Phương pháp giải và kỹ thuật giải phương trình_phương pháp3 potx

ðăng nhập / ðăng ký Góp ý với Onthi.com Từ điển Anh-Việt Tra từ Gõ tiếng việt: On Off Ôn thi Bài tập ðề tự luyện Thi thử Chuyên ñề Danh bạ Tin tức Thư giãn Diễn ñàn Kết bạn Download Blog

ðăng nhập / ðăng ký Góp ý với Onthi.com

Từ điển Anh-Việt Tra từ Gõ tiếng việt: On Off

Ôn thi

Bài tập

ðề tự luyện

Thi thử

Chuyên ñề

Danh bạ

Tin tức

Thư giãn

Diễn ñàn

Kết bạn

Download

Blog

Gia sư

Chú ý chú ý:

Xem tiếp các chuyên

ñề khác

Bàn về một dạng

phương trình

MỘT SỐ LƯU Ý KHI

GIẢI PHƯƠNG

TRÌNH LƯỢNG

GIÁC

Một số lưu ý khi giải

phương trình lượng

giác

PHƯƠNG PHÁP

THAM SỐ PHỤ

Phương pháp ñặt ẩn

phụ trong giải phương

trình vô tỷ (2)

Phương pháp ñặt ẩn

phụ trong giải phương

trình vô tỷ

HÀM SỐ HỮU TỶ

HÀM SỐ TRÙNG

PHƯƠNG

Tính ñơn ñiệu của

hàm số (2)

HÀM SỐ BẬC BA

Tính ñơn ñiệu của

hàm số

Ứng dụng ñạo hàm

trong các bài toán

tham số

Sử dụng ñạo hàm ñể

tìm giới hạn

Bài toán về tiếp tuyến

của ñường cong.

Sử dụng tính chất ñơn

ñiệu giải phương trình

chứa căn

Phương pháp hàm số trong giải PT-BPT-HPT

Tác giả: nguyentatthu ñưa lên lúc: 14:17:15 Ngày 11-05-2008

I.Sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm số ñể giải PT-BPT-HPT:

ðịnh lí 1:Nếu hàm số y=f(x) luôn ñb (hoặc luôn ngb) và liên tục trên D thì số nghiệm của pt

trên D : f(x)=k không nhiều hơn một và f(x)=f(y) khi và chỉ khi x=y với mọi x,y thuộc D Chứng minh:

Giả sử phương trình f(x)=k có nghiệm x=a, tức là f(a)=k Do f ñồng biến nên

*x>a suy ra f(x)>f(a)=k nên pt f(x)=k vô nghiệm

*x<a suy ra f(x)<f(a)=k nên pt f(x)=k vô nghiệm Vậy pt f(x)=k có nhiều nhất là một nghiệm

Chú ý:* Từ ñịnh lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau:

Bài toán yêu cầu giải pt: F(x)=0 Ta thực hiện các phép biến ñổi tương ñương ñưa phương trình

về dạng f(x)=k hoặc f(u)=f(v) ( trong ñó u=u(x), v=v(x)) và ta chứng minh ñược f(x) là hàm luôn ñồng biến (nghịch biến)

Nếu là pt: f(x)=k thì ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh ñó là nghiệm duy nhất

Nếu là pt: f(u)=f(v) ta có ngay u=v giải phương trình này ta tìm ñược nghiệm

* Ta cũng có thể áp dụng ñịnh lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất nghiệm

ðịnh lí 2: Nếu hàm số y=f(x) luôn ñb (hoặc luôn ngb) và hàm số y=g(x) luôn ngb (hoặc luôn

ñb)và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của pt: f(x)=g(x) không nhiều hơn một

Chứng minh:

Giả sử x=a là một nghiệm của pt: f(x)=g(x), tức là f(a)=g(a).Ta giả sử f ñồng biến còn g nghịch biến

*Nếu x>a suy ra f(x)>f(a)=g(a)>g(x) dẫn ñến pt f(x)=g(x) vô nghiệm khi x>a

*Nếu x<a suy ra f(x)<f(a)=g(a)<g(x) dẫn ñến pt f(x)=g(x) vô nghiệm khi x<a

Vậy pt f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm

Chú ý: Khi gặp pt F(x)=0 và ta có thể biến ñổi về dạng f(x)=g(x), trong ñó f và g khác tính ñơn

ñiệu Khi ñó ta tìm một nghiệm của pt và chứng minh ñó là nghiệm duy nhất

ðịnh lí 3:Cho hàm số y=f(x) có ñạo hàm ñến cấp n và pt có m nghiệm, khi ñó pt có nhiều nhất

là m+1 nghiệm

ðịnh lí này là hệ quả của ðịnh lí Roll

ðịnh lí 4: Nếu hàm số y=f(x) luôn ñồng biến ( hoặc luôn nghịch biến)và liên tục trên D thì

Góp sức duy trì onthi.com

Máy tính

Một số biểu thức liên

hợp thường dùng

trong khi giải các bài

tốn giới hạn

Một số dạng cơ bản

và cách giải giới hạn

dạng vơ định 0/0

Sử dụng hằng đẳng

thức giải phương trình

vơ tỉ

Sử dụng tính chất của

hàm số bậc hai giải

phương trình chứa

căn.

