù ng phương, ngược hướ ng

Hai vectơ cù ng phương, cù ng hướ ng

S

R Q

P F

E

D C

B A

D A

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

 Hãy dựng vectơ OA bằng vectơ a 

.

* Chú ý: Khi cho trước vectơ a 

và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho OA a 



4 Vectơ - không:

 Vectơ đặc biệt có điểm đầu và điểm cuối đều là A (điểm đầu và điểm cuối trùng nhau), được kí hiệu

là: AA và gọi là vectơ - không

 Vectơ - không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ

 Độ dài vectơ - không: AA = 0, nên mọi vectơ - không đều bằng nhau

 Vectơ - không được kí hiệu: 0 

 Ghi chú:

O a

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

- Tài liệu lưu hành nội bộ -

4

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho ba vectơ a  b  c 

, , đều khác vectơ 0 

Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Nếu hai vectơ a  b 

, cùng phương với c 

thì a 

và b  cùng phương

b) Nếu a  b 

, cùng ngược hướng với c 

thì a 

và b  cùng hướng

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, tâm O Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD, BC

a) Có bao nhiêu vectơ khác vectơ 0 

có điểm đầu và điểm cuối là một trong số các điểm A, B, C, D, O,

M, N

b) Chỉ ra hai vectơ có điểm đầu, điểm cuối lấy trong số các điểm A, B, C, D, O, M, N mà:

i/ cùng phương với AB ; ii/ cùng hướng AB ; iii/ ngược hướng với AB c) Chỉ ra các vectơ bằng vectơ MO , OB

Bài 3: Chỉ ra các vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng và các vectơ bằng nhau trong hình sau:

Bài 4: Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi AB = DC

Bài 5: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O

a) Tìm các vectơ khác 0 

và cùng phương với OA ;

b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB

Bài 6: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm BC, CA, AB Chứng minh EF = CD

Bài 7: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD Điểm I là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN Chứng minh AM  NC , DK  NI

y

z

w x

b a

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10

§2 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ

1 Tổng của hai vectơ:

Định nghĩa: Cho hai vectơ a 

và b  Lấy một điểm A tùy ý, vẽ AB a 

 và BC = b 

Vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a 

và b 

Ta kí hiệu tổng hai vectơ a 

và b 

là

b



Vậy:

b a





2 Quy tắc hình bình hành:

Nếu ABCD là hình bình hành thì:

AC AD

AB  

3 Tính chất của phép cộng các vectơ:

Với ba vectơ a  b  c 

, , tùy ý ta cĩ:

a b b





) ( )

( a  b  c  a  b  c 









a a







 0 0 (tính chất của vectơ - khơng)

4 Hiệu của hai vectơ:

 Hãy nhận xét về hướng và độ dài của hai vectơ AB và CD trong hình bình hành ABCD:

a) Vectơ đối: Cho vectơ a  Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với a  được gọi là vectơ đối của vectơ a  , kí hiệu là - a  * Chú ý:  Vectơ đối của vectơ AB là BA , nghĩa là BA AB    Vectơ đối của vectơ 0  là vectơ 0  Ví dụ: Cho tam giác ABC, gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB Tìm ít nhất ba cặp vectơ đối nhau? Giải:

b a

D A

D A

B A

D

E F

B

A

C

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10

- Tài liệu lưu hành nội bộ -

6 b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ: Cho hai vectơ a  và b  Ta gọi hiệu của hai vectơ a  và b  là vectơ a  ( b  )   , kí hiệu a  b   Vậy: ) ( b a b a         * Chú ý: Phép tốn tìm hiệu hai vectơ cịn gọi là phép trừ vectơ c) Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta cĩ: AC BC AB   CB AC AB   Ví dụ: Chứng minh rằng với bốn điểm bất kì A, B, C, D ta luơn cĩ AB  CD  AD  CB Giải:

5 Trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác:  Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi 0    IB IA  Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi 0     GB GC GA  Ghi chú:

b a

O

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý Chứng minh rằng MA  MC  MB  MD

