Một lớp các P.I đại số nửa nguyên tố

Ly do chon dé tai Theo Posner- Rowen thi bat ky P.I đại số nguyên tố nào đều được nhúng vào một P.I đại số nguyên thủy , là đại số thương theo tâm của nó như một thứ tự trái phải trong n

NỬA NGUYÊN TÔ

Chuyên ngành : Đại Số và Lí Thuyết Số

Mã số : 60 46 05

LUAN VAN THAC Si TOAN HOC

NGUOI HUGNG DAN KHOA HOC:

PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ

Thành phố Hồ Chí Minh — 2009

LOI CAM ON

Luận văn được hoàn thành đưới sự hướng dẫn khoa học của Phó Giáo Sư Tiến sĩ Bùi

Tường Trí Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy - người đã từng bước hướng dẫn tôi

phương pháp nghiên cứu đề tài cùng những kinh nghiệm thực hiện đề tài, cung cấp nhiều tài liệu và truyền đạt những kiến thức quí báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Chân thành cám ơn quý thầy trong tổ Đại Số, khoa Toán — Tin trường Đại học Sư Phạm

Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp tôi nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu

quả trong suốt quá trình học cao học

Chân thành cám ơn quý thầy cô phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học đã tạo điều

kiện thuận lợi cho tôi thực hiện luận văn này

Chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu cùng các đồng nghiệp trường THPT Thủ Đức đã tạo

điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học cao học

Sau cùng chân thành cám ơn các bạn cùng lớp với những trao đổi góp ý và động viên tôi

trong suốt quá trình thực hiện luận văn

TP HCM năm 2009

Nguyễn Thị Minh Nguyệt

1 Ly do chon dé tai

Theo Posner- Rowen thi bat ky P.I đại số nguyên tố nào đều được nhúng vào một P.I đại số nguyên thủy , là đại số thương theo tâm của nó như một thứ tự trái phải trong nó.Như chúng ta

đã biết, đại số nửa nguyên tố là tích trực tiếp con các đại số nguyên tố, đại số nửa nguyên thủy

là tích trực tiếp con các đại số nguyên thủy Câu hỏi tự nhiên đặt ra, liệu ta có thể mở rộng định

lý Posner-Rowen cho lớp các P.I đại số nửa nguyên tố, điều đó có nghĩa là: Liệu có thể nhúng một P.I đại số nửa nguyên tố vào P.I đại số nửa nguyên thủy như một thứ tự trái phải trong nó?

Trong P.I Algebras An Introduction, tác giả Nathan Jacobson đã từng nhận định là điều trên

không còn đúng và luận văn thạc sỹ của Trương Huy Hoàng đã đưa ra ví dụ minh chứng điều

đó Vậy trong điều kiện nào thì định lý Posner- Rowen được mở rộng cho lớp các P.I đại số nửa

nguyên tố? Câu hỏi có một sức hấp dẫn nhất định,trả lời câu hỏi lý thú này là cơ hội để tôi vận

dụng các kiến thức toán học hữu ích đồng thời giúp bản thân phát triển tư duy và tiếp cận với toán học hiện đại Đó là lý do đưa tôi đến việc nghiên cứu đề tài “Một lớp các P.I đại số nửa nguyên tố”, đó là lớp các P.I đại số nửa nguyên tố mà định lý Posner-Rowen được mở rộng

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu đề tài của tôi là chỉ ra “Một lớp các P.I đại số nửa nguyên tố” để

định lý Posner-Rowen có thể mở rộng, hay nói rõ hơn là trong luận văn này tôi sẽ đưa thêm điều kiện cần thiết cho các P.I đại số nửa nguyên tố ,để có thể nhúng P.I đại số nửa nguyên tố

đó vào một P I đại số nưả nguyên thủy

3 Phương pháp nghiên cứu

Để mở rông định lý Posner Rowen đối với các P.I đại số nửa nguyên tố, thông thường có hai phương hướng: hoặc là xây dựng lại khái niệm đại số thương một cách phù hợp; hoặc là bổ sung điều kiện cần thiết cho các P.I đại số nửa nguyên tố Với luận văn này, phương hướng bổ sung điều kiện là phương pháp mà tôi lựa chọn để mở rộng định lý

