tài liệu hướng dẫn tự học môn hình học 12

Điểm thuộc khối lăng trụ nhưng không thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ khối chóp, khối chóp cụt đó được gọi là điểm trong của khối lăng trụ khối chóp, khối chóp cụtï.. Khái niệm

MỘT SỐ KÍ HIỆU THÔNG DỤNG

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12

CHƯƠNG I KHỐI ĐA DIỆN

Trọng tâm G của tam giác là

giao điểm ba đường trung

1 Tam giác vuông ABC vuông tại A:

A

C

 Nghịch đảo đường cao bình phương:

22

2

1 1

1

AC AB

 Độ dài đường trung tuyến AM = BC

2 1

2 3

 Độ dài đường chéo hình vuông: l = cạnh  2

3 Hệ thức lượng trong tam giác:

 Định lí Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bccosA b2 = a2 + c2 - 2accosB c2 = a2 + b2 - 2abcosC

C

c B

b A

a

2 sin sin

sin   

4 Các công thức tính diện tích tam giác ABC:

Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh tương ứng là a, b, c; chiều cao tương ứng với các góc A, B, C là

ha, hb, hc; r, R lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp ABC; Gọi S là diện tích ABC:

 S = aha bhb chc

2

1 2

1 2

1 sin 2

(đáy lớn + đáy bé)  chiều cao

 Hình tròn: S = R2  Hình bình hành: S = đáy  chiều cao

6 Hai tam giác đồng dạng và định lí Talet:

P M

BC

MN AC

AN AB

Hình chĩp tam giác đều

G

B S

* Chú ý: Lăng trụ đều là hình lăng

trụ đứng cĩ đáy là đa giác đều

Hình hộp thường

C' B'

D'

D A

D A

B

C A'

* Chú ý: Hình lập phương là hình hộp cĩ 6 mặt là hình vuơng

III- MỘT SỐ KIẾN THỨC THƯỜNG SỬ DỤNG:

1 Một số phương pháp chứng minh trong hình học không gian:

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12

 Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

Phương pháp:

Để chứng minh đường thẳng  vuông góc mp(P) ta chứng

minh  vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong

mp(P)

b a

) (

P b

P a

   (P)

 Chứng minh hai đường thẳng vuơng gĩc:

Phương pháp:

Để chứng minh đường thẳng  vuơng gĩc với đường thẳng d ta

chứng minh  vuơng gĩc với mp(P) chứa d

 Chứng minh hai mặt phẳng vuơng gĩc:

) (

Q P

 Định lí 2: Cho mp(P) vuơng gĩc mp(Q) Một đường thẳng d nằm trong mp(P) vuơng gĩc với giao tuyến  của (P) và (Q) thì d vuơng gĩc mp(Q)

Q

d P

giữa  và hình chiếu ' của nó trên mp( )





' H

 Trình bày bài giải:

 Ta có ' là hình chiếu của  trên mp( )

) (

) ( ) (

d Q

d P

Q P

 Suy ra: ((P),(Q)) = (d,d') = 

4 Khoảng cách:

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt

phẳng song song:

Khoảng cách giữa đường thẳng  và

mp( ) song song với nó là khoảng cách

từ một điểm M trên  đến mp( )





H M

 Trình bày bài giải:

d(,( )) = d(M,( )) = MH

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng  và ' chéo nhau là

độ dài đoạn vuông góc chung của  và ' và bằng với khoảng cách giữa  và mp( ) chứa ' và song song với 

H

Gọi d' là hình chiếu của d trên ( ) Ta có:

  d'  d

S' S

S' = Scos

 Ghi chú:

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12

§1 KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN

I - KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP:

 Khối lăng trụ (chóp) là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ (chóp) kể cả hình lăng trụ

(chóp) ấy Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy

 Điểm không thuộc khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) được gọi là điểm ngoài của khối lăng trụ (khối

chóp, khối chóp cụt) Điểm thuộc khối lăng trụ nhưng không thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ (khối

chóp, khối chóp cụt) đó được gọi là điểm trong của khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt)ï