Chuyên đề về tích

phân

Hệ phương trình đồng

bậc

Chuyên đề hệ thức và

bất đẳng thức lượng

giác trong tam giác

Kĩ thuật Cơ-Si ngược

dấu

Các ví dụ:

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

Giải:

1) Với bài tốn này nếu giải theo cách bình thường như bình phương hay đặt ẩn phụ sẽ gặp nhiều khĩ khăn Tuy nhiên, nếu tinh ý một chút các em sẽ thấy ngay VT là một hàm đồng biến

và x=1 là một nghiệm của phương trình nên theo định lí 1 ta cĩ được x=1 là nghiệm duy nhất Vậy ta cĩ cách giải như sau

ðK:

Xét hàm số , ta cĩ f(x) là hàm liên tục trên D và

nên hàm số f(x) luơn đồng biến

Mặt khác, ta thấy f(1)=4

*Nếu x>1 suy ra f(x)>f(1)=4 nên pt vơ nghiệm

*Nếu x<1 suy ra f(x)<f(1)=4 nên pt vơ nghiệm Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Chú ý:* vì các hàm số y=ax+b với a>0 là một hàm đồng biến và nếu f(x) là hàm đồng biến thì

hàm ( với điều kiện căn thức tồn tại) cũng là một hàm đồng biến nên ta dẽ dàng nhận ra

VT của pt là hàm đồng biến

* Khi dự đốn nghiệm thì ta ưu tiên những giá trị của x sao cho các biểu thức dưới dấu căn nhận giá trị là số chính phương

2) Với bài tốn này cũng vậy nếu dùng phép biến đổi tương đương hay đặt ẩn phụ sẽ gặp khĩ khăn và theo chú ý trên ta cũng dễ dàng nhận thấy VT của pt là một hàm đồng biến và pt cĩ nghiệm x=1 Do đĩ pt này cĩ nghiệm duy nhất x=1 ( Các giải tương tự như bài 1)

3) Với đường lối như hai bài trên thì ta khĩ khăn để giải quyết được bài tốn này Tuy nhiên nếu nhìn kĩ thì ta thấy các biểu thức dưới dấu căn ở hai vế cĩ chung một mối liên hệ là x+2=(x+1)+1 và 2x^2+1=(2x^2)+1, do vậy nếu đặt thì phương trình đã cho trở thành:

, trong đĩ là một hàm liên tục và cĩ nên f(t) luơn đồng biến Do đĩ

Vậy phương trình cĩ nghiệm x=1, x=-1/2

4) Nhận xét các biểu thức tham gia trong phương trình ta thấy:

, do vậy nếu đặt

, khi đĩ phương trình trở thành: , trong đĩ với t>0 Ta thấy f(t) là hàm liên tục và đồng biến, do vậy

Cĩ nhiều phương trình để giải nĩ ta dự đốn được một số nghiệm và sau đĩ ta chứng minh ( dựa vào định lí 3) số nghiệm của phương trình khơng vượt quá số nghiệm ta vừa dự đốn Ta xét ví

dụ sau

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

Giải:

1) Ta thấy pt cĩ hai nghiệm x=0 và x=1 Ta chứng minh phương trình đã cho cĩ khơng quá hai

g''(x)>0 (vì khi đĩ theo đ/l 3 suy ra g'(x) cĩ nhiều nhất một nghiệm dẫn đến g(x) cĩ nhiều nhất

hai nghiệm), ñiều này luôn ñúng vì Vậy phương trình ñã cho có hai nghiệm x=0 và x=1

2) ðk: x>-1/2

, trong ñó là hàm liên tục và ñồng biến Do ñó

g’(x)=0 có nhiều nhất 1 nghiệm dẫn ñến pt g(x)=0 có nhiều nhất hai nghiệm, mà ta thấy x=0 và x=1 là hai nghiệm của pt g(x)=0

nên phương trình ñã cho có hai nghiệm x=0 và x=1

Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm duy nhất

Giải:

ðể chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên D ta có thể tiến hành theo cách sau

* Chứng minh phương trình f(x)=0 luôn có nghiệm: ðể chứng minh ñiều này, ta cần chứng chứng minh f(x) liên tục trên D và tồn tại hai số a,b sao cho f(a).f(b)<0