4 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm hai chương

Chương 1: Một số khái niệm và các định lý về vành không giao hóan

Trong chương này luận văn trình bày lại các kiến thức cơ bản về vành không giao hoán

có liên quan đến các chương sau Ở đây, hầu hết các định lý, các hệ quả, các bố đề và các kết quả chỉ phát biểu chứ không chứng minh Chúng được dùng làm cơ sở lý thuyết phục vụ đề tài

Chương 2: Các P.I đại số nguyên tố và nửa nguyên tố

Tại đây, hầu hết các định lý đều được chứng minh một cách tường minh

Chương này giới thiệu định lý Posner -Rowen, đưa ra ví dụ trong luận văn thạc sĩ của Trương Huy Hoàng để chứng minh định lý không còn đúng đối với P.I đại số nửa nguyên tố

Cuối cùng, tôi sẽ bố sung một số mệnh đề cần thiết để đạt được mục tiêu mà luận văn đã

đề ra: là chỉ ra “Một lớp các P.I đại số nửa nguyên tố”- đó là lớp các P.I đại số nửa nguyên tố

mà định lý Posner-Rowen có thể mở rộng

Chương 1: MỘT SÓ KHÁI NIỆM VÀ CÁC ĐỊNH LÝ VÈ VÀNH KHÔNG

GIAO HOÁN

Trong chương này luận văn trình bày lại các kiến thức cơ bản về vành không giao hoán có liên quan đến các chương sau Ở đây, hầu hết các định lý, các hệ quả, các bổ đề và các kết quả chi phát biểu chứ không chứng minh Chúng được dùng làm cơ sở lý thuyết phục vụ đề tài Trong chương này, ký hiệu R là vành không giao hoán, M là R-modul phải

1.1 Modun bất khá quy trung thành

Ký hiệu: A(M) = {reR/M.r= <0>}

Ta có: A(M) là ideal hai phía của R và M là R/A(M)- modul trung thành

Chứng minh:

Ta có A(M) c RvàVaeA(M),reR

e_ ta có : M.ar=(Ma)r=0.r=0 suy ra are A(M)

Cũng có: M.ra = (Mr)ac Ma=0,suy ra rae A(M)

Vay: A(M) la ideal hai phia cua R

+ Vr=(+A(M)) eR/A(M) Xét ƒ'4R/ to

Ta có:

(m,z)= (m,r') >r=r'=(r-r') eA(M) =m(-r')=0, VmeM=>mr=mr”

Vậy: f là ánh xạ và thỏa các tính chất của R/A(M)- modul

Nên: M là R/A(M)- modul

e Tacó: Mz=<0>

Suy ra: mz=0,VmeM => mr=0, VmeM, =r e A(M) hay r=0

Vậy: M là R/A(M)-modul trung thành

Cho M là R- modul , aeR, xét ánh xét 7„:⁄ —> M với mĩ7„= ma, meM là đồng cấu

nhóm cộng Ký hiệu E(M) là tap tat cả các đồng cấu nhóm cộng thì E(M) là một vành với các

phép toán cộng và nhân các đồng cầu nhóm

g:R > E(M)

Xét ánh xạ: ab T, thì ø là đông câu vành

Ta cũng có: kerø = A(M) suy ra R/A(M)= Imo

Bồ đề 1.1.3:

R/A(M) đẳng cấu với vành con của vành E(M)

Đặc biệt: Nếu M là R-modul trung thành thì A(M) = <0>.Khi đó ø là đơn cấu nên ta có

thể nhúng R vào E(M) như vành con khi đồng nhất a voi 7; a;aeR

Định nghĩa 1.1.4:

s - Ta có C(M)= {ƒ eE(M)/T,ƒ = ƒT,,Va e R} là vành giao hoán tử của R trong M.Lúc

đó: C(M) là vành con của vành E(M) v à C(M)= End,M

Định nghĩa 1.1.5.:

e_ M được gọi là R-modul bất khả quy nếu M+<0> và M chỉ có hai modul con tầm

thường là <0> và M

e Cho R là trường sô thực, trong R; xét ma trậnøz = f 3}

Xét A=< ø > ld ideal sinh bỡiøz , V={+ = (x,;x;)/x¡:x, € R}.Lúc đó V 1a A-modun bat