D'

C' B'

II- KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN:

1 Khái niệm về hình đa diện:

 Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính

chất:

a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ

có một cạnh chung

b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác

 Mỗi đa giác gọi là một mặt của hình đa diện Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện

2 Khái niệm về khối đa diện:

 Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó

 Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện đó được gọi là điểm trong của khối đa diện Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hợp những điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện

 Mỗi hình đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau là miền trong

và miền ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ có miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đấy

hình là phần vỏ bọc bên ngoài Khối gồm phần vỏ bên ngoài và phần ruột đặc bên trong

hai điểm M, N không phải là điểm trong của khối chóp

Đỉnh

Cạnh

Mặt

III- HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU:

1 Phép dời hình trong không gian:

Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M' xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian

Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý

* Một số phép dời hình trong không gian:

a) Phép tịnh tiến theo vectơ v 

Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính nó thì (P) được gọi là mặt phẳng đối xứng

M'

M

I

c) Phép đối xứng qua tâm O:

Là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M' sao cho O là trung điểm MM'

Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành chính nó thì O được gọi là tâm đối xứng của (H)

O

M ' M

d) Phép đối xứng qua đường thẳng  (phép đối xứng trục ):

Là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng

 thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc  thành điểm M' sao cho  là đường trung trực của MM'

Nếu phép đối xứng trục  biến hình (H) thành chính

nó thì  được gọi là trục đối xứng của (H)

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12

 Phép dời hình biến đa diện (H) thành đa diện (H'), biến đỉnh, cạnh, mặt của (H) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của (H')

2 Hai hình bằng nhau:

Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia

Ví dụ: Thực hiện liên tiếp hai phép dời hình: phép tịnh tiến theo vectơ v 

và phép đối xứng tâm O hình (H) biến thành hình (H'') Ta có: hình (H) bằng hình (H'')

(H'') (H')

(H)

v

D'' B''

C''

A'' B'

C' A'

A

C

B D

D'

O

IV- PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN:

Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện

(H1), (H2) sao cho (H1) và (H2) không có chung điểm

trong nào thì ta nói có thể chia được khối đa diện (H)

thành hai khối đa diện (H1) và (H2), hay có thể lắp

ghép hai khối đa diện (H1) và (H2) với nhau để được

khối đa diện (H)

Ví dụ: Ta có thể chia khối hộp chữ nhật thành hai

khối lăng trục đứng

(H 2 )

(H 1 )

(H)

 Ghi chú:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Phân chia khối chóp tứ giác thành hai khối chóp tam giác Bài 2: Phân chia khối lập phương thành năm khối tứ diện Bài 3: Phân chia khối lập phương thành sáu khối tứ diện bằng nhau CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§2 KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU

I- KHỐI ĐA DIỆN LỒI:

Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H) Khi

đó đa diện xác định (H) được gọi là đa diện lồi

* Chú ý: Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với

mỗi mặt phẳng chứa một mặt của nó



II- KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU:

Định nghĩa: Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có tính chất sau đây:

a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh

b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt

Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại {p; q}

Định lí: Chỉ có năm loại khối đa diện đều Đó là:

{3; 3}

{4; 3}

{3; 4}

{5; 3}

{3; 5}

Tứ diện đều Lập phương Bát diện đều Mười hai mặt đều Hai mươi mặt đều

4

8

6

20

12

6

12

12

30

30

4

6

8

12

20

 Ghi chú:

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12

BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều Bài 2: Cho hình bát diện đều ABCDEF Chứng minh rằng: a) Các đoạn thẳng AF, BD và CE đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường b) ABFD, AEFC và BCDE là những hình vuông CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§3 KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN

I- KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN:

Có thể đặt tương ứng cho mỗi khối đa diện (H) một số dương duy nhất V(H) thỏa mãn tính chất sau:

a) Nếu (H) là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì V(H) = 1

b) Nếu hai khối đa diện (H1) và (H2) bằng nhau thì ( ) ( )