* Tiếp theo ta chứng minh f(x) là hàm luôn ñồng biến hoặc luôn nghịch biến

Trở lại bài toán:

Xét hàm số Ta có f(x) là hàm liên tục trên R và f(0).f(2)<0, dẫn ñến

pt f(x)=0 luôn có nghiệm Giả sử là nghiệm của phương trình f(x)=0, khi ñó Từ ñây ta suy ra ñược Do vậy ta chỉ cần khảo sát f(x) với x>=1

Vậy phương trình ñã cho luôn có nghiệm duy nhất

Chú ý:* Nếu chúng ta khảo sát ngay hàm f(x) thì chúng ta không thể có ñược f(x) là hàm ñồng

biến, do vậy ta cần hạn chế miền xác ñịnh của x ðiều này ta có ñược là nhờ vào bản thân của phương trình

*ðể chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên D ta còn có cách khác ñó là khảo sát hàm f(x) trên D, lập bảng biên thiên và từ bảng biến thiên ta suy ra ñược ñồ thị của hàm f(x) chỉ cắt Ox tại một ñiểm

Qua các bài toán trên ta thấy việc ứng dụng tính ñơn ñiệu vào giải một số dạng toán về phương trình tỏ ra hiệu quả và cho lời giải ngắn gọn Thông qua các ví dụ ñó hi vong các em có thêm những kĩ năng giải phương trình và nhận dạng ñược những dạng phương trình nào có thể dùng ñồng biến, nghịch biến Bây giờ ta ñi xét một số bài toán về Bất Phương trình

Ví dụ 4 : Giải các bất phương trình sau:

Giải:

Xét hàm số

Ta dễ dàng chứng minh ñược f(x) là hàm nghịch biến và f(1)=6

Do ñó Kết hợp với ñiều kiện ta có nghiệm của Bpt là:

suy ra f(x) là hàm ñồng biến Mặt khác:

Do vậy Bpt Kết hợp ñiều kiện ta có nghiệm của Bpt là

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:

Giải:

Từ (2) ta suy ra ñược |x|,|y|<=1

, trong ñó với |t|<=1, ta có f(t) là hàm nghịch biến và liên tục trên [-1;1]

là ngiệm của hệ ñã cho

Giải: Từ pt(1) gợi cho ta sử dụng phương pháp hàm số

Từ (2) và (3) ta có :

(vì hàm số f(t)=sint-3t là hàm liên tục và nghịch biến trên )

Thay x=y vào (2) ta ñược nghiệm của hệ là:

Chú ý: *Qua hai ví dụ trên ta thấy cả hai cùng chung một phương pháp, là một phương trình của

hệ có dạng f(x)=f(y), dẫn ñến ta khảo sát tính ñơn ñiệu của hàm số f(t)

* Một chú ý khi sử dụng tính ñơn ñiệu là chúng ta chỉ có ñược

khi f(t) liên tục và ñơn ñiệu

Giải: ðặt t=2x-y Khi ñó (1) trở thành:

(*)

Ta thấy vế trái (*) là hàm nghịch biến, vế phải là hàm ñồng biến và t=1 là một nghiệm của (*)

Do vậy (*) có nghiệm duy nhất t=1

là hàm liên tục và ñồng biến, ñồng thời f(-1)=0)

Vậy nghiệm của hệ là:(x;y)=(0;-1)

Giải: Xét hàm số Khi ñó hệ có dạng :

Ta giả sử (x,y,z) là no của hệ và x=Max{x,y,z} khi ñó, ta suy ra

Ta dễ dàng chứng minh ñược phương trình này có nghiệm duy nhất x=1

Vậy x=y=1 là nghiệm của hệ ñã cho

Bài tập:

Bài 1: Giải các phương trình sau:

Bài 2: Giải các bất phương trình sau

Bài 3: Giải các hệ phương trình sau

Bài 4: Giải và biện luận phương trình

Nguyễn Tất Thu (các bạn có thể tham khảo thêm tại http://www.toanthpt.net/forums/index.php)

Lưu ý tất cả các thành viên khi tham gia diễn ñàn onthi.com: Chỉ ñưa lên diễn ñàn các tài liệu do mình sở hữu hoặc ñược sự cho phép của chủ sở hữu Các ñơn vị phát hiện thấy nội dung do các thành viên ñưa lên onthi.com là sở hữu của mình mà không ñược phép xin liên hệ với ban quản trị

ñể chúng tôi kịp thời gỡ bỏ

Giới thiệu onthi.com

© 2008 Sáng lập bởi: Nguyễn Duy Phi và Bùi Minh Mẫn Phát triển bởi các thành viên

(Email:duyphian[at]yahoo.com Mobile:0936132468)