Bé dé 1.1.7:

Nếu M là R-modul bất khả quy thì C(M) là một thé

1.2 Radical của vành

Định nghĩa 1.2.1:

e_ Radical Jacobson của vành R,ký hiệu là J(R) là tập hợp các phần tử của R mà linh hoá

tất cả các modul bat kha quy cua R,J(R)= 7 A(M) voi M là R-modul bất khả quy Lúc đó J(R)

la ideal hai phia cua R

e Nếu R không có modul bất khả quy, ta quy ước J(R)=R,Lúc đó R được gọi là vành

radical

Định nghĩa 1.2.2:

ø là tdeal phải của R, ký hiệu (ø:R)= {xeR/Rxc ø}

Bé dé 1.2.3:

e© Nếu ø là ideal phải chính quy thì (ø :R) là ideal hai phía lớn nhất của R nằm trong ø

e_ Nếu ølà iđeal phải tối đại chính quy thì A(M)= (ø:R) với M=R/p

© aeR được gọi là tựa chính quy phai néu: 3a’eR: ata’+aa’=0

e a' được gọi là tựa nghịch đảo phải của a

e© tương tự ta có tựa chính quy trái , tựa nghịch đảo trái

e Một ideal được gọi là tựa chính quy phải nếu mọi phần tử của nó là tựa chính quy phải

e J(R) là ¡ideal tựa chính quy phải

Định lý 1.2.8:

J(R) là ideal phải tựa chính quy phải và chứa mọi ideal phải tựa chính quy phải, tức là J(R) là ideal phải tựa chính quy phải tối đại duy nhất của R

Định nghĩa 1.2.9:

e Phần tử aeR được gọi là luỹ linh nếu tồn tại neN sao cho ø”=0

e Ideal phải (trái) của R được gọi là nil-ideal phải (trái) nếu mọi phần tử của nó đều luỹ

linh

e Ideal phải (trái ) ø của R đựơc gọi là luỹ linh nếu tồn tại me N sao cho đ1-42 đi =0

với mọi đ,€ p, tic tén tại me N sao cho p™ =0

Nhận xét:

e Nếu ø là ideal luỹ linh thì ø là nil-ideal

e mọi phần tử luỹ linh đều tựa chính quy

e J(R) chứa mọi mil-ideal một phía

e Nếu R có ideal luỹ linh khác 0 thì R có ideal hai phía luỹ linh khác 0

1.3 Radical của một đại số

Định nghĩa 1.3.1:

A đựơc gọi là đại số trên trường F nếu A thoả các điều kiện sau:

e A là một vành

e© A là không gian vectơ trên trường F

e Vabe A, V Qe F thi đ (ab)=( đa)b=(a#)b

Nếu A có đơn vị 1 thì Z.1 nằm trong tâm của A (với Ze F)

Lay pla ideal phai t6i đại chính quy của A, ta có (A) c p

Ta cũng có ø+J(A) là iđeal phải tối dai của A/J(A)

ø chính quy nên daeA: x-axe ø,VxeA

=> 3a=(x-ax) +J(A) e o+J(A): x-axe ø+J(A), VxeA/J(A)

Suy ra: ø+J(A)chính quy

Ta cũng có: J(A)= © ø với ø chạy khắp ideal tối đại phải chính quy của A nên

f(ø +J(A))=<0> Vậy J(A/J(A))=<0>, hay A/J(A) là nửa nguyên thủy

Moi ideal hai phía của đại số nửa nguyên thuỷ đều nửa nguyên thuỷ

Nhận xét: Điều trên không còn đúng nếu I là ideal một phía

Ví dụ: Xét R là vành ma trận vuông cấp 2 trên trường F, R là vành nửa nguyên thủy nên J( R) =

Vì x“= 0 0 =<0>, suy ra x lũy linh và 0 0 :8cƑLlà nil ideal phai cua A Suy ra

J(A) #<0>.Do do : J(A) #ATJ(R)

