Vật lí đại cương các nguyên lí và ứng dụng - Tập 2 Điện từ, dao động và sóng - Chương 26 pdf

Khi viên bị được nâng lên trên vị trí cân bằng rồi buông ra nó sẽ dao động theo phương thẳng đứng và dao động này là điều hoà, nếu bỏ qua các hiệu ứng hao tán năng lượng.. Từ phương t

ha A ~ ` +Z Ã ` ` A a

Chuyển động tuần hoàn của các diễn viên nhào lộn trên

26-7 Dao động cưỡng bức và cộng hưởng

Bài đọc thêm : Hỗn độn

Trong tự nhiên, dao động hay chuyển động tuần hoàn là những chuyển động rất thường gặp

Có nhiều hiệu ứng là tuần hoàn chẳng hạn nhịp tim của động vật, các mùa trong năm, sự lac lu

của con lắc đồng hồ, sự dao động của các nguyên tử trong chất rắn, dòng điện trong dây dẫn

của bóng đèn điện 6 thang cực vĩ, một số nhà vũ trụ học cũng tin rằng toàn thể vũ trụ cũng

dao động với chu kì hàng chục tỉ năm

Trong chương này chúng ta nghiên cứu những đặc trưng cơ bản của dao động điều hoà

299

26-1 DONG HOC CUA DAO DONG DIEU HOA

Loại dao động đơn giản nhất được gọi là

dao động điều hoà Chuyển động này có

thể được minh hoạ bằng một viên bi treo

trên lò xo Khi viên bị được nâng lên trên

vị trí cân bằng rồi buông ra nó sẽ dao

động theo phương thẳng đứng và dao

động này là điều hoà, nếu bỏ qua các hiệu

ứng hao tán năng lượng

Định nghĩa dao động điều hoà

Một vật thực hiện dao động điều hoà nếu

toạ độ của nó biến thiên theo thời gian

như một hàm sin hoặc cosin

Gia su x là toạ độ (cũng gọi là lí độ) của

vật dao động điều hoà, khi đó :

x =A cos(ot + 6) (26-1)

Vì vật dao động theo hướng này rồi lại sang

hướng kia, nên x biến thiên giữa x = A và

X = -A (hình 26-1) Nhu vay A được gọi

là biên độ vì nó đặc trưng cho phạm vi

dao động Kí hiệu œ biểu diễn tần số góc,

nó xác định tốc độ dao động Tham số 6

được gọi là pha ban đầu, nó được xác

định bởi sự lựa chọn thời điểm bắt đầu

(t= 0) của chúng ta Trong phương trình

(26-1), dai luong (wt + >) được gọi là pha

-A

Hình 26-1 L¡ độ của x theo thời gian của

vật thực hiện dao động điều hoà

300

Một nét nổi bật của mọi dao động tuần

hoàn kể cả dao động điều hoà, là chuyển động tự lặp lại sau một khoảng thời gian xác định được gọi là chu kì T Tức là vat thực hiện một vòng trọn vẹn chuyển động của nó trong khoảng thời gian T, như được chỉ ra trên hình 26-1 Giữa T và œ có mối liên hệ như sau :

hiện một vòng chuyển động càng nhanh

Ngoài T và œ, còn có đại lượng thứ ba

được dùng để đặc trưng cho nhịp độ của

- đao động, đó là tần số v :

1 v=—

T

Vì T là thời gian một chu kì, tức là thời

gian của một vòng chuyển động, nên v chính là số vòng chuyển động trong một

Vi rađian và vòng là không có thứ nguyên

nên v và œ có cùng thứ nguyên, cụ thể là [thời gian] Ì Tuy nhiên trong hệ SĨ hai

đại lượng liên quan mật thiết với nhau này

có đơn vị khác nhau, đó là rad/s đối với œ và

hec (Hz) đối với v (tần số l vòng/s = 1 Hz)

Vận tốc và gia tốc của một vật dao động

điều hoà tìm được bằng cách áp dụng các

“S$,

công thức ở phần Động học Với biểu

a, = = =~ "A cos (ot + >) = —w"x (26-5)

