Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số ppsx

Hôm nay tôi xin giới thiệu cho các bạn về một ứng dụng khá hay và hữu ích của lượng giác trong giải toán; đó là phương pháp: “Dùng lượng giác để giải các bài toán Đại số” Phương pháp lư

~ 1 ~

Lời dẫn

rong chương trình sách giáo khoa lớp 10, chúng ta cũng đã được giới thiệu khá đầy

đủ về định nghĩa và các công thức biến đổi lượng giác Nay lên lớp 11, chúng ta vẫn tiếp tục học về lượng giác nhưng đã được nâng cao hơn và mở rộng hơn Tuy nhiên trong thực tế, ít ai có thể biết hết các ứng dụng của lương giác Hôm nay tôi xin giới thiệu cho các bạn về một ứng dụng khá hay và hữu ích của lượng giác trong giải toán;

đó là phương pháp: “Dùng lượng giác để giải các bài toán Đại số”

Phương pháp lượng giác hóa có thể áp dụng để giải nhiều dạng toán đại số và

giải tích khác nhau như: giải phương trình, hệ phương trình, tìm miền giá trị của hàm số chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị nhỏ nhất và nhỏ nhất của hàm số hoặc các biểu thức đại số…

Do thời lượng có hạn nên cuốn đề tài chỉ có thể đề cập đến một số vấn đề cơ bản của phương pháp lượng giác hóa Cuốn đề tài được chia làm các phần:

 Phần 1 Cách giải: phần này cung cấp cho bạn đọc cách giải chung nhất của

phương pháp cho bạn đọc

 Phần 2 Một số dạng thường gặp: phần này bao gồm các dạng bài toán có thể

áp dụng phương pháp lượng giác hóa, dấu hiệu nhận biết của từng dạng và một số ví dụ cụ thể cho các dạng…

 Phần 3 Bài tập đề xuất: bao gồm một số ví dụ khác dành cho bạn đọc tự giải

để có thể nắm vững được phương pháp này

Với bản chất “mềm dẻo” của kiến thức, phương pháp lượng giác hóa sẽ đem lại cho bạn một lời giải “đẹp”, ngắn gọn, sáng tạo và không kếm tính bất ngờ, không

những thế còn gây được nhiều hứng thú cho người đọc

Tuy đã cố gắng rất nhiều để làm cuốn đề tài này, nhưng trong quá trình biên tập cuốn đề tài còn nhiều thiếu sót, mong được sự thông cảm và ý kiến đóng góp của bạn đọc để cuốn đề tài ngày càng được hoàn thiện hơn

Thân ái

_Cấn Duy Cát_

T

Bước 1: Chọn một hoặc nhiều hàm số lượng giác phù hợp để thay biến của bài

toán bằng các giá trị lượng giác đó

Việc chọn biến lượng giác để thay đổi cho biến cũ thông qua các dấu hiệu đặc biệt của các biến trong bài toán và sự nắm bắt các dấu hiệu đó thông qua miền giá trị và hình thức các công thức lượng giác thông dụng

Chẳng hạn

- Đặt x = sin α hoặc x = cos α; khi x ϵ [ -1;1]

- Đặt x = tan α hoặc x = cot α; khi x ϵ R

- Khi nhận thấy các biến tạo thành một công thức lượng giác ta cũng có thể chọn hàm số lượng giác tương ứng để có thể áp dụng được những công thức lượng giác đó

Bước 2: Sau khi đã chọn được các hàm số lượng giác phù hợp với bài toán thì ta

thay biến cũ bằng hàm số lượng giác vừa chọn được một bài toán mới với ẩn là các hàm

số lượng giác Giải bài toán mới bằng cách sử dụng các công thức biến đổi lượng giác

đã học

Trước khi thay các hàm số lượng giác vào, chúng ta có thể biến đổi chúng nếu bài toán quá “cồng kềnh”

Bước 3: Cuối cùng, ta thực hiện bước trả lại biến (với những bài giải phương

trình, bất phương trình) rồi kết luận bài toán

Khi kết luận chúng ta cần lưu ý đề bài hỏi gì để tránh kết luận nhầm hay sai theo bài toán mới khi đã thay các hàm số lượng giác

~ 3 ~

2 Một số dạng thường gặp

a Dạng 1

| | [ [

] [ ]

Đặc biệt: m = 1 thì đặt x = sin α hoặc x = cos α Dạng này thường gặp ở những bài toán cho trước điều kiện của biến hoặc sau khi giải những điều kiện xác định của bài toán ta có được điều kiện trên Thường là điều kiện của căn thức có nghĩa, chẳng hạn √

Một số ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu |x| < 1 thì với mọi số tự nhiên n > 1 ta có: (1 + x) n + (1 – x) n < 2n (1) Giải Vì |x| < 1 nên có thể đặt x = cos α với α ϵ (0; π) và bất đẳng thức (1) được viết thành: (1 + cos α) n + (1 – cos α) n < 2n (2)