1.4.2 Đại số nguyên thuỷ

Định nghĩa 1.4.2.1:

e Đại số A được gọi là nguyên thuỷ nếu nó có một modul bắt khả quy trung thành

eI4A, I được gọi là ideal nguyên thủy A/I là đại số nguyên thủy

Mệnh đề 1.4.2.2:

Cho A là một đại số tuỳ ý,M là một A-modul bat khả quy thì A(M) là một ideal hai phía của A và A/A(M) là một đại số nguyên thủy

Ménh dé 1.4.2.3:

A là đại số nguyên thủy khi va chi khi tồn tại ideal phải tối đại chính quy p cud A sao cho

(ø :A)= <0>.Khi đó A là nửa nguyên thủy và nếu A giao hoán có đơn vị thì A là một trường

Vậy: Mọi đại số nguyên thủy đều nửa nguyên thủy

Định nghĩa 1.4.2.4:

Giả sử R là vành nguyên thủy, M là R-mođun bắt khả quy trung thành Đặt A =C(M) thì

A là một thể.Khi đó M là không gian vec tơ trên A với phép nhân ngoài /: Mx A >M với u(m; z)=mz =(m) z ,trong đó z:M->M thuộc A =C(M)= End RM

sHọ v,%5-.¥_trong M duge gọi là độc lập tuyến tính trên

A ol > va, =0 =ø, =0,Vi =l,n,ø, e A)

i=Ln

e Vành R được gọi là tác động dày đặc trên M nếu voi moi n va v ;Ya„ v; trong M là hệ

độc lập tuyến tính trên Avà bất kỳ n phần tử Wy Woo Wy trong M thi tén tai r sao cho

Ngược lại: giả sử v Vaan là cơ sở của M trén A va fe knd M Do R dày đặc trên M

nén: dre R sao cho (v, Fy; r (i=1,2, ,.n), suy ra: Q; )E(v; ) 1; hay f£T„=re R Suy ra

tha M cR

Vậy: R=End.M “An

Định lý 1.4.2.5: (Định lý dày đặc)

Cho R là vành nguyên thủy, M là R-modul phải bất khả quy trung thành.Nếu A=

C(M) thì R là vành dày đặc những phép biến đổi tuyến tính của M trên A

Chứng minh:

Trước tiên ta nhận thấy rằng để chứng minh định lý ta cần chứng tỏ rằng: Với một không gian con hữu hạn chiều V của M trên A,dimV=n và me M sao cho mz V thì chúng ta có thể

tìm được re R với Vr=<0> nhưng mr+ 0.Ta sẽ chứng minh điều này bằng quy nạp theo n

e©_ Với n=0, khi đó dimV=O0, hay V=<0>,

Vì vậy Vm e M ,m # Vsuy ra m #0,

Néndre R,r #0:mr#0(do MR #< 0 >) va Vr=<0>

e Giả sử điều đó luôn đúng với dim V<n

e Ta chứng minh trường hợp dim V=n, khi đó giả sử V= fg+wA , Voi dim Vo dimV-

lva w¢ V-Theo giả thiét quy nap V y¢ V,, ye M, tacore R: 1 r=<0> nhưng yrz 0.Hay

V ye Vi,ye M, dre A(Vp):yt# 0

Suy ra: m¢ thì m AƠa)z 0.Khi đó với A0) la ideal phai cua R, vi w ¢ Vow

A( Vode 0 là modun con của M bất khả quy nên wA( o)=M Dùng phán chứng, giả sử rằng

tồn tại m e M,me V sao cho Vre R mà Vr=<0>thì mr=0.Ta chứng minh điều này không thé,

vi:

wAƒq}M =>Vxe M, dae AƠ):x=wa

Xét: 7: Ä⁄ —> M sao cho wa=x->ma

Khi đó r được định nghĩa là tốt, vì nếu x=0—=wa=0=—>a linh hóa w và ae A( fq)=a linh hóa

V, hay Va=0, suy ra ma=0

Mặt khác ta có 7z e E(M),x=wa với ae A( 1 )thì Vre R,ta có:

Xr=(wa)r=w(ar) và (xr)z =w(ar)z =m(ar)=(ma)r=(Xx7 )r, suy ra ze A

Vì vậy: Vae A( họ ),ma=(wa)z =(w7 )a, suy ra (m-wz7 )a=0,Vae A( Vy)