Ta thay x dao động giữa A và —A, v, dao

động giữa oA va —wA và a, dao động

giữa @ A và —œ?A Do đó tốc độ cực đại

của một vật dao động 1a v,,,, = @A và gia

tốc cực đại có độ lớn là am„„ = @^A

Từ các biểu thức v, và a, và cũng từ hình

vẽ 26-2, ta thấy v„ sớm pha so với x là

907, a, sớm pha so với v„ 90, a, sớm pha

so với x 180” Từ phương trình (26-5) ta cũng thấy rằng :

Đối với một vật bất kì dao động điều hoà, gia tốc và độ chuyển đời của nó

luôn luôn ngược hướng nhau và có độ lớn tỉ lệ với nhau

léch pha 5 rad hay 90°, v, và a, lệch pha 90”, x và a, lệch pha 180” (b) Vật dao động

được biểu diễn ở năm thời điểm khác nhau trong một nửa chu kì Chú ý độ lớn và hướng

của vận tốc và gia tốc ở mỗi thời điểm

301

(c) Từ phương trình (26-1), ta cé x = A cos(@t + 6) Gia tri cua A da cho va da tim

được ở câu (b) Vì trong đầu bài không đòi hỏi gì khác, nên ta có thể chọn ¿ = 0 Do đó :

x = 0,17.cos(7,5t) (m) (d) Từ phương trình (26-4) :

Tim ó và A từ điều kiện ban đầu

Thường khi một hệ dao động điều hoà,

các giá trị của È và A không được đo trực

tiếp mà chỉ biết các giá trị xạ và vo Các

đại lượng xạ và v„ọ được gọi là các điều

kiện ban đầu Ta hãy xét việc tìm ¿ và A

từ các điều kiện ban đầu Đặt t = 0 trong

Bình phương hai vế các phương trình đó

rồi lập tổng sin? + cos” = 1, ta dugc :

hay

(26-8)

ma?

eo

26-2 DONG LUC HOC CUA DAO DONG DIEU HOA

Trong mục này chúng ta sẽ mô tả các

nguyên nhân gây ra dao động điều hoà

Ta xét một vật có khối lượng m gắn với

một lò xo khối lượng không đáng kể và có

độ cứng là k như một dao động tử điều

hoà tiêu biểu (hình 26-3) Trong hệ lí

tưởng hoá này, vật trượt không ma sát

Hình 26-3 Vật được gắn với lò xo Trong

hệ lí tưởng này, lực ma sát được bỏ qua

và khối lượng của lò xo là rất nhỏ so với

khối lượng của vật (a) Vật dịch chuyển

về bên phải và 3F hướng về bên trái (b)

hướng với trọng lượng của vật, do đó tổng

hợp lực tác dụng lên vật chi 1a luc F, cua

không co dãn Loại lực này được gọi là

lực hỏi phục tuyến tính Nó được gọi là

"tuyến tính" vì tỉ lệ tuyến tính (bậc nhất)

với độ dịch chuyển x.ỉ và được gọi là

"hồi phục” vì lực luôn luôn ngược hướng với độ dịch chuyển Nếu x đương, thì lực hướng về phía -x và nếu x âm thì lực hướng về phía +x Lực này có xu hướng hồi phục vật về vị trí cân bằng (x = 0)

Nghiệm của phương trình (26-10) có thể

được viết dưới dạng :

x = Acos(at + 9) (26-1)

Như chúng ta đã thấy đạo hàm bậc hai của

x đối với t là :

303

Nhu vậy, phương trình (26-lI) là nghiệm

của phương trình (26-10) với điều kiện

œ@“ = — Điều này có ý nghĩa là vật thực K12 ~

Đối với một lò xo khoẻ (k lớn) hoặc khối

lượng của vật nhỏ, dao động diễn ra nhanh ;