{

⇔ {

( )

{ | |

| |

⇔

⇒ ( ) ( )

Vậy bất đẳng thức (2) cũng như bất đẳng thức (1) được chứng minh

~ 4 ~

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Với mọi giá trị a, b thuộc tập giá trị, ta có:

| √ √ √ [ √ ]|

Giải {

⇔ { ⇔ {

| |

| |

{ [ ]

| √ √ √ [ √ ]|

⇔ | √ √ √ ( √ )|

⇔ | √ |

⇔ | √ |

⇔ | √ |

⇔ | |

⇔ | ( )|

| √ √ √ [ √ ]|

Ví dụ 3: Chứng minh rằng: Với mọi giá trị a thuộc tập giá trị, ta có: | [ √ ] ( √ )| √

Giải

ĐK: 1 a2 ≥ 0 ⟹ |a| ≤ 1

Đặt a = cos α, với α ϵ [0; π] Khi đó bất đẳng thức được biến đổi về dạng:

~ 5 ~

| [ √ ] ( √ )| √

⇔ | [ √ ] ( √ )| √

⇔ | | √

⇔ | | √

⇔ | | √ ⇔ |

√ √ |

⇔ | | ⇔ | ( )|

| [ √ ] ( √ )| √

Ví dụ 4: Giải bất phương trình: √ √

Giải { ⇔

Đặt x = cos α, α ϵ [0;π] Khi đó bất phương trình đã cho trở thành √ √

⇔ √ √

⇔ √ √

⇔ √ ( ) ( ) ( )

⇔ ( ) ( √ )

⇔ ( √ √ ) (√ √ )

⇔ ( √ √ ) (√ √ )

~ 6 ~

⇔ ( ) [ ( ) ] ⇔ ( ) ⇔

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

[ ]

Ví dụ 5: Giải phương trình: √ √ ( √ )

Giải ĐK: 1 x2 ≥ 0 ⟹ |x| ≤ 1 [ ]

√ √ ( √ )

⇔ √ √ ( √ )

⇔ √

⇔ √ ⇔ √

⇔ √ ⇔ √ ( )

⇔ [

√

⇔ [

⇔ [

[ ] ⇔ [

⇔ [

~ 7 ~

b Dạng 2

{

Đặc biệt: m = 1 thì đặt x = sin α và x = cos α với α

Dạng này cũng thường gặp ở những bài chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức hay giải hệ phương trình cho điều kiện của biến là x2 + y2 =1 hoặc trong khi giải bài toán nhận thấy có 2 nghiệm hay 2 “cụm” nghiệm có tổng bình phương bằng 1 √

√

Ta có thể xét một số ví dụ Ví dụ 1: Cho và Chứng minh: | |

| |

Giải {

a Ta có: | | | | | |

b Ta có: | | | | | |

c Ta có:

~ 8 ~

⇔

⇔

d Ta có:

⇔

⇔

Ví dụ 2: Cho Chứng minh rằng: | |

Giải

⇒

√ ( √ √ ) √ ( )

~ 9 ~

| ( )| ⇔ |√ ( )| √

⇔ | | √

Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện a , b > c >0 thì ta có bất đẳng thức: √ √ √

Giải ⟹ √

√

√

⇔ √ √

√ √

(√ ) (√ )

{ √

√

(√ ) (√ )

{ √

√

√ √ √ √

⇔

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

~ 10 ~

c Dạng 3

| |

[ ] { }

[ ] { }

Ta thường gặp kiểu bài ở những bài toán cho trước điều kiện là | | hoặc sau khi giải những điều kiện xác định của bài toán ta có được điều kiện trên Thường thì khi giải những điều kiện của căn ta sẽ có được điều kiện trên Chẳng hạn √

Với dạng này ta có một số ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Với mọi giá trị a thuộc tập giá trị, ta có: √ √ | |

Giải Điều kiện: a2 – 1 ≥ 0 ⟹ |a| ≥ 1 | |

[ )

Khi đó bất đẳng thức được biến đổi về dạng: √ √

⇔ √ √

⇔ √

Nhận thấy cos α = 0 không là nghiệm của phương trình nên ta có: √ ⇔ √

⇔ ( )

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

~ 11 ~

Ví dụ 2: Giải phương trình

√ √

Giải ⇔ | |

⇔ (

√ ) √

( )

Khi đó phương trình có dạng:

√

√ ⇔ √

⇔ √ ⇔ √

( √ )

Khi đó phương trình được đưa về dạng: √ ⇔ √ √ ⇔ [ √

√

√ ⇔ √ ⇔

√ √ ⇔ ( )

⇔ ⇔

⇔ √

√

~ 12 ~

d Dạng 4

Nếu bài toán không ràng buộc điều kiện của biến số và có √ hì đặt:

