Thi thử đại học môn toán năm 2011-2012 - gv Nguyễn Sơn Tùng

Thi thử đại học môn toán năm 2011-2012 - gv Nguyễn Sơn Tùng

www.vnmath.com Sáng tác: Nguyễn Sơn Tùng

Mathematics and Youth Magazine

Thử sức trước kì thi

THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI ĐẠI HỌC- CAO ĐẲNG NĂM 2011-2012

Môn thi: TOÁN – Khối A

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

GV ra đề :Nguyễn Sơn Tùng-Phước Bình-Tỉnh Bình Phước

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)

Câu I.(2 điểm) Cho hàm số y=x4− 2mx2+ 2m− 1

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m =2

2) Tìm m để hàm số có ba cực trị và 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có chu vi bằng 4(1 + 65)

Câu II(2 điểm)

1) Giải phương trình lượng giác: cos2x c− os6x+ 4 sin 3( x+ = 1) 0 (1)

2) *Giải hệ phương trình sau:

( ) ( )

{ 2 3 4 6

3 3 3

18 9 24 0 2

x y y x x

y x x y x

+ = + + + + + − − − =

Câu III.(1 điểm) Tính tích phân sau:

6 80 6

2

1 x

x

+

= ∫

Câu IV .(1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD Tâm O có cạnh AB = a đường cao

SO của hình chóp vuông góc với mặt đáy ( ABCD) và có SO = a tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

chéo nhau SC và AB

Câu V ** (1 điểm) Chox y z, , dương và x y z = 3 Chứng minh rằng:

xy yz zx y

x y z

+ +

≤

PHẦN RIÊNG (3 điểm) : Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn:

Câu VIa (2 điểm) 1.cho đường tròn ( )C có phương trình ( ) (2 )2

của tam giác đều nội tiếp đường tròn ( )C biết A(− 2, 2)

2 Lập phương trình mặt phẳng ( )α đi qua M(1, 2, 3 và cắt 3 tia ox,) oy oz lần lượt tại A,B,C sao cho ,

tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất.

Câu VIb (1 điểm) Tìm các số nguyên dương x y, sao cho: z= +x yi thỏa mãn: 3

18 26

B Theo chương trình Nâng Cao:

CâuVIIa. (2 điểm) 1.cho hai đường thẳng : ( )d1 :2x− + =y 5 0, ( )d2 :3x+ 6y− = 1 0 Lập

phương trình đường thẳng qua điểm P(2, 1 − ) sao cho đường thẳng đó cùng với hai đường thẳng

( )d1 và ( )d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng ( )d1 và ( )d2

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(5,5, 0) và đường thẳng d:

1 1 7

−

a.Tìm tọa độ điểm ,

A đối xứng với điểm A qua đường thẳng d

b.Tìm tọa độ các điểm B,C thuộc d sao cho tam giác ABC vuông tại C và BC= 29

www.vnmath.com Sáng tác: Nguyễn Sơn Tùng

CâuVIIb: (1 điểm) Cho các số thực dương a,b,c thoa mãn : 2 2 2

27

a + + =b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 3

P=a + +b c

ĐÁP ÁN THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI 2011-2012

giải đề: Nguyễn Sơn Tùng-Trường THPT Phước Bình

CÂU I: 1 Đồ thị học sinh tự vẽ

2 giải và biện luận điều kiện để hàm số có 3 cực trị…

( − m m; + 2m− 1) là tọa độ các điểm cực trị

AC = m+m Theo đề AB + BC + AC = 4(1 + 65) 4

2 m m 4m 4(1 65)

⇔ + + = +

giải pt này bằng 2 cách : - cách 1: sử dụng tính đồng biến ,nghịch biến của hàm số

ta được m=4

-cách 2:trục căn thức ở tử số thu được m=4 thỏa yêu cầu

bài toán

Câu II: 1.giải pt lượng giác: cos2x c− os6x+ 4 sin 3( x+ = 1) 0 (1)

cos 2x= 2 cos x− 1; os6c x= − 1 2 sin 3x do đó (1) ⇔ 2 ( 2 )

2 cos x− − − 1 1 2 sin 3x + 4sin 3x+ = 4 0

( )2

2 cos x 2 sin 3x 4 sin 3x 2 0 cos x sin 3x 2 sin 3x 1 0 cos x sin 3x 1 0

{cos 0

2

x

x= x π k π k Z

=−

⇔ ⇔ = + ∈

2.Giải hệ phương trình sau:

( ) ( )

{ 2 3 4 6

3 3 3

18 9 24 0 2

x y y x x

y x x y x

+ = + + + + + − − − =

Theo tôi đây là một bài hệ phương trình vô tỷ mà khá nhiều học sinh phải bó

tay.Bài này nhằm phát hiện học sinh giỏi toán.(dành cho học sinh từ khá trở lên)

Theo tôi nghĩ đây có lẽ là cách giải tối ưu nhất! Trình bày như sau:

2

2 2 2 4 3

2 yx 0 4

2x y x y x 0 y x 2x y yx x 0 y x x=+ +y + =x

2x +y + yx +x luôn dương ∀x y, từ (3) ta có 2

y=x vào (2) ta có phương trình:

3 2 3 3 2

x + + x + + − − −x x x = (5)