đối với một lò xo yếu (k nhỏ) hoặc khối lượng m lớn, dao động diễn ra chậm Những tiên đoán này hoàn toàn phù hợp

với kinh nghiệm hàng ngày đối với các hệ

dao động có liên quan đến lò xo Như vậy

dao động điều hoà được gây ra bởi một lực tổng hợp là lực hồi phục tuyến tính

Mô tả dao động điều hoà khi m, k và các điều kiện ban đầu đã cho Giả

sử vật trong hình 26-3 có khối lượng 0,31kg và lò xo có độ cứng là 63N/m

Vật được kéo về một phía sao cho lò xo dãn một đoạn bằng 0,074m và được

thả cho chuyển động từ trạng thái đứng yên ở t = 0 (a) Xác định œ, T và v (b) Viết biểu thức của x, v, va a,

Giải (a) Tần số góc là

Chu kì là :

26-3 NANG LUGNG CUA DAO DONG DIEU HOA

Trong chương 6 chúng ta đã thấy rằng

lực đàn hồi của lò xo là lực bảo toàn và

biểu thức thế năng của lò xo có dạng

U = 5 kx’ Ding phuong trinh (26-1),

chúng ta tìm được rằng thế năng của dao

động tử điều hoà lí tưởng tạo bởi lò xo và

vật trong hình 26-3 là

U= 5k = = KIA cos(at + $)]Ÿ

hay U= = kal cos*(at + >) (26-12)

Tương tự phương trình (26-4) có thể được

dùng để tìm động năng của hệ vật - lò xo:

l_ 2

K= 5 mv = m [-oaA sin(ot + or

hay K = =m oA’ sin*(@t +6) (26-13)

Gia tri cực đại của các hàm sin và cosin

bình phương đều bằng 1, nên các năng

lượng trên có thể được biểu diễn như sau :

U = Umax cos*(at + )

K = Kyax Sin’(ot + 6)

Vi Une = EKA? va Keay = Ým@2A2, 2 2

VÌ @“= — nên

Trong hệ dao động cho trong hình 26-3

chỉ có lực đàn hồi của lò xo thực hiện

công, do đó cơ năng E của hệ bằng :

Như vậy, cơ năng của dao động tử điều

hoà là không đổi, dao động tử điều hoà là

một hệ bảo toàn

Đồ thị biểu diễn K và U theo thời gian được cho trên hình 26-4 (để đơn giản chọn

$ =0) Mỗi hàm đều dao động giữa không

và E Năng lượng của dao động tử biến

đổi liên tục từ thế năng sang động năng,

rồi lại trở về thế năng, và cứ như thế mãi

Hình 26-4 Thế năng U và động năng K của

dao động tử điều hoà biến thiên theo thời gian † (6 = 0) Chú ý rằng E = K,„„„ = U max —— “max lượng đó như các hàm của l¡ độ x Phương trình của thế năng như hàm số của x là

U= =k’ Dinh luật bảo toàn năng lượng

sẽ được dùng để tìm K như một hàm số

*

của l độ x:E=K+U =K+ 2 kể

305

Hình 26-5 cho các đồ thị của U và K theo x Z KN,

Cả hai đường cong đều là parabol có đỉnh ⁄ U N

tại x = 0 Ta hãy xác định các điểm mà hai đường cong nay cắt nhau Tại những điểm = 5 À -

đó U = K hay Ly _ Lin _ Lye Hinh 26-5 Thể năng U và động năng K

2 2 2 của dao động tử điểu hoà biến thiên theo Giải cho x, ta tìm được : tog dé x

VI DU 26-3

Dùng định luật bảo toàn năng lượng trong dao động điều hoà Giả sử hệ gồm

lò xo và vật có k = 18N/m và m = 0,71kg Hệ dao động với biên độ ÀA = 54mm

(a) Hãy xác định tần số góc của đao động (b) Viết biểu thức vận tốc v của vật như một hàm số của x, và dùng biểu thức đó để tính v tai x = 34mm (c)

Tìm biểu thức cho khoảng cách |x| của vật tới vị trí cân bằng như một hàm số của tốc độ v và dùng biểu thức đó để tính |x| khi v = 0,18m/s

1 mœA? = 1 mv? + Liy?

