Bài giảng xác suất thống kê ( Nguyễn Văn Thìn ) - Chương 7 doc

Nội dungTập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Kiểm định

Bài Giảng Môn học Xác Suất và Thống Kê

Nguyễn Văn Thìn

Khoa Toán - Tin Học Đại Học Khoa Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM

Ngày 4 tháng 9 năm 2011

Nội dung

Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Biến cố và xác suất

Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất

Một số biến ngẫu nhiên thông dụng

Lý thuyết mẫu

Ước lượng tham số thống kê

Kiểm định giả thiết thống kê

Kiểm định giả thiết về trung bình của tổng thể

Kiểm định giả thiết về tỷ lệ của tổng thể

Bài toán kiểm định giả thiết thống kê.

Định nghĩa (Giả thiết thống kê, kiểm định giả thiết thống kê)

Giả thiết thống kêlà những giả thiết nói về các tham số, dạng quy

luật phân phối, hoặc tính độc lập của các đại lượng ngẫu nhiên

Việc tìm ra kết luận bác bỏ hay chấp nhận một giả thiết gọi là

kiểm định giả thiết thống kê

Ví dụ

Trong một báo cáo nói rằng: thu nhập bình quân của những người

làm trong ngành thư viện ở Việt Nam là 7 triệu đồng một tháng

thì ta có thể coi đó là một giả thiết thống kê, giả thiết này nói về

một tham số (kỳ vọng) của biến ngẫu nhiên X biểu thị mức lương

của những người làm trong ngành thư viện Dựa vào số liệu của

một mẫu điều tra về thu nhập và quy tắc kiểm định để đưa một

kết luận là bác bỏ hay chấp nhận giả thiết nói trên

Cách đặt giả thiết.

1 Giả thiết được đặt ra với ý đồ bác bỏ nó, nghĩa là giả thiết đặt

ra ngược lại với điều ta muốn chứng minh,muốn thuyết phục

2 Giả thiết được đặt ra sao cho khi chấp nhận hay bác bỏ nó sẽ

có tác dụng trả lời mà bài toán thực tế đặt ra

3 Giả thiết được đặt ra nếu nó đúng thì ta sẽ xác định được qui

luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên được chọn

làm tiêu chuẩn kiểm định

4 Khi đặt giả thiết ta thường so sánh cái chưa biết với cái đã

biết Cái chưa biết là điều mà ta cần kiểm định, kiểm tra, làm

rõ "Cái đã biết" mà ta nói ở đây thường là những thông tin

quá khứ, các định mức kinh tế, kỹ thuật

5 Giả thiết đặt ra thường mang ý nghĩa: "không khác nhau",

hoặc "khác mà không có ý nghĩa" hoặc "bằng nhau"

Giả thiết không và đối thiết

Giả thiết cần kiểm định được gọi làGiả thiết không ký hiệuH0

Một mệnh đề đối lập với H0 được gọi là Giả thiết đối (Đối thiết)

và được ký hiệu làH1

Ví dụ

H0: θ = θ0; H1: θ 6= θ0

Nếu ta kiểm định giả thiết với đối thiết dạng như trên thì kiểm

định được gọi là kiểm địnhgiả thiết hai phía Nếu kiểm định giả

thiết với đối thiết có dạng H1 : θ > θ0 hoặc H1 : θ < θ0 thì kiểm

định được gọi là kiểm địnhgiả thiết một phía

Tiêu chuẩn kiểm định.

Xuất phát từ yêu cầu của bài toán thực tế , ta nêu ra giả thiết H0

và đối thiết của nó

Giả sử rằng H0 đúng, từ đó tìm một biến cố có xác suất đủ bé để

có thể tin rằng biến cố đó hầu như không thể xảy ra trong một

phép thử Muốn vậy từ mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, , Xn) ta chọn

Z = f (X1, , Xn, θ0) sao cho:

Nếu H0 đúng thì ta sẽ xác định được quy luật phân phối xác suất

của Z và với mẫu cụ thể ta có thể tính được giá trị của Z Đại

lượng ngẫu nhiên Z được gọi làTiêu chuẩn kiểm định giả thiết H0

Miền bác bỏ, mức ý nghĩa.

Do quy luật phân phối xác suất của Z đã biết nên với α bé tùy ý

ta có thể tìm được miền Wα sao cho P(Z ∈ Wα) = α Miền Wα

được gọi làmiền bác bỏgiả thiết H0 và α được gọi làmức ý nghĩa

của kiểm định

Thực hiện một phép thử đối với mẫu ngẫu nhiên (X1, , Xn) ta

thu được mẫu cụ thể (x1, , xn) Từ mẫu cụ thể này ta tính được

giá trị của Z (ký hiệu là z) và gọi là giá trị thực nghiệm

z = f (x1, , xn, θ0)

• Nếu z ∈ Wα thì ta bác bỏ giả thiết H0, thừa nhận H1

• Nếu z /∈ Wα thì ta chấp nhận H0

Sai lầm loại 1 và sai lầm loại 2.

Khi kiểm định giả thiết thống kê, chúng ta có thể mắc phải một

trong hai loại sai lầm sau đây:

a Sai lầm loại 1: Là sai lầm mắc phải khi ta bác bỏ giả thiết H0

trong khi thực tế thì giả thiết H0 đúng

b Sai lầm loại 2: Là sai lầm mắc phải khi ta chấp nhận giả thiết

H0 trong khi thực tế thì giả thiết H0 sai

Quy trình kiểm định.