( ) ( ) Khi đó biểu thức trên có dạng

Chú ý: do các biến đổi trên rất đơn giản và thường gặp trong khi biến đổi các

biểu thức lượng giác nên trong khi giải ta có thể sử dụng được ngay để tránh những biến đổi quá đơn giản không cần thiết

| | | | |

~ 13 ~

Như vậy ta cần chứng minh:

| | | | | | ( ) | | | | | | | | | || | | || | | | | | | | | |

| | | | | |

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 2: Với a ≠ 0 giải bất phương trình

√

~ 14 ~

e Dạng 5 (một số dạng khác)

Trong khi giải bài tập không phải khi nào ta cũng gặp các dạng trên Do số lượng các công thức lượng giác là rất nhiều nên khi giải các bài tập ta cúng phải linh hoạt trong việc sử dụng các công thức ấy để chọn các hàm số lượng giác cho phù hợp

Chẳng hạn:

 Với hàm số sinα :

( ) ( )

( ) ( )

 Với hàm số cosα:

√

√

| |

 Với hàm số tanα:

~ 15 ~

 Khi đề bài cho x + y + z = xyz thì: {

Chứng minh: ⇔

⇔

⇔

⇔

⇔ ⇔

⇔ ⇔

 Khi đề bài cho xy + yz + zx = 1 thì:

{

Chứng minh:

⇔ ( )

⇔( )

⇔ ( )

⇔ ( ) ( )

~ 16 ~

⇔

⇔

⇔

Ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình: (1)

Giải Ta xét các trường hợp sau: TH1: Với x ≥ 1 ⟹ VT(1) > 1, do đó phương trình vô nghiệm TH2: Với x ≤ 1 ⟹ VT(1) < 0, do đó phương trình vô nghiệm | |

Khi đó phương trình được chuyển về dạng :

⇔

Nhận thấy sin α = 0 không là nghiệm của phương trình vì VT = 8 ≠ 1 nên ta có ⇔ ⇔

⇔ [

⇔ [

| | { }

Vậy phương trình có các nghiệm { }

~ 17 ~

Ví dụ 2: Cho các số thực a, b, c sao cho (ab+1)(bc+1)(ca+1) ≠ 0

Chứng minh rằng:

Giải Đặt a = tan α; b = tan β; c = tan γ, Khi đó:

⇔

Vậy đẳng thức được chứng minh Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: {

Giải

{ ( ) { }

{

⇔ { ⇔ {

( )

~ 18 ~

{

⇔ {

⇔ ⇔

Điều này chỉ xảy ra trong các trường hợp: [ {

{

{

⇔ {

{

{

Vậy hệ phương trình có các nghiệm { √

√ {

{ √ √

Ví dụ 4: cho x + y + z = xyz khác √ Chứng minh rằng:

Giải

⇔

⇔ ⇔

⇔

⇔

⇔

~ 19 ~

Ví dụ 5: Cho xy + yz + zx = 1 Chứng minh rằng:

Giải

⇔

⇔ ⇔

⇔ ⇔

⇔

Chia cả 2 vế cho cos α cos β cos γ ≠ 0 được (giản ước 2 ở hai vế)

⇔

⇔

⇔

⇔

⇔

Đẳng thức được chứng minh

~ 20 ~

f Dạng 6

Phương pháp lượng giác hóa đại số không chỉ có thể áp dụng trong chứng minh bất đẳng thức, đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình… mà còn được áp dụng trong việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số đại số thuần túy

Ví dụ

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số:

Giải √ ( )

( )

⇔

(

√ )

√

~ 21 ~

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số:

Giải Nếu y = 0 thì f(x,y) = 0

( )

( ) ( )

( )

( )

√ ( )

( )

√ √

√

√

√ √

~ 22 ~

3 Bài tập đề xuất

Và như thế, câu chuyện của chúng ta về phương pháp dùng lượng giác để giải

các bài toán đại số đã đi đến hồi kết Trong trường hợp nào thì phương pháp đạt hiệu

quả, trong trường hợp nào không? Câu trả lời cho câu hỏi này chỉ có thể là kinh nghiệm

cá nhân của bạn, được làm giàu bằng cách giải các bài toán Để kết thúc đề tài này tôi

xin đề xuất một số bài tập, có thể coi là “vốn ban đầu” của các bạn

Bài 1: Cho x2 + y2 = 1 Chứng minh rằng:

Bài 13: Giải phương trình:

~ 24 ~

√ √

√

Bài 14: Giải hệ phương trình:

{

{

{

{

{ ( ) ( ) ( )

{

Bài 15: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất (nếu có) của hàm số:

| [ √ ] ( √ )|

Hêt

Hoặc số điện thoại: 01689.246.219

Xin chân thành cảm ơn!