306

Giải cho |x|= Vx?, ta được :

Như vậy khi v = 0,18m/s thi :

vào một giá đỡ (hình 26-6a) Ban đầu lò

xo không nén cũng không dãn Bây giờ ta

gắn một vật có khối lượng m vào đầu tự

đo của lò xo Vật sẽ từ từ hạ thấp xuống

cho tới khi đạt trạng thái cân bằng (hình

26-6b) Trong cấu hình đó, lò xo bị dấn

một đoạn / va tac dung lên vật một lực

hướng lên có độ lớn bằng k/ Tại vị trí đó vật ở trạng thái cân bằng, nên lực của lò

xo bằng với trọng lượng của vật hướng xuống đưới và có độ lớn bằng rng :

kl = mg (26-15)

t Nếu một vật được đưa ra khỏi vị trí cân bằng theo phương thẳng đứng, thì lực đàn hồi của lò xo không còn cân bằng với

Hình 26- 6 (2) Một lò xo có khối lượng không đáng kể được treo thẳng đứng (b) Vật ở vị

trí cân bằng với j(kl — mg) = 0 (c) Lò xo đấn một đoạn l —y và lực tổng hợp tác dụng lên vật là [k(l — y) —mg]j = — kyj có xu hướng kéo vật về vị trí cân bằng

307

Vì một nhà du hành vũ trụ trong con tau

đang quay trên quỹ đạo nên không thể

cân theo cách thông thường, nên anh ta

được làm thành một phần của một hệ dao

động tương tự như hệ vật + lò xo Khối

lượng của nhà du hành được xác định từ

phép ảo chu kì dao động

trọng lượng của vật nữa và vật sẽ có gia

tốc Ta hãy xác định gia tốc đó Chọn gốc

của trục y ở vị trí cân bằng như trong hình

26-6c Trên hình đó cũng biểu diễn hai

lực tác dụng lên vật khi nó có toạ độ là y

Chú ý rằng y cũng là độ dịch chuyển khỏi

vị trí cân bằng Tuy nhiên lo xo dan mot

đoạn là 7 — y, nên lò xo tác dụng một lực

VÍ DỤ 26-4

hướng lên có độ lớn là k(/ — y) Trong khi

đó trọng lượng của vật hướng xuống và có

độ lớn là mg Do đó thành phần y của lực

tổng hợp tác dụng lên vật được cho bởi

XFy = kỨ— y) — mg Áp dụng định luật hai Newton, ta được :

chuẩn của dao động điều hoà a, = — ox

ta thấy trừ việc dùng y thay cho x, con các phương trình đó hoàn toàn như nhau nếu

m

độ của vat được cho bởi :

Vy=A cos(œt + È) (œ =) (26-17)

m

Dao động tử thẳng đứng Một đầu của lò xo khối lượng không đáng kể

được gắn chặt vào một giá đỡ như được cho trên hình 26-6 Một vat nang 5,0kg được gắn vào đầu còn tự do của lò xo và nó từ từ hạ thấp xuống tới vị trí cân bằng Độ dãn lò xo đo được là 180mm Sau đó vật được kéo xuống dưới thêm 75mm rồi buông ra từ trạng thái đứng yên Hãy xác định : (a) Độ cứng của lò xo, (b) Biên độ của dao động và (c) Chu kì của dao động (d)