Bài 4: Cho sáu điểm M, N, P, Q, R, S bất kì Chứng minh rằng: MP  NQ  RS  MS  NP  RQ

Bài 5: Cho tam giác đều ABC, cạnh a Tính độ dài các vectơ AB  BC , AB  AC , AB  AC , AB  BC Bài 6: Cho tam giác ABC Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10

- Tài liệu lưu hành nội bộ -

8 §3 TÍCH CỦA VETƠ VỚI MỘT SỐ 1 Định nghĩa: Cho số k  0 và vectơ a   0  Tích của vectơ a  với số k là một vectơ, kí hiệu là k a  , cùng hướng với a  nếu k > 0, ngược hướng với a  nếu k < 0 và cĩ độ dài bằng k a   Ta cịn gọi tích của vectơ với một số là tích của một số với một vectơ Quy ước: 0 a  = 0  , k 0  = 0  2 Tính chất: Với hai vectơ a  và b  bất kì, với mọi số h và k, ta cĩ:  k( a  b   ) = k a  k b    (h + k) a  a  k a     h(k a  ) = (hk) a  1 a  = a  , (-1) a  = - a   1) Cho hình bình hành MACB, gọi I là giao điểm của AB và MC Nhận xét gì về mối quan hệ giữa MA  MB với MI 2) Cho G là trọng tâm tam giác ABC Dựa vào đẳng thức 0     GB GC GA , chứng minh MA  MB  MC  3 MG 3 Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác: a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta cĩ: MA  MB  2 MI b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta cĩ: MA  MB  MC  3 MG Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD Chứng minh rằng AB  2 AC  AD  3 AC Giải:

4 Điều kiện để hai vectơ cùng phương:

 Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a 

và b  ( b   0 

) cùng phương là có một số k để a 

=

k b 

 Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để AB  k AC

5 Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:

Cho hai vectơ a 

và b  không cùng phương

Khi đó mọi vectơ x 

đều phân tích được một

cách duy nhất theo hai vectơ a 

và b 

, nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho

b

k

a





Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cĩ trọng tâm G Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh

BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF Đặt u   AE v   AF

, Hãy phân tích các vectơ

DC

DE

AG

AI , , , theo hai vectơ u  v 

,

I

B M

C x

b a A'

B' B

A O

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

Giải:

Ví dụ 2: Cho 4 điểm A, B, C, M thỏa mãn 2 3 0     MB MC MA Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng Giải:

 Ghi chú:

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

- Tài liệu lưu hành nội bộ -

10

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD Chứng minh rằng: AB  AC  AD  2 AC

Bài 2: Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM Chứng minh rằng:





Bài 3: Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD Chứng minh rằng:

AD BC BD AC

2 Bài 4: Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC Hãy phân tích các vectơ AB , BC , CA theo hai vectơ u   AK v   BM

Bài 5: Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho MB  3 MC Hãy phân tích vectơ AM theo hai vectơ u   AB

và v   AC

Bài 6: Cho hai điểm phân biệt A và B Tìm điểm K sao cho: 3 2 0 



 KB





Bài 8: Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE,

EF, FA Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm

Bài 9: Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB Chứng minh rằng MD ME MF MO

2

3





Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10

§4 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

1 Trục và độ dài đại số trên trục:

 Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đĩ đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc

và một vectơ đơn vị e 

Kí hiệu: (O; e 

)

 Cho điểm M nằm trên trục (O; e 

) Khi đĩ cĩ duy nhất một số k sao cho OM = k e 

Ta gọi số k đĩ là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho

 Cho hai điểm A, B nằm trên trục (O; e 

) Khi đĩ cĩ duy nhất số a sao cho AB = a e 

Ta gọi số a đĩ là

độ dài đại số của vectơ AB đối với hệ trục đã cho và kí hiệu a = AB

* Nhận xét: Nếu AB cùng hướng e 

thì AB = AB, cịn nếu AB ngược hướng e 

thì AB = -AB

Độ dài đại số của vectơ OM chính là tọa độ điểm M

 Nếu hai điểm A và B trên trục (O; e 

) cĩ tọa độ lần lượt là a và b thì AB = b - a

Ví dụ: Trên trục cho các điểm A, B, M, N lần lượt cĩ tọa độ là -4; 3; 5; -2

a) Hãy biểu diễn các điểm đĩ trên trục số;

b) Hãy xác định độ dài đại số của các vectơ AB , AM , MN

Giải:

2 Hệ trục tọa độ:

a) Định nghĩa:

Hệ trục tọa độ (O; i   j

, ) gồm hai trục (O; i 

) và (O;  j

) vuông góc với nhau

 Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ

 Trục (O; i 

) được gọi là trục hoành và kí hiệu Ox  Trục (O;  j

) được gọi là trục tung và kí hiệu Oy

 Các vectơ i 

và j  là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy và i   j

 = 1

Hệ trục tọa độ (O; i   j

, ) còn được gọi là Oxy

* Chú ý: Khi trong mặt phẳng đã cho một hệ trục tọa độ Oxy, gọi mặt phẳng đó là

mặt phẳng tọa độ Oxy hay mặt phẳng Oxy

b) Tọa độ của vectơ:

Đối với hệ trục tọa độ (O; i   j

, ), mọi vectơ u 

đều được biểu diễn u 

= x i 

+y j  với (x; y) là cặp số duy nhất

Khi đó: cặp số (x; y) được gọi là tọa độ của vectơ u 

, kí hiệu là: u 

= (x; y) hay u 

(x; y)

O

trục tung (Oy)

trục hoà nh (Ox) 2 i

2 -1 1 1

x y

O

j i

O y

x

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10

- Tài liệu lưu hành nội bộ -

12 Như vậy: u  = (x; y)  u  = x i  + y j  * Nhận xét: Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau Nếu u   ( x ; y ) , u   ' ( x ' ; y ' ) thì u  u  '        ' ' y y x x c) Tọa độ của một điểm: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ OM được gọi là tọa độ của điểm M  Cặp số (x; y) là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi OM = (x; y) Ta viết: M(x; y) hoặc M = (x; y) Hoành độ của điểm M còn được kí hiệu xM, tung độ điểm M còn được kí hiệu yM  Gọi M1, M2 lần lượt là hình chiếu của M trên Ox, Oy Khi đó, nếu M(x; y) thì x = OM1 y = OM2 Ví dụ 1: Xác định tọa độ các điểm A, B, C, D, E, F trên hình vẽ Giải:

Ví dụ 2:

Biểu diễn các điểm sau đây trên hệ trục tọa

độ Oxy:

M(-2; 3), N(0; -4), P(3; 0), Q(-5; 6), I(-4; -2)

d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng:

M 2

M 1

M (x; y)

x y

O j i

F

E

D C

B

A y

x O

-5 -4 -3 -2 -1 -6

5 4 3 2 1 6

-6

6

-1 -2 -3 -4 -5

5 4 3 2 1

y

x O

-5 -4 -3 -2 -1 -6

5 4 3 2 1 6

-6

6 -1

-2 -3 -4 -5

5 4 3 2 1

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10

Với hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) thì: AB = (xB - xA; yB - yA)

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(2; 5), B(1; 2) và C(4; 1) Tìm tọa độ điểm D sao cho

tứ giác ABCD là hình bình hành

Giải:

3 Tọa độ của các vectơ u  v   , u  v   , u k  : Cho u  = (u1; u2) và v  = (v1 ; v2) Khi đó:  u  v   = (u1 + v1; u2 + v2);  u  v   = (u1 - v1; u2 - v2);  k a  = (kx; ky) với k  R; Ví dụ 1: Cho a   (  1 ; 2 ) , b   ( 3 ; 4 ) , c   (  5 ; 1 ) Tìm tọa độ vectơ u  a  b  c     2 Giải:

Ví dụ 2: Cho a   ( 1 ;  1 ), b   ( 2 ; 1 ) Hãy phân tích vectơ c   (  4 ; 1 ) theo a  và b  Giải:

* Chú ý: Vectơ u  =(u1; u2) cùng phương với vectơ v  =(v1; v2) với v   0  khi và chỉ khi tồn tại số thực k khác 0 sao cho u  v   hay      2 2 1 1 kv u kv u Ví dụ 1: Cho u  =(2; -5) Tìm x biết rằng b  = (6; x) cùng phương với u  Giải:

Ví dụ 2: Cho ba điểm A(-2; -1), B(3;

2

3 ), C(2; 1) Hãy chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng Hai vectơ AB và AC cùng hướng hay ngược hướng?

Giải:

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10

- Tài liệu lưu hành nội bộ -

14

4 Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng Tọa độ của trọng tâm tam giác:  Cho A(xA; yA), B(xB; yB), gọi I(xI; yI) là trung điểm AB Từ đăng thức 0    IB IA , hãy tìm tọa độ điểm I?  Cho đoạn thẳng AB cĩ A(xA; yA), B(xB; yB) Khi đĩ tọa độ trung điểm I(xI; yI) của AB được tính theo cơng thức: 2 B A I x x x   , 2 B A I y y y    Cho A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC), gọi G(xG; yG) là trọng tâm tam giác ABC Hãy phân tích vectơ OG theo ba vectơ OC OB OA , , Từ đĩ hãy tính tọa độ của G theo tọa độ của A, B, C  Cho tam giác ABC cĩ A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC) Khi đĩ tọa độ trọng tâm G(xG; yG) được tính theo cơng thức 3 C B A G x x x x    , 3 C B A G y y y y    Ví dụ: Cho tam giác ABC cĩ ba đỉnh A(2; 3), B(6; 7), C(1; 2) Tìm tọa độ trung điểm I của cạnh AB và trọng tâm G của tam giác ABC Giải:

 Ghi chú:

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Trên trục (O; e  ) cho các điểm A, B, M, N có tọa độ lần lượt là -1; 2; 3; -2 a) Hãy vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho trên trục; b) Tính độ dài đại số của AB và MN Từ đó suy ra hai vectơ AB và MN ngược hướng Bài 2: Tìm tọa độ của các vectơ sau: a) a  i  2  ; b) b   j 3   ; c) c  i   j 4 3   ; d) d   i   2 , 0  j 3 Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có A(-1; -2), B(3; 2), C(4; -1) Tìm tọa độ đỉnh D Bài 4: Cho a  =(2; -2), b  =(1; 4) Hãy phân tích vectơ c  =(5; 0) theo hai vectơ a  và b  Bài 5: Các điểm A'(-4; 1), B'(2; 4) và C'(2; -2) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA và AB của tam giác ABC Tính tọa độ các đỉnh của tam giác ABC Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABC và A'B'C' trùng nhau CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

- Tài liệu lưu hành nội bộ -

16 * ÔN TẬP CHƯƠNG I *

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O Hãy chỉ ra các vectơ bằng AB có điểm đầu và điểm cuối là O hoặc các đỉnh của lục giác Bài 2: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a Tính: a) AB AC ; b) AB AC Bài 3: Cho sáu điểm M, N, P, Q, R, S bất kì Chứng minh rằng: MP  NQ  RS  MS  NP  RQ Bài 4: Chứng minh rằng nếu G và G' lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và A'B'C' thì ta có đẳng thức: 3 GG '  AA '  BB '  CC ' Bài 5: Cho a  = (2; 1), b  = (3; -4), c  = (-7; 2) a) Tìm tọa độ của vectơ u  a  b  c  4 2 3    ; b) Tìm tọa độ vectơ x  sao cho x  a  b  c     ; c) Tìm các số k và h sao cho c  k a  b    Bài 6: Cho u  i  j  5 2 1   , v  m i   j 4   Tìm m để u  và v  cùng phương Bài 7: Cho tam giác OAB Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OA và OB Tìm các số m, n sao cho: a) OM  m OA  n OB ; b) AN  m OA  n OB ; c) MN  m OA  n OB ; d) MB  m OA  n OB CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

