Bài giảng xác suất thống kê ( Nguyễn Văn Thìn ) - Chương 5 docx

Nội dungTập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Tổng thể và mẫu Mô hình xác suất của

Bài Giảng Môn học Xác Suất và Thống Kê

Nguyễn Văn Thìn

Khoa Toán - Tin Học Đại Học Khoa Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM

Ngày 4 tháng 9 năm 2011

Nội dung

Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Biến cố và xác suất

Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất

Một số biến ngẫu nhiên thông dụng

Lý thuyết mẫu

Tổng thể và mẫu

Mô hình xác suất của tổng thể và mẫu

Các tham số đặc trưng của mẫu

Định nghĩa

Trong bài toán thống kê ta cần khảo sát một hay nhiểu dấu hiệu

nào đó và các dấu hiệu này thể hiện trên nhiều phần tử khác nhau

Tập hợp tất cả các phần tử chứa đựng thông tin về các dấu hiệu

ta cần nghiên cứu gọi là Dân số hay tổng thể

Ví dụ

Ta cần nghiên cứu về thu nhập của những người làm việc trong

ngành thư viện Dấu hiệu ta cần khảo sát là "thu nhập" và những

thông tin về thu nhập được thu thập ở những người làm việc trong

ngành này Vậy tất cả những người làm việc trong ngành thư viện

được coi là tổng thể

Đối với tổng thể, ta sử dụng một số khái niệm và ký hiệu sau:

N: Số phần tử của tổng thể và được gọi là kích thước của tổng

thể

X?: Dấu hiệu ta cần khảo sát, nghiên cứu Cần nhấn mạnh rằng

khi ta nghiên cứu một tổng thể có nghĩa là ta nghiên cứu dấu

hiệu X? được thể hiện trên các phần tử của tổng thể

xi: với i = 1, 2 k là các giá trị của dấu hiệu X? đo được trên các

phần tử của tổng thể

Ni: Tần số của xi - là số phần tử nhận giá trị xi Ta luôn có

Pk

i =1Ni = N

pi: Tần suất của xi - là tỷ số giữa tần số của xi và kích thước

tổng thể pi = Ni

N

Các đặc trưng của tổng thể

Định nghĩa

Trung bình của tổng thể (ký hiệu là µ), được xác định theo công

thức

µ =

k

X

i =1

xipi

Định nghĩa

Phương sai của tổng thể (ký hiệu là σ2), được xác định theo công

thức

σ2 =

k

X

i =1

(xi − µ)2pi

Định nghĩa

Độ lệch chuẩn của tổng thể (ký hiệu là σ), được xác định theo

công thức

σ =

√

σ2

Định nghĩa

Tỷ lệ tổng thể (ký hiệu là p), được định nghĩa như sau: Giả sử

tổng thể gồm N phần tử, trong đó có M phần tử có tính chất A

Gọi p = MN là tỷ lệ các phần tử có tính chất A của tổng thể (hay

gọi tắt là tỷ lệ tổng thể)

Để có thể khảo sát được các một số tính chất của đặc tính ta

quan tâm nếu ta đi điều tra toàn bộ tổng thể thì gặp các khó khăn

sau đây

• Phải chịu chi phí lớn về tiền của, thời gian, nhân lực, phương

tiện,

• Một số trường hợp sẽ phải phá hủy các phần tử được điều tra

• Có những trường hợp ta không thể xác định được toàn bộ các

phần tử của tổng thể

Khái niệm về mẫu

Định nghĩa

Một tập hợp gồm n phần tử lấy ra từ tổng thể được gọi là một

mẫu Số phần tử của mẫu n được gọi là kích thước mẫu hay cỡ

mẫu

Trong thực tế có nhiều cách lấy mẫu: Lấy mẫu ngẫu nhiên, chọn

mâu cơ giới, chọn mẫu bằng cách phân lớp Việc lấy mẫu được

tiến hành chủ yếu theo 2 phương thức:

• Lấy mẫu có hoàn lại (có lặp)

• Lấy mẫu không hoàn lại (không lặp)

Nhờ các định lý về giới hạn của xác suất, người ta đã chứng minh

được rằng: Khi số phần tử của tổng thể đủ lớn thì có thể coi hai

cách lấy mẫu có lặp và không lặp là như nhau

Ta có thể mô hình hóa dấu hiệu X? bằng một đại lượng ngẫu

nhiên như sau:

Nếu lấy ngẫu nhiên từ tổng thể ra 1 phần thử và gọi X là giá trị

của dấu hiệu X? đo được trên phần tử lấy ra đó thì X là đại lượng

ngẫu nhiên có phân phối xác suất như sau

X x1 x2 · · · xk

P p1 p2 · · · pk Như vậy dấu hiệu mà ta nghiên cứu X? có thể được mô hình hóa

bởi một đại lượng ngẫu nhiên X Quy luật phân phối xác suất của

X được gọi là quy luật phân phối gốc

Các tham số của đại lượng ngẫu nhiên gốc

Định nghĩa

Với quy luật phân phối xác suất được cho bởi bảng trên, theo định

nghĩa kỳ vọng của X là

E(X ) =

k

X

i =1

xipi = µ

Định nghĩa

Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên gốc là

Var (X ) =

k

X

i =1

(xi − E(X ))2pi =

k

X

i =1

(xi − µ)2pi

Mẫu ngẫu nhiên

Định nghĩa

Cho một đại lượng ngẫu nhiên X với quy luật phân phối xác suất

nào đó Một mẫu ngẫu nhiên kích thước n được thành lập từ đại

lượng ngẫu nhiên X là n đại lượng ngẫu nhiên độc lập, có cùng

phân phối với đại lượng ngẫu nhiên X

Ta ký hiệu mẫu ngẫu nhiên kích thước n được thành lập từ đại

lượng ngẫu nhiên X là (X1, X2, , Xn)

Ở mỗi lần khảo sát hay lấy mẫu ta thu được một mẫu cụ thể với

kích thước n, đây là một giá trị của mẫu ngẫu nhiên có kích thước

n và mẫu cụ thể này được ký hiệu là (x1, x2, xn)

Các phương pháp mô tả số liệu mẫu

• Mô tả mẫu bằng bảng phân phối tần số thực nghiệm

xi x1 x2 · · · xk

ni n1 n2 · · · nk

• Mô tả mẫu bằng bảng phân phối tần suất thực nghiệm

xi x1 x2 · · · xk

fi f1 f2 · · · fk

Các tham số đặc trưng của mẫu

Cho mẫu ngẫu nhiên kích thước n, (X1, X2, , Xn) được xây dựng

từ đại lượng ngẫu nhiên X

Định nghĩa

Trung bình mẫu ngẫu nhiên, ký hiệu là ¯X được định nghĩa là

¯

X =

Pn

i =1Xi n

Khi có mẫu cụ thể (x1, x2, , xn) từ mẫu ngẫu nhiên

(X1, X2, , Xn) ta sẽ thu được một giá trị cụ thể của ¯X ký hiệu là

¯

x được tính theo công thức

¯

x =

Pn

i =1xi n

Tính chất

Nếu đại lượng ngẫu nhiên gốc X có kỳ vọng toán E(X ) = µ và

phương sai Var (X ) = σ2 thì E( ¯X ) = µ và Var ( ¯X ) = σ2

n

Định nghĩa

Phương sai mẫu ngẫu nhiên, ký hiệu là S2 được định nghĩa là

S2=

Pn

i =1(Xi − ¯X )2

n − 1

Khi có mẫu cụ thể (x1, x2, , xn) từ mẫu ngẫu nhiên

(X1, X2, , Xn) ta sẽ thu được một giá trị cụ thể của S2 ký hiệu là

s2 được tính theo công thức

s2=

Pn

i =1(xi− ¯x )2

n − 1

Tính chất

Nếu đại lượng ngẫu nhiên gốc X có kỳ vọng toán E(X ) = µ và

phương sai Var (X ) = σ2 thì E(S2) = σ2

Định nghĩa

Độ lệch chuẩn của mẫu ngẫu nhiên, ký hiệu S là căn bậc hai của

phương sai mẫu S =√S2

Nếu có mẫu cụ thể thì độ lệch chuẩn của mẫu cụ thể này là một

giá trị của S

Phương pháp tính các tham số đặc trưng của mẫu

• Trường hợp mẫu cho dưới dạng gồm đủ n giá trị quan sát:

¯

x =

Pn

i =1xi n

s2 = 1

n − 1

n

X

i =1

xi2− n(¯x )2

!

• Trường hợp số mẫu cho dưới dạng tần số ni

¯

x =

Pk

i =1nixi n

s2 = 1

n − 1

k

X

i =1

nixi2− n(¯x )2

!

Chú ý trong trường hợp số liệu của mẫu được cho dưới dạng

từng khoảng thì khi áp dụng hai công thức trên ta thay mỗi

khoảng bằng giá trị trung tâm của khoảng đó