Xác định thế năng đàn hồi của lò xo tại thời điểm vật được buông ra

Giải (a) Từ phương trình (26-15) áp dụng cho vị trí cân bằng, ta có :

k= mg _ (5.0kg)(9,8m/s”) = 270N/m

308

Bài tự kiểm tra 26-4

Xác định tốc độ và độ lớn gia tốc cực đại của vật trong ví dụ trên

Đáp số : v„„„= 1,9m/s ; amay= 14m/sỶ

Con lắc đơn

Chuyển động tuần hoàn của con lắc đã

được sử dụng từ lâu trong đồng hồ quả lắc

để điều chỉnh cơ cấu làm cho các kim

chuyển động trên mặt số Đối với những

dịch chuyển nhỏ khỏi vị trí cân bằng, con

lắc sẽ thực hiện dao động điều hoà Ở đây

chúng ta sẽ xét con lắc đơn, đó là con lắc

có toàn bộ khối lượng tập trung vào một

đầu và được treo ở đầu kia, chẳng hạn như

con lắc gồm một viên bi và một sợi dây

cho trong hình 26-7 Viên bị tạo thành

"quả lắc” của con lắc có chiều đài L

Hình 26-7 (a) Bức ảnh hoạt nghiệm cho thấy con lắc đụng đưa từ phía này sang phía kia như thế nào (b) Tổng momen lực

Hình 26-7a là bức ảnh hoạt nghiệm cho đối với trục O bằng không khi con lắc ở vị thấy các vị trí của quả lắc ở những khoảng — #rÍ cân bằng (c) Momen của trọng lượng thời gian cách đều nhau Trong chuyển — đối với rrục Ó có xu hướng kéo con lắc về động đó có sự trao đổi năng lượng qua lại — vị rí cân bằng Momen của lực do giá treo

giữa động năng và thế năng Động năng là — tác đụng đối với trục Ó bằng không

309

cực đại khi quả lắc ở vị trí thấp nhất con

thế năng hấp dẫn cực đại khi quả lắc ở vị

trí cao nhất trong chuyển động đung đưa

của nó

Mặc dù con lắc dung đưa trong hai chiều

của mặt phẳng, nhưng thực tế quả lắc

chuyển động trên một cung tròn, nên ta có

thể dùng một toạ độ góc và áp dụng động

lực học của chuyển động quay để phân

tích chuyển động của con lắc

Hình 26-7b biểu diễn con lắc ở vị trí cân

bằng Ở đây có hai ngoại lực tác dụng :

trọng lượng F, của quả lắc và lực F, do

giá đỡ tác dụng lên đầu trên của dây

Chúng ta chọn trục Ô đi qua đầu trên của

dây và vuông góc với mặt phẳng hình vẽ

Ở vị trí cân bằng, momen của mỗi ngoại

lực trên đối với trục O đều bằng không do

đó gia tốc gốc a, = 0

Nếu con lắc dịch khỏi vị trí cân bằng như

trên hình 26-7c, thì tổng momen các

ngoại lực đối với trục O là momen của

trọng lượng E, Đối với giá trị dương cua

góc Ø như chỉ ra trên hình, momen lực

này có xu hướng làm quay theo chiều kim

đồng hồ, tức là có xu hướng kéo con lắc

về vị trí cân bằng Khoảng cách vuông góc

từ trục O đến đường tác dụng của E, bằng

Lsin9 Với trục z được chọn đi ra phía

ngoài trang giấy, thì thành phần z của

momen lực M, = ~ F¿LsinÐ = — mgL.sin9

Vì khối lượng của dây có thể bỏ qua, nên

momen quán tính của con lắc đơn đối với

trục O chỉ do khối lượng m cách trục một

đoạn L đóng góp Tức là I = mL” Bây giờ

áp dụng định luật hai Newton cho chuyển

động quay : >M, = lơ,, hay :

— mgLsin@ = mL’,

310

Giải cho thành phần gia tốc góc, ta được :

O,=- 7 sin8 (26-18) đối với chuyển động quay

Bây giờ hãy so sánh phương trình (26-18)

với phương trình (26-5) của dao động điều hoa : a, = —o’x Vé trái của hai phương trình

phần gia tốc dài Vế phải cũng sẽ tương

ứng giống nhau nếu ta chỉ giới hạn những dịch chuyển nhỏ khỏi vị trí cân bằng Khi