- Tài liệu lưu hành nội bộ -

18

CHƯƠNG II TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

- oOo -

1 Các điểm đặc biệt trong tam giác:

Trọng tâm G của tam giác là

giao điểm ba đường trung

Tâm O đường tròn ngoại tiếp ABC là giao điểm

ba đường trung trực

Tâm I của đường tròn nội tiếp ABC là giao điểm ba đường phân giác trong

2 Tam giác vuông ABC vuông tại A:

 Định lí Pitago: BC2 = AB2 + AC2

 Diện tích: S =

2

1 AB.AC

 Nghịch đảo đường cao bình phương: 1 2 12 1 2

AC AB

AH  

 Độ dài đường trung tuyến AM = BC

2 1

 Độ dài đường chéo hình vuông: l = cạnh  2

4 Diện tích các hình đặc biệt khác:

 Hình vuông: S = cạnh  cạnh  Hình thoi: S =

2

1 (chép dài  chéo ngắn)

 Hình chữ nhật: S = dài  rộng  Hình thang: S =

2

1 (đáy lớn + đáy bé)  chiều cao

5 Hai tam giác đồng dạng và định lí Talet:

 ABC ∽MNP nếu chúng có hai góc tương ứng bằng nhau

 Nếu ABC ∽MNPthì

MP

MN AC

AB

MN AC

AN AB

A

C

N

P M

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10

1 Định nghĩa:

Nửa đường trịn đơn vị:

Nửa đường trịn tâm O nằm phía trên trục hồnh

bán kính R = 1 được gọi là nửa đường trịn đơn vị

 Nếu cho trước một gĩc nhọn  thì ta cĩ thể xác định một điểm M duy nhất trên nửa đường trịn đơn vị sao cho gĩc xOM

bằng  Giả sử điểm M cĩ tọa độ (x0; y0) Hãy chứng tỏ rằng sin = y0, cos = x0, tan =

0

0

x

y

, cot =

0

0

y x

Với mỗi gĩc  (00    1800) ta xác định một điểm M trên

nửa đường trịn đơn vị sao cho gĩc xOM bằng và giả sử điểm M

cĩ tọa độ M(x0; y0) Khi đĩ ta định nghĩa:

 sin của gĩc  là x0, kí hiệu sin = y0;

 cơsin của gĩc  là x0, kí hiệu cos = x0;

 tang của gĩc  là

0

0

x

y

(x0 ≠ 0), kí hiệu tan =

0

0

x

y

;

 cơtang của gĩc  là

0

0

y

x

(y0 ≠ 0), kí hiệu cot =

0

0

y

x

Các số sin, cos, tan, cot được gọi là các giá trị lượng giác của gĩc 

 Nhắc lại mối quan hệ giữa tọa độ của điểm M(x0; y0) và độ dài đại số của các vectơ OH và OK trong hình vẽ sau:

Ví dụ: Tìm các giá trị lượng giác của góc 1350 Giải:

* Chú ý:  Nếu  là gĩc tù thì cos, tancot

  tan chỉ xác định khi  ≠ 900, cot chỉ xác định khi  ≠ 00 và  ≠ 1800

2 Tính chất:

sin(1080 -  = sin

cos(1080 -  = -cos

tan(1080 -  = -tan

cot(1080 -  = -cot

3 Giá trị lượng giác của các gĩc đặc biệt:



1 -1

1

R = 1 O

y

x

x0

y0 M



1 -1

1

R = 1 O

y

x

K

H

M (x 0 ;y 0 ) y

0

y

x0

135 0

y

N



-x 0

M

y 0

x 0

y

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10

- Tài liệu lưu hành nội bộ -

20 lượng giác sin 0 2 1 2 2 2 3 1 cos 1 2 3 2 2 2 1 0 tan 0 3 1 1 3  cot  3 1 3 1 0 Ví dụ: Tìm các giá trị lượng giác của các góc 1200 và 1500 Giải:

4 Góc giữa hai vectơ: Định nghĩa: Cho hai vectơ a  và b  đều khác vectơ 0  Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA a   và OB b   Góc AOB với số đo từ 00 đến 1800 được gọi là góc giữa hai vectơ a  và b  Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ a  và b  là ( b a  ,  ) Nếu ( b a  ,  ) = 900 thì ta nói rằng a  và b  vuông góc với nhau, kí hiệu là a  b   hoặc b  a   * Chú ý: Từ định nghĩa ta có ( b a  ,  ) = ( a b  ,  ) Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A và có góc B = 500 Tính các góc ( BA, BC ), ( AB, BC ), ( CA, CB ), ( AC, BC ), ( AC, CB ), ( AC, BA ) Giải:

5 Sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác của một góc:  Tính các giá trị lượng giác của góc : Ấn MODE khi màn hình xuất hiện ấn 1 để chọn đơn vị đo gĩc là "độ" Để tính sin, cos, tan của một gĩc  ấn sin, cos hay tan  ấn gĩc  Ví dụ: Tính sin của gĩc  = 63052'41'' ta thực hiện: Ấn sin  ấn 63  ấn o'''  ấn 52 ấn o'''  ấn 41 ấn o'''  ấn = ta được kết quả  0.897859012 * Chú ý: 10 = 60', 1' = 60'' b a b a O A B Deg Rad Gra 1 2 3

"Độ" "Radian"

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

 Xác định độ lớn của góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó:

Để xác định xem giá trị a là sin, cos, tan của góc  là bao nhiêu độ ta thực hiện:

 Chọn đơn vị cho máy là "Deg"

ấn sin-1, cos-1 hay tan-1  ấn số a  ấn =

Ví dụ: Tìm góc x biết sinx = 0.3502 ta thực hiện:

Ấn sin-1

 ấn 0.3502  ấn =   SHIFT  ấn o'''

ta được kết quả 20029'58''

6 Công thức sin2 + cos2:

Với mọi góc bất kì ta có: sin2 + cos2  

* Chú ý: (sin )2 được kí hiệu sin2

Ví dụ1: sin2(2a) + cos2(2a) =

sin2 2 x + cos2 2 x =

Ví dụ 2: Cho góc tù x biết sinx = 0,2 Hãy tính các giá trị lượng giác của góc x Giải:

 Ghi chuù:

R



K

H

M

y

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

- Tài liệu lưu hành nội bộ -

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Chứng minh rằng:

a) sin1050 = sin750; b) cos1700 = -cos100; c) cos1220 = -cos580

Bài 2: Tính 3sin1350 + cos600 + 4sin1500

Bài 3: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có: a) sin sin(B + C); b) cosA = -cos(B + C)

Bài 4: Cho góc x, với cosx =

3

1 Tính giá trị của biểu thức P = 3sin2x + cos2x

Bài 5: Cho AOB là tam giác cân tại O có OA = a và có các đường cao OH và AK Giả sử góc AOH bằng

 Tính AK và OK theo a và 

Bài 6: Cho hình vuông ABCD Tính: cos( AC , BA ) , sin( AC , BD ) , cos( AB , CD )

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10

§2 TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

1 Định nghĩa:

Cho hai vectơ a 

và b  đều khác vectơ 0 

Tích vơ hướng của a 

và b 

là một số, kí hiệu là a  b 

, được xác định bởi cơng thức sau:

) , cos(

 (bình phương vơ hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của nĩ)

Ví dụ: Cho tam giác đều ABC cĩ cạnh bằng a và cĩ chiều cao AH Tính các tích vơ hướng AB AC ,

2 Các tính chất của tích vô hướng:

Với ba vectơ a  b  c 

, , bất kì và mọi số k ta có:

a b b

.

c a b a c b

)

) (

) ( ).

( k a  b  k a  b  a  k b 





0 0

3 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng:

Trên mặt phẳng tọa độ ( O , i  ,  j )

, cho hai vectơ a   ( a1; a2)

, b   ( b1; b2)

Khi đó:

2211