Khối lập phương có cạnh bằng 1 được gọi là khối lập phương đơn vị

II- THỂ TÍCH KHỐI HỘP CHỮ NHẬT VÀ LĂNG TRỤ:

2 Thể tích khối lăng trụ:

Thể tích khối lăng trụ có diện tích đa giác

đáy Sđ và chiều cao h là:

VABCD.A'B'C'D' = SABCD x h

S ABCD H

h

C' B'

D'

C D

A

B A'

 Áp dụng công thức thể tích, tính thể tích khối đa diện tương ứng

Ví dụ 1: Cho hình chóp đều S.ABCD có mặt đáy là hình vuông cạnh a Góc giữa mặt bên và mặt đáy là 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12

Giải:

Ví dụ 2: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, hình chiếu của đỉnh A' lên mặt đáy (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và gĩc giữa A'A với mp(ABC) bằng 600 Tính thể tích khối lăng trụ Giải:

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy là tam giác ABC vuông tại B, cạnh BC = a, SA = a 2 và vuông góc mặt đáy Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là 450 a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) Giải:

IV- CÔNG THỨC TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỐI VỚI HÌNH CHÓP TAM GIÁC: Cho hình chóp S.ABC Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A', B', C' khác với S Ta có tỉ số thể tích: SC SC SB SB SA SA ' ' ' V V S.ABC C' S.A'  * Đặc biệt: Nếu A'  A ta có: SC SC SB SB ' ' V V S.ABC C' S.A'  A C B S A' B' C' Ví dụ: Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy là 600 Đường thẳng qua trọng tâm G tam giác ABC và song song cạnh BC cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại M, N Tính tỉ số thể tích của hai khối tứ diện SAMN và SABC; từ đó suy ra thể tích khối chóp S.MNCB Giải:

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12

 Ghi chuù:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài 2: Cho khối hộp MNPQ.M'N'P'Q' có thể tích V Tính thể tích của khối tứ diện P'MNP theo V

Bài 3: Trên cạnh PQ của tứ diện MNPQ lấy điểm I sao cho PI PQ

3

1

 Cho biết tỉ số thể tích của hai khối tứ diện MNIQ và MNIP

Bài 4: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a

Bài 5: Tính thể tích khối bát diện đều cạnh a

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12

* ÔN TẬP CHƯƠNG I *

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho hình lăng trụ và hình chóp có diện tích đáy và chiều cao bằng nhau Tính tỉ số thể tích của chúng Bài 2: Cho hình tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một và OA = OB = OC = a Tính thể tích khối tứ diện OABC

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc mặt đáy Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ A đến mp(SBC) trong các trường hợp sau:

a) Tam giác ABC vuông tại B và AC = 5a, BC = 3a và SA = a

b) Tam giác ABC đều cạnh a và góc giữa mp(SBC) và mp(ABC) là 600

c) Tam giác ABC vuông tại C, AB = 5a, BC = 3a và góc giữa cạnh SC và mp(ABC) là 450

Bài 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy 2a Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách

từ A đến mp(SBC) trong các trường hợp sau:

a) Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600

b) Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600

c) Góc ASB = 600

Bài 5: Cho khối chóp S.ABC có hai mặt phẳng (SAB)  (ABC), gọi H là trung điểm AB Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ H đến mp(SAC) trong các trường hợp sau:

a) Tam giác ABC và SAB là hai tam giác đều cạnh a 3

b) Tam giác ABC vuông tại C có AC = a 2 , BC = a và SAB vuông cân tại S

c) Tam giác SAB đều cạnh 3a, tam giác ABC cân tại C và góc giữa cạnh SC với mặt đáy là 450

Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC vuông cân tại A, mặt bên BB'C'C là hình vuông có diện tích bằng 2a2 Tính thể tích của khối lăng trụ

Bài 7: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng a 3 và hình chiếu vuông góc với A' lên (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC Tính thể tích khối lăng trụ