đó sin0 ~ Ô với 0 duoc biéu thi bang radian

Ví dụ nếu 9 = 0,100 rad (hay 5,73”) khi

đó sin0 = 0,0998 ~ 0,100 Thay sin 8 bang

8 vào phương trình (26-18), ta được :

a,=-—86

“

Biểu thứt này hoàn toàn tương tự với

a, = —@ˆx nếu ta thay @^ = n Vi a, ti lé với -9 đối với những dịch chuyển nhỏ khỏi vị trí cân bằng, nên con lắc sẽ thực

hiện dao động điều hoà Do đó toạ độ góc

của con lắc đơn đối với những dịch chuyển nhỏ sẽ là :

Chú ý rằng chu kì là độc lập với khối

lượng của quả lắc, nó chỉ phụ thuộc vào

(26-20)

VÍ DỤ 26-5

chiều dài của con lắc và ø Nếu chu kì của con lắc được xác định bởi các phép đo thời gian chính xác thì con lắc có thể được dùng để đo g Các phép đo chính xác được làm với con lắc vật lí sẽ được mô tả dưới đây có thể cho phép xác định được những biến thiên địa phương của g do những biến thiên về mật độ trong lớp vỏ

ngoài của Trái Đất và rất hữu dụng trong việc định vị các mỏ khoáng sản

Đo g bằng con lắc Một nhà thám hiểm Mặt Trăng dựng một con lắc đơn có

chiều dài 860 mm và đo được chu kì dao động bé của nó là 4,6s Hãy xác

định gia tốc trọng trường tại nơi dựng con lắc trên bề mặt Mặt Trăng

Giải Giải phương trình (26-20) cho g, ta được :

a= 4n°L _ 4n°(0,86m) = 1,6m/s”

Bài tự kiểm tra 26-5

Xác định chiều dài của con lắc đơn có chu kì 4,Bs trên mặt đất

Con lắc vát lí

Con lắc đơn có toàn bộ khối lượng tập

trung ở một đầu của nó là một trường

hợp đặc biệt của con lắc tổng quát hơn —

đó là con lắc vật lí Con lắc vật lí là một

vat ran quay quanh một trục O nam

ngang cố định như cho trên hình 26-8

Khối lượng của con lắc vật lí được phân

bố dọc theo chiều dài của nó với khối

tâm C cách trục quay một khoảng bằng

L Vị trí cân bằng của con lắc như được

cho trên hình 26-8a với khối tâm nằm

phía dưới và trên đường thẳng đứng đi

qua điểm treo Nếu con lắc được kéo ra

311

khỏi vị trí cân bằng (hinh 26-8b), thì

thành phần M, của momen trọng lượng sẽ

có xu hướng làm quay theo chiều kim

đồng hồ và kéo con lắc về vị trí cân bằng

Chuyển động của con lắc vật lí có thể phân

tích theo cách hệt như với con lắc đơn,

bằng cách áp dụng định luật hai Newton

cho chuyển động quay Đối với tình huống

được cho trên hình 26-8b, Lsin9 là khoảng

cách vuông góc từ trục quay đến đường tác

dụng của trọng lượng F, Thanh phan

momen luc M, = —F,Lsin0 = — mgLsin@

với trục z được chọn có hướng ởi ra phía

ngoài mặt phẳng hình vẽ Giả sử œ, là

thành phần của gia tốc góc của con lắc và Ï

là momen quán tính của nó đối với trục O

Khi đó nếu bỏ qua momen các lực ma sát

Phương trình trên lại tương tự với a, = — @ˆx

với @ˆ = oe Do đó đối với những dich

chuyển nhỏ, con lắc vật lí thực hiện dao

động điều hoà với toạ độ góc được cho bởi

Giải Đối với những dịch chuyển nhỏ quanh vị trí cân bằng, dao động của con lắc là

dao động điều hoà với tần số góc œ = RE Vì L là khoảng cách từ trục quay đến

khối tâm và vì thanh có mật độ đều nên L = 2 D Ta cũng đã biết momen quán tính của

2

một thanh mảnh đối với trục đi qua một đầu của nó bằng Thay các giá trị cua L

và I vào biểu thức của œ, ta được :