Quá trình kiểm định giả thiết thống kê được tiến hành theo các

bước sau đây

1 Phát biểu giả thiết không H0 và đối thiết H1 Quyết định dữ

liệu nào cần được thu thập và thu thập dưới các điều kiện

nào Chọn lựa một kiểm định thống kê (cùng với mô hình

thống kê liên kết với nó) để kiểm định H0

2 Từ một số kiểm định có thể được dùng cho mô hình nghiên

cứu, chọn ra kiểm định thích hợp nhất dựa trên cơ sở là các

điều kiện của nghiên cứu và các giả định cơ sở của kiểm định

3 Chọn mức ý nghĩa α và kích thước mẫu n

4 Tìm phân phối mẫu của kiểm định thống kê dưới điều kiện H0

đúng

5 Trên cơ sở (2), (3) và (4) đã trình bày ở trên, xác định miền

bác bỏ của kiểm định thống kê tương ứng

6 Thu thập dữ liệu Sử dụng dữ liệu thu được từ mẫu, tính giá

trị của kiểm định Nếu giá trị của thống kê nằm trong miền

bác bỏ, ta bác giả thiết H0, nếu giá trị thu được nằm ngoài

miền bác bỏ, kết luận không thể bác bỏ giả thiết H0 ở mức ý

nghĩa đã chọn

Quy trình kiểm định trong bài làm

1 Từ mẫu cụ thể đã cho tính giá trị của các thống kê tương ứng

với tiêu chuẩn kiểm định trong trường hợp tương ứng

2 Với mức ý nghĩa α cho trước, xác định miền bác bỏ

3 Kiểm tra giá trị của tiêu chuẩn kiểm định có nằm trong miền

bác bỏ hay không và kết luận

Kiểm định giả thiết về trung bình của tổng thể.

Bài toán

Cho tổng thể với trung bình µ chưa biết với phương sai có thể đã

biết hoặc chưa biết Từ mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, , Xn) hãy kiểm

định

H0: µ = m0, H1: µ 6= m0 (µ < m0, µ > m0)

với mức ý nghĩa α

Kiểm định giả thiết về trung bình của tổng thể.

Trường hợp kích thước mẫu n ≥ 30 (hoặc n < 30 nhưng X có

phân phối chuẩn), σ2 đã biết

Chọn thống kê

Z = X − m¯ σ 0

√ n

=

√n( ¯X − m0)σ

làm tiêu chuẩn kiểm định Nếu giả thiết H0 đúng thì Z ∼ N(0, 1)

Từ đây ta suy ra miền bác bỏ tương ứng với từng loại đối thiết

Kiểm định giả thiết về trung bình của tổng thể.

Ta có bảng tóm tắt các loại giả thiết và miền bác bỏ tương ứng

Kiểm định giả thiết về trung bình của tổng thể.

Trường hợp kích thước mẫu n ≥ 30, σ2 chưa biết

Ta có thể dùng ước lượng của Var (X ) là S2 để thay thế cho σ2

Chọn thống kê

Z = X − m¯ S 0

√ n

=

√n( ¯X − m0)S

làm tiêu chuẩn kiểm định Nếu giả thiết H0 đúng thì Z ∼ N(0, 1)

Từ đây ta suy ra miền bác bỏ tương ứng với từng loại đối thiết

Kiểm định giả thiết về trung bình của tổng thể.

Ta có bảng tóm tắt các loại giả thiết và miền bác bỏ tương ứng

Kiểm định giả thiết về trung bình của tổng thể.

Trường hợp kích thước mẫu n < 30, σ2 chưa biết, X tuân theo

quy luật phân phối chuẩn

Chọn thống kê

T = X − m¯ S 0

√ n

=

√n( ¯X − m0)S

làm tiêu chuẩn kiểm định Nếu giả thiết H0 đúng thì

T ∼ T (n − 1) (Phân phối Student với n − 1 bậc tự do) Từ đây ta

suy ra miền bác bỏ tương ứng với từng loại đối thiết

Kiểm định giả thiết về trung bình của tổng thể.

Ta có bảng tóm tắt các loại giả thiết và miền bác bỏ tương ứng

Kiểm định giả thiết về tỷ lệ của tổng thể.

Bài toán

Cho tổng thể X , trong đó tỷ lệ cá thể mang đặc tính A nào đó là

trong tổng thể là p (p chưa biết) Từ mẫu ngẫu nhiên

(X1, X2, , Xn) hãy kiểm định

H0: p = p0, H1 : p 6= p0 (p < p0, p > p0)

với mức ý nghĩa α

Kiểm định giả thiết về tỷ lệ của tổng thể.

Trường hợp kích thước mẫu n ≥ 30 (hoặc n < 30 nhưng X có

phân phối chuẩn, σ2 đã biết:

Quan sát sự xuất hiện của biến cố "Cá thể mang đặc tính A"

trong n phép thử độc lập Nếu có m lần xuất hiện biến cố trên thì

tần suất f =mn là một ước lượng điểm của xác suất P(A) = p

Gọi F là tần số xuất hiện A trong n phép thử thì F ∼ B(1, p)

Gọi (F1, , Fn) là một mẫu ngẫu nhiên của F , khi đó

¯

F = 1n

√

p0q0

làm tiêu chuẩn kiểm định Nếu giả thiết H0 đúng thì Z ∼ N(0, 1)

Từ đây ta suy ra miền bác bỏ tương ứng với từng loại đối thiết

Kiểm định giả thiết về tỷ lệ của tổng thể.

Ta có bảng tóm tắt các loại giả thiết và miền bác bỏ tương ứng