Bài 8: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên tạo với đáy một góc 600 Đỉnh A' cách đều các đỉnh ABCD Tính thể tích khối hộp

Bài 9: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh 2a, cạnh bên bằng a 3 và hình chiếu vuông góc của A' lên (ABC) trùng với trung điểm AG với G là trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối lăng trụ

Bài 10: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Tính tỉ số thể tích giữa các khối tứ diện AMND và ABCD, từ đó suy ra thể tích hai khối đa diện AMND, DMNCB trong các trường hợp sau:

a) M, N lần lượt là trung điểm BC, BD

b) M là trung điểm AB, N nằm giữa A và C sao cho NA = 2NC

Bài 11: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và H là trung điểm cạnh AB

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC và thể tích khối tứ diện SAGB

b) Tính khoảng cách từ C và G đến mp(SAB)

c) Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện SAHC và SHCB

Bài 12: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc 600 Tính thể tích của khối chóp đó

Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và AB = a, AD = b, SA

= c Lấy các điểm B', D' theo thứ tự thuộc SB, SD sao cho AB' vuông góc với SB, AD' vuông góc với SD Mặt phẳng (AB'D') cắt SC tại C' Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D'

Bài 14: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc 600 Gọi M

là trung điểm SC Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F Tính thể tích khối chóp S.AEMF

Bài 15: Cho hình lăng trụ tam giác đứng ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a

a) Tính thể tích khối tứ diện A'BB'C

b) Mặt phẳng đi qua A'B' và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F Tính thể tích hình chóp C.A'B'FE

Bài 16: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BB' và DD' Mặt phẳng (CEF) chia khối hộp trên làm hai khối đa diện Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đó

Bài 17: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Gọi M là trung điểm của A'B', N là trung điểm của BC a) Tính thể tích khối tứ diện ADMN

b) Mặt phẳng (DMN) chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện Gọi (H) là khối đa diện chứa đỉnh

A, (H') là khối đa diện còn lại Tính tỉ số giữa V(H) và V(H')

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12

CHƯƠNG II MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU

- oOo -

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1 Đường tròn:  Tất cả các điểm A nhìn đoạn thẳng BC dưới một góc vuông đều nằm trên đường tròn đường kính BC  Đường tròn (C) bán kính r có: Chu vi: C = 2r Diện tích: S = r2 O B C A 3 Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ: h r r Hình trụ có bán kính đường tròn đáy r và chiều cao h có diện tích và thể tích được tính theo công thức: Sxq = 2rh V = r2h 4 Diện tích xung quanh và thể tích hình nón: l h r Hình nón có bán kính đường tròn đáy r, độ dài đường sinh l và chiều cao h có diện tích và thể tích được tính theo công thức: Sxq = rl V = r2h 3 1  5 Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu: r M O Mặt cầu bán kính r có diện tích và thể tích hình cầu tương ứng được tính theo công thức: S = 4r2 V = 3 4 r3 6 Diện tích toàn phần:  Diện tích toàn phần của một hình đa diện là tổng diện tích của tất cả các mặt đa diện đó  Diện tích toàn phần của hình trụ là tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy  Diện tích toàn phần của hình nón là tổng diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy  Ghi chú:

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12

§1 KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY

I- SỰ TẠO THÀNH MẶT TRÒN XOAY:

Trong không gian cho mp(P) chứa

đường thẳng  và đường cong l Khi

quay mp(P) quanh  một góc 3600 thì

mỗi điểm M trên l vạch ra một đường

tròn có tâm thuộc  và nằm trên mặt

phẳng vuông góc với  Như vậy khi

quay mặt phẳng (P) quanh đường thẳng

 thì đường l sẽ tạo nên một hình được

Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng d và  cắt

nhau và tạo thành một góc  với 00 <  < 900 Khi

quay mặt phẳng (P) xung quanh  thì đường thẳng d

sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón tròn

2 Hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay:

a) Cho tam giác OIM vuông tại I Khi quay tam giác đó xung quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình được gọi là hình nón tròn xoay, gọi tắt là hình nón