Hy

3©

&

Bai tu kiém tra 26-6

Chiều dài của con lắc đơn cần phải bằng bao nhiêu để có cùng chu kì với một con

lắc vật lí có chiều dài D trong ví dụ trên

Dao động tử xoắn

Hai ví dụ về dao động tử xoắn hay con lắc

xoắn được cho trên hình 26-9 Một sợi dây

thẳng đứng được buộc vào một vật rấn

chẳng hạn như một tấm tròn hoặc một

thanh Tấm trên hình 26-9a có thể quay

trong một mặt phẳng nằm ngang xung

quanh trục nằm dọc theo sợi dây thẳng

đứng Góc 9 cho sự định hướng của tấm

đối với vị trí cân bằng Ở vị trí cân bằng

8 = 0 va soi day không xoắn Khi dây xoắn

một góc 9, sợi dây sẽ tác dụng một

momen lực hồi phục có xu hướng kéo tấm

về vị trí cân bằng Đối với nhiều loại dây,

momen lực hồi phục tỉ lệ thuận với góc

xoắn 9 Giả sử trục z được chọn nằm dọc

theo phương thẳng đứng của dây Khi đó :

M,=- kÔ (26-23)

là thành phần momen lực, với k được gọi

là hệ số xoắn của dây

Giả sử chỉ có dây tác dụng momen lực lên

tấm, tức là OM, = — kÐ Nếu I là momen

quán tính của tấm đối với trục sợi dây, thì

Dao động tử xoắn Một sợi dây mảnh buộc vào điểm giữa của một cái bút

chì Bút chì có khối lượng 10g và dài 200mm (hình 26-9b) Hệ được đưa vào chuyển động như một dao động tử xoắn và chu kì dao động quan sát được là 4s (a) Hãy xác định hệ số xoắn của dây (b) Nếu biên độ dao động

là 3 rad, hãy xác định độ lớn cực đại của momen lực hồi phục tác dụng lên bút chì

313

Giai (a) Vio = | đối với một dao động tử xoắn, ta có k= @ 1= T? C với T= = 2 @

May = 1M, | max = K9max = (8-10 ° N.m/ rad).(3 rad) = 2.10 *N.m

Bai tu kiém tra 26-7

Xác định tốc độ góc cực đại của bút chì trong ví dụ trên, nếu biên độ cực đại Omax = 3 tad

Dap sé : 5 rad/s

26-5 DAO DONG DIEU HOA VA CHUYEN DONG TRON DEU

Có một mối liên hệ gần gũi giữa đao động

điều hoà của một vật chuyển động trên

một đường thẳng, chẳng hạn như trục x,

và chuyển động của một hạt với /ốc độ

không đổi trên vòng tròn Khảo sát mối

liên hệ này sẽ giúp ta hiểu rõ hơn mỗi loại

chuyển động đó và thấy được một số loại

chuyển động khác có quan hệ như thế nào

với chuyển động điều hoà

Xét một hạt hay một điểm Q chuyển động

với tốc độ v không đổi trên vòng tròn

bán kính A như cho trên hình 26-10a

Đường bán kính OQ kẻ từ gốc tới điểm Q

tạo một góc Ð với hướng dương của trục

x Vì Q chuyển động với tốc độ không

động điều hoà Như vậy, khi điểm Q chuyển động trên vòng tròn với tốc độ không đổi thì điểm P sẽ dao động điều

hoà trên trục x

Hinh 26-10 Diém Q chuyén động ngược

chiều kim đồng hồ trên vòng tròn bán kính

A với tốc độ góc œ không đổi, sao cho

9= ưt + 6 (a) Toạ độ x của điểm Q và của

Plax =Acos@= A cos(at + $) (b) Thanh

phần x của vận tốc của Q và của P la

Vv, = veos (0+ m/12) = ~ WA sin (at + Ó)

(c) Thành phần x cua gia tốc của Q và của

Plàa, = acos(Ð+ 1) = — đŸ A cos(d + 9)