9 ; )

x + − + x + − + − − − =x x x

3

3

( 3)( 2 5) 0

2

2 3

3

www.vnmath.com Sáng tác: Nguyễn Sơn Tùng

3

3

( 2 5) 0

Dễ thấy (*) vn bởi 2

3 9

2

x

2 5

9 ; )

x∈ − +∞  thì (*) luôn dương ⇒(*) vn vậy pt (5) có nghiệm x=3 với x= 3 ⇒ y=9

Tóm lại hệ pt ban đầu có nghiệm ( ) ( )x y, ={ 3;9}

CâuIII.(1 điểm) Tính tích phân sau:

6 80 6

2

1 x

x

+

= ∫

Câu tích phân này cũng ở mức độ trung bình

6

6 80 6 5

6 2

1 x x

x

+

( ) ( ) ( )( )

+ − −

6 5

CÂU IV: HD:

HS tự vẽ hình dễ cm được khoảng cách giữa SC và AB chéo nhau bằng kc giữa

là trung điểm của IK và IK⊥CD giải tiếp tục ta được đáp số là :

( ) ( ( )) ( ( )) 2 5

5

a

Câu V ** (1 điểm) Chox y z, , dương và x y z = 3 Chứng minh rằng:

xy yz zx y

x y z

+ +

≤

3

Đặt u= log x v; = log y w; = log z 3 ,u 3 ,v 3 ; w 3 1.

www.vnmath.com Sáng tác: Nguyễn Sơn Tùng

** 3

0 ***

xét hàm đặc trưng

( ) 1

3t

f t = hàm số luôn nghịch biến ∀ ∈t R, nên với u≤v⇒ f u( )≥ f v( ) hay

( )

0

3u 3v u v 3u 3v

0

3v 3w

 

0

3w 3u

• CÁCH 2: Trước hết dễ dàng cm nhận xét : nếu a≥ ≥b c A; ≥ ≥B C thì ta có: 3 aA bB( + +cC) (≥ + +a b c)(A+ +B C)(1)

3u 3v 3w

3u 3v 3w 3u 3v 3w

3u 3v 3w

A Theo chương trình Chuẩn:

Câu VIa: 1.Bài này có tới 4 cách để giải ở đây tôi trình bày cách giải tối ưu nhất:

-Gọi A là điểm đối xứng với A qua I ⇒ tọa độ điểm 1 A 1 ( )4, 2 Đường tròn ( )C thỏa mãn: 1

( )C có tâm 1 A 1 ( )4, 2 và bán kính R= 3 vậy ( )C1 có pt:( ) (2 )2

x− + y− = khi đó : ( )C ∩ ( )C =1 { }B C , , tọa độ B,C là nghiệm của hệ:{(( ) () ( 2 )) 2

2 2

1 2 9

x y

x y

− + − =

− + − =

( ) ( )

5 3 3 ,2

2 2

1 2 9

,2

2 2

B

x y x

C

−

− + − =  

− =  

+







2 Gọi giao điểm của ( )α với 3 tia ox,oy oz lần lượt là :, A a( , 0, 0),B(0, , 0b ),C(0, 0,c) (a b c, , dương)

mp( )α có pt theo đoạn chắn là: x y z 1

a+ + =b c (1) do ( )α đi qua M(1, 2, 3 nên thay tọa độ M vào (1) ta có: )

1 2 3

1

a+ + =b c Thể tích tứ diện OABC là : 1 . 1 1 .

OABC

6abc

27

V

a = = ⇔b c a= 3,b= 6,c= 9 Vậy ptmp( )α thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

www.vnmath.com Sáng tác: Nguyễn Sơn Tùng

6x+ 3y+ 2z− 18 = 0

Câu VIb.(1 điểm) Tìm các số nguyên dương x y, sao cho: z= +x yi thỏa mãn: 3

18 26

( )

3 2

2 3

3 26

0

x xy

x y

− =

− =

Ta được 1 3

3

t= ⇒x= ,y= 1 vậy số phức thỏa đề bài là:Z = + 3 i

B Theo chương trình Nâng Cao:

CâuVIIa 1.Gọi k1,k2theo thứ tự là hsg của ( )d1 và ( )d2 , ta có k1 = 2 , 2 1

2

Nhận xét rằng k k1. 2 = − 1 ⇔( ) ( )d1 ⊥ d2 vậy gọi ( )d là đường thẳng qua P(− 2.1)có phương trình

( )d :A x( − + 2) B y( + = 1) 0 … (( ) ( ), 1 )

4

( )

( ) , :3 5 0 : 3 5 0

d x y

d x y

+ − =

− − =





2.Ôi đề dài quá đáp số: a ,( )

1, 5, 2

b B(1, 2, 3), C(3,5, 1 − ) hoặc B(5,8, 5 − ), C(3,5, 1 − )

CâuVIIb: Áp dụng Bdt bcs hoặc Bdt cauchy (bài này có tới 4 cách để giải,các cách còn lại

a +b +c ≤ a + +b c + + ⇒a+ + ≤b c 9 và

a + + =b c a a+ b b+ c c ≤ a + +b c a b+ +c ( 3 3 3)

.9

81

a + + ≥b c vậy min P=81

Ra đề và làm đáp án : NGUYỄN SƠN TÙNG-Trường THPT Phước Bình –Tỉnh Bình Phước Do đây là lần đầu tiên tôi ra đề và làm trên Microsoft Word nên không tránh được những sai xót nếu có thắc mắc gì về đề thi vui lòng liên hệ tác giả qua SDT:01659199199

www.vnmath.com Sáng tác: Nguyễn Sơn Tùng

Tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các em học sinh ,gv toán đánh giá về đề thi.(hay,dở…ở phần nào?) để hoàn thiện hơn trong các lần ra đề tiếp theo.