 Hình tròn tâm I sinh bởi các điểm thuộc cạnh IM khi IM quay quanh trục OI được gọi là mặt đáy của hình nón

 Điểm O gọi là đỉnh của hình nón

 Độ dài đoạn OI gọi là chiều cao của hình nón (OI = khoảng cách từ O đến mặt đáy)

 Độ dài đoạn OM gọi là độ dài đường sinh của hình nón

 Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh OM khi quay quanh trục OI gọi là mặt xung quanh của hình nón đó

b) Khối nĩn trịn xoay hay khối nĩn là phần khơng gian được giới hạn bởi

một hình nĩn trịn xoay kể cả hình nĩn đĩ Những điểm khơng thuộc khối

nĩn gọi là những điểm ngồi của khối nĩn Những điểm thuộc khối nĩn

nhưng khơng thuộc hình nĩn tương ứng gọi là những điểm trong của khối

nĩn Đỉnh, mặt đáy, đường sinh của một hình nĩn cũng là đỉnh, mặt đáy,

đường sinh của khối nĩn tương ứng

c) Diện tích xung quanh của hình nĩn và thể tích khối nĩn: Gọi Sđ, Sxq, V

lần lượt là diện tích hình trịn đáy, diện tích xung quanh và thể tích của hình

nĩn cĩ:

 Chiều cao: h

 Bán kính hình trịn đáy: r

 Độ dài đường sinh: l

h

l

r O

M I

Ví dụ: Trong khơng gian cho tam giác vuơng OIM vuơng tại I, gĩc IOM bằng 300 và cạnh IM = a Khi quay tam giác OIM quanh cạnh gĩc vuơng OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình nĩn trịn xoay

a) Tính diện tích xung quanh của hình nĩn trịn xoay đĩ

b) Tính thể tích khối nĩn trịn xoay được tạo bởi hình nĩn trịn xoay nĩi trên

Giải:

III- MẶT TRỤ TRÒN XOAY:

1 Định nghĩa:

Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng 

và l song song với nhau, cách nhau một khoảng

bằng r Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh  thì

đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được

gọi là mặt trụ tròn xoay, gọi tắt là mặt trụ

 Đường thẳng  gọi là trục

 Đường thẳng l là đường sinh

 r là bán kính của mặt trụ đó

l



r

r

2 Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay:

Sxq = rl

V =

3

1

Sđ x h = r2h

3 1



Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12

a) Ta xét hình chữ nhật ABCD Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh nào đó, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ADCB sẽ tạo thành một hình gọi là hình trụ tròn xoay, hay gọi tắt là hình trụ

 Khi quay quanh AB, hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau gọi là hai đáy của hình trụ, bán kính của chúng gọi là bán kính của hình trụ

 Độ dài đoạn CD gọi là độ dài đường sinh của hình trụ

 Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh CD khi quay xung quanh AB gọi là mặt xung quanh của hình trụ

 Khoảng cách AB giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy là chiều cao của hình trụ b) Khối trụ tròn xoay hay khối trụ là phần không gian được

giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ tròn xoay đó

Những điểm không thuộc khối trụ gọi là những điểm ngoài

của khối trụ Những điểm thuộc khối trụ nhưng không thuộc

hình trụ tương ứng gọi là những điểm trong của khối trụ Mặt

đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của một hình trụ cũng là

mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của khối trụ tương ứng

c) Diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ:

Gọi Sđ, Sxq, V lần lượt là diện tích hình tròn đáy, diện tích xung

quanh và thể tích của hình trụ có:

 Chiều cao: h

 Bán kính: r

 Độ dài đường sinh: l

h l



r

B C

D

Ví dụ: Trong không gian, cho hình vuông ABCD cạnh a Gọi I và H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH ta được một hình trụ tròn xoay

a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay đó

b) Tính thể tích của khối trụ tròn xoay được giới hạn bởi hình trụ nói trên

 Ghi chú:

Sxq = 2rl

V = Sđ x h = r2h

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy gọi tên các hình tròn xoay hoặc khối tròn xoay sinh ra bởi:

a) Ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư

b) Ba cạnh của một tam giác cân khi quanh quanh trục đối xứng của nó

c) Một tam giác vuông kể cả các điểm trong của tam giác vuông đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông

d) Một hình chữ nhật kể cả các điểm trong của hình chữ nhật đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh Bài 2: Cho một hình nón có đường cao bằng 12cm, bán kính đáy bằng 16cm Tính diện tích xung quanh của hình nón đó

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAB bằng 600 Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD

Bài 4: Một mặt phẳng đi qua trục của một khối trụ cắt khối trụ đó theo một hình vuông cạnh a Tính theo a diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ đó

Bài 5: Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó

Bài 6: Một khối trụ có chiều cao bằng 12 và bán kính đáy bằng 5 Một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng là 3 cắt khối trụ theo thiết diện là hình gì? Cho biết diện tích của thiết diện đó

Bài 7: Cho khối nón có chiều cao là 12, bán kính đáy là 5 Một mặt phẳng đi qua đỉnh của khối nón và hai đường sinh cắt đáy theo dây cung có độ dài là 13 2 Cho biết độ dài các cạnh và diện tích thiết diện tạo thành

Bài 8: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm

a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên

b) Cắt khối trụ bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên

Bài 9: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r 3

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ

b) Tính thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho

c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 300 Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ

Bài 10: Cho hình nón tròn xoay có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho

b) Tính thể tích của khối nón được tạo thành bởi hình nón đó

c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm Tính diện tích của thiết diện đó

Bài 11: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O; r) và (O'; r) Khoảng cách giữa hai đáy là OO' = r 3 Một hình nón đỉnh là O' và có đáy là hình tròn (O; r)

a) Gọi S1 là diện tích xung quanh của hình trụ và S2 là diện tích xung quanh của hình nón, hãy tính tỉ số giữa

S1 và S2

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12

Bài 12: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng

a 2

a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy và thể tích của khối nón tương ứng

b) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc 600 Tính diện tích tam giác SBC

Bài 13: Một hình trụ có bán kính r và có chiều cao cũng bằng r Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, còn cạnh BC và AD không phải là đường sinh của hình trụ Tính diện tích của hình vuông đó và côsin của góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy

Bài 14: Cho một mặt phẳng (P) và đường thẳng d đi qua một điểm cố định và tạo với (P) một góc  không đổi (với 00 <  < 900) Chứng minh rằng d luôn thuộc mặt nón cố định

Bài 15: Cho mặt phẳng (P) và một đường tròn tâm O trên đó Điểm M di động trên (O) Đường thẳng d đi qua M

và vuông góc với mp(P) Chứng minh rằng đường thẳng d luôn thuộc một mặt trụ cố định

Bài 16: Trong không gian cho hai điểm A, B cố định và có độ dài AB = 20cm Gọi d là một đường thẳng thay đổi luôn luôn đi qua A và cách B một khoảng bằng 10cm Chứng tỏ rằng đường thẳng d luôn luôn nằm trên một mặt nón, hãy xác định trục và góc ở đỉnh của mặt nón đó

Bài 17: Cho đường tròn tâm O bán kính r nằm trên mp(P) Từ những điểm M thuộc đường tròn này ta kẻ những đường thẳng vuông góc với (P) Chứng minh rằng những đường thẳng như vậy nằm trên một mặt trụ tròn xoay Hãy xác định trục và bán kính của mặt trụ đó

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§2 MẶT CẦU

I- MẶT CẦU VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN ĐẾN MẶT CẦU:

1 Mặt cầu:

Tập hợp những điểm M trong khơng gian cách điểm

O cố định một khoảng khơng đổi bằng r (r > 0) được

gọi là mặt cầu tâm O bán kính r

 Mặt cầu tâm O, bán kính r được kí hiệu: S(O;