Điểm P có thể được xem như hình chiếu

của điểm Q trên trục x Hình chiếu này có

tốc gốc của điểm Q trong chuyển động

tròn đều cũng đều có thể xác định được

Vận tốc tiếp tuyến với quỹ đạo tròn (hình

không đổi Bóng của Q trên màn thực

hiện dao động điều hoà

Gia tốc trong chuyển động tròn đều là

gia tốc hướng tâm, nó hướng tới tâm và

2

có độ lớn bằng x = oA Tit hinh 26-10c

chú ý rằng hướng của gia tốc ngược với

hướng của vectơ vị trí từ O đến Q Do đó

a lập một góc 8 + x đối với hướng dương

của trục x Thành phần x của gia tốc là

a, = acos(Ð + 7) = -acosÐ Thay a = oA

va 0 = wt + 9, ta dugc:

a =n @2A cos(@t + >)

đây chính là phương trình (26-5) đối với

thành phần gia tốc của điểm P trong dao động điều hoà

315

Thông qua toạ độ, vận tốc và gia tốc ta

thấy rằng thành phần x của chuyển động

của hạt trên vòng tròn bán kính A với tốc

độ góc œ không đổi tương đương với dao

động điều hoà của một hạt với biên độ A,

tần số góc œ Các kết luận tương tự cũng

đúng với thành phần y của chuyển động

Ví dụ toạ độ y của điểm Q trong hình

26-12 là :

y =A sin(@t + 6)

Hình 26-12 P /à hình chiếu của Q trên ~<

trục x và R là hình chiếu của Q trên trục y

đây cũng là toạ độ y của điểm R - hình

chiếu của Q trên trục y Chuyển động của

R trên trục y cũng là dao động điều hoà

với biên độ A và tần số góc œ Ta thấy các

thành phần x và y của chuyển động lệch

7

ha nhau —

Chúng ta đã thay rang dao dong diéu hoa

tương đương với hình chiếu của một chuyển

động tròn đều trên trục x hoặc trên trục y

hoặc trên một đường kính bất kì của vòng tròn Chúng ta cũng có thể đảo lại sự tương đương đó Nghĩa là một chuyển động tròn đêu tương đương với tổng hợp hai dao động điều hoà dọc theo hai đường kính

vuông góc với nhau (chẳng hạn theo trục x

và trục y) Hai dao động điều hoà này cần

có cùng biên độ, cùng tần số góc và lệch pha 2: Tức là hạt chuyển động trên vòng tròn bán kính A với tốc độ góc œ không

đổi có toạ độ được cho bởi :

x =A cos(wt + 9)

va y =A sin(ot + 6) (26-25)

Các chuyển dộng phức tạp hơn cũng có thể tổ hợp từ các dao động điều hoà

Những hình hai chiều lí thú —- được gọi là các hình Lissajous — có thể được tạo

thành bằng cách tổ hợp các chuyển động

có dạng trong phương trình (26-25)

Các dao động phức tạp của nguyên tử trong tinh thể cũng có thể được biểu diễn như tổng hợp các dao động điều hoà

Trong mô hình đơn giản nhất, một nguyên

tử chuyển động với ba dao động điều hoà

dọc theo ba hướng từng đôi một vuông góc với nhau

26-6 DAO DONG DIEU HOA TAT DAN

Trong thảo luận của chúng ta về đao

động, các hiệu ứng gây hao tán năng

lượng như do các lực ma sát, đều đã được

bỏ qua Thực tế các hiệu ứng này gần như

luôn luôn hiện diện và chúng thường

không thể bỏ qua được Giả sử rằng một

con lắc đang chuyển động Mặc dù nó có

316

thể dao động qua nhiều chu kì trước khi

có sự giảm rõ rệt trong biên độ của nó,

nhưng chuyển động kết cục vẫn dừng lại hay sẽ "tất” nếu cơ năng bị hao tán do ma sát không được bù đắp lại

Xét một vật nối với một lò xo và dao động theo phương thắng đứng quanh vi tri can