Suy ra: (m-wr)e V,, hay me Vat wr ma Y c Vot wre fg+wA

Suy ra: me V (mâu thuẫn với m £ V)

Chứng minh định lý:

là một họ độc lập tuyến tính trên M và {w i \ là một họ tùy ý trên

Đặt: tứ +¡,+ + ím„ khi đó: v, Cv, (0,+0,+ -tín Fy; &

Hay: w.=v,t, Vi=l,n.Vậy R dày đặc trên M

J(A) 4 A- đại số don va J(A) # A vil ¢ J(A).Suy ra: J(A)=0

Do J(A)= 7 p với ø là ideal phải tối đại chính quy của A

Suy ra: t6n tai ideal (p :A) 1a ideal hai phía lớn nhất nằm trong ø

Suy ra: (p :A)=<0>(do A là đại số đơn),suy ra: A là đại số nguyên thủy (theo ménh dé 1.4.2.3) 1.4.4 Đại số nguyên tố

Định nghĩa 1.4.4.1:

e Một ideal P của đại số A được gọi là ideal nguyên tố nếu BCCP thì hoặc BCP hoặc CcP voi B,C 1a cac ideal cua A

¢ Đại số A được gọi là đại số nguyên tố nếu 0 là ideal nguyên tố của A

e Ta còn có thể định nghĩa P4A, P được gọi là ideal nguyên tố > A/P là đại số nguyên

td

Mệnh đề 1.4.4.2:

Nếu A là đại số nguyên thuỷ thì A là đại số nguyên tố

Chứng minh:

Ta có A là đại số nguyên thủy nên A có M là A-modul bất khả quy trung thành.Gọi B

và C là 2 ideal khác 0 của A.Ta có:

(BC)M=B(CM)=BM=M ( vì BM và CM là hai modul con khác 0 của M)

b) bAc=0 thì b=0 hay c=0 với mọi b,ce A

c) linh hoá tử bên trái của một ideal trái khác 0 bất kỳ là bằng 0

d) linh hoá tử bên phải của một ideal phải khác 0 bất kỳ là bằng 0

1.4.5 Đại số nửa nguyên tố

số 144 bà eI nếu tồn tại don cau yz: As TL Ag: Aun, =A, ,VÄel

© a{B, ‹ 4}, eI sao cho OB, =<0> va AB, = A,

Định nghĩa 1.4.5.1:

e Một đại số A được gọi là nửa nguyên tố nếu nó không có iđeal luỹ linh khác 0

e Một ideal B của đại số A được gọi là iđeal nửa nguyên tố nếu A/B là nửa nguyên tố

e Nhận xét: A là đại số nguyên tố thì A là nửa nguyên tố

Mệnh đề 1.4.5.2:

A là đại số nửa nguyên tố khi và chỉ khi A là tích trực tiếp con của các đại số nguyên tố

Chứng minh:

e Cho A là tích trực tiếp con các đại số nguyên tố 4y và gọi N là ideal lũy linh của A,

thì Nự = Z¿„ (N) là một ideal lũy linh của 4„,

Suy ra N,=0, Vø Vậy N=0

e Giả sử A là đại số nửa nguyên tố, B là một ideal khác 0 của A, chọn bị #0 trong B, ta

có Ab, A la ideal khac 0 trong B.Vi (Ab, Ay = Ab, A bAz 0

Suy ra bị Ab, +0 nên ta tìm được a, sao cho by=b, ay h z0 và by eB, cứ tiếp tục như vậy

„ ta tìm được dãy các phân tử khác 0 bị 3b) =), a h ›Ð,=b„ ay by 55D: =b,_ 14; 4,4 ; cChứa

trong B

Trong quá trình hình thành các phần tử này đã chứng tỏ rằng nếu k>i,j thid, = bya: Ỷ 7 Với a j€ A.Vì <0>n {b,}=Ø, nên theo Bé dé Zorn tén tại một ideal P của A sao cho P Ia ideal

lớn nhất trong tập cac ideal cua A thoa PA {5} =Ø.Chúng ta sẽ chứng minh P là ideal nguyên

tố của A.Gọi C và D là hai ideal khác 0 của P sao cho CŒP;DợP, ta có : C,=C+P >P

;D,=D+PSP,suy ra: 37, C; b„ cD,.Nếu k>ij thì by = ba: Pi eC D,

Suy ra Œ D,ŒP (vì by «P).Vì Œ¡ D,=(C+P)(D+P)=CD+CP+PD+Pc CD+P nên CDợ P.Vậy P

la ideal nguyên tố

Vi Pr {b}=@ va {b,} CB, nên Bơ.P.Như vậy, ta đã chứng tỏ được rằng với B là ideal

bất kỳ khác 0 trong A , ta luôn tìm được ideal nguyên tô P không chứa B,suyra ƒ\ P={0}

Pngto

và A là tích trực tiếp con các đại số nguyên tố A/P

Định nghĩa 1.4.5.4:

Tổng các ideal luỹ linh không nhất thiết là ideal luỹ linh, gọi tổng này là N(0), ta định

nghĩa một dãy siêu hạng các ideal như sau:

e nếu z là một bản số nào đó mà không là bản số giới hạn ,œ= +1, ta định nghĩa N(ø )

1a ideal của A sao cho N(ø )/N(Ø) là tổng tất cả các ideal luỹ linh của A/ N(#Ø)

e Nếu z là bản số giới hạn, nghĩa là không có bản số đứng ngay trứơc nó, ta đặt

NÑ(z)= U NỢ)

B<a

Khi đó ta có N(œz)cN(ø ') nếu z<ø' và tồn tại bản số đầu tiên z sao cho N(z)= N(z +1).Ta gọi N(z) nay 1a nil radical duoi cua A,ky hiéu InA

Dinh nghia 1.4.5.5:

e Daiséd A duge gọi là lũy linh địa phương nếu mọi tập con hữu hạn của nó đều sinh ra

một đại số con lũy linh

© Mét ideal I cua A duoc goi là iđeal lũy linh địa phương nếu A/I là đại số lũy linh địa phương

Nhận xét:

© Moi ideal lity linh đều là lũy linh địa phương

e Mọi ideal lũy linh địa phương đều 1a nil ideal

Mệnh đề 1.4.5.5:

e_ Tôn tại duy nhất một nil ideal tối đại của đại số A chứa mọi nil iđeal của A, Nil ideal

đó được gọi là upper ml radical của A, ký hiệu : Un(A)

e_ Tôn tại duy nhất một ideal luỹ linh địa phương tối đại của đại số A, chứa mọi ideal luỹ

linh một phía của A, ideal luỹ linh địa phương tối đại này được gọi là Levitzki nil radical cuôa

A, ký hiệu: L(A)

Mệnh đề 1.4.5.6:

e©_ A/Un(A) không chứa mil ideal khác 0 suy ra Un(A/Un(A))=0

e A/In(A) không chứa ¡ideal luỹ linh khác 0

e Cho X là vị nhóm tự do sinh bởi tập đếm được các phần tử x X2?” >Ÿn x_, Lúc đó X là

tập được xác cin Xf, Xp aX, |

e Cho K{*) là đại số nửa nhóm của X trên K

Lúc đó K{X} gọi là đại số tự do với tập đếm được gồm các phần tử sinh x,

e Đặc biệt: K{x,, ¬ là đại số con của đại số K{X}, sinh bdi tập con hữu

hạn xị,x —¬ với n nào đó

Mỗi phần tử của Ki, „sx | được ký hiệu là t[x,x sky} (gọi là đa thức f)

e Cho A là một đại số và Z là ánh xạ đi từ X vào A.Lúc đó tồn tại duy nhất đồng cấu ??từ

K{X}vao A sao cho 7.i = Z với ¡ là phép nhúng X vào K{X}.Lúc đó ảnh của đa thức

f[x,x „esx | qua đồng cấu từ K(X} vào A biến đổi x;thành a với 1<i<nva duge ghi la

£(4,,45,- 4 )

e f được gọi là đồng nhất thức trên đại số A khi t(a.a› 4,„ 0, Vy Ay +54, eA

e Đơn thức “i Xo; gọi là có mặt trong f nếu nó có hệ số khác 0 trong biểu diễn của f

2 r

theo cơ sở của X

¢ Da thức f gọi là tuyến tính theo x; nếu mọi đơn thức có trong f đều là bậc nhất theo x;

e Đa thức f được gọi là đa tuyến tính ,nếu f là tuyến tính theo mọi Xi có trong f

e Cho f là đa tuyến tính theo các biến X;,x;„ x„„ lúc đó f có dạng :

f=da XX wx 5a eK va a thay d6i trên cdc hoan vi cua 1,2, ,.m

m /E, 7173” ly I

Z l1 m 12 m wm

e Nếu f đa tuyến tính thì:

f(x, w9X ph TM 1X +13) = ƒss# sp) # /CsaX Xem +IPX7 +1? Ấm)

St (x ren —p PX p* pepo) = BS Oy o 9% jo % pq) ,VØeK

° Néu {u,}1a tập sinh của đại số A thì f là đồng nhất thức trên A khi và chỉ khi

flu, “i, —— )=0 với mọi sự lựa chọn u, trong {u;|

FO a9 ppg prj ppX jpn) = với mọi sự lựa chon i<j

e Nếu A có tập sinh hữu hạn {uy | thi mọi đa thức đa tuyến tính thay phiên có bậc lớn

hơn n đều là đồng nhất thức trên đại số A

e Bậc của ftheo x; sky hiệu: deg f.3 bac cua f, ky hiéu: deg f

i

e f được gọi là đồng bậc nếu f đồng bậc theo mọi Xi có trong f

e f được gọi là trộn đều theo x, néu x; có mặt trong mọi đơn thức có trong f

e f được gọi là trộn đều nếu nó trộn đều theo mọi x, có trong

e Height của đơn thức là hiệu số giữa bậc của nó với số x; có trong đơn thức đó

¢ Height cua f, ky hiệu htf, height tối đa của đơn thức có trong f

e f là đa tuyến tính khi và chỉ khi nó là trộn đều và có htf bằng 0

* Đa thức chuẩn:

e Là đa thức Seo ¬? => (sgz)x x, trong đó tổng được lấy trên nhóm

đối xứng và Sgz là dấu của phép hoán vị z

Spa & ro X pe 4 =X Sy (% soXt 21)—X.Sy 21455 41)+-+DÊx, „5, ›Xas 3X )

Do đó nêu Sh la dong nhat trén dai so A thi Shay

° Vy vole )= 5g()%; ( ¬

cũng là đồng nhất thức trên đại số A

« Nếu › ,i„ phân biệt và ¡< j<k , 0<r<k và S” là tổng các hạng tử của

ó x.x x là thừa số trái thì S'=3+ii j - - -

SO seve Xp) 6 in, là thừa sô trái thì S SOL ty

« S,la đồng nhất thức trên mọi K-đại số hữu han sinh, với tập sinh có số phần tử bé

hơn k Đặc biệt S$ 2 là đồng nhất trên đại số Ä⁄, (K)

® Một đại số được gọi là hầu hết nil với bậc bị chặn nếu nó có dạng K.I+N, với N là một

nil ideal c6 bac bi chan , nghĩa là Vz€ N,3zøcÑ:z” =0

Khi đó, nếu A là hầu hết nil thi [x,y] eN, với moi x,yeA, vi N cé bac bj chan nén :

dn € N :[x,y]"=0.Vay A théa man déng nhat thire f[x,y]"

Vì vậy, với mọi a, b,ce M, 2 (K), ta có [[z.»Ê ,c]=0

Suy ra: ff(x,, X2 ›#3)=@IXa- XX)" Xe ŒXX2- X 5X1)" là một đồng nhất thức trong

M„(K).Đây là đồng nhất thức của Wagner

s*» Đa thức tâm:

e Một đa thức được gọi là đa thức tâm của A nếu f không là đồng nhất thức của A

nhưng [fq soi) Xm+j] là đồng nhất thức của A

« Đồng nhất thức của Wagner đã chứng tỏ rằng (p52) là một đa thức tâm

° f là tuyến tính theo x néu f tuyén tinh theo x,

¢ V6i moi dais 6 A và nhóm con G của nhóm cộng A, f; là G-giá trị (có nghĩa là