Hình biểu diễn của mặt cầu

 Nếu hai điểm CD nằm trên mặt cầu S(O; r) thì

đoạn thẳng CD được gọi là dây cung của mặt cầu đĩ

 Dây cung AB đi qua tâm O được gọi là một

đường kính của mặt cầu Khi đĩ độ dài đường kính

bằng 2r

đường kính

dây cung

B A

D C

2 Điểm nằm trong và nằm ngồi mặt cầu:

Cho mặt cầu S(O; r) và một điểm A bất kì trong khơng gian

Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O; r) cùng với các điểm nằm

trong mặt cầu đĩ được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O bán kính

r

điểm nằm ngoài

điểm nằm trên

điểm nằm trong

B

A

C

O

3 Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu:

Ta cĩ thể xem mặt cầu là một mặt trịn xoay tạo nên

bởi nửa đường trịn quay quanh trục chứa đường kính

của nửa đường trịn đĩ

 Giao tuyến của mặt cầu với nửa mặt phẳng cĩ bờ

là trục của mặt cầu được gọi là kinh tuyến

 Giao tuyến (nếu cĩ) của mặt cầu với các mặt

phẳng vuơng gĩc với trục được gọi là vĩ tuyến của mặt

cầu

 Hai giao điểm của mặt cầu với trục được gọi là

 Nếu OA = r thì ta nĩi điểm A nằm trên mặt cầu S(O; r)

 Nếu OA < r thì ta nĩi điểm A nằm trong mặt cầu S(O; r)

 Nếu OA > r thì ta nĩi điểm A nằm ngồi mặt cầu S(O; r)

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12

Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính r và mặt phẳng (P) Ta có:

Mặt cầu (S) và mp(P) không có điểm chung

H

r O

O

Qua một điểm A nằm trên mặt cầu S(O; r) cĩ vơ số

tiếp tuyến của mặt cầu Tất cả các tiếp tuyến này đều

vuơng gĩc với bán kính OA của mặt cầu tại A và đều

nằm trên tiếp diện của mặt cầu tại A

O

A

Qua một điểm A nằm ngồi mặt cầu S(O; r) cĩ vơ

số tiếp tuyến với mặt cầu Các tiếp tuyến này tạo thành mặt nĩn đỉnh A Khi đĩ độ dài các đoạn thẳng

kẻ từ A đến các tiếp điểm đều bằng nhau

* Mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình đa diện:

Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt

cầu đĩ tiếp xúc với tất cả các mặt của hình

đa diện Cịn nĩi hình đa diện ngoại tiếp

mặt cầu

Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu Cịn nĩi hình đa diện nội tiếp mặt cầu

S

B A

Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 600 Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp

Giải:

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12

Ví dụ 3: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc nhau từng đôi một, OA = OB = OC = a Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

IV- CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH KHỐI CẦU:

Cho mặt cầu (S) có bán kính r, ta có:

 Diện tích mặt cầu: S = 4r2

 Thể tích khối cầu: V =

 Ghi chuù:

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có bốn đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB,

SC đôi một vuông góc Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó

Bài 4: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA  (ABC), tam giác ABC vuông tại B, cạnh AC = 5a, AB = 3a và

SA = a

a) Tính thể tích khối chóp, từ đó suy ra khoảng cách từ A đến mp(SBC)

b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = a, BB' = b, CC' = c

a) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó

b) Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu trên

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12

Bài 6: Từ một điểm M nằm ngoài mặt cầu S(O; r) kẻ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại A, B và C, D a) Chứng minh rằng MA.MB = MC.MD

b) Gọi MO = d Tính MA.MB theo r và d

Bài 7: Cho mặt cầu S(O; r) tiếp xúc với mp(P) tại I Gọi M là một điểm nằm trên mặt cầu nhưng không phải là điểm đối xứng với I qua tâm O Từ M ta kẻ hai tiếp tuyến của mặt cầu cắt (P) tại A và B Chứng minh rằng góc AMB bằng góc AIB

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI